Analyse des Harmoniques dans un Signal

Comprendre les Harmoniques

Dans de nombreux systèmes électriques modernes (alimentations à découpage, variateurs de vitesse, etc.), les courants et les tensions ne sont plus parfaitement sinusoïdaux. Ces signaux déformés, bien que périodiques, peuvent être décomposés (grâce à la série de Fourier) en une somme de plusieurs signaux sinusoïdaux purs :

Le fondamental : un signal sinusoïdal de même fréquence que le signal déformé. C'est lui qui transporte la majorité de la puissance utile.
Les harmoniques : des signaux sinusoïdaux dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale. Ils représentent la distorsion du signal et peuvent causer des problèmes tels que des échauffements, des vibrations et des perturbations sur le réseau.

Données de l'étude

La tension aux bornes d'une charge résistive \(R = 10 \, \Omega\) est un signal périodique non sinusoïdal. L'analyse de Fourier de cette tension donne l'expression suivante :

u(t) = 325\sin(100\pi t) + 100\sin(300\pi t) \, [\text{V}]

Schéma : Décomposition d'un Signal Non Sinusoïdal

Questions à traiter

Identifier la fréquence du fondamental (\(f_1\)) et la fréquence de l'harmonique (\(f_3\)).
Calculer les valeurs efficaces (\(U_1\) et \(U_3\)) du fondamental et de l'harmonique de rang 3.
Calculer la valeur efficace totale (\(U_{\text{eff}}\)) de la tension non sinusoïdale.
Calculer le Taux de Distorsion Harmonique (THD) de la tension.
Calculer la puissance totale (\(P_T\)) dissipée dans la résistance.

Correction : Analyse des Harmoniques dans un Signal Non Sinusoïdal

1. Identification des Fréquences

Principe :

L'expression d'une grandeur sinusoïdale est de la forme \(A\sin(\omega t)\) où \(\omega = 2\pi f\). On identifie la pulsation du fondamental \(\omega_1\) pour en déduire sa fréquence \(f_1\). Les fréquences harmoniques sont des multiples entiers de \(f_1\).

Calcul :

Pour le fondamental : \(\omega_1 = 100\pi \, \text{rad/s}\).

\begin{aligned} f_1 &= \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{100\pi}{2\pi} \\ &= 50 \, \text{Hz} \end{aligned}

Pour l'harmonique, on voit que la pulsation est \(300\pi = 3 \times 100\pi = 3\omega_1\). Il s'agit donc de l'harmonique de rang 3.

\begin{aligned} f_3 &= 3 \times f_1 \\ &= 3 \times 50 \, \text{Hz} \\ &= 150 \, \text{Hz} \end{aligned}

Résultat : La fréquence du fondamental est \(f_1 = 50 \, \text{Hz}\) et celle de l'harmonique de rang 3 est \(f_3 = 150 \, \text{Hz}\).

2. Valeurs Efficaces des Composantes

Principe :

Pour une grandeur sinusoïdale d'amplitude maximale \(A_{\text{max}}\), sa valeur efficace est \(A_{\text{eff}} = A_{\text{max}} / \sqrt{2}\). On applique cette relation à chaque composante (fondamental et harmonique).

Calcul :

Valeur efficace du fondamental (\(U_1\)) :

\begin{aligned} U_1 &= \frac{U_{1, \text{max}}}{\sqrt{2}} = \frac{325 \, \text{V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx 230 \, \text{V} \end{aligned}

Valeur efficace de l'harmonique de rang 3 (\(U_3\)) :

\begin{aligned} U_3 &= \frac{U_{3, \text{max}}}{\sqrt{2}} = \frac{100 \, \text{V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx 70.7 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat : Les valeurs efficaces sont \(U_1 \approx 230 \, \text{V}\) et \(U_3 \approx 70.7 \, \text{V}\).

