Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Dimensionnement de Câble et Chute de Tension

Calcul de la Chute de Tension en Courant Alternatif

Dimensionnement de Câble et Chute de Tension en Alternatif

Comprendre la Chute de Tension

Dans toute installation électrique, le transport de l'énergie du tableau de distribution jusqu'aux récepteurs (moteurs, éclairage, etc.) se fait par des câbles. Ces câbles, bien que conducteurs, possèdent une impédance (résistance et réactance) qui provoque une perte d'énergie sous forme de chaleur et une diminution de la tension. C'est ce qu'on appelle la chute de tension. Une chute de tension excessive peut entraîner un mauvais fonctionnement des appareils, une réduction de leur durée de vie et un échauffement anormal des câbles. Les normes (comme la NF C 15-100 en France) imposent des limites maximales pour garantir la sécurité et la performance des installations. Cet exercice a pour but de choisir une section de câble adéquate pour alimenter un moteur en respectant cette contrainte.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un arbitrage technique et économique crucial. Un câble de plus grosse section coûte plus cher à l'achat, mais réduit les pertes d'énergie (effet Joule) et la chute de tension, assurant un meilleur rendement et une plus grande sécurité sur le long terme. Le calcul de la chute de tension est donc une étape fondamentale du dimensionnement d'une installation électrique.

Données de l'étude

On souhaite alimenter un moteur monophasé depuis un tableau de distribution général. Il faut déterminer la section du câble en cuivre pour que la chute de tension reste dans les limites acceptables.

Caractéristiques de l'installation :

  • Tension d'alimentation (simple) \(U\) : \(230 \, \text{V}\)
  • Puissance active du moteur \(P\) : \(15 \, \text{kW}\)
  • Facteur de puissance du moteur \(\cos(\varphi)\) : \(0.85\) (inductif)
  • Longueur du câble \(L\) : \(65 \, \text{m}\)
  • Chute de tension maximale admissible \(\Delta U_{\% \text{max}}\) : \(3\%\)

Caractéristiques du câble :

  • Âme du câble : Cuivre
  • Résistivité du cuivre à température de service (\(\rho_{\text{Cu}}\)) : \(0.0225 \, \Omega \cdot \text{mm}^2 / \text{m}\)
  • Réactance linéique du câble (\(X_l\)) : \(0.08 \cdot 10^{-3} \, \Omega / \text{m}\)
Schéma de l'Alimentation Électrique
TGBT 230 V Câble (L = 65m) S = ? M 1~ Moteur 15kW

Questions à traiter

  1. Calculer le courant d'emploi \(I_{\text{b}}\) absorbé par le moteur.
  2. Pour deux sections de câble normalisées, \(S_1 = 16 \, \text{mm}^2\) et \(S_2 = 25 \, \text{mm}^2\), calculer la résistance totale \(R\) et la réactance totale \(X\) de la ligne (aller-retour).
  3. Calculer la chute de tension approximative \(\Delta U\) (en volts et en pourcentage) pour chaque section de câble.
  4. Conclure sur la section de câble à choisir pour cette installation et justifier votre réponse.

Correction : Dimensionnement de Câble et Chute de Tension en Alternatif

Question 1 : Calcul du Courant d'Emploi (\(I_{\text{b}}\))

Principe :

Le courant d'emploi (\(I_{\text{b}}\)) est le courant que le moteur absorbe en fonctionnement normal. Il se calcule à partir de la puissance active (\(P\)), de la tension (\(U\)) et du facteur de puissance (\(\cos(\varphi)\)).

Remarque Pédagogique : Le calcul du courant est la première étape indispensable. C'est ce courant qui, en circulant dans l'impédance du câble, va créer la chute de tension. Sans connaître le courant, impossible de dimensionner correctement la ligne.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P = U \cdot I_{\text{b}} \cdot \cos(\varphi) \Rightarrow I_{\text{b}} = \frac{P}{U \cdot \cos(\varphi)} \]
Calcul :
\[ I_{\text{b}} = \frac{15000 \, \text{W}}{230 \, \text{V} \cdot 0.85} \approx 76.81 \, \text{A} \]
Résultat Question 1 : Le courant d'emploi est \(I_{\text{b}} \approx 76.81 \, \text{A}\).

Question 2 : Résistance (\(R\)) et Réactance (\(X\)) de la Ligne

Principe :

La résistance totale de la ligne dépend de la résistivité du matériau (\(\rho\)), de la longueur totale du circuit (aller-retour, soit \(2L\)) et de la section du câble (\(S\)). La réactance totale dépend de la réactance linéique (\(X_l\)) et de la longueur totale du circuit (\(2L\)).

