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Analyse d’un Circuit en Parallèle

Analyse d’un Circuit en Parallèle

Analyse d’un Circuit en Parallèle

Comprendre l'Analyse d'un Circuit en Parallèle

Un circuit en parallèle, ou en dérivation, est une configuration où les composants sont connectés de manière à ce que la tension à leurs bornes soit la même. C'est une caractéristique fondamentale de ce type de montage. Contrairement aux circuits série où le courant est le même à travers tous les composants, dans un circuit parallèle, le courant total fourni par la source se divise entre les différentes branches. Chaque branche "tire" un courant qui dépend de sa propre résistance (ou impédance en alternatif). La loi des nœuds de Kirchhoff est essentielle pour comprendre cette division du courant. Pour analyser un circuit parallèle, on calcule souvent la résistance (ou l'admittance) équivalente du groupement, puis le courant total, et enfin les courants de branche individuels en utilisant la loi d'Ohm ou le principe du diviseur de courant.

Données de l'étude

Un circuit est alimenté par une source de tension continue \(V_{\text{s}}\). Ce circuit est constitué de trois résistances \(R_1\), \(R_2\), et \(R_3\) montées en parallèle directement aux bornes de la source.

Valeurs des composants :

  • Tension de la source : \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(10 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(20 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(30 \, \Omega\)
Schéma : Circuit avec Résistances en Parallèle
Vs 12V + − R1 10Ω ↓ I1 R2 20Ω ↓ I2 R3 30Ω ↓ I3 → Itotal

Circuit DC avec trois résistances en parallèle.

Questions à traiter

  1. Quelle est la tension aux bornes de chaque résistance (\(R_1, R_2, R_3\)) dans ce circuit ? Expliquer.
  2. Calculer le courant (\(I_1\)) traversant la résistance \(R_1\).
  3. Calculer le courant (\(I_2\)) traversant la résistance \(R_2\).
  4. Calculer le courant (\(I_3\)) traversant la résistance \(R_3\).
  5. Calculer le courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source en utilisant la loi des nœuds de Kirchhoff.
  6. Calculer la résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) du groupement des trois résistances en parallèle.
  7. Vérifier le courant total (\(I_{\text{total}}\)) en utilisant la loi d'Ohm avec la résistance équivalente totale.
  8. Calculer la puissance dissipée par chaque résistance (\(P_1, P_2, P_3\)).
  9. Calculer la puissance totale (\(P_{\text{source}}\)) fournie par la source et la comparer à la somme des puissances dissipées.

Correction : Analyse d’un Circuit en Parallèle

Question 1 : Tension aux bornes de chaque résistance

Principe :

Dans un montage en parallèle, tous les composants sont connectés entre les mêmes deux points (nœuds). Par conséquent, la différence de potentiel (tension) est la même aux bornes de chaque composant connecté en parallèle, et cette tension est égale à la tension de la source si les branches sont directement connectées à la source.

Réponse :

Puisque \(R_1\), \(R_2\), et \(R_3\) sont montées en parallèle directement aux bornes de la source de tension \(V_{\text{s}}\), la tension aux bornes de chaque résistance est égale à \(V_{\text{s}}\).

\[V_{R1} = V_{R2} = V_{R3} = V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\]
Résultat Question 1 : La tension aux bornes de \(R_1\), \(R_2\), et \(R_3\) est de \(12 \, \text{V}\).

Question 2 : Courant (\(I_1\)) traversant \(R_1\)

Principe :

Le courant traversant une résistance est donné par la loi d'Ohm : \(I = V/R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_1 = \frac{V_{\text{s}}}{R_1}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_1 = 10 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{12 \, \text{V}}{10 \, \Omega} \\ &= 1.2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le courant traversant \(R_1\) est \(I_1 = 1.2 \, \text{A}\).

Question 3 : Courant (\(I_2\)) traversant \(R_2\)

Principe :

De même, \(I_2 = V_{\text{s}} / R_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_2 = \frac{V_{\text{s}}}{R_2}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_2 = 20 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_2 &= \frac{12 \, \text{V}}{20 \, \Omega} \\ &= 0.6 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant traversant \(R_2\) est \(I_2 = 0.6 \, \text{A}\).

Question 4 : Courant (\(I_3\)) traversant \(R_3\)

Principe :

De même, \(I_3 = V_{\text{s}} / R_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_3 = \frac{V_{\text{s}}}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_3 = 30 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{12 \, \text{V}}{30 \, \Omega} \\ &= 0.4 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le courant traversant \(R_3\) est \(I_3 = 0.4 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans un circuit parallèle, la branche avec la plus grande résistance aura :

Question 5 : Courant total (\(I_{\text{total}}\)) fourni par la source

Principe :

Selon la loi des nœuds de Kirchhoff, le courant total fourni par la source est la somme des courants dans chaque branche parallèle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = I_1 + I_2 + I_3\]
Données spécifiques :
  • \(I_1 = 1.2 \, \text{A}\)
  • \(I_2 = 0.6 \, \text{A}\)
  • \(I_3 = 0.4 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= 1.2 \, \text{A} + 0.6 \, \text{A} + 0.4 \, \text{A} \\ &= 2.2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le courant total fourni par la source est \(I_{\text{total}} = 2.2 \, \text{A}\).

Question 6 : Résistance équivalente (\(R_{\text{eq}}\)) du groupement parallèle

Principe :

Pour des résistances en parallèle, l'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses de chaque résistance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 10 \, \Omega\)
  • \(R_2 = 20 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 30 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{1}{R_{\text{eq}}} &= \frac{1}{10 \, \Omega} + \frac{1}{20 \, \Omega} + \frac{1}{30 \, \Omega} \\ &= \frac{6}{60 \, \Omega} + \frac{3}{60 \, \Omega} + \frac{2}{60 \, \Omega} \\ &= \frac{11}{60 \, \Omega} \\ R_{\text{eq}} &= \frac{60}{11} \, \Omega \\ &\approx 5.4545... \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La résistance équivalente du groupement parallèle est \(R_{\text{eq}} \approx 5.45 \, \Omega\).

