Analyse d'un Hacheur Buck (Hacheur Série)
Contexte : Le Hacheur BuckUn convertisseur DC-DC qui abaisse la tension (step-down) tout en augmentant le courant..
Le hacheur Buck, ou hacheur série, est l'un des convertisseurs d'énergie les plus fondamentaux en électronique de puissance. Son rôle est d'abaisser une tension continue d'entrée (\(V_e\)) en une tension continue de sortie (\(V_s\)) plus faible, avec un rendement élevé. On le trouve partout : dans les alimentations d'ordinateurs, les chargeurs de téléphone, et les systèmes de gestion de l'énergie solaire. Cet exercice vise à analyser un hacheur Buck fonctionnant en Mode de Conduction ContinueUn régime de fonctionnement où le courant dans l'inductance (L) ne s'annule jamais. (MCC).
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à dimensionner et analyser les grandeurs clés d'un hacheur Buck : son rapport cyclique, les courants moyens, et les ondulations de courant et de tension, qui sont critiques pour la stabilité et la performance du circuit.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation entre la tension de sortie et le rapport cyclique \(\alpha\).
- Calculer le courant moyen dans l'inductance et la charge.
- Déterminer l'ondulation de courant (\(\Delta I_L\)) dans l'inductance.
- Calculer l'ondulation de tension (\(\Delta V_s\)) en sortie.
- Estimer le rendement (\(\eta\)) du convertisseur en tenant compte des pertes.
Données de l'étude
Fiche Technique
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Tension d'entrée (\(V_e\)) | 48 V |
| Fréquence de découpage (\(f\)) | 100 kHz |
| Inductance (\(L\)) | 50 µH |
| Capacité (\(C\)) | 220 µF |
| Résistance de charge (\(R\)) | 10 Ω |
Schéma du Hacheur Buck
| Paramètre Non-Idéal | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Chute de tension Diode | \(V_D\) | 0.7 | V |
| Résistance ON Interrupteur | \(R_{\text{on}}\) | 0.1 | Ω |
Questions à traiter
- Calculer le rapport cyclique \(\alpha\) pour obtenir \(V_s = 12 \text{ V}\) (en supposant des composants idéaux).
- Calculer le courant moyen dans l'inductance \(I_L\) et dans la charge \(I_s\).
- Calculer l'ondulation de courant \(\Delta I_L\) dans l'inductance. Vérifier le mode de conduction.
- Calculer l'ondulation de tension \(\Delta V_s\) en sortie.
- En utilisant les données non-idéales (\(V_D = 0.7 \text{ V}\) et \(R_{\text{on}} = 0.1 \text{ \Omega}\)), calculer les pertes par conduction et estimer le rendement \(\eta\).
Les bases sur le Hacheur Buck
Le hacheur Buck fonctionne en deux phases, contrôlées par l'interrupteur H (souvent un transistor MOSFET) qui s'ouvre et se ferme à une fréquence \(f\).
1. Phase 1 : Interrupteur H fermé (Durée \(\alpha T\))
L'interrupteur H est fermé. La diode D est bloquée (polarisée en inverse). L'inductance L est connectée à la source \(V_e\). Le courant \(I_L\) augmente, chargeant l'inductance et alimentant la charge. La tension aux bornes de L est \(V_L = V_e - V_s\).
2. Phase 2 : Interrupteur H ouvert (Durée \((1-\alpha)T\))
L'interrupteur H s'ouvre. Le courant \(I_L\) ne peut pas s'interrompre instantanément et continue de circuler. Il force la diode D à devenir passante (roue libre). L'inductance se décharge dans la charge. La tension à ses bornes est \(V_L = -V_s\).
En régime permanent, la tension moyenne aux bornes de l'inductance sur une période \(T\) est nulle. Ceci nous donne la relation fondamentale :
En simplifiant, on obtient la relation gain en tension (pour un hacheur idéal) :
Correction : Analyse d'un Hacheur Buck (Hacheur Série)
Question 1 : Calculer le rapport cyclique \(\alpha\)
Principe
Pour un hacheur Buck idéal, la tension de sortie \(V_s\) est directement proportionnelle à la tension d'entrée \(V_e\) par le rapport cycliqueLe ratio du temps 'ON' de l'interrupteur sur la période totale de découpage (T). Il est noté \(\alpha\) et est compris entre 0 et 1. \(\alpha\). Le rapport cyclique représente la fraction du temps pendant laquelle l'interrupteur est fermé.
