Application des Lois d'Ohm et de Kirchhoff

L'analyse de circuits électriques repose fondamentalement sur la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff. La loi d'Ohm établit la relation entre tension, courant et résistance, tandis que les lois de Kirchhoff (loi des nœuds et loi des mailles) décrivent la conservation du courant et de la tension dans un circuit.

Objectif

Analyser un circuit mixte (série et parallèle) simple en appliquant la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff pour déterminer les courants et les tensions dans différentes parties du circuit.

Données du Circuit

Source de tension continue : \(V_S = 12 \, \text{V}\)
Résistance \(R_1 = 4 \, \Omega\)
Résistance \(R_2 = 12 \, \Omega\)
Résistance \(R_3 = 6 \, \Omega\)

Configuration du circuit : La source \(V_S\) est connectée en série avec \(R_1\). Après \(R_1\), le circuit se divise en deux branches parallèles contenant respectivement \(R_2\) et \(R_3\). Ces deux branches se rejoignent ensuite pour retourner au pôle négatif de la source.

Schéma du circuit mixte (série-parallèle).

Questions

Résistance équivalente du groupement parallèle : Calculez la résistance équivalente (\(R_{p}\)) des résistances \(R_2\) et \(R_3\) montées en parallèle.
Résistance totale du circuit : Calculez la résistance totale (\(R_{tot}\)) du circuit vue par la source de tension.
Courant total fourni par la source : En utilisant la loi d’Ohm, déterminez le courant total (\(I_{tot}\)) débité par la source.
Tensions partielles :
1. Calculez la tension (\(V_{R1}\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
2. Calculez la tension (\(V_p\)) aux bornes du groupement parallèle (\(R_2\) // \(R_3\)).
Courants dans les branches parallèles : En utilisant la tension \(V_p\) et la loi d’Ohm, calculez les courants \(I_2\) (traversant \(R_2\)) et \(I_3\) (traversant \(R_3\)).
Vérification par la loi des nœuds : Vérifiez que la somme des courants \(I_2\) et \(I_3\) est égale au courant total \(I_{tot}\) au nœud N1.
Vérification par la loi des mailles : Vérifiez la loi des mailles pour la boucle contenant \(V_S\), \(R_1\) et \(R_2\).

Correction : Application des Lois d’Ohm et de Kirchhoff

1. Résistance Équivalente du Groupement Parallèle (\(R_p\))

Pour deux résistances \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle, la résistance équivalente \(R_p\) est donnée par la formule : \[ \frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \quad \text{ou} \quad R_p = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \]

Données pour cette étape

\(R_2 = 12 \, \Omega\)
\(R_3 = 6 \, \Omega\)

Calcul

\begin{aligned} R_p &= \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} \\ &= \frac{12 \, \Omega \times 6 \, \Omega}{12 \, \Omega + 6 \, \Omega} \\ &= \frac{72 \, \Omega^2}{18 \, \Omega} \\ &= 4 \, \Omega \end{aligned}

Résultat

La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_p = 4 \, \Omega\).

2. Résistance Totale du Circuit (\(R_{tot}\))

La résistance \(R_1\) est en série avec le groupement parallèle (\(R_p\)). La résistance totale du circuit est donc : \[ R_{tot} = R_1 + R_p \]

Données pour cette étape

\(R_1 = 4 \, \Omega\)
\(R_p = 4 \, \Omega\) (calculée à l'étape 1)

Calcul

\begin{aligned} R_{tot} &= R_1 + R_p \\ &= 4 \, \Omega + 4 \, \Omega \\ &= 8 \, \Omega \end{aligned}

Résultat

La résistance totale du circuit est \(R_{tot} = 8 \, \Omega\).

3. Courant Total Fourni par la Source (\(I_{tot}\))

Selon la loi d'Ohm, le courant total \(I_{tot}\) est la tension de la source \(V_S\) divisée par la résistance totale \(R_{tot}\). \[ I_{tot} = \frac{V_S}{R_{tot}} \]

Données pour cette étape

\(V_S = 12 \, \text{V}\)
\(R_{tot} = 8 \, \Omega\) (calculée à l'étape 2)

Calcul

\begin{aligned} I_{tot} &= \frac{V_S}{R_{tot}} \\ &= \frac{12 \, \text{V}}{8 \, \Omega} \\ &= 1.5 \, \text{A} \end{aligned}

Résultat

Le courant total fourni par la source est \(I_{tot} = 1.5 \, \text{A}\).