Question 7 : Vérification du courant total (\(I_{\text{total}}\))

Principe :

On peut vérifier le courant total en utilisant la loi d'Ohm avec la résistance équivalente totale : \(I_{\text{total}} = V_{\text{s}} / R_{\text{eq}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{total}} = \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{eq}}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{eq}} = \frac{60}{11} \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{total}} &= \frac{12 \, \text{V}}{\frac{60}{11} \, \Omega} \\ &= \frac{12 \times 11}{60} \, \text{A} \\ &= \frac{132}{60} \, \text{A} = \frac{11}{5} \, \text{A} \\ &= 2.2 \, \text{A} \end{aligned} \]

Ce résultat correspond bien au courant total calculé à la question 5 (\(2.2 \, \text{A}\)).

Résultat Question 7 : La vérification confirme \(I_{\text{total}} = 2.2 \, \text{A}\).

Question 8 : Puissance dissipée par chaque résistance

Principe :

La puissance dissipée par une résistance est \(P = VI = I^2R = V^2/R\). Puisque la tension aux bornes de chaque résistance est \(V_s\), on peut utiliser \(P = V_s^2/R\) ou \(P = V_s I\).

Calculs :

Pour \(R_1\): \(V_s = 12\,\text{V}\), \(R_1=10\,\Omega\), \(I_1=1.2\,\text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_1 &= \frac{V_{\text{s}}^2}{R_1} \\ &= \frac{(12 \, \text{V})^2}{10 \, \Omega} \\ &= \frac{144}{10} \, \text{W} \\ &= 14.4 \, \text{W} \end{aligned} \]

Pour \(R_2\): \(V_s = 12\,\text{V}\), \(R_2=20\,\Omega\), \(I_2=0.6\,\text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_2 &= \frac{V_{\text{s}}^2}{R_2} \\ &= \frac{(12 \, \text{V})^2}{20 \, \Omega} \\ &= \frac{144}{20} \, \text{W} \\ &= 7.2 \, \text{W} \end{aligned} \]

Pour \(R_3\): \(V_s = 12\,\text{V}\), \(R_3=30\,\Omega\), \(I_3=0.4\,\text{A}\)

\[ \begin{aligned} P_3 &= \frac{V_{\text{s}}^2}{R_3} \\ &= \frac{(12 \, \text{V})^2}{30 \, \Omega} \\ &= \frac{144}{30} \, \text{W} \\ &= 4.8 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 :
  • \(P_1 = 14.4 \, \text{W}\)
  • \(P_2 = 7.2 \, \text{W}\)
  • \(P_3 = 4.8 \, \text{W}\)

Quiz Intermédiaire 2 : Dans un circuit parallèle, la résistance qui dissipe le plus de puissance est :

Question 9 : Puissance totale fournie par la source et vérification

Principe :

La puissance totale fournie par la source est \(P_{\text{source}} = V_{\text{s}} \times I_{\text{total}}\). Elle doit être égale à la somme des puissances dissipées par chaque résistance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{source}} = V_{\text{s}} I_{\text{total}}\] \[P_{\text{dissipée\_totale}} = P_1 + P_2 + P_3\]
Données :
  • \(V_{\text{s}} = 12 \, \text{V}\)
  • \(I_{\text{total}} = 2.2 \, \text{A}\)
  • \(P_1 = 14.4 \, \text{W}\)
  • \(P_2 = 7.2 \, \text{W}\)
  • \(P_3 = 4.8 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{source}} &= 12 \, \text{V} \times 2.2 \, \text{A} \\ &= 26.4 \, \text{W} \\ P_{\text{dissipée\_totale}} &= 14.4 \, \text{W} + 7.2 \, \text{W} + 4.8 \, \text{W} \\ &= 26.4 \, \text{W} \end{aligned} \]

Comparaison : \(P_{\text{source}} = 26.4 \, \text{W}\) et \(P_{\text{dissipée\_totale}} = 26.4 \, \text{W}\).

Résultat Question 9 : La puissance fournie par la source est \(P_{\text{source}} = 26.4 \, \text{W}\), ce qui est égal à la puissance totale dissipée par les résistances.

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le courant total dans un circuit purement parallèle est :

2. La résistance équivalente d'un groupement de résistances en parallèle est toujours :

3. Si la tension appliquée à un circuit parallèle augmente, le courant dans chaque branche :

Glossaire

Circuit en Parallèle (Dérivation)
Un circuit où les composants sont connectés de telle sorte que la tension à leurs bornes est identique. Le courant total se divise pour passer à travers chaque branche.
Loi d'Ohm
Établit la relation \(V = IR\), où \(V\) est la tension, \(I\) le courant et \(R\) la résistance.
Loi des Nœuds de Kirchhoff
La somme algébrique des courants entrant dans un nœud (point de jonction) est égale à la somme algébrique des courants sortant de ce nœud. Cela découle de la conservation de la charge électrique.
Résistance Équivalente en Parallèle
Pour des résistances en parallèle, l'inverse de la résistance équivalente est la somme des inverses des résistances individuelles : \(\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots\).
Diviseur de Courant
Principe qui permet de calculer comment le courant se répartit entre des branches parallèles. Dans une branche donnée, le courant est inversement proportionnel à sa résistance par rapport aux autres.
Analyse d’un Circuit en Parallèle

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