Mini-Cours
La relation fondamentale \(V_s = \alpha \cdot V_e\) vient de l'équilibre de la tension moyenne aux bornes de l'inductance sur une période complète. Puisque la tension moyenne aux bornes d'une inductance en régime périodique est nulle, l'aire "positive" sous la courbe \(V_L(t)\) (quand H est fermé) doit être égale à l'aire "négative" (quand H est ouvert).
Remarque Pédagogique
Cette formule \(V_s = \alpha \cdot V_e\) est la plus importante à retenir pour le Buck idéal. Notez que puisque \(\alpha\) est toujours compris entre 0 et 1, la tension de sortie \(V_s\) est toujours inférieure à la tension d'entrée \(V_e\), d'où le nom "abaisseur" (step-down).
Normes
Ce calcul est basé sur le modèle idéalisé du convertisseur, où les composants (interrupteur, diode) sont parfaits : résistance nulle à l'état passant, infinie à l'état bloqué, et commutation instantanée. C'est la première étape de toute analyse.
Formule(s)
Relation Gain en Tension (Idéal)
Formule du Rapport Cyclique
Hypothèses
Nous supposons ici que le hacheur est idéal (pas de pertes) et que nous sommes en Mode de Conduction ContinueUn régime de fonctionnement où le courant dans l'inductance (L) ne s'annule jamais. (MCC).
- Composants parfaits (H et D).
- Régime permanent établi.
- Ondulation de tension de sortie \(\Delta V_s\) négligée (i.e., \(V_s\) est constant).
Donnée(s)
Les seules données nécessaires pour cette question sont les tensions d'entrée et de sortie.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension d'entrée | \(V_e\) | 48 | \(\text{V}\) |
| Tension de sortie désirée | \(V_s\) | 12 | \(\text{V}\) |
Astuces
Le rapport cyclique \(\alpha\) est un nombre sans dimension, toujours compris entre 0 et 1 (ou 0% et 100%). Si votre calcul donne une valeur supérieure à 1, vous avez probablement inversé \(V_e\) et \(V_s\).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma conceptuel montre que \(V_s\) est la "moyenne" de \(V_e\) (pendant \(\alpha T\)) et 0 (pendant \((1-\alpha)T\)), filtrée par L et C.
Tension VL et Courant IL (Concept)
Calcul(s)
Nous appliquons directement la formule en isolant \(\alpha\).
Étape 1 : Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
Le résultat \(\alpha = 0.25\) signifie que l'interrupteur H est fermé pendant 25% de la période T et ouvert pendant les 75% restants.
Visualisation du Rapport Cyclique (α = 0.25)
Réflexions
Un rapport cyclique de 0.25 est une valeur tout à fait standard. Elle confirme que nous demandons bien une tension de sortie 4 fois plus faible que l'entrée (\(12 \text{ V} = 48 \text{ V} / 4\)), ce qui est cohérent.
Points de vigilance
Cette formule n'est valable que pour le mode de conduction continue. Si le courant \(I_L\) s'annule (conduction discontinue), la relation change et devient non-linéaire.
Points à retenir
- La relation fondamentale d'un Buck idéal est \(V_s = \alpha \cdot V_e\).
- \(\alpha\) est le principal paramètre de contrôle du hacheur.
Le saviez-vous ?
La modulation de largeur d'impulsion (PWM), qui consiste à faire varier \(\alpha\), est la technique la plus utilisée pour commander les convertisseurs d'énergie. C'est le même principe qui permet de varier l'intensité d'une LED ou la vitesse d'un moteur à courant continu.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension d'entrée \(V_e\) chute à 36 V, quel nouveau rapport cyclique \(\alpha\) faut-il pour maintenir \(V_s = 12 \text{ V}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Contrôle de tension par rapport cyclique.
- Formule Essentielle : \(\alpha = V_s / V_e\).
- Résultat : 0.25.
Question 2 : Calculer le courant moyen \(I_L\) et \(I_s\)
Principe
Le principe clé ici est la conservation du courant moyen en régime permanent dans les circuits contenant des condensateurs. En moyenne (sur une période), un condensateur se comporte comme un circuit ouvert. Tout le courant moyen sortant de l'inductance doit donc traverser la résistance de charge.
