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Exercice : Analyse de Circuit CC

Analyse d'un Circuit Mixte en Courant Continu

Contexte : Étude d'un circuit composé de résistancesComposant qui s'oppose au passage du courant électrique. Elle se mesure en Ohms (Ω). en série et en parallèle.

Dans cet exercice, nous allons analyser un circuit électrique alimenté par une source de tension continue. Le circuit présente une configuration mixte : une résistance est placée en série avec un groupe de deux autres résistances montées en parallèle. L'objectif est de déterminer les grandeurs électriques fondamentales (résistance équivalente, courant total, tensions aux bornes des composants) en appliquant méthodiquement les lois de l'électricité.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est fondamental pour maîtriser la simplification de circuits complexes. Il vous permettra de combiner les règles d'association série et parallèle et de vérifier la conservation de l'énergie et de la charge électrique via les lois de Kirchhoff.

Objectifs Pédagogiques

Identifier les parties d'un circuit en série et en parallèle.
Calculer la résistance équivalente d'un montage mixte.
Appliquer la loi d'Ohm et les lois de Kirchhoff pour trouver courants et tensions.

Données du problème

On considère le circuit électrique schématisé ci-dessous, alimenté par un générateur de tension continue E.

Composants du circuit

Composant	Type
E	Générateur de tension continue idéale
R1	Résistance ohmique (en série)
R2, R3	Résistances ohmiques (en parallèle)

Schéma du Circuit Mixte

Grandeur	Symbole	Valeur	Unité
Tension du générateur	E	24	Volts (V)
Résistance 1	R1	10	Ohms (Ω)
Résistance 2	R2	20	Ohms (Ω)
Résistance 3	R3	30	Ohms (Ω)

Questions à traiter

Calculer la résistance équivalente du bloc parallèle (R2 et R3).
En déduire la résistance équivalente totale du circuit.
Calculer le courant total (Itot) débité par le générateur.
Déterminer la tension aux bornes de la résistance R1.
Calculer le courant traversant la résistance R2.

Rappels Théoriques : Lois des Circuits

Pour résoudre ce problème, nous utiliserons les lois fondamentales suivantes :

1. Loi d'Ohm
La tension U aux bornes d'un conducteur ohmique est proportionnelle au courant I qui le traverse. \[ U = R \cdot I \]

2. Association de Résistances

Série : Les résistances s'additionnent. \( R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + ... \)
Parallèle : Les inverses s'additionnent. \( \frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... \)

Correction : Analyse d'un Circuit Mixte en Courant Continu

Question 1 : Résistance équivalente du bloc parallèle (R2 // R3)

Principe

Nous devons d'abord simplifier le circuit en remplaçant les deux résistances R2 et R3, qui sont connectées aux mêmes nœuds (en parallèle), par une seule résistance équivalente notée \(R_{\text{23}}\). Cela permet de réduire la complexité du schéma.

Mini-Cours

Pour deux résistances en parallèle, la résistance équivalente est toujours plus petite que la plus petite des deux résistances. La formule simplifiée pour deux résistances est le "produit sur la somme". Si vous aviez plus de deux résistances, il faudrait utiliser la somme des inverses : \( \frac{1}{R_{\text{eq}}} = \sum \frac{1}{R_i} \).

Remarque Pédagogique

Commencez toujours par identifier les blocs les plus "imbriqués". Ici, R2 et R3 sont clairement connectées l'une à côté de l'autre aux mêmes fils, c'est donc par là qu'il faut commencer la simplification.

Normes

Les symboles utilisés pour les résistances et les sources de tension suivent la convention internationale CEI 60617 (rectangle pour la résistance). Le symbole \(\Omega\) représente l'Ohm, unité de résistance.

Formule(s)

Calcul de résistance en parallèle (pour 2 résistances) :

R_{\text{eq}} = \frac{R_A \cdot R_B}{R_A + R_B}

Hypothèses

On suppose que les fils de connexion n'ont aucune résistance et que les composants sont parfaits (linéaires et invariants dans le temps).

Donnée(s)

Composant	Valeur
R2	20 Ω
R3	30 Ω

Astuces

Vérification rapide : si les deux résistances sont identiques (ex: 20Ω et 20Ω), la résistance équivalente est la moitié (10Ω). Ici 20 et 30 sont proches, donc le résultat doit être un peu plus que la moitié de 20 (donc un peu plus de 10).

