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Application des Nombres Complexes aux Circuits AC

Application des Nombres Complexes pour la Résolution de Circuits AC

Comprendre l'Utilisation des Nombres Complexes

L'analyse des circuits en régime sinusoïdal forcé peut être grandement simplifiée en utilisant la notation complexe. Au lieu de travailler avec des équations différentielles et des fonctions sinusoïdales, on associe à chaque grandeur (tension, courant) un nombre complexe appelé "phaseur". Les composants passifs (R, L, C) sont représentés par leur "impédance complexe" (\(\underline{Z}\)). La loi d'Ohm devient alors une simple relation algébrique \(\underline{U} = \underline{Z} \times \underline{I}\), ce qui simplifie considérablement les calculs, notamment pour les circuits avec plusieurs branches.

Données de l'étude

Un circuit RLC parallèle est alimenté par une source de tension sinusoïdale de valeur efficace \(U_e = 24 \, \text{V}\) et de fréquence \(f = 50 \, \text{Hz}\). On prendra la tension de la source comme référence de phase (\(\phi_u = 0^\circ\)).

  • Branche 1 : Résistance pure, \(R = 30 \, \Omega\)
  • Branche 2 : Inductance pure, \(L = 150 \, \text{mH}\)
  • Branche 3 : Capacité pure, \(C = 40 \, \mu\text{F}\)
Schéma du Circuit RLC Parallèle
Ue R I_R L I_L C I_C I_T

Questions à traiter

  1. Calculer les impédances complexes \(\underline{Z_R}\), \(\underline{Z_L}\) et \(\underline{Z_C}\) de chaque branche.
  2. Calculer les admittances complexes \(\underline{Y_R}\), \(\underline{Y_L}\) et \(\underline{Y_C}\) de chaque branche.
  3. Déterminer l'admittance totale équivalente (\(\underline{Y_{eq}}\)) et l'impédance totale équivalente (\(\underline{Z_{eq}}\)) du circuit.
  4. Calculer le courant total complexe (\(\underline{I_T}\)) fourni par la source, puis en déduire son module \(I_T\) et son déphasage \(\phi_i\).
  5. Calculer les courants complexes dans chaque branche (\(\underline{I_R}\), \(\underline{I_L}\), \(\underline{I_C}\)).
  6. Vérifier la loi des nœuds : \(\underline{I_T} = \underline{I_R} + \underline{I_L} + \underline{I_C}\).

Correction : Application des Nombres Complexes aux Circuits AC

1. Impédances Complexes des Branches

Principe :

L'impédance d'une résistance est un nombre réel. Celles d'une inductance et d'une capacité sont des imaginaires purs. On calcule d'abord les réactances \(X_L\) et \(X_C\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} X_L &= 2\pi fL = 2\pi(50)(0.150) \approx 47.12 \, \Omega \\ X_C &= \frac{1}{2\pi fC} = \frac{1}{2\pi(50)(40 \times 10^{-6})} \approx 79.58 \, \Omega \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \underline{Z_R} &= R = 30 \, \Omega \\ \underline{Z_L} &= jX_L = j47.12 \, \Omega \\ \underline{Z_C} &= -jX_C = -j79.58 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat : \(\underline{Z_R} = 30 \, \Omega\), \(\underline{Z_L} = j47.12 \, \Omega\), \(\underline{Z_C} = -j79.58 \, \Omega\).

2. Admittances Complexes des Branches

Principe :

L'admittance est l'inverse de l'impédance (\(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\)). Elle est particulièrement utile pour les circuits en parallèle car les admittances s'additionnent. Son unité est le Siemens (S).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \underline{Y_R} &= \frac{1}{\underline{Z_R}} = \frac{1}{30} \approx 0.0333 \, \text{S} \\ \underline{Y_L} &= \frac{1}{\underline{Z_L}} = \frac{1}{j47.12} = -j0.0212 \, \text{S} \\ \underline{Y_C} &= \frac{1}{\underline{Z_C}} = \frac{1}{-j79.58} = j0.0126 \, \text{S} \end{aligned} \]
Résultat : \(\underline{Y_R} \approx 0.0333 \, \text{S}\), \(\underline{Y_L} \approx -j0.0212 \, \text{S}\), \(\underline{Y_C} \approx j0.0126 \, \text{S}\).