Mini-Cours
Le courant dans l'inductance \(I_L(t)\) peut être décomposé en une valeur moyenne \(I_L\) (composante continue, DC) et une ondulation \(\Delta I_L(t)\) (composante alternative, AC) : \(I_L(t) = I_L + \Delta I_L(t)\). Le condensateur C, ayant une impédance infinie en DC (\(Z_C = 1/(j\omega C)\), avec \(\omega = 0\) pour le DC), bloque la composante continue \(I_L\). Seule la composante alternative \(\Delta I_L(t)\) peut traverser C. La charge R, étant purement résistive, voit passer le courant total \(I_s(t)\) qui est la somme du courant moyen \(I_s\) et du courant traversant C. Cependant, la tension aux bornes de R est supposée constante (\(V_s\)), donc le courant moyen dans R est \(I_s = V_s/R\). Comme le courant moyen dans C est nul (\(I_C = 0\)), par la loi des nœuds en moyenne, on a \(I_L = I_C + I_s = 0 + I_s\).
Remarque Pédagogique
Il est crucial de bien distinguer les valeurs instantanées (qui varient dans le temps, ex: \(I_L(t)\)) des valeurs moyennes (constantes en régime permanent, ex: \(I_L\)). Les composants réactifs (L et C) ont des comportements très différents en régime moyen (DC) et en régime alternatif (AC, ondulation).
Normes
Ce calcul utilise la Loi d'Ohm (\(V=RI\)) pour la composante moyenne et la Loi des Nœuds de Kirchhoff appliquée aux courants moyens (\(\sum I_{\text{moyen entrant}} = \sum I_{\text{moyen sortant}}\)).
Formule(s)
Loi d'Ohm pour la charge
Équilibre du courant moyen
Hypothèses
Les hypothèses principales sont :
- Le régime permanent est établi (les valeurs moyennes sont constantes).
- Le condensateur C est idéal et bloque parfaitement le courant continu (sa résistance de fuite est infinie).
- La tension de sortie \(V_s\) est considérée comme constante pour ce calcul de courant moyen (son ondulation est négligée).
Donnée(s)
Données nécessaires pour ce calcul :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension de sortie | \(V_s\) | 12 | \(\text{V}\) |
| Résistance de charge | \(R\) | 10 | \(\text{\Omega}\) |
Astuces
Vérifiez toujours les unités. Si \(V_s\) est en Volts et \(R\) en Ohms, \(I_s\) sera en Ampères.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma du hacheur montre que L et C forment un filtre passe-bas. En DC (courant moyen), L se comporte comme un court-circuit et C comme un circuit ouvert. Le courant moyen \(I_L\) passe donc intégralement dans R.
Schéma équivalent en DC (Courant Moyen)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul du courant moyen de sortie
Étape 2 : Équivalence du courant moyen
Schéma (Après les calculs)
Le courant moyen a été calculé. Il s'agit de la composante continue du courant dans l'inductance et la charge.
Visualisation du Courant Moyen
Réflexions
Le courant moyen dans l'inductance est de 1.2 A. C'est autour de cette valeur que le courant va onduler (voir question 3). C'est aussi ce courant moyen que l'interrupteur H et la diode D devront supporter (chacun pendant une fraction de la période).
Points de vigilance
Attention, ce courant moyen \(I_L\) n'est pas le courant efficace (RMS) qui sert à calculer les pertes par effet Joule (\(R \cdot I_{\text{rms}}^2\)). Cependant, si l'ondulation est faible, \(I_{\text{rms}} \approx I_L\).
Points à retenir
- Le courant moyen dans l'inductance est égal au courant moyen dans la charge : \(I_L = I_s\).
- Le courant moyen dans la charge est déterminé par la loi d'Ohm : \(I_s = V_s / R\).
Le saviez-vous ?
Le courant moyen absorbé par le hacheur à l'entrée (\(I_e\)) est plus faible que \(I_L\). En supposant un rendement de 100% (\(P_e = P_s\)), on a \(V_e \cdot I_e = V_s \cdot I_s\). Donc \(I_e = \frac{V_s}{V_e} \cdot I_s = \alpha \cdot I_L\). Ici, \(I_e = 0.25 \times 1.2 = 0.3 \text{ A}\).
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Que devient le courant moyen \(I_L\) si la charge R est de 5 Ω (en supposant que \(V_s\) reste à 12 V) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Le condensateur bloque le DC, donc \(I_L = I_s\).
- Formule Essentielle : \(I_s = V_s / R\).
- Résultat : 1.2 \(\text{A}\).