Schéma (Avant les calculs)

Voici la partie du circuit que nous isolons pour le calcul :

Calcul(s)

On détaille chaque étape pour bien comprendre d'où viennent les chiffres :

1. Identification des valeurs : On a \(R_2 = 20 \, \Omega\) et \(R_3 = 30 \, \Omega\) issues des données de l'énoncé.
2. Substitution dans la formule : On remplace les lettres par les chiffres.

R_{\text{23}} = \frac{20 \times 30}{20 + 30}

3. Calcul du numérateur (le produit) : \(20 \times 30 = 600\).
4. Calcul du dénominateur (la somme) : \(20 + 30 = 50\).
5. Division finale : On divise le produit par la somme.

R_{\text{23}} = \frac{600}{50} \] \[ R_{\text{23}} = 12 \, \Omega

La résistance équivalente de ce bloc parallèle est donc exactement de 12 Ohms.

Schéma (Après les calculs)

Les deux résistances sont maintenant remplacées par une seule :

Réflexions

Le résultat est 12 Ω. C'est bien inférieur à la plus petite des résistances (20 Ω), ce qui confirme la règle des montages en parallèle : ajouter des chemins facilite le passage du courant et baisse la résistance globale.

Points de vigilance

Attention à ne pas additionner simplement R2 et R3 ! Une erreur fréquente est de faire \(R_{\text{eq}} = R_2 + R_3 = 50 \, \Omega\), ce qui est valable uniquement en série.

Points à retenir

En parallèle, \(R_{\text{eq}} < \min(R_i)\). La formule "Produit sur Somme" est votre meilleure amie pour deux résistances.

Le saviez-vous ?

C'est exactement comme cela que sont branchés les appareils dans votre maison : toutes les prises sont en parallèle. Si vous branchez un appareil supplémentaire (une résistance en plus), la résistance totale de votre installation baisse et le courant total augmente.

FAQ

Résultat Final

La résistance équivalente du bloc parallèle est de 12 Ω.

A vous de jouer

Si R2 valait 60 Ω (au lieu de 20 Ω), quelle serait la nouvelle résistance équivalente R23 ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Association parallèle.
Formule Essentielle : \( R_{\text{eq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \)
Point de Vigilance Majeur : Ne jamais additionner les valeurs en parallèle.

Question 2 : Résistance équivalente totale (Req)

Principe

Maintenant que le bloc parallèle est simplifié en \(R_{\text{23}}\), le circuit se résume à la résistance R1 en série avec \(R_{\text{23}}\). Nous pouvons donc calculer la résistance totale vue par le générateur.

Mini-Cours

Dans un circuit en série, le courant n'a qu'un seul chemin. Il doit traverser tous les obstacles les uns après les autres. Les résistances s'accumulent donc directement. La résistance équivalente est simplement la somme arithmétique.

Remarque Pédagogique

Dessinez toujours le schéma équivalent simplifié après chaque étape de calcul. Cela transforme un problème complexe en une succession de problèmes simples.

Normes

En physique, on note souvent \(R\) la résistance, et \(R_{\text{eq}}\) la résistance équivalente, conformément aux usages de la norme CEI 60027 sur les symboles littéraux.

Formule(s)

Calcul de résistances en série :

R_{\text{total}} = R_A + R_B

Hypothèses

On considère que la résistance interne du générateur est négligeable et que les connexions sont parfaites (0 Ohm).

Donnée(s)

Composant	Valeur
R1	10 Ω
R23 (calculé)	12 Ω

Astuces

En série, le résultat doit toujours être plus grand que la plus grande des résistances individuelles (ici > 12 Ω).

Schéma (Avant les calculs)

Le circuit simplifié avec R1 et R23 :

Calcul(s)

L'opération est une simple addition, car les composants sont en série :

1. Récupération des valeurs : On prend \(R_1 = 10 \, \Omega\) (donnée de l'énoncé) et \(R_{\text{23}} = 12 \, \Omega\) (résultat de la Question 1).
2. Application de la loi d'additivité : Comme les composants sont l'un à la suite de l'autre (série), on additionne.