4. Tensions Partielles

a) La tension \(V_{R1}\) aux bornes de \(R_1\) est \(I_{tot} \times R_1\). b) La tension \(V_p\) aux bornes du groupement parallèle est \(I_{tot} \times R_p\).

Données pour cette étape

\(I_{tot} = 1.5 \, \text{A}\)
\(R_1 = 4 \, \Omega\)
\(R_p = 4 \, \Omega\)

Calculs

a) Tension \(V_{R1}\) :

\begin{aligned} V_{R1} &= I_{tot} \times R_1 \\ &= (1.5 \, \text{A}) \times (4 \, \Omega) \\ &= 6 \, \text{V} \end{aligned}

b) Tension \(V_p\) :

\begin{aligned} V_p &= I_{tot} \times R_p \\ &= (1.5 \, \text{A}) \times (4 \, \Omega) \\ &= 6 \, \text{V} \end{aligned}

Résultats

La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_{R1} = 6 \, \text{V}\).
La tension aux bornes du groupement parallèle est \(V_p = 6 \, \text{V}\).

5. Courants dans les Branches Parallèles (\(I_2\) et \(I_3\))

La tension aux bornes de \(R_2\) est \(V_p\), et la tension aux bornes de \(R_3\) est aussi \(V_p\). On utilise la loi d'Ohm pour chaque branche. \[ I_2 = \frac{V_p}{R_2} \quad \text{et} \quad I_3 = \frac{V_p}{R_3} \]

Données pour cette étape

\(V_p = 6 \, \text{V}\)
\(R_2 = 12 \, \Omega\)
\(R_3 = 6 \, \Omega\)

Calculs

Courant \(I_2\) :

\begin{aligned} I_2 &= \frac{V_p}{R_2} \\ &= \frac{6 \, \text{V}}{12 \, \Omega} \\ &= 0.5 \, \text{A} \end{aligned}

Courant \(I_3\) :

\begin{aligned} I_3 &= \frac{V_p}{R_3} \\ &= \frac{6 \, \text{V}}{6 \, \Omega} \\ &= 1.0 \, \text{A} \end{aligned}

Résultats

Le courant dans \(R_2\) est \(I_2 = 0.5 \, \text{A}\).
Le courant dans \(R_3\) est \(I_3 = 1.0 \, \text{A}\).

6. Vérification par la Loi des Nœuds

La loi des nœuds de Kirchhoff stipule que la somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud. Au nœud N1 (après \(R_1\)), le courant \(I_{tot}\) entre, et les courants \(I_2\) et \(I_3\) sortent. \[ I_{tot} = I_2 + I_3 \]

Données pour cette étape

\(I_{tot} = 1.5 \, \text{A}\)
\(I_2 = 0.5 \, \text{A}\)
\(I_3 = 1.0 \, \text{A}\)

Vérification

\begin{aligned} I_2 + I_3 &= 0.5 \, \text{A} + 1.0 \, \text{A} \\ &= 1.5 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ I_{tot} = 1.5 \, \text{A}

Conclusion

Puisque \(I_2 + I_3 = I_{tot}\) (\(1.5 \, \text{A} = 1.5 \, \text{A}\)), la loi des nœuds est vérifiée.

7. Vérification par la Loi des Mailles

La loi des mailles de Kirchhoff stipule que la somme algébrique des tensions dans une boucle fermée est nulle. Considérons la maille passant par \(V_S\), \(R_1\) et \(R_2\). \[ V_S - V_{R1} - V_{R2} = 0 \quad \text{ou} \quad V_S = V_{R1} + V_{R2} \] Notez que \(V_{R2}\) est la même que \(V_p\).

Données pour cette étape

\(V_S = 12 \, \text{V}\)
\(V_{R1} = 6 \, \text{V}\)
\(V_{R2} = V_p = 6 \, \text{V}\)

Vérification

\begin{aligned} V_{R1} + V_{R2} &= 6 \, \text{V} + 6 \, \text{V} \\ &= 12 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ V_S = 12 \, \text{V}

Conclusion

Puisque \(V_{R1} + V_{R2} = V_S\) (\(12 \, \text{V} = 12 \, \text{V}\)), la loi des mailles est vérifiée pour cette boucle.

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