Question 3 : Calculer l'ondulation de courant \(\Delta I_L\)
Principe
Le principe repose sur la loi fondamentale de l'inductance : la tension à ses bornes est proportionnelle à la dérivée (la vitesse de variation) du courant qui la traverse (\(V_L = L \cdot di/dt\)). En appliquant une tension constante (\(V_L\)) pendant un temps (\(\Delta t\)), la variation de courant (\(\Delta I_L\)) est directement proportionnelle à \(V_L \cdot \Delta t\). On utilise l'une des phases (ON ou OFF) où la tension \(V_L\) est connue.
Mini-Cours
Pendant la phase 1 (H fermé, durée \(\alpha T\)), la tension aux bornes de L est \(V_L = V_e - V_s\). La variation de courant est \(\Delta I_{L, \text{montée}} = \frac{(V_e - V_s) \cdot \alpha T}{L}\).
Pendant la phase 2 (H ouvert, durée \((1-\alpha) T\)), la tension aux bornes de L est \(V_L = -V_s\) (en idéal). La variation de courant (une baisse) est \(\Delta I_{L, \text{descente}} = \frac{-V_s \cdot (1-\alpha) T}{L}\).
En régime permanent, la montée doit égaler la descente en valeur absolue : \(\Delta I_L = |\Delta I_{L, \text{montée}}| = |\Delta I_{L, \text{descente}}|\). On utilise généralement la formule issue de la phase 2 car elle ne dépend que de \(V_s\). En remplaçant \(T = 1/f\), on obtient : \(\Delta I_L = \frac{V_s (1-\alpha)}{f \cdot L}\).
Remarque Pédagogique
L'ondulation de courant est une mesure de la variation AC autour de la valeur moyenne DC. Pour assurer le Mode de Conduction Continue (MCC), il faut que le courant moyen \(I_L\) soit suffisamment grand pour que même au point le plus bas de l'ondulation, le courant reste positif (\(I_{\text{min}} > 0\)). La condition \(I_L > \Delta I_L / 2\) garantit cela.
Normes
Le calcul repose sur l'application de la loi de comportement de l'inductance \(V_L = L \frac{di}{dt}\) en supposant une réponse linéaire pendant chaque phase (pente constante).
Formule(s)
Ondulation de courant
Condition de Conduction Continue (MCC)
Hypothèses
- On utilise les valeurs idéales calculées précédemment (\(V_s\), \(\alpha\)).
- On suppose que \(V_s\) est parfaitement constante (ondulation de tension \(\Delta V_s\) nulle). C'est une approximation très courante et généralement justifiée pour le calcul de \(\Delta I_L\).
- L'inductance L est constante et idéale (pas de résistance série).
Donnée(s)
Données nécessaires :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension de sortie | \(V_s\) | 12 | \(\text{V}\) |
| Rapport cyclique | \(\alpha\) | 0.25 | |
| Fréquence | \(f\) | 100 000 | \(\text{Hz}\) |
| Inductance | \(L\) | 50 \(\times 10^{-6}\) | \(\text{H}\) |
| Courant moyen | \(I_L\) | 1.2 | \(\text{A}\) |
Astuces
On peut aussi calculer l'ondulation pendant la phase 1 (H fermé) : \(\Delta I_L = \frac{(V_e - V_s) \cdot \alpha}{f \cdot L}\). Le résultat doit être identique !
\(\Delta I_L = \frac{(48 - 12) \cdot 0.25}{100000 \cdot 50 \cdot 10^{-6}} = \frac{36 \cdot 0.25}{5} = \frac{9}{5} = 1.8 \text{ A}\). Ça fonctionne ! Cela permet de vérifier la cohérence des calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Le courant dans l'inductance augmente lorsque H est fermé (tension \(V_e - V_s\) appliquée à L) et diminue lorsque H est ouvert (tension \(-V_s\) appliquée à L). L'ondulation \(\Delta I_L\) représente la différence entre le maximum et le minimum de ce courant.
Tension VL et Pente du Courant IL (Rappel)
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de \(\Delta I_L\)
Étape 2 : Vérification du mode de conduction
On compare \(I_L\) à \(\Delta I_L / 2\) :
Schéma (Après les calculs)
Le courant \(I_L(t)\) oscille entre \(I_{\text{min}} = I_L - \Delta I_L/2 = 1.2 - 0.9 = 0.3 \text{ A}\) et \(I_{\text{max}} = I_L + \Delta I_L/2 = 1.2 + 0.9 = 2.1 \text{ A}\).