R_{\text{eq}} = R_1 + R_{\text{23}} \] \[ R_{\text{eq}} = 10 + 12

Le calcul est immédiat :

R_{\text{eq}} = 22 \, \Omega

Schéma (Après les calculs)

Le circuit final vu par la source, réduit à une seule résistance :

Réflexions

Nous avons réduit tout le réseau de résistances à une seule valeur de 22 Ω. C'est cette valeur qui va limiter le courant total sortant du générateur.

Points de vigilance

Ne confondez pas série et parallèle ! Ici, tout le courant qui sort de R1 entre forcément dans le bloc R23, c'est la définition d'une connexion série. Il n'y a pas de nœud de dérivation entre eux.

Points à retenir

Simplifier un circuit se fait souvent de la droite vers la gauche (ou de l'intérieur vers l'extérieur) : on réduit les blocs parallèles, puis on les ajoute aux séries.

Le saviez-vous ?

Les guirlandes de Noël à l'ancienne étaient souvent montées en série. Si une ampoule grillait (résistance infinie), le circuit s'ouvrait et plus rien ne s'allumait ! Aujourd'hui, on utilise des montages parallèles ou mixtes.

FAQ

Résultat Final

La résistance équivalente totale du circuit est de 22 Ω.

A vous de jouer

Si R1 doublait de valeur (20 Ω), que vaudrait la résistance totale ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Association série.
Formule Essentielle : \( R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 \)
Point de Vigilance Majeur : Bien identifier les composants traversés par le même courant.

Question 3 : Courant Total (Itot)

Principe

Le générateur "voit" une résistance unique \(R_{\text{eq}}\). Nous pouvons utiliser la loi d'Ohm globale pour déterminer le courant total qui sort du générateur.

Mini-Cours

La loi d'Ohm (\(U=RI\)) est universelle. Elle s'applique à une seule résistance, mais aussi à un circuit entier équivalent. Ici, \(U\) est la tension du générateur (E) et \(R\) est la résistance totale (\(R_{\text{eq}}\)). Le courant est le rapport de la cause (tension) sur l'opposition (résistance).

Remarque Pédagogique

Le courant est une conséquence de la tension appliquée sur une résistance. C'est la tension qui "pousse" les charges à travers la résistance.

Normes

L'intensité du courant s'exprime en Ampères (symbole A), qui est l'une des 7 unités de base du Système International (SI).

Formule(s)

Loi d'Ohm :

I = \frac{U}{R}

Hypothèses

Le générateur est considéré comme idéal (source de tension parfaite), délivrant une tension constante de 24V quelle que soit la charge.

Donnée(s)

Grandeur	Valeur
Tension E	24 V
Résistance Req	22 Ω

Astuces

Estimation : 24 divisé par 22 est un peu plus grand que 1. Si vous trouvez 0.5 ou 10, il y a une erreur de calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Application de la loi d'Ohm sur le circuit équivalent :

Calcul(s)

Calcul de l'intensité totale avec la loi d'Ohm :

1. Identification des valeurs : On utilise \(E = 24 \, \text{V}\) (tension du générateur) et \(R_{\text{eq}} = 22 \, \Omega\) (résistance totale calculée précédemment).
2. Application de la formule : On divise la tension par la résistance.

I_{\text{tot}} = \frac{E}{R_{\text{eq}}} \] \[ I_{\text{tot}} = \frac{24}{22}

La division donne une valeur décimale. On arrondit à deux chiffres après la virgule.

I_{\text{tot}} \approx 1.09 \, \text{A}

Schéma (Après les calculs)

Le courant de 1.09A circule dans la boucle principale.

Réflexions

Le courant est d'environ 1.09 Ampères. C'est ce courant qui traversera R1 avant de se diviser dans le bloc parallèle.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'utiliser seulement R1 pour calculer le courant total (\(24/10 = 2.4A\)). C'est faux car le générateur "voit" la totalité du circuit (R1, R2 et R3).

Points à retenir

Le courant total est déterminé par la résistance TOTALE du circuit. \(I_{\text{tot}}\) est le même partout dans la branche principale (celle du générateur).

Le saviez-vous ?

1 Ampère correspond au passage de \(6,24 \times 10^{18}\) électrons par seconde ! C'est un débit de charges énorme.

FAQ

Résultat Final

Le courant total débité par le générateur est de 1.09 A.

