Analyse d'une Baisse de Tension sur une Ligne d'Alimentation
Contexte : L'alimentation d'un moteur dans un atelier.
Dans toute installation électrique, l'énergie est transportée via des câbles qui, malgré leur bonne conductivité, possèdent une résistance et une réactance non nulles. Lorsqu'un courant les parcourt, il en résulte une chute de tensionDiminution de la tension électrique le long d'un conducteur parcouru par un courant. Elle est due à l'impédance du câble.. Si elle est trop importante, cette baisse de tension peut nuire au bon fonctionnement des récepteurs (démarrage difficile d'un moteur, baisse de l'éclairement des lampes, etc.). Cet exercice a pour but de calculer cette chute de tension pour la ligne alimentant un moteur et de vérifier sa conformité avec les normes en vigueur.
Remarque Pédagogique : Cet exercice pratique vous permettra de maîtriser le calcul de dimensionnement d'une ligne électrique, une compétence fondamentale pour tout électricien ou ingénieur en électrotechnique afin de garantir la sécurité et la performance des installations.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et définir la notion de chute de tension.
- Calculer l'intensité absorbée par une charge monophasée.
- Calculer la résistance et la réactance d'un câble d'alimentation.
- Appliquer la formule de la chute de tension et l'exprimer en pourcentage.
- Vérifier la conformité d'une installation par rapport à une norme.
Données de l'étude
Fiche Technique de l'Installation
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Réseau de distribution | Monophasé |
| Tension nominale en tête de ligne (U) | 230 V |
| Fréquence | 50 Hz |
Schéma de la Ligne d'Alimentation
| Paramètre | Description | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| P | Puissance active du moteur | 4 | kW |
| cos φ | Facteur de puissance du moteur | 0.85 | (inductif) |
| L | Longueur du câble | 75 | m |
| S | Section du câble | 10 | mm² |
| ρ | Résistivité du cuivre à 20°C | 1.72 x 10⁻⁸ | Ω.m |
| X' | Réactance linéique du câble | 0.08 | Ω/km |
Questions à traiter
- Calculer l'intensité nominale (I) appelée par le moteur.
- Calculer la résistance (R) de la totalité du câble d'alimentation.
- Calculer la réactance (X) de la totalité du câble d'alimentation.
- Calculer la chute de tension totale (ΔU) en Volts aux bornes du moteur.
- Exprimer cette chute de tension en pourcentage (ΔU%) et conclure sur la conformité de l'installation, sachant que la norme impose une valeur maximale de 5% pour les circuits moteurs.
Les bases de l'Électrotechnique
Pour résoudre cet exercice, plusieurs concepts clés sont nécessaires.
1. Puissances et Intensité en Monophasé
La puissance active (P, en Watts) est la puissance réellement consommée par la charge. Elle est liée à la puissance apparente (S, en Volt-Ampères) par le facteur de puissance. L'intensité I se calcule par :
\[ I = \frac{P}{U \times \cos \varphi} \]
2. Impédance d'un Câble
Un câble possède une résistance (R) et une réactance (X). La résistance dépend du matériau (résistivité ρ), de la longueur (L) et de la section (S).
\[ R = \rho \times \frac{L}{S} \]
La réactance (X) dépend de la géométrie du câble et est souvent donnée par une valeur linéique (par km).
3. Calcul de la Chute de Tension
La formule approchée, mais précise pour les faibles angles, de la chute de tension en monophasé est :
\[ \Delta U \approx R \cdot I \cdot \cos \varphi + X \cdot I \cdot \sin \varphi \]
On trouve \( \sin \varphi \) à partir de \( \cos \varphi \) avec la relation trigonométrique : \( \sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2 \varphi} \).
Correction : Analyse d'une Baisse de Tension sur une Ligne d'Alimentation
Question 1 : Calculer l'intensité nominale (I) appelée par le moteur.
Principe
L'intensité est directement liée à la puissance que le moteur doit fournir. On utilise la relation liant la puissance active, la tension, le courant et le facteur de puissance pour isoler l'inconnue, qui est l'intensité I.
