Analyse d’un Circuit Triphasé Équilibré en Configuration Étoile (Y)
Contexte : Le Réseau TriphaséSystème de trois tensions alternatives, de même fréquence et amplitude, mais déphasées de 120° (2π/3 radians) les unes par rapport aux autres..
L'alimentation triphasée est la méthode la plus courante pour transporter et distribuer l'énergie électrique à grande échelle, ainsi que pour alimenter des machines industrielles (moteurs, fours...). Un récepteur (comme un moteur) peut être connecté à ce réseau de deux façons principales : en étoile (Y) ou en triangle (Δ). Cet exercice se concentre sur le montage étoileConfiguration où les trois phases du récepteur sont connectées à un point commun, appelé le point neutre., qui est très fréquent et permet d'avoir accès à deux niveaux de tension.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème de circuit triphasé équilibré en étoile. Nous calculerons les grandeurs fondamentales (tensions, courants, puissances) en utilisant la loi d'Ohm en notation complexe et les relations clés du montage étoile.
Objectifs Pédagogiques
- Différencier et calculer les tensions simplesTension entre une phase et le neutre (V). et composéesTension entre deux phases (U)..
- Appliquer la loi d'Ohm en régime sinusoïdal (avec les impédancesOpposition d'un circuit au passage d'un courant alternatif (Z = R + jX).).
- Calculer les courants de ligne et les courants de phase pour un montage étoile.
- Calculer les puissances (active, réactive, apparente) et le facteur de puissanceRapport entre la puissance active et la puissance apparente (cos φ). d'un récepteur triphasé.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de réseau | Triphasé équilibré |
| Tension composée (entre phases) | \(U = 400 \text{ V}\) |
| Fréquence | \(f = 50 \text{ Hz}\) |
| Couplage du récepteur | Étoile (Y) avec neutre |
Schéma du Montage Étoile (Y)
Impédance du Récepteur (par phase)
| Paramètre | Description ou Formule | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Impédance (par phase) | \(Z = R + jX_L\) | \(20 + j15\) | \(\Omega\) |
| Résistance (par phase) | \(R\) | \(20\) | \(\Omega\) |
| Réactance (par phase) | \(X_L = L\omega\) | \(15\) | \(\Omega\) |
Questions à traiter
- Calculer la valeur efficace de la tension simple \(V\) (tension aux bornes d'une seule impédance).
- Calculer le module \(|Z|\) et l'argument \(\varphi\) de l'impédance complexe \(Z\).
- Calculer la valeur efficace du courant de phase \(I_p\). Que peut-on dire du courant de ligne \(I_L\) ?
- Calculer la puissance active totale \(P_T\) consommée par le récepteur.
- Calculer la puissance réactive totale \(Q_T\) consommée par le récepteur.
- En déduire la puissance apparente totale \(S_T\) et le facteur de puissance \(FP\) global du montage.
Les bases du Triphasé Étoile
Pour résoudre cet exercice, voici les concepts clés à maîtriser concernant les systèmes triphasés équilibrés en montage étoile.
1. Tensions Simples (V) et Composées (U)
Un réseau triphasé possède deux niveaux de tension :
- La tension simple (V) est la tension entre une phase et le neutre (ex: V₁ = V(L1, N)).
- La tension composée (U) est la tension entre deux phases (ex: U₁₂ = V(L1, L2)).
2. Montage Étoile (Y)
Dans un montage étoile, chaque impédance du récepteur est soumise à la tension simple V.
Le courant qui traverse chaque impédance est le courant de phase \(I_p\).
Le courant qui circule dans la ligne d'alimentation est le courant de ligne \(I_L\).
Point clé : En montage étoile, le courant de ligne est égal au courant de phase.
\[ I_L = I_p \]
La loi d'Ohm s'applique par phase : \(V = |Z| \cdot I_p\).
3. Calcul des Puissances
Les puissances se calculent d'abord par phase, puis on multiplie par 3 pour obtenir les puissances totales (car le système est équilibré).
- Puissance Active (P) : \(P_{\text{phase}} = V \cdot I_p \cdot \cos(\varphi) = R \cdot I_p^2\). Unité : Watt (W).