A vous de jouer

Si la tension E passait à 44 V, quel serait le nouveau courant total (en gardant Req = 22 Ω) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Courant total.
Formule Essentielle : \( I_{\text{tot}} = \frac{E}{R_{\text{eq}}} \)
Point de Vigilance Majeur : Toujours utiliser Req pour le courant total.

Question 4 : Tension aux bornes de R1 (U1)

Principe

Puisque R1 est en série avec le générateur, elle est traversée par la totalité du courant \(I_{\text{tot}}\). On applique la loi d'Ohm locale sur R1 pour trouver la chute de tension qu'elle provoque.

Mini-Cours

La tension se "consomme" au fur et à mesure du circuit série. C'est ce qu'on appelle la chute de tension. La somme des chutes de tension est égale à la tension du générateur (Loi des mailles). \(U_{\text{gen}} = U_{R1} + U_{\text{p}}\).

Remarque Pédagogique

Visualisez la tension comme une hauteur d'eau. Le générateur monte l'eau à 24m. R1 fait chuter l'eau d'un certain niveau, et le reste de la hauteur est disponible pour la suite du circuit (R2 et R3).

Normes

La tension se mesure toujours entre deux points. On dit "tension aux bornes de R1". Le potentiel est une grandeur relative.

Formule(s)

Loi d'Ohm pour un composant :

U_1 = R_1 \cdot I_{\text{tot}}

Hypothèses

On considère que les fils de connexion sont parfaits et qu'il n'y a aucune chute de tension dans les câbles qui relient les composants.

Donnée(s)

Grandeur	Valeur
R1	10 Ω
Itot	1.09 A

Astuces

Si la tension trouvée est supérieure à E (24V), c'est impossible ! La tension aux bornes d'un récepteur passif ne peut jamais dépasser la tension de la source qui l'alimente.

Schéma (Avant les calculs)

Focus sur R1 :

Calcul(s)

Calcul de la chute de tension aux bornes de R1 :

1. Cible : On s'intéresse uniquement au composant \(R_1\).
2. Valeurs : Sa résistance est \(R_1 = 10 \, \Omega\) et le courant qui la traverse est \(I_{\text{tot}} \approx 1.09 \, \text{A}\) (calculé à la Question 3).
3. Calcul : On fait le produit de la résistance par le courant.

U_1 = 10 \times 1.09 \] \[ U_1 = 10.9 \, \text{V}

(Note : en utilisant la valeur exacte 24/22 pour le courant, on aurait \(10 \times \frac{24}{22} \approx 10.909\dots \text{V}\))

Schéma (Après les calculs)

Répartition des tensions (Visualisation par blocs) :

Réflexions

R1 consomme presque la moitié de la tension disponible (10.9V sur 24V). Cela signifie que le bloc R23 aura une tension de \(24 - 10.9 = 13.1 \, \text{V}\).

Points de vigilance

Assurez-vous de bien utiliser le courant TOTAL qui traverse R1, et pas un courant divisé.

Points à retenir

Dans un circuit série, la somme des tensions est égale à la tension totale (Loi des mailles). \(U_{\text{tot}} = \sum U_i\).

Le saviez-vous ?

Ce principe de chute de tension est utilisé dans les "ponts diviseurs de tension", un montage très courant en électronique pour adapter des niveaux de signal (par exemple pour lire un capteur 5V avec une carte 3.3V).

FAQ

Résultat Final

La tension aux bornes de R1 est de 10.9 V.

A vous de jouer

Si le courant était exactement de 2 A, quelle serait la tension U1 ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Chute de tension.
Formule Essentielle : \( U = R \cdot I \)
Point de Vigilance Majeur : U1 < E.

Question 5 : Courant traversant R2 (I2)

Principe

Pour trouver le courant dans une branche parallèle, il faut d'abord connaître la tension aux bornes de cette branche. La tension aux bornes du bloc parallèle (\(U_{\text{p}}\)) est le reste de la tension du générateur après la chute de tension dans R1 (Loi des mailles).

Mini-Cours

En parallèle, la tension est la même pour toutes les branches. Donc \(U_{R2} = U_{R3} = U_{\text{p}}\). Une fois qu'on a cette tension commune, on applique la loi d'Ohm sur la branche concernée pour trouver le courant partiel.