Forme du courant IL(t) avec valeurs
Réflexions
Puisque le courant moyen (1.2 A) est supérieur à la moitié de l'ondulation (0.9 A), le courant minimum dans l'inductance (\(I_{\text{min}} = I_L - \Delta I_L / 2 = 1.2 - 0.9 = 0.3 \text{ A}\)) est positif.
Le courant ne s'annule jamais. L'hypothèse du Mode de Conduction Continue (MCC) est donc bien vérifiée.
Points de vigilance
La condition \(I_L > \Delta I_L / 2\) est cruciale. Si elle n'est pas respectée (par exemple si la charge R augmente trop, ce qui diminue \(I_L\)), on passe en mode discontinu et les formules changent (notamment la relation entre \(V_s\) et \(\alpha\)).
Points à retenir
- L'ondulation \(\Delta I_L\) dépend de \(V_s\), \(L\), \(f\) et \(\alpha\). Elle est inversement proportionnelle à \(L\) et \(f\).
- La condition de MCC est \(I_L > \Delta I_L / 2\).
Le saviez-vous ?
L'ondulation de courant est maximale lorsque \(\alpha = 0.5\). Dans notre cas, avec \(\alpha = 0.25\), elle est un peu plus faible que le maximum possible pour ce circuit (\(\Delta I_{L,\text{max}} = V_e / (4 f L) = 48 / (4 \times 100 \text{ k} \times 50 \text{ µ}) = 2.4 \text{ A}\)).
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Que devient \(\Delta I_L\) si on double l'inductance à \(L = 100 \text{ µH}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : Ondulation de courant \(\Delta I_L = (V \cdot \Delta t) / L\).
- Formule Essentielle : \(\Delta I_L = \frac{V_s (1-\alpha)}{f \cdot L}\).
- Vérification MCC : \(I_L > \Delta I_L / 2\).
Question 4 : Calculer l'ondulation de tension \(\Delta V_s\)
Principe
Le principe est basé sur la relation charge-tension du condensateur : \(Q = C \cdot V\). La variation de tension (\(\Delta V_s\)) est proportionnelle à la variation de charge (\(\Delta Q\)) accumulée ou perdue par le condensateur pendant une demi-période. Cette charge \(\Delta Q\) provient de la partie alternative du courant de l'inductance, \(I_C(t) = I_L(t) - I_s\).
Mini-Cours
Le courant \(I_C(t)\) qui traverse le condensateur est la différence entre le courant triangulaire \(I_L(t)\) et sa valeur moyenne \(I_s\). C'est donc un courant triangulaire centré sur zéro, d'amplitude crête \(\Delta I_L / 2\).
Pendant la demi-période où \(I_C(t)\) est positif (environ \(T/2\)), le condensateur se charge. La charge accumulée \(\Delta Q\) est l'aire de ce triangle : Aire = (1/2) * Base * Hauteur = (1/2) * (T/2) * (\(\Delta I_L / 2\)) = \(T \cdot \Delta I_L / 8\).
Comme \(\Delta Q = C \cdot \Delta V_s\), on en déduit \(\Delta V_s = \frac{\Delta Q}{C} = \frac{T \cdot \Delta I_L}{8 \cdot C}\). En remplaçant \(T = 1/f\), on obtient la formule usuelle : \(\Delta V_s = \frac{\Delta I_L}{8 \cdot f \cdot C}\).
Remarque Pédagogique
L'ondulation de tension est un paramètre critique pour la qualité de l'alimentation fournie à la charge. De nombreux circuits électroniques (microprocesseurs, circuits logiques) exigent une tension d'alimentation très stable avec une faible ondulation. Le dimensionnement correct du condensateur C est donc essentiel.
Normes
Le calcul s'appuie sur la relation fondamentale du condensateur \(i_C = C \frac{dv_C}{dt}\), intégrée sur une demi-période pour trouver la variation de tension à partir de l'aire sous la courbe du courant \(I_C(t)\).
Formule(s)
Ondulation de tension
Hypothèses
- Le courant dans le condensateur \(I_C(t)\) a une forme approximativement triangulaire (ce qui est vrai si \(\Delta I_L\) est petit devant \(I_L\)).
- La résistance série équivalente (ESR) du condensateur est négligeable. L'ESR introduirait une composante d'ondulation supplémentaire en phase avec le courant \(I_C\).
- Le condensateur C est idéal (pas de courant de fuite).