- Puissance Réactive (Q) : \(Q_{\text{phase}} = V \cdot I_p \cdot \sin(\varphi) = X \cdot I_p^2\). Unité : Voltampère Réactif (VAR).
- Puissance Apparente (S) : \(S_{\text{phase}} = V \cdot I_p = |Z| \cdot I_p^2\). Unité : Voltampère (VA).
Correction : Analyse d’un Circuit Triphasé Équilibré en Configuration Étoile (Y)
Question 1 : Calculer la valeur efficace de la tension simple \(V\)
Principe
Dans un réseau triphasé équilibré, il existe une relation mathématique fixe entre la tension composée (entre phases, \(U\)) et la tension simple (entre phase et neutre, \(V\)). Le récepteur étant branché en étoile, chaque impédance est alimentée par une tension simple.
Mini-Cours
La tension composée \(U\) est la tension mesurée entre deux conducteurs de phase (L1-L2, L2-L3, L3-L1). La tension simple \(V\) est celle mesurée entre une phase et le neutre (L1-N, L2-N, L3-N). La relation qui les lie est \(U = V \cdot \sqrt{3}\). L'énoncé donne la tension du réseau "400V", ce qui correspond par convention à la tension composée \(U\).
Remarque Pédagogique
C'est l'étape la plus importante. Une erreur sur la tension \(V\) rendra tous les calculs suivants (courants, puissances) incorrects. Il faut toujours se demander : "Quelle tension est appliquée à mon composant ?". En étoile, c'est la tension simple \(V\).
Normes
La convention de nommage (ex: "Réseau 400V") désigne presque toujours la tension composée (entre phases) \(U\). La tension simple \(V\) (entre phase et neutre) s'en déduit. Cette convention est standardisée (ex: CENELEC).
Formule(s)
Relation Tensions Étoile
Hypothèses
Nous posons les hypothèses de base pour ce calcul.
- Le réseau triphasé est supposé parfaitement équilibré (les 3 tensions ont la même amplitude et sont déphasées de 120°).
- La tension \(U = 400 \text{ V}\) est une valeur efficace.
Donnée(s)
Nous extrayons la seule donnée nécessaire de l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension composée | U | 400 | V |
Astuces
Retenez simplement "400 / \(\sqrt{3}\) \(\approx\) 230". 400V est la tension entre les "gros" fils de phase, 230V est la tension que vous avez sur une prise domestique classique (entre un fil de phase et le neutre).
Schéma (Avant les calculs)
Ce diagramme phasoriel (simplifié) montre la relation géométrique entre une tension simple (ex: \(V_1\)) et une tension composée (ex: \(U_{12} = V_1 - V_2\)). L'amplitude de \(U_{12}\) est \(\sqrt{3}\) fois plus grande que celle de \(V_1\).
Diagramme Phasoriel des Tensions (U et V)
Calcul(s)
Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Le schéma de l'énoncé est le plus pertinent. Il montre bien que chaque impédance (Z₁, Z₂, Z₃) est branchée entre une ligne (L1, L2, L3) et le point neutre (N'), elle est donc soumise à la tension simple V que l'on vient de calculer.
Rappel Schéma Énoncé
Réflexions
Le résultat de \(\approx 231 \text{ V}\) est la tension standard que l'on trouve sur les prises domestiques en France (entre phase et neutre). Le réseau 400V (entre phases) fournit bien du 230V (entre phase et neutre). Le résultat est cohérent.
Points de vigilance
Le piège classique est d'utiliser \(U = 400 \text{ V}\) directement pour calculer le courant dans l'impédance. C'est faux. Le composant (l'impédance) est branché entre phase et neutre, il ne "voit" donc que la tension simple \(V\).
Points à retenir
- En étoile, l'impédance est soumise à la tension simple V.
- La formule clé est \(V = U / \sqrt{3}\).
Le saviez-vous ?
Historiquement, la France utilisait un réseau 230V *composé* (donnant 133V simple), avant de migrer progressivement vers le standard européen actuel 400V/230V pour augmenter la puissance transportable avec moins de pertes.
FAQ
Posez-vous les bonnes questions.
Résultat Final
A vous de jouer
Si le réseau était un ancien réseau 230V (tension composée), quelle serait la tension simple \(V\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse Q1 :
- Concept Clé : Relation Tensions Simples/Composées.