Remarque Pédagogique

C'est ici qu'on utilise le résultat de la question précédente (U1). C'est un calcul en cascade. Si U1 est faux, I2 sera faux. Il est donc crucial de vérifier ses étapes intermédiaires.

Normes

La loi des nœuds (somme des courants entrants = somme des courants sortants) est une conséquence directe de la conservation de la charge électrique.

Formule(s)

Loi des mailles et Loi d'Ohm :

U_{\text{p}} = E - U_1

I_2 = \frac{U_{\text{p}}}{R_2}

Hypothèses

On suppose que le régime est stationnaire (courant continu constant) et que la tension aux bornes du bloc parallèle est parfaitement uniforme.

Donnée(s)

Grandeur	Valeur
E	24 V
U1	10.9 V
R2	20 Ω

Astuces

Vérification : Calculez aussi I3. La somme I2 + I3 doit être égale à Itot (loi des nœuds). Si ce n'est pas le cas, refaites vos calculs !

Schéma (Avant les calculs)

Le bloc parallèle isolé, avec la tension Up appliquée :

Calcul(s)

On détaille le calcul en deux étapes distinctes :

Étape 1 : Calcul de la tension parallèle \(U_{\text{p}}\)

Raisonnement : La tension totale \(E\) (24V) est partagée entre \(R_1\) et le bloc parallèle. \(R_1\) a pris \(10.9 \, \text{V}\).
Calcul : On soustrait la tension de R1 à la tension totale.

U_{\text{p}} = 24 - 10.9 \] \[ U_{\text{p}} = 13.1 \, \text{V}

Étape 2 : Calcul du courant \(I_2\)

Raisonnement : On se place sur la branche de \(R_2\) uniquement. La tension à ses bornes est \(13.1 \, \text{V}\) et sa résistance est \(20 \, \Omega\).
Application de la loi d'Ohm : On divise la tension par la résistance.

I_2 = \frac{13.1}{20} \] \[ I_2 = 0.655 \, \text{A}

Schéma (Après les calculs)

Répartition des courants (Loi des Noeuds) :

Réflexions

I2 est de 0.655 A. Si on calcule I3 (\(13.1/30 \approx 0.436 \, \text{A}\)), on voit que \(0.655 + 0.436 = 1.091 \, \text{A}\), ce qui correspond bien à notre courant total (aux arrondis près). Le calcul est cohérent.

Points de vigilance

Ne surtout pas utiliser la tension totale E pour calculer I2 ! C'est l'erreur la plus grave. \(I_2 \neq \frac{E}{R_2}\). Il faut utiliser la tension locale \(U_{\text{p}}\), qui est inférieure à E.

Points à retenir

Dans un montage parallèle, le courant se divise. La somme des courants des branches (\(I_2 + I_3\)) doit être égale au courant total \(I_{\text{tot}}\). C'est la loi des nœuds.

Le saviez-vous ?

C'est la loi des nœuds de Kirchhoff (KCL). Gustav Kirchhoff a formulé ces lois en 1845, alors qu'il était encore étudiant !

FAQ

Résultat Final

Le courant traversant R2 est d'environ 0.655 A (soit 655 mA).

A vous de jouer

Calculez I3 (le courant dans R3) sachant que Up = 13.1 V et R3 = 30 Ω.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Diviseur de courant et loi des mailles.
Formule Essentielle : \(I_{\text{branche}} = \frac{U_{\text{branche}}}{R_{\text{branche}}}\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas utiliser E mais Up pour le calcul.

Simulateur de Loi d'Ohm

Observez comment le courant total évolue lorsque vous modifiez la tension du générateur (E) ou la valeur de la résistance R1.

Paramètres d'Entrée

Tension E (Volts) 24 Volts

Résistance R1 (Ohms) 10 Ohms

Résultats en Temps Réel

Courant Total (Itot) -

Puissance Totale (P = E*I) -

Tension (U): Différence de potentiel électrique entre deux points. Analogue à une différence de pression dans un tuyau d'eau.
Courant (I): Flux d'électrons circulant dans un conducteur. Analogue au débit de l'eau.
Nœud: Point de connexion où se rejoignent au moins trois fils conducteurs.
Maille: Chemin fermé dans un circuit électrique.

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