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Analyse d’un Oscillateur LC à 10 MHz

Analyse d’un Oscillateur LC à 10 MHz

Analyse d’un Oscillateur LC à 10 MHz

Comprendre les Oscillateurs LC

Un oscillateur LC, également connu sous le nom de circuit résonant ou circuit bouchon (tank circuit), est un circuit électrique composé d'une inductance (L) et d'un condensateur (C) connectés ensemble, généralement en parallèle. Lorsqu'il est excité, le circuit LC peut stocker de l'énergie électrique qui oscille à une fréquence spécifique, appelée fréquence de résonance. Cette oscillation se produit par un échange continu d'énergie entre le champ magnétique de l'inductance et le champ électrique du condensateur.

La fréquence de résonance naturelle \(f_0\) d'un circuit LC idéal (sans résistance) est donnée par la formule de Thomson : \(f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\). En pratique, les composants réels possèdent une certaine résistance, ce qui amortit les oscillations. Pour maintenir des oscillations entretenues, un circuit actif (comme un transistor) est nécessaire pour compenser ces pertes d'énergie, formant ainsi un oscillateur auto-entretenu.

Les oscillateurs LC sont largement utilisés dans les systèmes de communication radio pour générer des signaux à des fréquences spécifiques (par exemple, dans les émetteurs et les récepteurs), ainsi que dans les filtres et les générateurs de signaux.

Cet exercice se concentre sur le calcul des paramètres d'un circuit LC parallèle idéal et l'introduction des effets d'une résistance série dans l'inductance.

Données de l'étude

On souhaite concevoir un circuit résonant LC parallèle pour osciller à une fréquence de \(10 \, \text{MHz}\).

Caractéristiques du circuit et des composants :

  • Fréquence de résonance désirée (\(f_0\)) : \(10 \, \text{MHz}\)
  • Valeur du condensateur (\(C\)) : \(100 \, \text{pF}\) (picoFarads)
  • On considère d'abord le circuit comme idéal (sans pertes).
  • Par la suite, on considérera que l'inductance possède une résistance série (\(R_S\)) : \(5 \, \text{Ω}\).
  • Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\) (pour contexte)
  • Perméabilité du vide (\(\mu_0\)) : \(4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}\) (pour contexte)
Schéma d'un Circuit Oscillateur LC Parallèle
L C Circuit LC Parallèle

Circuit LC parallèle simple. La résistance série de l'inducteur sera considérée plus tard.

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation de résonance \(\omega_0\) correspondant à \(f_0 = 10 \, \text{MHz}\).
  2. Calculer la valeur de l'inductance \(L\) nécessaire pour obtenir cette fréquence de résonance avec \(C = 100 \, \text{pF}\).
  3. Calculer l'impédance de l'inductance (\(X_L\)) et l'impédance du condensateur (\(X_C\)) à la fréquence de résonance \(f_0\). Que peut-on dire de leurs magnitudes ?
  4. En considérant maintenant que l'inductance \(L\) (calculée en Q2) possède une résistance série \(R_S = 5 \, \text{Ω}\), calculer le facteur de qualité \(Q_L\) de la bobine à la fréquence de résonance \(f_0\).
  5. Calculer la bande passante (\(BW\)) du circuit résonant si l'on considère que son facteur de qualité global est dominé par celui de la bobine (\(Q \approx Q_L\)).
  6. Si ce circuit LC est utilisé comme base d'un oscillateur, quelle est la condition principale (critère de Barkhausen concernant le gain de boucle) pour que des oscillations entretenues soient possibles (discussion qualitative) ?

Correction : Analyse d’un Oscillateur LC à 10 MHz

Question 1 : Pulsation de résonance \(\omega_0\)

Principe :

La pulsation \(\omega_0\) (en radians par seconde) est liée à la fréquence de résonance \(f_0\) (en Hertz) par la relation \(\omega_0 = 2\pi f_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega_0 = 2\pi f_0\]
Données spécifiques :
  • Fréquence de résonance (\(f_0\)) : \(10 \, \text{MHz} = 10 \times 10^6 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega_0 &= 2\pi \cdot (10 \times 10^6 \, \text{Hz}) \\ &= 20\pi \times 10^6 \, \text{rad/s} \\ &\approx 6.283185 \times 10^7 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation de résonance est \(\omega_0 \approx 6.283 \times 10^7 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Valeur de l'inductance \(L\)

Principe :