- Formule : \(V = U / \sqrt{3}\).
- Piège : Ne pas utiliser \(U\) (400V) pour l'impédance en étoile. Utiliser \(V\) (\(\approx 231\text{V}\)).
Question 2 : Calculer le module \(|Z|\) et l'argument \(\varphi\) de l'impédance \(Z\)
Principe
L'impédance \(Z = R + jX_L\) est un nombre complexe. Comme tout nombre complexe, elle peut être représentée par ses coordonnées cartésiennes (partie réelle \(R\) et imaginaire \(X_L\)) ou par ses coordonnées polaires (module \(|Z|\) et argument \(\varphi\)). Le module représente l'opposition totale au courant (en \(\Omega\)) et l'argument représente le déphasage entre la tension et le courant.
Mini-Cours
Le passage de la forme cartésienne (ou "rectangulaire") \(Z = a + jb\) à la forme polaire \(Z = |Z| \angle \varphi\) est un outil mathématique fondamental. \(|Z|\) est l'hypoténuse du triangle rectangle formé par R (côté adjacent) et X (côté opposé). \(\varphi\) est l'angle de ce triangle.
Remarque Pédagogique
Cette étape est cruciale. Le module \(|Z|\) est ce que l'on utilise dans la loi d'Ohm pour les calculs d'amplitude (\(V = |Z| \cdot I_p\)). L'argument \(\varphi\) est indispensable pour les calculs de puissance et pour déterminer le facteur de puissance (\(FP = \cos(\varphi)\)).
Normes
En électrotechnique, une réactance inductive (bobine, \(X_L\)) est représentée par un nombre imaginaire positif (\(+jX_L\)). Une réactance capacitive (condensateur, \(X_C\)) est représentée par un nombre imaginaire négatif (\(-jX_C\)).
Formule(s)
Module (Théorème de Pythagore)
Argument (Trigonométrie)
Hypothèses
Nous supposons que les composants R et L sont "parfaits" et en série.
- La résistance R est purement résistive.
- La réactance \(X_L\) est purement inductive.
Donnée(s)
On utilise les composantes de l'impédance de l'énoncé : \(Z = 20 + j15 \ \Omega\).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | R | 20 | \(\Omega\) |
| Réactance inductive | \(X_L\) | 15 | \(\Omega\) |
Astuces
Reconnaissez les triangles rectangles "simples" (triplets pythagoriciens). Ici, (15, 20) est un multiple du célèbre triangle (3, 4, 5). En effet : \(15 = 3 \times 5\) et \(20 = 4 \times 5\). L'hypoténuse \(|Z|\) sera donc \(5 \times 5 = 25\). Cela permet de vérifier le calcul mentalement.
Schéma (Avant les calculs)
On peut représenter l'impédance dans le plan complexe. C'est le "Triangle des Impédances".
Triangle des Impédances
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du module
Étape 2 : Calcul de l'argument
Schéma (Après les calculs)
Le schéma ci-dessus est le schéma résultat, montrant toutes les valeurs calculées pour l'impédance.
Triangle des Impédances (Résultat)
Réflexions
L'impédance totale ("opposition au courant") est de 25 \(\Omega\). Le déphasage est positif (\(+36,87^\circ\)), ce qui est cohérent avec une charge inductive (bobine, \(X_L > 0\)). Cela signifie que le courant sera en retard de 36,87° sur la tension.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "Degrés" (DEG) si vous voulez le résultat en degrés, ou "Radians" (RAD) si vous travaillez en radians. Ne mélangez pas les deux ! Ici, les degrés sont plus intuitifs.
Points à retenir
- \(|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}\) (Pythagore).
- \(\varphi = \arctan(X/R)\) (Trigonométrie).
- \(X_L > 0 \implies \varphi > 0\) (charge inductive, courant en retard).
Le saviez-vous ?
En électricité, on utilise la lettre \(j\) (plutôt que \(i\)) pour l'unité imaginaire, car la lettre \(i\) (minuscule) est universellement réservée pour l'intensité du courant instantanée.