Mini-Cours
La puissance active P (en Watts) représente le travail réel effectué par le moteur. La puissance apparente S (en VA) est la puissance totale fournie par la source. Le facteur de puissance \( \cos \varphi \) est le rapport entre les deux et reflète l'efficacité de la transmission de puissance. Un moteur est une charge inductive, donc une partie de l'énergie est "réactive" et ne produit pas de travail mécanique, ce qui justifie un \( \cos \varphi < 1 \).
Remarque Pédagogique
Assurez-vous toujours de bien identifier la puissance fournie dans l'énoncé. S'il s'agissait de la puissance apparente S, la formule serait simplement \( I = S / U \). Ici, c'est la puissance active P, il faut donc faire intervenir le facteur de puissance.
Normes
Le calcul de l'intensité nominale est une étape préliminaire indispensable au dimensionnement des protections (disjoncteurs, fusibles) selon la norme NFC 15-100, qui impose de protéger les circuits contre les surcharges et les courts-circuits.
Formule(s)
Formule de l'intensité
Hypothèses
On suppose que le moteur fonctionne à son régime nominal (sa charge normale de travail) et que la tension du réseau est stable et égale à sa valeur nominale de 230 V.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active | P | 4 | kW |
| Tension | U | 230 | V |
| Facteur de puissance | \(\cos \varphi\) | 0.85 |
Astuces
Pour un calcul rapide, on peut estimer qu'en monophasé 230 V, un moteur consomme environ 5 A par kW. Pour 4 kW, cela donne 20 A, ce qui est très proche du résultat exact et permet de vérifier l'ordre de grandeur.
Schéma (Avant les calculs)
Triangle des puissances
Calcul(s)
Conversion de la puissance
Calcul de l'intensité
Schéma (Après les calculs)
Schéma du circuit avec résultat
Réflexions
Cette intensité de 20,46 A est le courant qui va parcourir en permanence la ligne lorsque le moteur fonctionne. C'est cette valeur qui sert de base à tous les calculs suivants, notamment la chute de tension et le choix des protections.
Points à retenir
Synthèse : Pour trouver le courant (I) à partir de la puissance active (P) en monophasé, il faut diviser P par le produit de la tension (U) et du facteur de puissance (cos φ).
Le saviez-vous ?
Au démarrage, un moteur asynchrone peut appeler un courant 5 à 8 fois supérieur à son courant nominal. C'est pour cette raison que les disjoncteurs moteurs ont une courbe de déclenchement spécifique (Courbe D) qui tolère cette surintensité brève sans disjoncter.
FAQ
Parce que le moteur est une charge inductive qui consomme de la puissance "réactive" (pour magnétiser ses enroulements) en plus de la puissance "active" (pour faire tourner l'arbre). Le courant total est lié à la somme vectorielle de ces deux puissances (la puissance apparente), d'où l'intervention du cos φ.Pourquoi utilise-t-on le facteur de puissance ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si le même moteur avait un facteur de puissance amélioré de 0.95, quel serait le nouveau courant appelé ?
Question 2 : Calculer la résistance (R) du câble.
Principe
Le principe ici repose sur la loi de Pouillet, qui définit la résistance électrique d'un conducteur. Cette loi énonce que la résistance (R) est proportionnelle à la résistivité (\(\rho\)) du matériau et à sa longueur (L), et inversement proportionnelle à sa section (S). C'est la mesure fondamentale de l'opposition du câble au passage du courant.
Mini-Cours
La résistivité (\(\rho\)) est une caractéristique intrinsèque du matériau. Le cuivre et l'aluminium, très utilisés, ont de faibles résistivités. La résistance augmente avec la température. Pour des calculs précis, on utilise parfois un coefficient de température, mais ici on se contente de la valeur à 20°C pour simplifier.
Remarque Pédagogique
Attention, la longueur 'L' dans la formule est la longueur d'un seul conducteur. Comme une ligne monophasée comporte une phase et un neutre, certains calculs de chute de tension simplifiés utilisent une longueur de 2L. Ici, nous calculons la résistance d'un seul conducteur de 75m, la formule de chute de tension tiendra compte de l'aller-retour.
Normes
Les valeurs de résistivité des conducteurs sont standardisées par des organismes internationaux comme la CEI (Commission Électrotechnique Internationale).