La fréquence de résonance d'un circuit LC idéal est donnée par \(f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\). On peut réarranger cette formule pour trouver \(L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[L = \frac{1}{(2\pi f_0)^2 C} = \frac{1}{\omega_0^2 C}\]
Données spécifiques :
  • Pulsation de résonance (\(\omega_0\)) : \(20\pi \times 10^6 \, \text{rad/s}\) (de Q1)
  • Capacité (\(C\)) : \(100 \, \text{pF} = 100 \times 10^{-12} \, \text{F} = 1 \times 10^{-10} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} L &= \frac{1}{(20\pi \times 10^6 \, \text{rad/s})^2 \cdot (1 \times 10^{-10} \, \text{F})} \\ &= \frac{1}{(400\pi^2 \times 10^{12}) \cdot (1 \times 10^{-10})} \, \text{H} \\ &= \frac{1}{400\pi^2 \times 10^2} \, \text{H} \\ &= \frac{1}{40000\pi^2} \, \text{H} \\ &\approx \frac{1}{40000 \cdot 9.8696} \, \text{H} \\ &\approx \frac{1}{394784} \, \text{H} \\ &\approx 2.533 \times 10^{-6} \, \text{H} \end{aligned} \]

Soit \(L \approx 2.53 \, \mu\text{H}\) (microHenrys).

Résultat Question 2 : L'inductance nécessaire est \(L \approx 2.53 \, \mu\text{H}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la capacité \(C\) d'un circuit LC est doublée, pour maintenir la même fréquence de résonance, l'inductance \(L\) doit être :

Question 3 : Impédances \(X_L\) et \(X_C\) à la résonance

Principe :

L'impédance d'une inductance est \(X_L = \omega L\) et celle d'un condensateur est \(X_C = -1/(\omega C)\) (ou sa réactance \(|X_C| = 1/(\omega C)\)). À la résonance \(\omega_0\), les magnitudes de ces impédances sont égales.

Formule(s) utilisée(s) :
\[X_L = \omega_0 L\] \[X_C = -\frac{1}{\omega_0 C} \quad (\text{Réactance capacitive } |X_C| = \frac{1}{\omega_0 C})\]
Données spécifiques :
  • \(\omega_0 \approx 6.283 \times 10^7 \, \text{rad/s}\)
  • \(L \approx 2.533 \times 10^{-6} \, \text{H}\)
  • \(C = 1 \times 10^{-10} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} X_L &= (6.283185 \times 10^7 \, \text{rad/s}) \cdot (2.53303 \times 10^{-6} \, \text{H}) \\ &\approx 159.155 \, \text{Ω} \\ \\ |X_C| &= \frac{1}{(6.283185 \times 10^7 \, \text{rad/s}) \cdot (1 \times 10^{-10} \, \text{F})} \\ &= \frac{1}{6.283185 \times 10^{-3}} \, \text{Ω} \\ &\approx 159.155 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

Les magnitudes sont égales, comme attendu à la résonance. \(X_C \approx -159.16 \, \text{Ω}\).

Résultat Question 3 : À la résonance, \(X_L \approx 159.16 \, \text{Ω}\) et \(X_C \approx -159.16 \, \text{Ω}\). Leurs magnitudes sont égales.

Question 4 : Facteur de qualité \(Q_L\) de la bobine

Principe :

Le facteur de qualité \(Q_L\) d'une bobine avec une résistance série \(R_S\) est le rapport de sa réactance inductive à sa résistance série, à la fréquence de résonance : \(Q_L = \frac{\omega_0 L}{R_S}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_L = \frac{\omega_0 L}{R_S} = \frac{X_L}{R_S}\]
Données spécifiques :
  • \(X_L \approx 159.155 \, \text{Ω}\) (de Q3)
  • \(R_S = 5 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_L &= \frac{159.155 \, \text{Ω}}{5 \, \text{Ω}} \\ &\approx 31.831 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le facteur de qualité de la bobine est \(Q_L \approx 31.83\).

Quiz Intermédiaire 2 : Un facteur de qualité élevé pour un circuit résonant indique :

Question 5 : Bande passante (\(BW\)) du circuit

Principe :

La bande passante \(BW\) d'un circuit résonant est la plage de fréquences pour laquelle la puissance transmise est au moins la moitié de la puissance maximale (à la résonance). Elle est reliée à la fréquence de résonance \(f_0\) et au facteur de qualité \(Q\) par \(BW = f_0 / Q\). Ici, on approxime \(Q \approx Q_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[BW = \frac{f_0}{Q_L}\]
Données spécifiques :
  • \(f_0 = 10 \times 10^6 \, \text{Hz}\)
  • \(Q_L \approx 31.831\) (de Q4)
Calcul :
\[ \begin{aligned} BW &= \frac{10 \times 10^6 \, \text{Hz}}{31.831} \\ &\approx 314159 \, \text{Hz} \\ &\approx 0.314 \, \text{MHz} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La bande passante du circuit est \(BW \approx 0.314 \, \text{MHz}\) (ou \(314 \, \text{kHz}\)).