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Si Z = 8 + j6 \(\Omega\), que vaut \(|Z|\) ? (Pensez au triangle 3-4-5 ! C'est \(2 \times 3\) et \(2 \times 4\)...)
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Forme cartésienne \(\rightarrow\) polaire.
- Formules : \(|Z| = \sqrt{R^2 + X_L^2}\) et \(\varphi = \arctan(X_L/R)\).
- Résultat : \(|Z| = 25 \ \Omega\), \(\varphi \approx 36,87^\circ\).
Question 3 : Calculer le courant de phase \(I_p\) et le courant de ligne \(I_L\)
Principe
La loi d'Ohm en régime alternatif (sinusoïdal) s'applique à chaque phase du récepteur. Chaque impédance (de module \(|Z|\)) est soumise à la tension simple \(V\), ce qui crée un courant de phase \(I_p\). Dans un montage étoile, la topologie du circuit impose une relation directe entre ce courant de phase et le courant circulant dans la ligne d'alimentation (\(I_L\)).
Mini-Cours
En montage Étoile (Y), le conducteur de ligne (ex: L1) est directement connecté à l'impédance (Z₁). Il n'y a pas de "nœud" ou de dérivation entre les deux. Par conséquent, le courant qui circule dans la ligne est exactement le même que celui qui circule dans le composant de phase. C'est la règle fondamentale de l'étoile.
Mini-Cours (Loi d'Ohm)
Loi d'Ohm en régime alternatif (sinusoïdal) :
Tout comme \(U = R \cdot I\) en continu, en alternatif, on utilise l'impédance \(|Z|\). La relation entre les valeurs efficaces de la tension (V) et du courant (I) est :
\[ V = |Z| \cdot I \quad \text{ou} \quad I = \frac{V}{|Z|} \]
L'impédance \(|Z|\) (en \(\Omega\)) est l'opposition totale au passage du courant (résistance + réactance).
Remarque Pédagogique
C'est la caractéristique majeure du montage étoile. Elle est "l'inverse" du montage triangle, où les tensions sont égales (\(U_p = U_L\)) mais les courants sont différents (\(I_L = I_p \cdot \sqrt{3}\)). Retenez : Étoile \(\implies\) Courants égaux, Tensions \(\div \sqrt{3}\).
Normes
\(I_L\) (Line current) et \(I_p\) (Phase current) sont des notations internationales.
Formule(s)
Loi d'Ohm (par phase, en module)
Relation des courants en Étoile
Hypothèses
Nous supposons le récepteur équilibré, donc le courant calculé \(I_p\) sera le même dans les 3 phases (\(I_{p1} = I_{p2} = I_{p3}\)).
- Le récepteur est équilibré.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension simple | V | 230,94 | V |
| Module de l'impédance | \(|Z|\) | 25 | \(\Omega\) |
Astuces
Visualisez le schéma : le fil de ligne "L1" arrive à "Z₁" qui est relié au neutre. Le courant n'a nulle part où aller ailleurs. Donc, le courant dans le fil L1 (*Line*) est le courant dans Z₁ (*Phase*).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma de l'énoncé montre bien \(I_1\) (courant de ligne) circulant depuis L1 vers \(Z_1\) (où circule \(I_p\)). C'est le même chemin.
Focus sur la Phase 1
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du courant de phase \(I_p\)
Étape 2 : Déduction du courant de ligne \(I_L\)
Schéma (Après les calculs)
On peut représenter le courant \(I_1\) sur le diagramme phasoriel. Il sera en retard de \(\varphi = 36,87^\circ\) sur la tension \(V_1\).
Phasoriel Tension/Courant Phase 1
Réflexions
Le courant de ligne \(I_L\) est le courant qui circule dans les câbles d'alimentation (L1, L2, L3). Le courant de phase \(I_p\) est celui qui circule dans le composant (l'impédance). En étoile, le câble de ligne alimente directement le composant, il est donc logique que le courant soit le même. Ce n'est pas le cas en montage triangle.
Points de vigilance
Ne pas confondre avec le montage triangle où les courants sont différents (\(I_L = I_p \cdot \sqrt{3}\)). Toujours bien identifier le type de couplage avant d'écrire les relations de courant ou tension.
