Analyse d’un Générateur de Signal Carré

Caractérisation d'un signal électrique périodique.

Énoncé : Analyse d’un Générateur de Signal Carré

Un générateur de signaux produit une tension électrique qui varie au cours du temps. Nous étudions un signal carré, caractérisé par des transitions rapides entre deux niveaux de tension, un niveau haut et un niveau bas.

Contexte

Les signaux carrés sont fondamentaux en électronique numérique et dans les systèmes de communication. Ils servent d'horloge pour synchroniser les opérations dans les microprocesseurs, de signaux de commande pour les moteurs, ou encore de base pour la modulation de signaux (par exemple, la modulation de largeur d'impulsion - PWM). Savoir analyser leurs caractéristiques (amplitude, fréquence, rapport cyclique) est essentiel pour comprendre et concevoir des circuits électroniques.

Représentation d'un signal carré.

Données du Problème

Niveau haut de tension (amplitude maximale) : \(V_{max} = +5,0 \, \text{V}\)
Niveau bas de tension (amplitude minimale) : \(V_{min} = 0,0 \, \text{V}\)
Période du signal : \(T = 20 \, \text{ms}\) (millisecondes)
Durée pendant laquelle le signal est au niveau haut (temps haut) : \(t_h = 8,0 \, \text{ms}\)

Questions

Déterminer l'amplitude crête-à-crête (\(V_{cc}\)) du signal.
Calculer la fréquence (\(f\)) du signal en Hertz (Hz).
Calculer le rapport cyclique (\(\alpha\)) du signal, exprimé en pourcentage.
Si la fréquence du signal est diminuée de moitié, quelle est la nouvelle période \(T'\) ?
Si le temps haut \(t_h\) devient \(12,0 \, \text{ms}\) et que la période \(T\) reste inchangée (\(20 \, \text{ms}\)), quel est le nouveau rapport cyclique \(\alpha'\) ?

Correction : Analyse d’un Générateur de Signal Carré

1. Amplitude Crête-à-Crête (\(V_{cc}\))

L'amplitude crête-à-crête (\(V_{cc}\)) est la différence entre la valeur maximale (\(V_{max}\)) et la valeur minimale (\(V_{min}\)) du signal.

Données pour cette étape

\(V_{max} = +5,0 \, \text{V}\)
\(V_{min} = 0,0 \, \text{V}\)

Calcul

\begin{aligned} V_{cc} &= V_{max} - V_{min} \\ &= 5,0 \, \text{V} - 0,0 \, \text{V} \\ &= 5,0 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat

L'amplitude crête-à-crête du signal est \(V_{cc} = 5,0 \, \text{V}\).

2. Fréquence (\(f\)) du Signal

La fréquence (\(f\)) est l'inverse de la période (\(T\)). Il est important de convertir la période en secondes avant le calcul. \(1 \, \text{ms} = 10^{-3} \, \text{s}\)

Données pour cette étape

Période \(T = 20 \, \text{ms}\)

Calcul

Conversion de la période en secondes :

T = 20 \, \text{ms} = 20 \times 10^{-3} \, \text{s} = 0,020 \, \text{s}

Calcul de la fréquence :

\begin{aligned} f &= \frac{1}{T} \\ &= \frac{1}{0,020 \, \text{s}} \\ &= 50 \, \text{Hz} \end{aligned}

Résultat

La fréquence du signal est \(f = 50 \, \text{Hz}\).

3. Rapport Cyclique (\(\alpha\))

Le rapport cyclique (\(\alpha\)) est le rapport entre le temps haut (\(t_h\)) et la période (\(T\)). Il est souvent exprimé en pourcentage. \[ \alpha = \frac{t_h}{T} \times 100\% \]

Données pour cette étape

Temps haut \(t_h = 8,0 \, \text{ms}\)
Période \(T = 20 \, \text{ms}\)

Calcul

\begin{aligned} \alpha &= \frac{t_h}{T} \times 100\% \\ &= \frac{8,0 \, \text{ms}}{20 \, \text{ms}} \times 100\% \\ &= 0,4 \times 100\% \\ &= 40\% \end{aligned}

Résultat

Le rapport cyclique du signal est \(\alpha = 40\%\).

4. Nouvelle Période \(T'\) si la Fréquence est Diminuée de Moitié

Si la fréquence initiale est \(f = 50 \, \text{Hz}\), la nouvelle fréquence \(f'\) sera \(f' = \frac{f}{2}\). La nouvelle période \(T'\) est l'inverse de la nouvelle fréquence \(f'\) : \(T' = \frac{1}{f'}\).

Données pour cette étape

Fréquence initiale \(f = 50 \, \text{Hz}\) (calculée à l'étape 2)

Calculs

a) Nouvelle fréquence \(f'\) :

\begin{aligned} f' &= \frac{f}{2} \\ &= \frac{50 \, \text{Hz}}{2} \\ &= 25 \, \text{Hz} \end{aligned}

b) Nouvelle période \(T'\) :

\begin{aligned} T' &= \frac{1}{f'} \\ &= \frac{1}{25 \, \text{Hz}} \\ &= 0,04 \, \text{s} \\ &= 40 \, \text{ms} \end{aligned}

Résultat

Si la fréquence est diminuée de moitié, la nouvelle période est \(T' = 40 \, \text{ms}\).

5. Nouveau Rapport Cyclique \(\alpha'\)

Le nouveau temps haut est \(t_h' = 12,0 \, \text{ms}\) et la période \(T\) reste \(20 \, \text{ms}\). \[ \alpha' = \frac{t_h'}{T} \times 100\% \]

Données pour cette étape

Nouveau temps haut \(t_h' = 12,0 \, \text{ms}\)
Période \(T = 20 \, \text{ms}\)

Calcul

\begin{aligned} \alpha' &= \frac{t_h'}{T} \times 100\% \\ &= \frac{12,0 \, \text{ms}}{20 \, \text{ms}} \times 100\% \\ &= 0,6 \times 100\% \\ &= 60\% \end{aligned}

Résultat

Le nouveau rapport cyclique est \(\alpha' = 60\%\).

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