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Exercices Électricité

Analyse d’un Circuit en Courant Continu

Analyse d’un Circuit en Courant Continu

Analyse d’un Circuit en Courant Continu

Comprendre l'Analyse d'un Circuit en Courant Continu

L'analyse des circuits en courant continu (DC) est la base de l'électronique. Elle consiste à déterminer comment la tension se répartit et comment le courant circule à travers les différents composants du circuit. Les outils principaux pour cette analyse sont la loi d'Ohm, qui relie la tension, le courant et la résistance (\(V=IR\)), et les lois de Kirchhoff. La loi des nœuds de Kirchhoff nous dit que le courant qui entre dans un point de jonction (nœud) est égal au courant qui en sort. La loi des mailles de Kirchhoff indique que la somme des tensions le long d'une boucle fermée est nulle. En combinant ces lois et en sachant comment simplifier les groupements de résistances en série et en parallèle, on peut analyser des circuits même relativement complexes pour trouver toutes les grandeurs électriques d'intérêt.

Données de l'étude

Un circuit est alimenté par une source de tension continue \(V_{\text{s}}\). Le circuit est composé comme suit : une résistance \(R_1\) est en série avec un groupement parallèle. Ce groupement parallèle est lui-même en série avec une résistance \(R_4\). Le groupement parallèle est constitué des résistances \(R_2\) et \(R_3\).

Valeurs des composants :

  • Tension de la source : \(V_{\text{s}} = 30 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(5 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(20 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(30 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_4\) : \(10 \, \Omega\)
Schéma : Circuit DC Série-Parallèle
Vs 30V + − R1 5Ω A R2 20Ω R3 30Ω B R4 10Ω → Itotal → I2 → I3

Circuit DC avec résistances en série et parallèle.

Questions à traiter

  1. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq23}}\)) du groupement parallèle formé par \(R_2\) et \(R_3\).
  2. Calculer la résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\)) de l'ensemble du circuit.
  3. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source de tension.
  4. Calculer la chute de tension (\(V_1\)) aux bornes de la résistance \(R_1\).
  5. Calculer la chute de tension (\(V_4\)) aux bornes de la résistance \(R_4\).
  6. Calculer la tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle (\(R_2 // R_3\)).
  7. Calculer le courant (\(I_2\)) traversant la résistance \(R_2\).
  8. Calculer le courant (\(I_3\)) traversant la résistance \(R_3\).
  9. Vérifier la loi des nœuds au nœud A.
  10. Calculer la puissance (\(P_1\)) dissipée par \(R_1\).
  11. Calculer la puissance totale (\(P_{\text{source}}\)) fournie par la source et la comparer à la somme des puissances dissipées par toutes les résistances.

Correction : Analyse d’un Circuit en Courant Continu

Question 1 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq23}}\)) de \(R_2 // R_3\)

Principe :

Pour deux résistances \(R_2\) et \(R_3\) en parallèle, la résistance équivalente \(R_{\text{eq23}}\) est donnée par \(R_{\text{eq23}} = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{eq23}} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 20 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 30 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{eq23}} &= \frac{20 \, \Omega \times 30 \, \Omega}{20 \, \Omega + 30 \, \Omega} \\ &= \frac{600 \, \Omega^2}{50 \, \Omega} \\ &= 12 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_{\text{eq23}} = 12 \, \Omega\).

Question 2 : Résistance totale équivalente (\(R_{\text{total}}\))

Principe :

Le circuit est composé de \(R_1\), puis du groupement \(R_{\text{eq23}}\), puis de \(R_4\), le tout en série. La résistance totale est la somme de ces résistances.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{total}} = R_1 + R_{\text{eq23}} + R_4\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 5 \, \Omega\)
  • \(R_{\text{eq23}} = 12 \, \Omega\)
  • \(R_4 = 10 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{total}} &= 5 \, \Omega + 12 \, \Omega + 10 \, \Omega \\ &= 27 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance totale équivalente du circuit est \(R_{\text{total}} = 27 \, \Omega\).

Question 3 : Courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

Le courant total \(I_{\text{total}}\) fourni par la source est calculé avec la loi d'Ohm : \(I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{total}}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{total}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 30 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{total}} = 27 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{30 \, \text{V}}{27 \, \Omega} \\ &= \frac{10}{9} \, \text{A} \\ &\approx 1.111... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} \approx 1.11 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la tension de la source \(V_s\) est doublée, le courant total \(I_{total}\) (en supposant que les résistances ne changent pas) va :

Question 4 : Tension (\(V_1\)) aux bornes de \(R_1\)

Principe :

\(V_1 = R_1 \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = R_1 I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 5 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} = \frac{10}{9} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= 5 \, \Omega \times \frac{10}{9} \, \text{A} \\ &= \frac{50}{9} \, \text{V} \\ &\approx 5.555... \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La tension aux bornes de \(R_1\) est \(V_1 \approx 5.56 \, \text{V}\).

