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Analyse des Paramètres d’Ondes Alternatives

Analyse des Paramètres d’Ondes Alternatives

Analyse des Paramètres d’Ondes Alternatives

Déterminer les caractéristiques principales d'une tension alternative sinusoïdale à partir de son expression temporelle.

Les signaux alternatifs sinusoïdaux, tels que la tension ou le courant dans de nombreux circuits électriques, sont décrits par plusieurs paramètres clés. Comprendre et savoir calculer ces paramètres est essentiel pour l'analyse des circuits en régime alternatif.

L'expression générale d'une tension alternative sinusoïdale \(u(t)\) en fonction du temps \(t\) est :

\[ u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi) \]

Où :

  • \(U_m\) est l'amplitude ou valeur maximale (ou valeur de crête) de la tension (en Volts, V).
  • \(\omega\) est la pulsation (ou fréquence angulaire) de la tension (en radians par seconde, rad/s).
  • \(t\) est le temps (en secondes, s).
  • \(\phi\) est la phase à l'origine (ou déphasage initial) de la tension (en radians, rad).

D'autres grandeurs importantes peuvent être déduites :

  • Période (\(T\)) : Durée d'un cycle complet. \(T = 2\pi / \omega\). Unité : seconde (s).
  • Fréquence (\(f\)) : Nombre de cycles par seconde. \(f = 1/T = \omega / (2\pi)\). Unité : Hertz (Hz).
  • Valeur efficace (\(U_{eff}\) ou \(U\)) : Valeur de la tension continue qui produirait le même effet thermique. Pour un signal sinusoïdal, \(U_{eff} = U_m / \sqrt{2}\). Unité : Volt (V).

Données du Problème

La tension aux bornes d'un dipôle est donnée par l'expression suivante :

\[ u(t) = 169.7 \sin(100\pi t + \frac{\pi}{4}) \]

où \(u(t)\) est exprimée en volts (V) et \(t\) en secondes (s).

Représentation d'une Tension Alternative Sinusoïdale t (s) u(t) (V) 0 Um -Um Ueff -Ueff Um T t₀ t₀+T
Représentation graphique d'une tension alternative sinusoïdale.

Questions

  1. Déterminer l'amplitude (valeur maximale) \(U_m\) de la tension.
  2. Déterminer la pulsation (fréquence angulaire) \(\omega\) de la tension.
  3. Calculer la fréquence \(f\) de la tension.
  4. Calculer la période \(T\) de la tension.
  5. Calculer la valeur efficace \(U_{eff}\) de la tension.
  6. Déterminer la phase à l'origine \(\phi\) de la tension (en radians et en degrés).
  7. Calculer la valeur instantanée de la tension \(u(t)\) à l'instant \(t = 5.0 \text{ ms}\).

Correction : Analyse des Paramètres d’Ondes Alternatives

1. Amplitude (Valeur Maximale) \(U_m\)

L'amplitude \(U_m\) est le coefficient devant la fonction sinus dans l'expression \(u(t) = U_m \sin(\omega t + \phi)\).

Expression donnée : \(u(t) = 169.7 \sin(100\pi t + \frac{\pi}{4})\)

L'amplitude de la tension est \(U_m = 169.7 \text{ V}\).

2. Pulsation (Fréquence Angulaire) \(\omega\)

La pulsation \(\omega\) est le coefficient du temps \(t\) à l'intérieur de la fonction sinus.

Expression donnée : \(u(t) = 169.7 \sin(100\pi t + \frac{\pi}{4})\)

La pulsation de la tension est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\).

3. Fréquence \(f\)

La fréquence \(f\) est liée à la pulsation par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Données :
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)

\[ \begin{aligned} f &= \frac{\omega}{2\pi} \\ &= \frac{100\pi \text{ rad/s}}{2\pi} \\ &= 50 \text{ Hz} \end{aligned} \]

La fréquence de la tension est \(f = 50 \text{ Hz}\).

Quiz Intermédiaire : Fréquence et Période

Question : Si la fréquence d'un signal est de 100 Hz, quelle est sa période ?

4. Période \(T\)

La période \(T\) est l'inverse de la fréquence \(f\), ou \(T = 2\pi / \omega\).

Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\) (ou \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\))

\[ \begin{aligned} T &= \frac{1}{f} \\ &= \frac{1}{50 \text{ Hz}} \\ &= 0.02 \text{ s} \\ &= 20 \text{ ms} \end{aligned} \]

Alternativement :

\[ \begin{aligned} T &= \frac{2\pi}{\omega} \\ &= \frac{2\pi}{100\pi \text{ rad/s}} \\ &= \frac{2}{100} \text{ s} \\ &= 0.02 \text{ s} \end{aligned} \]

La période de la tension est \(T = 0.02 \text{ s}\) (ou \(20 \text{ ms}\)).

5. Valeur Efficace \(U_{eff}\)

Pour un signal sinusoïdal, \(U_{eff} = U_m / \sqrt{2}\).