Remarque Pédagogique : Il est crucial de calculer la résistance pour la longueur aller-retour (2L) car le courant parcourt le conducteur de phase jusqu'au moteur, puis revient par le conducteur de neutre. Chaque conducteur contribue à la résistance totale. La réactance, bien que faible, est également calculée sur cette double longueur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R = \rho \frac{2L}{S} \quad ; \quad X = X_l \cdot 2L \]
Calcul :

Pour la section \(S_1 = 16 \, \text{mm}^2\) :

\[ R_1 = 0.0225 \frac{2 \times 65}{16} \approx 0.1828 \, \Omega \]

Pour la section \(S_2 = 25 \, \text{mm}^2\) :

\[ R_2 = 0.0225 \frac{2 \times 65}{25} \approx 0.117 \, \Omega \]

La réactance est la même pour les deux sections (supposée indépendante de S) :

\[ X = 0.08 \cdot 10^{-3} \cdot (2 \times 65) = 0.0104 \, \Omega \]
Résultat : Pour S=16 \(\text{mm}^2\), R \(\approx\) 0.183 \(\Omega\). Pour S=25 \(\text{mm}^2\), R \(\approx\) 0.117 \(\Omega\). Pour les deux, X = 0.0104 \(\Omega\).

Question 3 : Calcul de la Chute de Tension (\(\Delta U\))

Principe :

La formule approchée de la chute de tension en monophasé tient compte des chutes dues à la résistance (partie active) et à la réactance (partie réactive). Il faut d'abord calculer \(\sin(\varphi)\) à partir de \(\cos(\varphi)\).

Remarque Pédagogique : On voit ici l'importance du facteur de puissance. Un mauvais \(\cos(\varphi)\) (très inférieur à 1) augmente la valeur de \(\sin(\varphi)\), ce qui rend la chute de tension due à la réactance plus significative, même si la réactance du câble est faible.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \sin(\varphi) = \sqrt{1 - \cos^2(\varphi)} \]
\[ \Delta U \approx R \cdot I_{\text{b}} \cdot \cos(\varphi) + X \cdot I_{\text{b}} \cdot \sin(\varphi) \]
Calcul :

D'abord, calculons \(\sin(\varphi)\) :

\[ \cos(\varphi) = 0.85 \Rightarrow \sin(\varphi) = \sqrt{1 - 0.85^2} \approx 0.5268 \]

Chute de tension pour \(S_1 = 16 \, \text{mm}^2\) :

\[ \begin{aligned} \Delta U_1 &\approx (0.1828 \cdot 76.81 \cdot 0.85) + (0.0104 \cdot 76.81 \cdot 0.5268) \\ &\approx 11.94 + 0.42 \\ &\approx 12.36 \, \text{V} \end{aligned} \]
\[ \Delta U_{1\%} = \frac{12.36 \, \text{V}}{230 \, \text{V}} \times 100 \approx 5.37 \% \]

Chute de tension pour \(S_2 = 25 \, \text{mm}^2\) :

\[ \begin{aligned} \Delta U_2 &\approx (0.117 \cdot 76.81 \cdot 0.85) + (0.0104 \cdot 76.81 \cdot 0.5268) \\ &\approx 7.64 + 0.42 \\ &\approx 8.06 \, \text{V} \end{aligned} \]
\[ \Delta U_{2\%} = \frac{8.06 \, \text{V}}{230 \, \text{V}} \times 100 \approx 3.50 \% \]
Résultat : Pour S=16 \(\text{mm}^2\), \(\Delta U \approx 12.36 \, \text{V}\) (5.37%). Pour S=25 \(\text{mm}^2\), \(\Delta U \approx 8.06 \, \text{V}\) (3.50%).

Question 4 : Conclusion et Choix du Câble

Tableau Récapitulatif
Caractéristique Câble 16 mm² Câble 25 mm² Exigence Normative
Chute de Tension (V) \(12.36 \, \text{V}\) \(8.06 \, \text{V}\) -
Chute de Tension (%) 5.37 % 3.50 % \(\le 3\%\)
Conformité Non Conforme Non Conforme -
Analyse et Conclusion :

L'analyse montre que ni la section de 16 \(\text{mm}^2\) (\(\Delta U = 5.37\%\)), ni la section de 25 \(\text{mm}^2\) (\(\Delta U = 3.50\%\)) ne permettent de respecter la contrainte d'une chute de tension maximale de 3%.

Remarque Pédagogique : Le résultat montre que même la section de 25 mm² est insuffisante, bien que proche de la limite. En pratique, on ne peut pas choisir une section "intermédiaire". On doit toujours sélectionner la section normalisée immédiatement supérieure qui satisfait à la condition. Ignorer cette règle mène à un échauffement excessif du câble et à une tension trop faible pour le moteur, réduisant ses performances et sa durée de vie.

Il est donc nécessaire de passer à la section normalisée supérieure. Calculons pour une section de 35 \(\text{mm}^2\).

\[ R_3 = 0.0225 \frac{2 \times 65}{35} \approx 0.0836 \, \Omega \]
\[ \begin{aligned} \Delta U_3 &\approx (0.0836 \cdot 76.81 \cdot 0.85) + (0.0104 \cdot 76.81 \cdot 0.5268) \\ &\approx 5.46 + 0.42 \\ &\approx 5.88 \, \text{V} \end{aligned} \]
\[ \Delta U_{3\%} = \frac{5.88 \, \text{V}}{230 \, \text{V}} \times 100 \approx 2.56 \% \]
Conclusion : Les sections 16 \(\text{mm}^2\) et 25 \(\text{mm}^2\) ne sont pas conformes. Il faut choisir une section de 35 \(\text{mm}^2\) pour que la chute de tension (2.56%) soit inférieure à la limite de 3%.