Points à retenir
- Loi d'Ohm par phase : \(I_p = V / |Z|\).
- En ÉTOILE : \(I_L = I_p\).
Le saviez-vous ?
Dans un système équilibré, la somme vectorielle des 3 courants (\(\vec{I_1} + \vec{I_2} + \vec{I_3}\)) est nulle. C'est pour cela que le courant dans le neutre \(I_N\) est nul (en théorie) et que ce fil peut parfois être plus fin, voire supprimé (sauf en cas de déséquilibre).
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'impédance était de \(|Z| = 10 \ \Omega\), que vaudrait le courant de ligne \(I_L\) (avec \(V \approx 231 \text{ V}\)) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Loi d'Ohm par phase + Règle du montage étoile.
- Formules : \(I_p = V / |Z|\) et \(I_L = I_p\).
- Résultat : \(I_L = I_p \approx 9,24 \text{ A}\).
Question 4 : Calculer la puissance active totale \(P_T\)
Principe
La puissance active \(P\) représente la puissance réellement "consommée" par le circuit et transformée en travail utile (chaleur, mouvement...). Elle est uniquement dissipée dans les résistances. On peut la calculer par phase (via la résistance \(R\)) ou globalement (via le facteur de puissance).
Mini-Cours
En régime sinusoïdal, seule la résistance dissipe de la puissance active (par effet Joule : \(P = R \cdot I^2\)). La réactance (bobine) stocke de l'énergie (champ magnétique) puis la restitue au réseau à chaque alternance ; sa puissance active moyenne est nulle. La puissance active totale est simplement 3 fois la puissance d'une phase.
Remarque Pédagogique
La méthode la plus fiable et la plus directe est \(P_T = 3 \cdot R \cdot I_p^2\). Elle ne dépend pas d'un calcul d'angle (\(\cos(\varphi)\)) qui peut être une source d'erreur. Si vous avez R et I, utilisez-la prioritairement.
Normes
La puissance active \(P\) se mesure en Watts (W), en l'honneur de James Watt, qui a amélioré l'efficacité de la machine à vapeur.
Formule(s)
Méthode 1 : Par les résistances (préférée)
Méthode 2 : Par les grandeurs globales
Hypothèses
Nous supposons que R est une résistance "parfaite" qui suit la loi de Joule.
- On suppose R constant (il ne chauffe pas au point de changer de valeur).
Donnée(s) (Méthode 1)
Nous utilisons les données et résultats précédents (Méthode 1).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | R | 20 | \(\Omega\) |
| Courant de phase | \(I_p\) | 9,2376 | A |
Astuces
Toujours vérifier la cohérence. Si la charge est inductive, \(P\) doit être inférieure à \(S\) (calculée plus tard). Si \(R=0\) (bobine pure), \(P\) doit être 0. Si \(X=0\) (résistance pure), \(P\) doit être égale à \(S\).
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser P sur le triangle des puissances (voir Q6). P est la base horizontale, représentant la puissance "réelle".
Triangle des Puissances (Focus P)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la puissance active par phase (Méthode 1)
Étape 2 : Calcul de la puissance active totale (Méthode 1)
Étape 3 : Calcul (Méthode 2)
Nous utilisons les grandeurs globales (U, \(I_L\)) et le \(\cos(\varphi)\) calculé à la Q2 (\(\cos(36,87^\circ) \approx 0,8\)).
Donnée(s) (Méthode 2)
Nous utilisons les grandeurs globales du système.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension composée | U | 400 | V |
| Courant de ligne | \(I_L\) | 9,2376 | A |
| Facteur de puissance | \(\cos(\varphi)\) | 0,8 | (sans) |
Les deux méthodes donnent le même résultat.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma ci-dessus est complété par les valeurs (voir Q6 pour le schéma final).
Triangle des Puissances (Focus P)
Réflexions
Cette puissance de 5120 W est la puissance facturée par le fournisseur d'électricité (hors taxes) car c'est la seule qui est "réellement" consommée et transformée en travail/chaleur.
Points de vigilance
Ne pas oublier de multiplier par 3 ! Une erreur fréquente est de calculer \(P_{\text{phase}}\) et de s'arrêter là. L'énoncé demande la puissance *totale* du récepteur.