Donnée(s)
Données nécessaires :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Ondulation de courant | \(\Delta I_L\) | 1.8 | \(\text{A}\) |
| Fréquence | \(f\) | 100 000 | \(\text{Hz}\) |
| Capacité | \(C\) | 220 \(\times 10^{-6}\) | \(\text{F}\) |
Astuces
Cette formule montre que pour réduire l'ondulation de tension, on peut soit augmenter la capacité C, soit augmenter la fréquence \(f\), soit réduire l'ondulation de courant \(\Delta I_L\) (en augmentant L). Le choix est souvent un compromis entre coût, taille et performance.
Schéma (Avant les calculs)
Le courant \(I_C(t)\) est la différence entre \(I_L(t)\) (triangulaire) et \(I_s\) (constant). C'est donc aussi une forme triangulaire, centrée sur zéro. L'aire \(\Delta Q\) sous la partie positive (ou négative) de ce courant charge (ou décharge) le condensateur C, créant l'ondulation de tension \(\Delta V_s\).
Courant dans le condensateur IC(t) et Charge ΔQ
Calcul(s)
Étape 1 : Application de la formule
Schéma (Après les calculs)
L'ondulation \(\Delta V_s\) est la variation crête-à-crête de la tension de sortie autour de sa valeur moyenne \(V_s\).
Tension de Sortie Vs(t) avec Ondulation
Réflexions
Le résultat est \(\Delta V_s \approx 10.2 \text{ mV}\). C'est une ondulation de tension très faible par rapport à la tension de sortie de 12 V. Le pourcentage d'ondulation est \((10.2 \text{ mV} / 12 \text{ V}) \times 100 \approx 0.085 \text{ \%}\). C'est excellent et justifie l'hypothèse faite à la Q3 (considérer \(V_s\) comme constant).
Points de vigilance
La formule suppose que l'ESR (Résistance Série Équivalente) du condensateur est nulle. En réalité, l'ESR ajoute une composante d'ondulation supplémentaire (\(\Delta V_{\text{ESR}} = \text{ESR} \cdot \Delta I_L\)) qui peut être significative, surtout à haute fréquence ou avec des condensateurs électrolytiques de moindre qualité.
Points à retenir
- L'ondulation de tension \(\Delta V_s\) dépend de \(\Delta I_L\), \(f\) et \(C\).
- Elle est inversement proportionnelle à \(f\) et \(C\).
Le saviez-vous ?
Pour obtenir une très faible ondulation, on utilise souvent plusieurs condensateurs en parallèle : des condensateurs électrolytiques ou polymères pour la capacité principale (stockage d'énergie), et des condensateurs céramiques plus petits pour filtrer les hautes fréquences (faible ESR).
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Que deviendrait \(\Delta V_s\) si on utilisait un condensateur plus petit de \(C = 100 \text{ µF}\) ?
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : \(\Delta V_s\) est causée par \(\Delta I_L\) chargeant/déchargeant C.
- Formule Essentielle : \(\Delta V_s = \frac{\Delta I_L}{8 \cdot f \cdot C}\).
- Résultat : 10.2 \(\text{mV}\).
Question 5 : Calculer les pertes par conduction et le rendement \(\eta\)
Principe
Le rendement d'un convertisseur mesure son efficacité énergétique : quelle part de la puissance absorbée en entrée est réellement délivrée à la sortie. Le reste est dissipé sous forme de chaleur (pertes). Les pertes par conduction sont dues à la résistance interne (\(R_{on}\)) de l'interrupteur lorsqu'il est fermé et à la chute de tension (\(V_D\)) de la diode lorsqu'elle conduit.
Mini-Cours
La puissance instantanée perdue dans une résistance est \(p(t) = R \cdot i(t)^2\). La puissance instantanée perdue dans une diode est \(p(t) = V_D \cdot i(t)\) (modèle simplifié avec tension de seuil). Pour obtenir la puissance moyenne perdue sur une période T, il faut moyenner ces puissances instantanées en tenant compte du temps pendant lequel chaque composant conduit.
1. Interrupteur H (MOSFET) : Conduit pendant \(\alpha T\). Le courant est \(I_L(t)\). La perte moyenne est \(P_{H,\text{cond}} = \frac{1}{T} \int_0^{\alpha T} R_{\text{on}} \cdot I_L(t)^2 dt \approx R_{\text{on}} \cdot I_{L,\text{rms}}^2 \cdot \alpha\). On approxime souvent \(I_{L,\text{rms}} \approx I_L\) (courant moyen) si l'ondulation est faible.