Simulation Interactive de la Chute de Tension

Utilisez les contrôles ci-dessous pour voir comment la longueur du câble, la puissance du moteur et la section du câble influencent la chute de tension et les pertes énergétiques annuelles.

Paramètres de Simulation
Résultats en Temps Réel
Courant d'emploi (\(I_{\text{b}}\))
Chute de Tension (\(\Delta U\))
Pertes par effet Joule
Coût Annuel des Pertes :

Hypothèses : \(\cos(\varphi)\)=0.85, 2000h/an, 0.20 €/kWh.

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Et si le facteur de puissance était de 0.7 (très mauvais) ?

Le courant appelé serait plus élevé pour la même puissance active (\(I_{\text{b}} \approx 93 \, \text{A}\)). De plus, la composante réactive de la chute de tension (\(X \cdot I_{\text{b}} \cdot \sin(\varphi)\)) augmenterait considérablement. La chute de tension totale serait bien plus importante, nécessitant une section de câble encore plus grande.

Et si le câble était en Aluminium ?

L'aluminium a une résistivité plus élevée que le cuivre (environ \(0.036 \, \Omega \cdot \text{mm}^2 / \text{m}\)). À section égale, la résistance du câble serait environ 60% plus grande. La chute de tension serait donc beaucoup plus forte, obligeant à surdimensionner fortement la section du câble par rapport au cuivre.

Au-delà de la chute de tension, quelle est l'autre critère essentiel pour choisir un câble ?

L'autre critère fondamental est l'échauffement, lié au courant maximal admissible (ou courant d'admissibilité, noté \(I_z\)). Le câble doit pouvoir évacuer la chaleur qu'il produit par effet Joule sans que sa température ne dépasse la limite de son isolant (ex: 70°C ou 90°C). Il faut donc toujours vérifier que \(I_{\text{b}} \le I_z\), où \(I_z\) dépend de la section, du type de câble et du mode de pose.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi la chute de tension est-elle différente en AC et en DC ?

En courant continu (DC), la seule opposition au passage du courant est la résistance (\(R\)). En courant alternatif (AC), il y a aussi la réactance (\(X\)), due aux effets magnétiques. L'opposition totale, appelée impédance (\(Z\)), est la somme vectorielle de R et X. La chute de tension en AC dépend donc à la fois de la résistance et de la réactance.

Qu'est-ce que le facteur de puissance (\(\cos(\varphi)\)) ?

Il représente le déphasage entre la tension et le courant dans un circuit AC. Un \(\cos(\varphi)\) de 1 (circuit purement résistif) signifie que tension et courant sont en phase. Un \(\cos(\varphi)\) inférieur à 1 (typique des moteurs) signifie que le courant est "en retard" (charge inductive) ou "en avance" (charge capacitive) sur la tension, et qu'une partie de la puissance est "réactive" (non utile mais transportée sur la ligne).

La formule de chute de tension est-elle toujours exacte ?

La formule utilisée ici est une approximation, très fiable dans la plupart des cas (\(\Delta U \ll U\)). La formule exacte calcule la différence de magnitude entre la tension source et la tension charge vectoriellement : \(U_{\text{charge}} = \vec{U}_{\text{source}} - \vec{Z}_{\text{ligne}} \cdot \vec{I}_{\text{b}}\). L'approximation évite de manipuler les nombres complexes et donne un résultat très proche de la réalité pour les faibles chutes de tension.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Si la longueur d'un câble double, la chute de tension :

2. Pour réduire la chute de tension, la solution la plus efficace est :

3. Dans un circuit AC alimentant un moteur, la chute de tension est causée par :

Glossaire

Chute de Tension (\(\Delta U\))
Différence de potentiel électrique entre le début et la fin d'une ligne électrique. Elle est causée par l'impédance du câble et le courant qui le traverse.
Facteur de Puissance (\(\cos(\varphi)\))
Rapport entre la puissance active (qui produit un travail) et la puissance apparente (total de la puissance transportée). Il quantifie le déphasage entre la tension et le courant.
Impédance (\(Z\))
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est la somme vectorielle de la résistance (\(R\)) et de la réactance (\(X\)). \(Z = \sqrt{R^2 + X^2}\).
Réactance (\(X\))
Partie "imaginaire" de l'impédance, due aux effets de champ magnétique (inductance) et de champ électrique (capacité) dans un circuit AC. Elle ne dissipe pas d'énergie mais provoque une chute de tension.
Résistivité (\(\rho\))
Propriété intrinsèque d'un matériau à s'opposer au passage du courant électrique. Une faible résistivité caractérise un bon conducteur (ex: cuivre, aluminium).
Calcul de Chute de Tension - Exercice d'Application

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