Formule(s)
Loi de Pouillet
Hypothèses
On suppose que le câble est à une température de 20°C et que sa section est uniforme sur toute sa longueur.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistivité du cuivre | \(\rho\) | 1.72 x 10⁻⁸ | Ω.m |
| Longueur | L | 75 | m |
| Section | S | 10 | mm² |
Astuces
Pour éviter les erreurs avec les puissances de 10, on peut utiliser une résistivité en Ω.mm²/m. Pour le cuivre, ρ ≈ 0.0172 Ω.mm²/m. La formule devient R = 0.0172 * L(m) / S(mm²), ce qui donne R = 0.0172 * 75 / 10 = 0.129 Ω. C'est plus direct !
Schéma (Avant les calculs)
Modélisation du Câble comme un résistor
Calcul(s)
Conversion de la section en \(m^2\)
Application de la loi de Pouillet
Schéma (Après les calculs)
Résistance du Câble
Réflexions
Cette résistance de 0.129 Ω peut sembler faible, mais parcourue par 20.46 A, elle sera la cause principale de l'échauffement du câble (par effet Joule \(P = R \cdot I^2\)) et de la chute de tension.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de ne pas utiliser des unités cohérentes. La résistivité est en Ω.m, la longueur doit donc être en mètres (m) et la section en mètres carrés (m²).
Points à retenir
Synthèse : La résistance d'un câble se calcule avec la loi de Pouillet. Elle augmente avec la longueur et diminue avec la section. Attention aux unités !
Le saviez-vous ?
L'aluminium est aussi très utilisé pour les lignes électriques, notamment les lignes aériennes. Sa résistivité est plus élevée que celle du cuivre (environ 2.82 x 10⁻⁸ Ω.m), mais il est beaucoup plus léger, ce qui réduit les contraintes mécaniques sur les poteaux.
FAQ
Le calcul est fait pour une longueur de 75m, donc un seul conducteur. La formule de chute de tension que nous utiliserons est conçue pour prendre en compte cette résistance et l'appliquer implicitement à l'aller-retour (phase et neutre).Cette résistance est-elle pour un seul fil ou pour l'aller-retour ?
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la résistance d'un câble en aluminium (\(\rho \approx 2.82 \times 10^{-8} \Omega.\text{m}\)) de mêmes dimensions ?
Question 3 : Calculer la réactance (X) du câble.
Principe
La réactance d'un câble est due au champ magnétique créé par le courant alternatif. Elle dépend de la géométrie des conducteurs. Pour simplifier, on utilise une valeur standard "linéique" (par unité de longueur) que l'on multiplie par la longueur du câble.
Mini-Cours
La réactance d'une ligne est principalement inductive (\(X = L\omega\), avec L l'inductance et \(\omega = 2\pi f\)). Elle dépend de l'espacement entre les conducteurs et de leur rayon. En pratique, pour les câbles BT standards, on utilise des valeurs tabulées, comme le 0.08 Ω/km donné ici qui est une bonne approximation pour les câbles non-jointifs.
Remarque Pédagogique
Notez que la section du câble n'intervient pas dans ce calcul simplifié de la réactance. En réalité, elle a une légère influence, mais elle est souvent négligée en basse tension car l'effet de la résistance est prépondérant.
Normes
Les constructeurs de câbles fournissent des fiches techniques (datasheets) qui précisent les valeurs de résistance et de réactance linéiques de leurs produits, conformément aux normes de fabrication.
Formule(s)
Formule de la réactance totale
Hypothèses
On suppose que la réactance linéique est constante sur toute la longueur du câble.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Réactance linéique | X' | 0.08 | Ω/km |
| Longueur | L | 75 | m |
Astuces
Soyez vigilant avec les unités ! La réactance est en Ω/km et la longueur en m. Il faut impérativement convertir l'une des deux. Le plus simple est de convertir les mètres en kilomètres en divisant par 1000.
Schéma (Avant les calculs)
Modélisation de l'Impédance du Câble
Calcul(s)
Conversion de la longueur en km
Calcul de la réactance
Schéma (Après les calculs)
Impédance du Câble
Réflexions
La valeur de la réactance (0.006 Ω) est très faible par rapport à la résistance (0.129 Ω). Cela confirme que pour ce type de ligne, l'effet résistif sera dominant dans le calcul de la chute de tension.