3. Admittance et Impédance Totales

Principe :

Dans un circuit parallèle, l'admittance totale est la somme des admittances de chaque branche. L'impédance totale est ensuite l'inverse de l'admittance totale.

Calcul :

Admittance totale :

\[ \begin{aligned} \underline{Y_{eq}} &= \underline{Y_R} + \underline{Y_L} + \underline{Y_C} \\ &= 0.0333 - j0.0212 + j0.0126 \\ &= (0.0333 - j0.0086) \, \text{S} \end{aligned} \]

Impédance totale :

\[ \begin{aligned} \underline{Z_{eq}} &= \frac{1}{\underline{Y_{eq}}} = \frac{1}{0.0333 - j0.0086} \\ &= \frac{0.0333 + j0.0086}{0.0333^2 + 0.0086^2} \\ &\approx (29.2 + j7.54) \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat : \(\underline{Y_{eq}} = (0.0333 - j0.0086) \, \text{S}\) et \(\underline{Z_{eq}} \approx (29.2 + j7.54) \, \Omega\).

4. Courant Total (\(\underline{I_T}\))

Principe :

Le courant total est trouvé par la loi d'Ohm, en utilisant soit l'impédance totale, soit l'admittance totale. La tension de source est notre référence de phase \(\underline{U_e} = 24 \angle 0^\circ \, \text{V}\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \underline{I_T} &= \underline{U_e} \times \underline{Y_{eq}} \\ &= (24 \angle 0^\circ) \times (0.0333 - j0.0086) \\ &= (0.799 - j0.206) \, \text{A} \end{aligned} \]

Conversion en forme polaire (module et angle) :

\[ \begin{aligned} |I_T| &= \sqrt{0.799^2 + (-0.206)^2} \approx 0.825 \, \text{A} \\ \phi_i &= \arctan\left(\frac{-0.206}{0.799}\right) \approx -14.4^\circ \end{aligned} \]
Résultat : Le courant total est \(I_T \approx 0.825 \, \text{A}\) avec un déphasage de \(\phi_i \approx -14.4^\circ\) (en retard).

5. Courants de Branche

Calcul :
\[ \begin{aligned} \underline{I_R} &= \underline{U_e} \times \underline{Y_R} = 24 \times 0.0333 = 0.80 \, \text{A} \\ \underline{I_L} &= \underline{U_e} \times \underline{Y_L} = 24 \times (-j0.0212) = -j0.51 \, \text{A} \\ \underline{I_C} &= \underline{U_e} \times \underline{Y_C} = 24 \times (j0.0126) = j0.30 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat : \(\underline{I_R} = 0.8 \, \text{A}\), \(\underline{I_L} = -j0.51 \, \text{A}\), \(\underline{I_C} = j0.30 \, \text{A}\).

6. Vérification de la Loi des Nœuds

Calcul :
\[ \begin{aligned} \underline{I_R} + \underline{I_L} + \underline{I_C} &= 0.80 - j0.51 + j0.30 \\ &= (0.80 - j0.21) \, \text{A} \end{aligned} \]

Ce résultat \((0.80 - j0.21) \, \text{A}\) est bien égal (aux arrondis près) au courant total \(\underline{I_T} = (0.799 - j0.206) \, \text{A}\) calculé à la question 4.

Résultat : La loi des nœuds de Kirchhoff est vérifiée.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. L'admittance est...

2. L'impédance d'un condensateur pur est...

Glossaire

Phaseur
Vecteur tournant dans le plan complexe représentant une grandeur sinusoïdale (tension ou courant). Sa longueur est l'amplitude efficace et son angle est le déphasage.
Impédance Complexe (\(\underline{Z}\))
Représentation complexe de l'opposition d'un circuit au courant alternatif. \(\underline{Z} = R + jX\), où R est la résistance et X la réactance.
Admittance Complexe (\(\underline{Y}\))
Inverse de l'impédance complexe (\(\underline{Y} = 1/\underline{Z}\)). Elle représente la facilité avec laquelle un circuit laisse passer le courant. Unité : Siemens (S).
Loi des Nœuds (en complexe)
La somme des phaseurs des courants qui entrent dans un nœud est égale à la somme des phaseurs des courants qui en sortent (\(\sum \underline{I}_{\text{entrant}} = \sum \underline{I}_{\text{sortant}}\)).
Nombres Complexes - Exercice d'Application

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