Points à retenir
La puissance active ne dépend QUE de la partie résistive du circuit. \(P_T = 3 \cdot R \cdot I_p^2\).
Le saviez-vous ?
C'est cette puissance active (consommée au fil du temps, en W.h ou kWh) que mesure votre compteur électrique domestique pour établir votre facture.
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Si R = 10 \(\Omega\) et I_p = 10 A, quelle est la puissance active totale \(P_T\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Puissance active (effet Joule).
- Formule : \(P_T = 3 \cdot R \cdot I_p^2\).
- Résultat : \(P_T \approx 5120 \text{ W}\).
Question 5 : Calculer la puissance réactive totale \(Q_T\)
Principe
La puissance réactive \(Q\) représente l'énergie "échangée" entre le réseau et les éléments réactifs du circuit (bobines, condensateurs). Elle ne produit pas de travail utile mais est nécessaire au fonctionnement des champs magnétiques (moteurs, transfos). Elle est uniquement "consommée" (ou "fournie") par les réactances (\(X_L\) ou \(X_C\)).
Mini-Cours
Tout comme \(P\) est associée à \(R\), la puissance réactive \(Q\) est associée à \(X\). Pour une bobine (inductive, \(X_L\)), \(Q\) est positive (on dit qu'elle "absorbe" du réactif). Pour un condensateur (capacitif, \(X_C\)), \(Q\) est négative (on dit qu'elle "fournit" du réactif). Elle se mesure en Voltampère Réactif (VAR).
Remarque Pédagogique
De même que pour P, la méthode la plus directe est \(Q_T = 3 \cdot X_L \cdot I_p^2\). Elle évite d'utiliser l'angle (\(\sin(\varphi)\)).
Normes
L'unité est le VAR (Voltampère Réactif). C'est une unité homogène au Watt, mais on la différencie pour ne pas mélanger puissance active et réactive.
Formule(s)
Méthode 1 : Par les réactances (préférée)
Méthode 2 : Par les grandeurs globales
Hypothèses
Nous supposons que \(X_L\) est une réactance inductive pure.
- La réactance est purement inductive.
Donnée(s) (Méthode 1)
Nous utilisons les données et résultats précédents (Méthode 1).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Réactance inductive | \(X_L\) | 15 | \(\Omega\) |
| Courant de phase | \(I_p\) | 9,2376 | A |
Astuces
Si vous avez P et \(\varphi\), vous pouvez trouver Q avec la trigonométrie : \(Q_T = P_T \cdot \tan(\varphi)\). Ici : \(5120 \text{ W} \cdot \tan(36,87^\circ)\). Or, \(\tan(36,87^\circ) = 0,75\) (car \(X_L/R = 15/20\)). Donc : \(Q_T = 5120 \cdot 0,75 = 3840 \text{ VAR}\). Les méthodes concordent !
Schéma (Avant les calculs)
On peut visualiser Q sur le triangle des puissances (voir Q6). Q est le côté vertical, représentant la puissance "fictive" ou "magnétisante".
Triangle des Puissances (Focus Q)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la puissance réactive par phase (Méthode 1)
Étape 2 : Calcul de la puissance réactive totale (Méthode 1)
Étape 3 : Calcul (Méthode 2)
Nous utilisons les grandeurs globales (U, \(I_L\)) et le \(\sin(\varphi)\) calculé à la Q2 (\(\varphi \approx 36,87^\circ \implies \sin(\varphi) \approx 0,6\)).
Donnée(s) (Méthode 2)
Nous utilisons les grandeurs globales du système.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension composée | U | 400 | V |
| Courant de ligne | \(I_L\) | 9,2376 | A |
| Sinus de l'angle | \(\sin(\varphi)\) | 0,6 | (sans) |
Les deux méthodes donnent le même résultat.
Schéma (Après les calculs)
Le schéma ci-dessus est complété par les valeurs (voir Q6 pour le schéma final).
Triangle des Puissances (Focus Q)
Réflexions
Le signe de \(Q_T\) est positif, ce qui confirme que le récepteur est inductif (il "consomme" du réactif). Les fournisseurs d'électricité pénalisent les industries qui consomment trop de puissance réactive car elle "encombre" les lignes (en augmentant le courant \(I_L\)) sans produire de travail facturable.