3. Valeur Efficace Totale de la Tension

Principe :

La valeur efficace totale d'un signal périodique non sinusoïdal est la racine carrée de la somme des carrés des valeurs efficaces de toutes ses composantes (le fondamental et tous les harmoniques).

Formule(s) utilisée(s) :

U_{\text{eff}} = \sqrt{U_1^2 + U_3^2 + U_5^2 + \dots}

Calcul :

\begin{aligned} U_{\text{eff}} &= \sqrt{U_1^2 + U_3^2} \\ &= \sqrt{(230)^2 + (70.7)^2} \\ &= \sqrt{52900 + 4998.5} \\ &= \sqrt{57898.5} \\ &\approx 240.6 \, \text{V} \end{aligned}

Résultat : La valeur efficace totale de la tension est \(U_{\text{eff}} \approx 240.6 \, \text{V}\).

4. Taux de Distorsion Harmonique (THD)

Principe :

Le THD mesure le poids des harmoniques par rapport au fondamental. Il est défini comme le rapport de la valeur efficace de l'ensemble des harmoniques sur la valeur efficace du fondamental. Un THD faible indique un signal proche d'une sinusoïde pure.

Formule(s) utilisée(s) :

\text{THD} = \frac{\sqrt{U_2^2 + U_3^2 + U_4^2 + \dots}}{U_1}

Calcul :

Dans notre cas, il n'y a que l'harmonique de rang 3 :

\begin{aligned} \text{THD} &= \frac{\sqrt{U_3^2}}{U_1} = \frac{U_3}{U_1} \\ &= \frac{70.7 \, \text{V}}{230 \, \text{V}} \\ &\approx 0.307 \end{aligned}

Exprimé en pourcentage, le THD est de 30.7 %.

Résultat : Le taux de distorsion harmonique est \(\text{THD} \approx 30.7 \, \%\).

5. Puissance Totale Dissipée

Principe :

Dans une résistance, la puissance totale dissipée par un signal non sinusoïdal est la somme des puissances qui seraient dissipées par chaque composante (fondamental et harmoniques) prise séparément. La puissance d'une composante est donnée par \(P_n = U_n^2 / R\).

Formule(s) utilisée(s) :

P_T = P_1 + P_3 + \dots = \frac{U_1^2}{R} + \frac{U_3^2}{R} + \dots = \frac{U_{\text{eff}}^2}{R}

Calcul :

On utilise la valeur efficace totale de la tension :

\begin{aligned} P_T &= \frac{U_{\text{eff}}^2}{R} \\ &= \frac{(240.6 \, \text{V})^2}{10 \, \Omega} \\ &= \frac{57888.36}{10} \\ &\approx 5789 \, \text{W} \end{aligned}

Résultat : La puissance totale dissipée dans la résistance est \(P_T \approx 5.8 \, \text{kW}\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que représente le Taux de Distorsion Harmonique (THD) ?

La puissance du signal.
La fréquence du signal.
Le niveau de déformation du signal par rapport à une sinusoïde pure.
La valeur moyenne du signal.

2. Un signal carré est riche en harmoniques de rang...

Impair (3, 5, 7, ...).
Pair (2, 4, 6, ...).
Pair et impair.
Aucun, c'est un signal pur.

Glossaire

Signal Non Sinusoïdal: Signal périodique dont la forme d'onde n'est pas une sinusoïde pure (ex: signal carré, triangulaire, ou déformé par des charges non linéaires).
Série de Fourier: Outil mathématique permettant de décomposer n'importe quel signal périodique en une somme d'un signal sinusoïdal fondamental et de signaux sinusoïdaux harmoniques.
Harmonique: Composante sinusoïdale d'un signal dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale. L'harmonique de rang 'n' a une fréquence \(f_n = n \times f_1\).
Taux de Distorsion Harmonique (THD): Ratio, généralement en pourcentage, qui quantifie la part des harmoniques par rapport au fondamental. Il mesure la "qualité" ou la "pureté" d'un signal.