Données :
\(U_m = 169.7 \text{ V}\)

\[ \begin{aligned} U_{eff} &= \frac{U_m}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{169.7 \text{ V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx \frac{169.7}{1.41421356} \\ &\approx 119.99 \text{ V} \approx 120 \text{ V} \end{aligned} \]

La valeur efficace de la tension est \(U_{eff} \approx 120 \text{ V}\).

6. Phase à l'Origine \(\phi\)

La phase à l'origine \(\phi\) est le terme constant ajouté à \(\omega t\) dans l'argument du sinus.

Expression donnée : \(u(t) = 169.7 \sin(100\pi t + \frac{\pi}{4})\)

En radians :

\[ \phi = \frac{\pi}{4} \text{ rad} \]

Conversion en degrés : \(\text{angle en degrés} = \text{angle en radians} \times \frac{180^\circ}{\pi}\)

\[ \begin{aligned} \phi (\text{degrés}) &= \frac{\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} \\ &= \frac{180^\circ}{4} \\ &= 45^\circ \end{aligned} \]

La phase à l'origine est \(\phi = \frac{\pi}{4} \text{ rad}\).

Soit \(\phi = 45^\circ\).

Quiz Intermédiaire : Valeur Efficace

Question : La tension du secteur en Europe est de 230V. Cette valeur correspond à :

7. Valeur Instantanée de la Tension à \(t = 5.0 \text{ ms}\)

On remplace \(t\) par \(5.0 \text{ ms} = 5.0 \times 10^{-3} \text{ s}\) dans l'expression de \(u(t)\).

Expression : \(u(t) = 169.7 \sin(100\pi t + \frac{\pi}{4})\)

\[ \begin{aligned} u(5.0 \times 10^{-3}) &= 169.7 \sin\left(100\pi \times (5.0 \times 10^{-3}) + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= 169.7 \sin\left(0.5\pi + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= 169.7 \sin\left(\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= 169.7 \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) \end{aligned} \]

On sait que \(\sin(\frac{3\pi}{4}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071\).

\[ \begin{aligned} u(5.0 \text{ ms}) &\approx 169.7 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \\ &\approx 169.7 \times 0.70710678 \\ &\approx 119.99 \text{ V} \approx 120 \text{ V} \end{aligned} \]

La valeur instantanée de la tension à \(t = 5.0 \text{ ms}\) est \(u(5.0 \text{ ms}) \approx 120 \text{ V}\).

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : Laquelle de ces grandeurs n'a pas le Hertz (Hz) comme unité ?

  • Période

Question 2 : Pour une tension sinusoïdale \(u(t) = 100 \sin(200\pi t)\), la valeur efficace est approximativement :

Question 3 : Si la pulsation \(\omega = 50\pi\) rad/s, la fréquence \(f\) est :

  • 100 Hz

Question 4 : Une phase à l'origine de \(\pi/2\) radians signifie que le signal commence à :

Glossaire des Termes Clés

Amplitude (\(U_m\)) :

Valeur maximale (ou de crête) d'un signal sinusoïdal par rapport à sa valeur moyenne (souvent zéro).

Pulsation (\(\omega\)) :

Vitesse angulaire du signal, liée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).

Fréquence (\(f\)) :

Nombre de cycles complets du signal par seconde. Unité : Hertz (Hz).

Période (\(T\)) :

Durée d'un cycle complet du signal. \(T = 1/f\). Unité : seconde (s).

Valeur Efficace (\(U_{eff}\)) :

Pour une tension (ou un courant) alternatif, c'est la valeur de la tension (ou du courant) continue qui produirait la même dissipation de puissance dans une résistance. Pour un signal sinusoïdal, \(U_{eff} = U_m / \sqrt{2}\).

Phase à l'origine (\(\phi\)) :

Décalage angulaire du signal à l'instant initial \(t=0\). Elle détermine la valeur du signal au début de l'observation. Unité : radian (rad) ou degré (°).

Valeur Instantanée (\(u(t)\)) :

Valeur de la grandeur (tension, courant) à un instant \(t\) précis.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Pourquoi la valeur efficace est-elle plus couramment utilisée que la valeur maximale pour caractériser les tensions et courants alternatifs dans les applications domestiques et industrielles ?

2. Comment représenterait-on graphiquement deux signaux sinusoïdaux de même fréquence mais déphasés l'un par rapport à l'autre ? Quel serait l'impact de ce déphasage sur la somme de ces deux signaux ?

3. Si un signal n'est pas purement sinusoïdal (par exemple, un signal carré ou triangulaire), la relation \(U_{eff} = U_m / \sqrt{2}\) est-elle toujours valable ? Comment pourrait-on calculer la valeur efficace dans ce cas ?

4. Quelle est l'importance de la phase à l'origine lors de l'analyse de circuits contenant plusieurs sources ou des éléments réactifs (bobines, condensateurs) ?

5. Comment un oscilloscope permet-il de mesurer expérimentalement l'amplitude, la période et le déphasage entre deux signaux alternatifs ?

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