Points de vigilance
Ne pas oublier le facteur 3 (pour la puissance totale). Ne pas confondre P (en W) et Q (en VAR). Une charge capacitive (condensateur) aurait une réactance \(X_C\) et produirait une puissance \(Q_T\) négative.
Points à retenir
- La puissance réactive est associée à X.
- \(Q_T = 3 \cdot X_L \cdot I_p^2\).
- \(Q > 0\) pour une charge inductive (bobine).
Le saviez-vous ?
Pour compenser cette puissance réactive inductive (\(Q_T = +3840 \text{ VAR}\)), les industries installent en parallèle des batteries de condensateurs qui fournissent du réactif (ex: \(Q_C = -3840 \text{ VAR}\)). Le bilan vu du réseau devient \(Q_{total} = Q_T + Q_C = 0\), ce qui annule les pénalités.
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(X_L\) = 5 \(\Omega\) et I_p = 10 A, quelle est la puissance réactive totale \(Q_T\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : Puissance réactive (magnétisante).
- Formule : \(Q_T = 3 \cdot X_L \cdot I_p^2\).
- Résultat : \(Q_T = 3840 \text{ VAR}\).
Question 6 : Calculer la puissance apparente totale \(S_T\) et le facteur de puissance \(FP\)
Principe
La puissance apparente \(S\) est la "puissance totale" que le fournisseur doit être capable de délivrer. Elle combine la puissance active (utile) et la réactive (échangée) via le théorème de Pythagore (dans le "Triangle des Puissances"). Le facteur de puissance \(FP\) mesure l'efficacité du système : un \(FP\) de 1 signifie que toute la puissance apparente est active (\(S=P\)), un \(FP\) faible signifie qu'il y a beaucoup de puissance réactive (\(Q\)) "inutile" circulant dans les lignes.
Mini-Cours
P, Q et S forment un triangle rectangle, avec S comme hypoténuse. \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\). Le facteur de puissance \(FP\) est le cosinus de l'angle de ce triangle, \(\varphi\). \(FP = \cos(\varphi) = P/S\). Cet angle \(\varphi\) est *exactement* le même que celui du triangle des impédances (Q2), car \(FP = \cos(\varphi) = R/|Z|\).
Remarque Pédagogique
Calculer S et FP est la conclusion de l'étude. \(S_T\) (en VA) dimensionne l'installation (câbles, transformateur, disjoncteur), car le courant \(I_L\) dépend de \(S_T\) ( \(S_T = \sqrt{3} \cdot U \cdot I_L\) ). \(P_T\) (en W) dimensionne la facture (l'énergie consommée).
Normes
La puissance apparente S se mesure en Voltampères (VA). Le facteur de puissance (FP) est un nombre sans unité (c'est un rapport), compris entre 0 et 1.
Formule(s)
Puissance Apparente \(S_T\) (Théorème de Boucherot)
Puissance Apparente \(S_T\) (Formule globale)
Facteur de Puissance \(FP\)
Hypothèses
Les puissances P et Q sont orthogonales (déphasées de 90°), ce qui permet d'utiliser Pythagore.
- Les puissances des 3 phases s'ajoutent arithmétiquement (car équilibrées).
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats des questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Puissance active totale | \(P_T\) | 5120 | W |
| Puissance réactive totale | \(Q_T\) | 3840 | VAR |
Astuces
Vérification croisée :
1. (P,Q): \(S_T = \sqrt{5120^2 + 3840^2} = 6400 \text{ VA}\). (Triangle 4-3 -> 5. \(5120 = 4 \times 1280\), \(3840 = 3 \times 1280\). Donc \(S_T = 5 \times 1280 = 6400\)).
2. (U,I): \(S_T = \sqrt{3} \cdot 400 \cdot 9,2376 \approx 6400 \text{ VA}\).
Les deux concordent. C'est une excellente façon de vérifier tous vos calculs (V, Z, I, P, Q).
Schéma (Avant les calculs)
Le triangle des puissances montre la relation pythagoricienne entre P, Q et S.