2. Diode D : Conduit pendant \((1-\alpha)T\). Le courant est \(I_L(t)\). La perte moyenne est \(P_{D,\text{cond}} = \frac{1}{T} \int_{\alpha T}^{T} V_D \cdot I_L(t) dt = V_D \cdot (\text{courant moyen dans D}) = V_D \cdot I_L \cdot (1-\alpha)\).
Remarque Pédagogique
Le calcul du rendement permet de choisir les composants (MOSFET avec faible \(R_{on}\), diode avec faible \(V_D\)) et de prévoir l'échauffement. Un rendement faible signifie plus de chaleur à dissiper, nécessitant un dissipateur thermique plus grand et plus coûteux, et gaspillant de l'énergie.
Normes
Les calculs utilisent les définitions de la puissance moyenne et les modèles simplifiés des pertes par conduction dans les semi-conducteurs (résistance à l'état passant pour le MOSFET, tension de seuil pour la diode).
Formule(s)
Puissance de Sortie
Pertes par Conduction (Approximation)
Rendement
Hypothèses
- On utilise l'approximation que le courant efficace dans l'interrupteur est égal au courant moyen (\(I_{L,\text{rms}} \approx I_L\)). Ceci est raisonnable si l'ondulation \(\Delta I_L\) n'est pas trop grande par rapport à \(I_L\).
- On néglige toutes les autres sources de pertes : pertes par commutation (pendant les transitions ON/OFF de H), pertes dans la commande de H, pertes dans la résistance série de L (ESR), pertes dans la résistance série de C (ESR), pertes magnétiques dans L.
- On suppose que \(V_D\) et \(R_{on}\) sont constants et ne dépendent pas du courant ou de la température.
Donnée(s)
Nous utilisons les données calculées précédemment et les données non-idéales fournies :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension de sortie | \(V_s\) | 12 | \(\text{V}\) |
| Résistance de charge | \(R\) | 10 | \(\text{\Omega}\) |
| Courant moyen | \(I_L\) | 1.2 | \(\text{A}\) |
| Rapport cyclique | \(\alpha\) | 0.25 | |
| Chute de tension Diode | \(V_D\) | 0.7 | \(\text{V}\) |
| Résistance ON Interrupteur | \(R_{\text{on}}\) | 0.1 | \(\text{\Omega}\) |
Astuces
Pour un calcul plus précis des pertes dans H, on devrait utiliser le courant RMS de l'inductance, qui est \(I_{L,\text{rms}} = \sqrt{I_L^2 + (\Delta I_L / (2\sqrt{3}))^2}\). Ici, \(I_{L,\text{rms}} = \sqrt{1.2^2 + (1.8 / (2\sqrt{3}))^2} \approx \sqrt{1.44 + 0.27} \approx 1.31 \text{ A}\). L'approximation \(I_L\) est donc raisonnable (\(1.2^2 = 1.44\) vs \(1.31^2 \approx 1.72\)).
Schéma (Avant les calculs)
On identifie les deux composants où les pertes par conduction se produisent : H (modélisé par \(R_{on}\) lorsqu'il conduit) et D (modélisé par \(V_D\) lorsqu'elle conduit).
Localisation des Pertes par Conduction (Modèle non-idéal)
Calcul(s)
Étape 1 : Puissance de sortie \(P_s\)
Étape 2 : Pertes Interrupteur \(P_{H,\text{cond}}\)
Étape 3 : Pertes Diode \(P_{D,\text{cond}}\)
Étape 4 : Pertes totales et Puissance d'entrée \(P_e\)
Étape 5 : Rendement \(\eta\)
Schéma (Après les calculs)
Le rendement calculé permet de visualiser le flux de puissance à travers le convertisseur, en mettant en évidence la part perdue.
Bilan de Puissance
Réflexions
Le rendement est d'environ 95.6 %. C'est un très bon rendement, typique des convertisseurs à découpage. On remarque que les pertes dans la diode (0.63 W) sont bien plus importantes que les pertes dans l'interrupteur (0.036 W). C'est très fréquent, et c'est pourquoi on utilise parfois des "redresseurs synchrones" (un autre MOSFET) à la place de la diode pour améliorer encore le rendement.
Points de vigilance
Ce calcul ne prend en compte que les pertes par conduction. Les pertes par commutation, qui surviennent lors des transitions ON/OFF de l'interrupteur H, peuvent devenir significatives à haute fréquence. D'autres pertes (résistance de l'inductance, ESR du condensateur, pertes magnétiques) sont également négligées. Le rendement réel sera donc légèrement inférieur à cette estimation.