Question 6 : Condition pour oscillations entretenues (Critère de Barkhausen)

Principe et Discussion :

Pour qu'un circuit LC produise des oscillations entretenues (c'est-à-dire qu'il fonctionne comme un oscillateur), il doit être associé à un circuit actif (par exemple, un amplificateur à transistor) qui compense les pertes d'énergie inévitables (dues à \(R_S\) et à d'autres résistances parasites). Le critère de Barkhausen énonce deux conditions pour l'oscillation :

  1. Gain de boucle unitaire : L'amplitude du gain de la boucle de rétroaction doit être égale à l'unité (\(|A\beta_{fb}| = 1\)) à la fréquence d'oscillation. \(A\) est le gain de l'amplificateur et \(\beta_{fb}\) est le facteur de la boucle de rétroaction.
  2. Déphasage de boucle nul (ou multiple de \(2\pi\)) : Le déphasage total introduit par la boucle de rétroaction doit être de \(0^\circ\) ou un multiple entier de \(360^\circ\) (soit \(2n\pi\) radians) à la fréquence d'oscillation. Cela signifie que la rétroaction doit être positive.

Dans le cas d'un circuit LC, le circuit résonant lui-même introduit un déphasage qui varie avec la fréquence (nul à la résonance pour un circuit parallèle idéal). L'amplificateur et le réseau de rétroaction doivent être conçus pour satisfaire ces deux conditions à la fréquence de résonance souhaitée \(f_0\).

Résultat Question 6 : Pour des oscillations entretenues, le gain de boucle de l'ensemble (circuit LC + circuit actif) doit être égal à 1 et le déphasage total de la boucle doit être un multiple de \(2\pi\) (ou \(0^\circ\)) à la fréquence d'oscillation.

Quiz Intermédiaire 2 : Un oscillateur LC a besoin d'un composant actif pour :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La fréquence de résonance d'un circuit LC idéal est :

2. À la fréquence de résonance d'un circuit LC parallèle idéal, l'impédance totale du circuit est :

3. Le facteur de qualité \(Q\) d'un circuit résonant est une mesure de :

Glossaire

Oscillateur LC
Circuit électronique composé d'une inductance (L) et d'un condensateur (C) qui, lorsqu'il est excité, produit des oscillations électriques à une fréquence déterminée par les valeurs de L et C.
Fréquence de Résonance (\(f_0\))
Fréquence à laquelle un circuit LC présente une impédance maximale (circuit parallèle) ou minimale (circuit série) et où l'énergie oscille de manière optimale entre l'inductance et le condensateur.
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire de l'oscillation, reliée à la fréquence par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Inductance (\(L\))
Propriété d'un composant électrique (bobine) de s'opposer aux variations du courant qui le traverse, en stockant de l'énergie sous forme de champ magnétique. Unité : Henry (H).
Capacité (\(C\))
Propriété d'un composant électrique (condensateur) de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique. Unité : Farad (F).
Impédance (\(Z\))
Mesure de l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, combinant la résistance et la réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance Inductive (\(X_L\))
Opposition offerte par une inductance au passage d'un courant alternatif. \(X_L = \omega L\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance Capacitive (\(X_C\))
Opposition offerte par un condensateur au passage d'un courant alternatif. \(|X_C| = 1/(\omega C)\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Facteur de Qualité (\(Q\))
Paramètre sans dimension qui décrit le degré de sous-amortissement d'un résonateur. Un Q élevé indique de faibles pertes et une résonance "pointue" (bande passante étroite).
Bande Passante (\(BW\))
Plage de fréquences sur laquelle un circuit résonant répond de manière significative (généralement définie comme la plage où la puissance est supérieure à la moitié de la puissance maximale).
Critère de Barkhausen
Conditions nécessaires pour qu'un circuit électronique linéaire oscille : le gain de boucle doit être égal à l'unité et le déphasage total de la boucle doit être un multiple entier de \(2\pi\).
Analyse d’un Oscillateur LC à 10 MHz

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