Points à retenir
Synthèse : La réactance d'un câble s'obtient en multipliant sa réactance linéique (souvent en Ω/km) par sa longueur (en km).
Le saviez-vous ?
Pour les lignes à très haute tension, la réactance devient beaucoup plus significative que la résistance. On utilise alors des "bancs de condensateurs" pour compenser l'effet inductif de la ligne et améliorer le transport de l'énergie sur de longues distances.
FAQ
Parce que son calcul théorique est complexe (il dépend du logarithme de la distance entre les conducteurs). Il est donc plus simple et plus pratique pour les électriciens d'utiliser une valeur moyenne standard fournie par les fabricants ou les normes.Pourquoi la réactance est-elle donnée en Ω/km et pas calculée comme la résistance ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si le câble faisait 200 mètres de long, quelle serait sa réactance ?
Question 4 : Calculer la chute de tension totale (ΔU).
Principe
On applique la formule approchée de la chute de tension, qui prend en compte la composante résistive (chute de tension "en phase" avec le courant, due à R) et la composante réactive (chute de tension "en quadrature", due à X).
Mini-Cours
Pour utiliser la formule, nous avons besoin de \( \sin \varphi \). On le calcule à partir de \( \cos \varphi \).
La relation fondamentale est \( \sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2 \varphi} \).
Calcul de \( \sin \varphi \)
Remarque Pédagogique
Cette formule est une approximation, mais elle est très fiable pour les installations où la chute de tension reste faible (inférieure à 10%), ce qui est presque toujours le cas. La formule exacte fait intervenir des vecteurs (diagramme de Fresnel) et est plus complexe à utiliser.
Formule(s)
Formule de la chute de tension approchée
Hypothèses
On suppose que le facteur de puissance du moteur reste constant à 0.85 et que le courant I est celui calculé précédemment.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | R | 0.129 | Ω |
| Réactance | X | 0.006 | Ω |
| Intensité | I | 20.46 | A |
| \(\cos \varphi\) | \(\cos \varphi\) | 0.85 | |
| \(\sin \varphi\) | \(\sin \varphi\) | 0.527 |
Astuces
On peut factoriser par l'intensité I pour simplifier le calcul : \( \Delta U \approx I \times (R \cdot \cos \varphi + X \cdot \sin \varphi) \). Cela évite de taper deux fois la valeur du courant dans la calculatrice.
Schéma (Avant les calculs)
Diagramme de Fresnel simplifié
Calcul(s)
Calcul de la chute de tension résistive
Calcul de la chute de tension réactive
Addition des composantes
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Chute de Tension
Réflexions
On remarque que la chute de tension due à la résistance (2.24 V) est beaucoup plus importante que celle due à la réactance (0.065 V). C'est souvent le cas pour les câbles de petite et moyenne section en basse tension, ce qui justifie l'utilisation de formules encore plus simplifiées dans certains cas.
Points à retenir
Synthèse : La chute de tension totale est la somme de la chute résistive (\(RI \cos \varphi\)) et de la chute réactive (\(XI \sin \varphi\)).
Le saviez-vous ?
Thomas Edison, pionnier de la distribution électrique, utilisait du courant continu. Un de ses plus grands défis était justement la chute de tension, bien plus problématique en continu (pas de transformateurs pour remonter la tension), ce qui l'obligeait à construire des centrales électriques très proches des utilisateurs.
FAQ
Car les tensions ne s'additionnent pas algébriquement mais vectoriellement. Z.I donne le module du vecteur chute de tension, mais la formule \( R \cdot I \cdot \cos \varphi + X \cdot I \cdot \sin \varphi \) est une projection de ce vecteur qui donne une meilleure approximation de la différence arithmétique entre la tension de départ et celle d'arrivée.Pourquoi ne fait-on pas simplement ΔU = Z.I ?
Résultat Final
A vous de jouer
Avec les mêmes données, quelle serait la chute de tension pour une charge purement résistive (\(\cos \varphi = 1, \sin \varphi = 0\)) ?
Question 5 : Exprimer en pourcentage (ΔU%) et conclure.