Question 5 : Tension (\(V_4\)) aux bornes de \(R_4\)

Principe :

\(R_4\) est traversée par le courant total \(I_{\text{total}}\). Donc \(V_4 = R_4 \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_4 = R_4 I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_4 = 10 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} = \frac{10}{9} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_4 &= 10 \, \Omega \times \frac{10}{9} \, \text{A} \\ &= \frac{100}{9} \, \text{V} \\ &\approx 11.111... \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension aux bornes de \(R_4\) est \(V_4 \approx 11.11 \, \text{V}\).

Question 6 : Tension (\(V_{\text{AB}}\)) aux bornes du groupement parallèle (\(R_2 // R_3\))

Principe :

La tension \(V_{\text{AB}}\) aux bornes du groupement parallèle peut être calculée par la loi des mailles : \(V_{\text{s}} = V_1 + V_{\text{AB}} + V_4\). Donc \(V_{\text{AB}} = V_{\text{s}} - V_1 - V_4\). Alternativement, \(V_{\text{AB}} = R_{\text{eq23}} \times I_{\text{total}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{AB}} = R_{\text{eq23}} I_{\text{total}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_{\text{eq23}} = 12 \, \Omega\)
  • \(I_{\text{total}} = \frac{10}{9} \, \text{A}\)
  • \(V_{\text{s}} = 30 \, \text{V}\), \(V_1 = \frac{50}{9} \, \text{V}\), \(V_4 = \frac{100}{9} \, \text{V}\) (pour vérification)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{AB}} &= 12 \, \Omega \times \frac{10}{9} \, \text{A} \\ &= \frac{120}{9} \, \text{V} = \frac{40}{3} \, \text{V} \\ &\approx 13.333... \, \text{V} \end{aligned} \]

Vérification avec l'autre méthode : \(V_{\text{AB}} = V_s - V_1 - V_4 = 30\text{V} - \frac{50}{9}\text{V} - \frac{100}{9}\text{V} = \frac{270-50-100}{9}\text{V} = \frac{120}{9}\text{V} = \frac{40}{3}\text{V}\).

Résultat Question 6 : La tension aux bornes du groupement parallèle est \(V_{\text{AB}} \approx 13.33 \, \text{V}\).

Question 7 : Courant (\(I_2\)) traversant \(R_2\)

Principe :

Le courant dans la branche \(R_2\) est \(I_2 = V_{\text{AB}} / R_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{\text{AB}}}{R_2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{AB}} = \frac{40}{3} \, \text{V}\)
  • \(R_2 = 20 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{\frac{40}{3} \, \text{V}}{20 \, \Omega} \\ &= \frac{40}{3 \times 20} \, \text{A} = \frac{40}{60} \, \text{A} = \frac{2}{3} \, \text{A} \\ &\approx 0.666... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le courant traversant \(R_2\) est \(I_2 \approx 0.67 \, \text{A}\).

Question 8 : Courant (\(I_3\)) traversant \(R_3\)

Principe :

Le courant dans la branche \(R_3\) est \(I_3 = V_{\text{AB}} / R_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_3 = \frac{V_{\text{AB}}}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{AB}} = \frac{40}{3} \, \text{V}\)
  • \(R_3 = 30 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{\frac{40}{3} \, \text{V}}{30 \, \Omega} \\ &= \frac{40}{3 \times 30} \, \text{A} = \frac{40}{90} \, \text{A} = \frac{4}{9} \, \text{A} \\ &\approx 0.444... \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le courant traversant \(R_3\) est \(I_3 \approx 0.44 \, \text{A}\).

Question 9 : Vérification de la Loi des Nœuds au Nœud A

Principe :

Au nœud A, le courant entrant est \(I_{\text{total}}\) (qui est le même que le courant traversant \(R_1\)). Les courants sortants sont \(I_2\) et \(I_3\). Donc, \(I_{\text{total}} = I_2 + I_3\).

Données calculées :
  • \(I_{\text{total}} = \frac{10}{9} \, \text{A}\)
  • \(I_2 = \frac{2}{3} \, \text{A} = \frac{6}{9} \, \text{A}\)
  • \(I_3 = \frac{4}{9} \, \text{A}\)
Vérification :
\[ \begin{aligned} I_2 + I_3 &= \frac{6}{9} \, \text{A} + \frac{4}{9} \, \text{A} \\ &= \frac{10}{9} \, \text{A} \end{aligned} \]

Comparaison avec \(I_{\text{total}} = \frac{10}{9} \, \text{A}\) :

\[\frac{10}{9} \, \text{A} = \frac{10}{9} \, \text{A} \quad (\text{Vérifié})\]
Résultat Question 9 : La loi des nœuds est vérifiée au nœud A.