Triangle des Puissances (Complet)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la puissance apparente \(S_T\)
Étape 2 : Calcul du facteur de puissance \(FP\)
Schéma (Après les calculs)
Le schéma ci-dessus est le résultat, montrant le triangle des puissances complet.
Triangle des Puissances (Résultat)
Réflexions
Le facteur de puissance de 0,8 est "moyen". Il indique que 80% de la puissance apparente fournie est de la puissance active utile. Les 20% restants (en réalité, \(\sin(\varphi) = 0,6\) ou 60% de \(S_T\) est \(Q_T\)) sont de la puissance réactive qui "force" le dimensionnement des câbles et du transformateur à 6400 VA, alors que le client ne consomme réellement que 5120 W.
Points de vigilance
Ne jamais additionner P et Q arithmétiquement ! \(P + Q \neq S\). C'est une somme vectorielle (Pythagore). \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\).
Points à retenir
- Triangle des puissances : \(S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}\).
- Facteur de puissance : \(FP = P_T / S_T = \cos(\varphi)\).
- Vérification croisée : \(S_T = \sqrt{3} \cdot U \cdot I_L\).
Le saviez-vous ?
Un FP de 0,8 est souvent la limite en dessous de laquelle les fournisseurs d'électricité (comme EDF) commencent à facturer des pénalités aux industriels pour "consommation excessive d'énergie réactive".
FAQ
...
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(P_T = 3000 \text{ W}\) et \(Q_T = 4000 \text{ VAR}\), que vaut \(S_T\) ? (Pensez au triangle 3-4-5 !)
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 6 :
- Concept Clé : Triangle des puissances (Boucherot).
- Formules : \(S_T = \sqrt{P_T^2 + Q_T^2}\) et \(FP = P_T / S_T\).
- Résultat : \(S_T = 6400 \text{ VA}\), \(FP = 0,8\).
Outil Interactif : Simulateur de Charge Étoile
Utilisez cet outil pour voir comment la variation des paramètres du réseau (Tension U) et de la charge (Résistance R, Réactance X) influence les courants et les puissances.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Dans un montage étoile équilibré, le courant de ligne \(I_L\) est :
2. Si la tension composée \(U\) d'un réseau est 400V, la tension simple \(V\) est :
3. Un récepteur triphasé a \(P_T = 3000 \text{ W}\) et \(Q_T = 0 \text{ VAR}\). De quel type de récepteur s'agit-il ?
4. Le facteur de puissance \(FP\) est défini comme :
5. Dans un système étoile équilibré avec neutre connecté, le courant dans le neutre \(I_N\) est :
Glossaire
- Facteur de Puissance (FP)
- Rapport entre la puissance active (W) et la puissance apparente (VA). Il mesure l'efficacité d'un circuit. \(FP = \cos(\varphi) = P/S\). Il est compris entre 0 et 1.
- Impédance (\(Z\))
- Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est un nombre complexe \(Z = R + jX\), où R est la résistance et X la réactance. Son unité est l'Ohm (\(\Omega\)).
- Montage Étoile (Y)
- Couplage où les trois phases d'un récepteur sont connectées à un point commun, le neutre. Caractéristique : \(I_L = I_p\) et chaque phase voit la tension simple \(V\).
- Puissance Active (\(P\))
- Puissance réelle consommée par le circuit, transformée en chaleur ou travail. Unité : Watt (W).
- Puissance Apparente (\(S\))
- Puissance "totale" fournie par la source, combinaison vectorielle de P et Q. Unité : Voltampère (VA). \(S = \sqrt{P^2 + Q^2}\).
- Puissance Réactive (\(Q\))
- Puissance "échangée" par les éléments réactifs (bobines, condensateurs), nécessaire à la création des champs magnétiques/électriques. Unité : Voltampère Réactif (VAR).
- Réseau Triphasé Équilibré
- Système de 3 tensions de même amplitude et fréquence, déphasées de 120°.
- Tension Composée (\(U\))
- Tension mesurée entre deux phases (ex: L1 et L2). En France, \(U = 400 \text{ V}\) typiquement.
- Tension Simple (\(V\))
- Tension mesurée entre une phase et le neutre. En France, \(V = 230 \text{ V}\) typiquement. On a \(U = V \cdot \sqrt{3}\).
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