Principe
La chute de tension en pourcentage est le rapport entre la tension perdue dans le câble et la tension d'origine en tête de ligne, le tout multiplié par 100. Cette valeur relative est ensuite comparée à la limite fixée par la norme pour juger de la conformité de l'installation.
Mini-Cours
Les normes fixent des limites différentes selon l'usage. Par exemple, pour l'éclairage, la limite est souvent plus stricte (ex: 3%) car l'œil humain est sensible aux variations de luminosité. Pour les moteurs, on tolère une chute un peu plus grande (ex: 5%) car leur fonctionnement est moins affecté par une légère baisse de tension.
Remarque Pédagogique
Une installation "non conforme" n'est pas forcément dangereuse immédiatement, mais elle est sub-optimale. Elle peut entraîner une usure prématurée du matériel, une surconsommation d'énergie (car pour une même puissance P, si U baisse, I doit augmenter, ce qui augmente les pertes par effet Joule) et des dysfonctionnements.
Normes
La norme NFC 15-100 en France (et des normes similaires ailleurs) limite la chute de tension entre l'origine de l'installation et tout point d'utilisation. Pour un circuit alimentant un moteur, cette limite est de 5%.
Formule(s)
Formule de la chute de tension en pourcentage
Hypothèses
On considère que la tension en tête de ligne (\(U_{\text{origine}}\)) est stable à 230 V.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Chute de tension calculée | \(\Delta U\) | 2.305 | V |
| Tension d'origine | \(U_{\text{origine}}\) | 230 | V |
Astuces
Pour savoir rapidement si une section est suffisante, on peut utiliser des abaques ou des applications mobiles de calcul de câble qui intègrent directement ces formules et les limites normatives.
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison à la Norme
Calcul(s)
Calcul de la chute de tension en pourcentage
Schéma (Après les calculs)
Jauge de Conformité
Réflexions
Le résultat de 1% est bien en deçà de la limite de 5%. Cela signifie que la section de 10 mm² est non seulement conforme, mais aussi confortablement dimensionnée. On aurait même pu, si l'on cherchait à optimiser les coûts, étudier si la section inférieure (6 mm²) n'était pas suffisante.
Points à retenir
Synthèse : On conclut en comparant la chute de tension calculée en pourcentage à la valeur maximale autorisée par la norme applicable au type de circuit (ici, 5% pour un moteur).
Le saviez-vous ?
Dans certains pays ou pour certaines applications critiques (hôpitaux, data centers), les normes de chute de tension peuvent être encore plus drastiques pour assurer une fiabilité maximale des équipements sensibles.
FAQ
La solution la plus courante est d'augmenter la section du câble. Comme la résistance est inversement proportionnelle à la section, un câble plus gros aura une résistance plus faible et donc une chute de tension moindre. D'autres solutions existent comme rehausser la tension de départ ou améliorer le facteur de puissance de la charge.Que faire si la chute de tension est trop élevée ?
Résultat Final
A vous de jouer
Que deviendrait la chute de tension en % si la section du câble était de 6 mm² (R ≈ 0.215 Ω, X restant à 0.006 Ω) ?
Outil Interactif : Simulateur de Chute de Tension
Utilisez cet outil pour visualiser l'impact de la longueur du câble et de sa section sur la chute de tension pour le moteur de 4 kW étudié.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la principale conséquence d'une chute de tension excessive sur un moteur ?
2. Que représente la lettre grecque ρ (rho) dans la formule de la résistance ?
3. Pour une même longueur de câble, si on augmente la section (le diamètre) du conducteur :
4. Quelle est l'unité de la puissance réactive ?
5. Un facteur de puissance (cos φ) proche de 1 signifie que la charge est principalement...
Glossaire
- Chute de Tension
- Diminution de la tension électrique entre deux points d'un circuit, causée par l'impédance du conducteur lorsque le courant circule.
- Facteur de Puissance (cos φ)
- Rapport entre la puissance active (W) et la puissance apparente (VA). Il mesure l'efficacité avec laquelle l'énergie électrique est convertie en travail utile. Une valeur de 1 est idéale.
- Résistivité (ρ)
- Propriété intrinsèque d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Le cuivre a une faible résistivité, c'est un bon conducteur.
- Réactance (X)
- Opposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif, due aux effets inductifs et capacitifs. Pour un câble, elle est principalement inductive.
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