Points à retenir
- Le rendement se calcule par \(\eta = P_s / (P_s + P_{\text{pertes}})\).
- Les pertes par conduction dans H (\(R_{on} I_L^2 \alpha\)) et D (\(V_D I_L (1-\alpha)\)) sont souvent les plus significatives à faible et moyenne fréquence.
- La diode est souvent la source principale de pertes par conduction dans un Buck simple.
Le saviez-vous ?
Pour améliorer le rendement, en particulier lorsque la tension de sortie est faible (où la chute de tension \(V_D\) devient proportionnellement importante), on remplace souvent la diode D par un autre MOSFET commandé de manière synchronisée avec H. C'est ce qu'on appelle le "redressement synchrone". Ce MOSFET a une \(R_{on}\) très faible, réduisant considérablement les pertes pendant la phase de roue libre.
FAQ
Questions fréquentes.
Résultat Final
A vous de jouer
Recalculez le rendement si on utilise une diode Schottky avec une chute de tension \(V_D = 0.4 \text{ V}\).
Mini Fiche Mémo
Synthèse de la Question 5 :
- Concept Clé : \(\eta = P_s / (P_s + P_{\text{pertes}})\).
- Formules : \(P_{H} \approx R_{\text{on}}I_L^2\alpha\), \(P_{D} = V_D I_L(1-\alpha)\).
- Réflexion : Les pertes de la diode sont souvent dominantes.
Outil Interactif : Simulateur de Buck Idéal
Utilisez les curseurs pour voir comment la tension d'entrée et le rapport cyclique influencent la tension de sortie et l'ondulation de courant (en gardant \(f=100 \text{ kHz}\) et \(L=50 \text{ µH}\)).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés (Idéaux)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la fonction principale d'un hacheur Buck ?
2. Comment contrôle-t-on principalement la tension de sortie \(V_s\) ?
3. En mode de conduction continue (MCC), le courant moyen dans l'inductance \(I_L\) est...
4. Pour réduire l'ondulation de courant \(\Delta I_L\) (en gardant \(f\) et \(V_s\) constants), il faut...
5. Pour réduire l'ondulation de tension \(\Delta V_s\) (en gardant \(f\) et \(\Delta I_L\) constants), il faut...
Glossaire
- Hacheur Buck (Hacheur Série)
- Un convertisseur DC-DC qui abaisse la tension (step-down). L'élément de commutation (inductance L) est en série avec la charge.
- Rapport Cyclique (\(\alpha\))
- Le ratio du temps 'ON' de l'interrupteur (\(t_{\text{on}}\)) sur la période totale de découpage (\(T\)). \(\alpha = t_{\text{on}} / T\). C'est la valeur de commande du hacheur, entre 0 et 1.
- Mode de Conduction Continue (MCC)
- Aussi appelé CCM (Continuous Conduction Mode). C'est un régime de fonctionnement où le courant dans l'inductance (\(I_L\)) ne s'annule jamais (il est toujours > 0).
- Mode de Conduction Discontinue (MCD)
- Aussi appelé DCM (Discontinuous Conduction Mode). Un régime où le courant dans l'inductance retombe à zéro à chaque période. Cela se produit à faible charge (R élevée).
- Ondulation (Ripple)
- La variation périodique (AC) d'un signal autour de sa valeur moyenne (DC). On parle d'ondulation de courant (\(\Delta I_L\)) et d'ondulation de tension (\(\Delta V_s\)).
- Diode de Roue Libre
- La diode (D) dans le hacheur Buck. Elle fournit un chemin au courant de l'inductance lorsque l'interrupteur H est ouvert, empêchant une surtension destructive.
- Rendement (\(\eta\))
- Rapport entre la puissance de sortie (\(P_s\)) et la puissance d'entrée (\(P_e\)) d'un système. \(\eta = P_s / P_e\). Toujours inférieur à 1 (ou 100%) en raison des pertes.
- Pertes par conduction
- Pertes d'énergie dues à la résistance des composants lorsqu'ils conduisent le courant (effet Joule \(R \cdot I^2\) ou chute de tension \(V \cdot I\)).
- Pertes par commutation
- Pertes d'énergie qui se produisent pendant les transitions rapides (ouverture/fermeture) des interrupteurs (MOSFET, IGBT), lorsque tension et courant sont simultanément non nuls.
- ESR (Equivalent Series Resistance)
- Résistance série équivalente. Modélise les pertes résistives internes d'un composant supposé idéal, comme un condensateur ou une inductance.
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