Question 10 : Puissance (\(P_1\)) dissipée par \(R_1\)

Principe :

La puissance dissipée par une résistance \(R\) traversée par un courant \(I\) est \(P = I^2R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_1 = I_{\text{total}}^2 R_1\]
Données spécifiques :
  • \(I_{\text{total}} = \frac{10}{9} \, \text{A}\)
  • \(R_1 = 5 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= \left(\frac{10}{9} \, \text{A}\right)^2 \times 5 \, \Omega \\ &= \frac{100}{81} \, \text{A}^2 \times 5 \, \Omega \\ &= \frac{500}{81} \, \text{W} \\ &\approx 6.17 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 10 : La puissance dissipée par \(R_1\) est \(P_1 \approx 6.17 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Laquelle des formules suivantes n'est PAS correcte pour calculer la puissance dissipée par une résistance ?

Question 11 : Puissance totale fournie par la source et vérification

Principe :

La puissance totale fournie par la source est \(P_{\text{source}} = V_{\text{s}} \times I_{\text{total}}\). Elle doit être égale à la somme des puissances dissipées par toutes les résistances du circuit (\(P_1 + P_2 + P_3 + P_4\)).

Calcul des puissances \(P_2, P_3, P_4\) :

Pour \(R_2\): \(I_2 = \frac{2}{3} \, \text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_2 &= I_2^2 R_2 \\ &= \left(\frac{2}{3} \, \text{A}\right)^2 \times 20 \, \Omega \\ &= \frac{4}{9} \times 20 \, \text{W} \\ &= \frac{80}{9} \, \text{W} \\ &\approx 8.89 \, \text{W} \end{aligned} \]

Pour \(R_3\): \(I_3 = \frac{4}{9} \, \text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_3 &= I_3^2 R_3 \\ &= \left(\frac{4}{9} \, \text{A}\right)^2 \times 30 \, \Omega \\ &= \frac{16}{81} \times 30 \, \text{W} = \frac{480}{81} \, \text{W} \\ &= \frac{160}{27} \, \text{W} \\ &\approx 5.93 \, \text{W} \end{aligned} \]

Pour \(R_4\): \(I_4 = I_{\text{total}} = \frac{10}{9} \, \text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_4 &= I_{\text{total}}^2 R_4 \\ &= \left(\frac{10}{9} \, \text{A}\right)^2 \times 10 \, \Omega \\ &= \frac{100}{81} \times 10 \, \text{W} \\ &= \frac{1000}{81} \, \text{W} \\ &\approx 12.35 \, \text{W} \end{aligned} \]
Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{source}} = V_{\text{s}} I_{\text{total}}\] \[P_{\text{dissipée\_totale}} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4\]
Données :
  • \(V_{\text{s}} = 30 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{total}} = \frac{10}{9} \, \text{A}\)
  • \(P_1 = \frac{500}{81} \, \text{W}\)
  • \(P_2 = \frac{720}{81} \, \text{W}\) (car \(\frac{80}{9} = \frac{720}{81}\))
  • \(P_3 = \frac{480}{81} \, \text{W}\)
  • \(P_4 = \frac{1000}{81} \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{source}} &= 30 \, \text{V} \times \frac{10}{9} \, \text{A} \\ &= \frac{300}{9} \, \text{W} = \frac{100}{3} \, \text{W} \\ &\approx 33.333... \, \text{W} \\ P_{\text{dissipée\_totale}} &= P_1 + P_2 + P_3 + P_4 \\ &= \frac{500}{81} \, \text{W} + \frac{720}{81} \, \text{W} + \frac{480}{81} \, \text{W} + \frac{1000}{81} \, \text{W} \\ &= \frac{500+720+480+1000}{81} \, \text{W} \\ &= \frac{2700}{81} \, \text{W} = \frac{300}{9} \, \text{W} = \frac{100}{3} \, \text{W} \\ &\approx 33.333... \, \text{W} \end{aligned} \]

Comparaison : \(P_{\text{source}} = \frac{100}{3} \, \text{W}\) et \(P_{\text{dissipée\_totale}} = \frac{100}{3} \, \text{W}\).

Résultat Question 11 : La puissance fournie par la source est \(P_{\text{source}} \approx 33.33 \, \text{W}\), ce qui est égal à la puissance totale dissipée par les résistances.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Dans un circuit série, la résistance totale est :

2. La loi des nœuds de Kirchhoff est une application de :

3. Pour calculer la puissance dissipée par une résistance, si vous connaissez sa résistance \(R\) et le courant \(I\) qui la traverse, vous utilisez :

Glossaire

Circuit en Courant Continu (DC)
Circuit électrique où le courant circule continuellement dans une seule direction.
Loi d'Ohm
Décrit la relation entre la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)) : \(V = IR\).
Résistance en Série
Les résistances sont connectées bout à bout, le même courant les traverse. \(R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + ...\)
Résistance en Parallèle
Les résistances sont connectées aux mêmes deux points (nœuds), la tension est la même à leurs bornes. \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ...\)
Lois de Kirchhoff
Ensemble de deux lois fondamentales pour l'analyse des circuits : la loi des nœuds (conservation de la charge) et la loi des mailles (conservation de l'énergie).
Puissance Électrique (P)
Taux de transfert d'énergie électrique, mesuré en Watts (W). Pour une résistance, \(P = VI = I^2R = V^2/R\).
Analyse d’un Circuit en Courant Continu

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