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Application du Théorème de Norton

Application du Théorème de Norton

Application du Théorème de Norton

Comprendre le Théorème de Norton

Le théorème de Norton est un outil puissant en analyse de circuits linéaires. Il stipule que n'importe quelle portion d'un circuit linéaire, vue depuis deux bornes, peut être remplacée par un circuit équivalent simple. Ce circuit équivalent est constitué d'une source de courant idéale (\(I_N\), appelée courant de Norton) en parallèle avec une résistance équivalente (\(R_N\), appelée résistance de Norton). Ce théorème simplifie grandement l'analyse des circuits, notamment lorsqu'on s'intéresse au comportement d'une charge connectée à un réseau complexe. Pour trouver l'équivalent de Norton, on détermine le courant de court-circuit entre les deux bornes (c'est \(I_N\)) et la résistance vue entre ces mêmes bornes lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (c'est \(R_N\)).

Données de l'étude

On considère le circuit en courant continu ci-dessous. On souhaite déterminer le courant \(I_L\) traversant la résistance de charge \(R_L\) en utilisant le théorème de Norton.

Valeurs des composants :

  • Tension de la source : \(V_{\text{s}} = 10 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(2 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(3 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(6 \, \Omega\)
  • Résistance de charge \(R_L\) : \(4 \, \Omega\)
Schéma : Circuit pour Application du Théorème de Norton
Vs 10V + − R1 2Ω X R2 3Ω A R3 6Ω B RL 4Ω ↓ IL

Circuit pour l'application du théorème de Norton.

Questions à traiter

  1. Déterminer le courant de Norton (\(I_N\)) vu des bornes A et B (où \(R_L\) est connectée).
  2. Déterminer la résistance de Norton (\(R_N\)) vue des bornes A et B.
  3. Dessiner le circuit équivalent de Norton avec la résistance de charge \(R_L\) connectée à ses bornes.
  4. Calculer le courant (\(I_L\)) traversant la résistance de charge \(R_L\) en utilisant le circuit équivalent de Norton.
  5. Calculer la tension (\(V_L\)) aux bornes de la résistance de charge \(R_L\).
  6. Calculer la puissance (\(P_L\)) dissipée par la résistance de charge \(R_L\).

Correction : Application du Théorème de Norton

Question 1 : Courant de Norton (\(I_N\))

Principe :

Pour trouver le courant de Norton (\(I_N\)), on retire la résistance de charge \(R_L\) et on la remplace par un court-circuit entre les bornes A et B. \(I_N\) est alors le courant qui traverse ce court-circuit.

Lorsque A et B sont court-circuités, la résistance \(R_3\) est également court-circuitée (elle se trouve en parallèle avec un fil de résistance nulle). Le courant de la source ne passera donc pas par \(R_3\). Le circuit se simplifie à \(V_s\) en série avec \(R_1\) et \(R_2\). Le courant qui traverse \(R_2\) est le courant de Norton, car \(R_2\) se termine au point A, et le court-circuit est entre A et B.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_N = I_{\text{court-circuit AB}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{s}} = 10 \, \text{V}\)
  • \(R_1 = 2 \, \Omega\)
  • \(R_2 = 3 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 6 \, \Omega\) (court-circuitée dans ce cas)
Calcul :

Avec le court-circuit entre A et B, \(R_3\) est en parallèle avec le court-circuit, donc aucun courant ne la traverse. Le courant total de la source passe par \(R_1\) puis par \(R_2\) avant d'atteindre le court-circuit AB.

\[ \begin{aligned} R_{\text{eq\_pour\_IN}} &= R_1 + R_2 \\ &= 2 \, \Omega + 3 \, \Omega = 5 \, \Omega \\ I_N &= \frac{V_{\text{s}}}{R_{\text{eq\_pour\_IN}}} \\ &= \frac{10 \, \text{V}}{5 \, \Omega} \\ &= 2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le courant de Norton est \(I_N = 2 \, \text{A}\).

Question 2 : Résistance de Norton (\(R_N\))

Principe :

Pour trouver la résistance de Norton (\(R_N\)), on retire la résistance de charge \(R_L\), on éteint toutes les sources indépendantes (les sources de tension sont remplacées par des courts-circuits, les sources de courant par des circuits ouverts), puis on calcule la résistance équivalente vue depuis les bornes A et B.

En éteignant \(V_s\) (court-circuit), \(R_1\) se retrouve en parallèle avec \(R_3\). Ce groupement (\(R_1 // R_3\)) est ensuite en série avec \(R_2\) pour donner la résistance vue entre A et B.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_N = R_{\text{eq AB (sources éteintes)}}\] \[\frac{1}{R_{1//3}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_3} \Rightarrow R_{1//3} = \frac{R_1 R_3}{R_1 + R_3}\] \[R_N = R_2 + R_{1//3}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 2 \, \Omega\)
  • \(R_2 = 3 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 6 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{1//3} &= \frac{2 \, \Omega \times 6 \, \Omega}{2 \, \Omega + 6 \, \Omega} \\ &= \frac{12 \, \Omega^2}{8 \, \Omega} = 1.5 \, \Omega \\ R_N &= R_2 + R_{1//3} \\ &= 3 \, \Omega + 1.5 \, \Omega \\ &= 4.5 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance de Norton est \(R_N = 4.5 \, \Omega\).

Question 3 : Circuit équivalent de Norton

Principe :

Le circuit original, vu des bornes A et B, peut être remplacé par une source de courant \(I_N\) en parallèle avec une résistance \(R_N\). La résistance de charge \(R_L\) est ensuite connectée à ces bornes.

Schéma :
IN 2A RN 4.5Ω RL 4Ω A B ↓ IL
Résultat Question 3 : Le schéma ci-dessus représente le circuit équivalent de Norton avec la charge.

Question 4 : Courant (\(I_L\)) traversant \(R_L\)

Principe :

Dans le circuit équivalent de Norton, le courant \(I_N\) se divise entre \(R_N\) et \(R_L\) qui sont en parallèle. On utilise la règle du diviseur de courant.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_L = I_N \times \frac{R_N}{R_N + R_L}\]
Données spécifiques :
  • \(I_N = 2 \, \text{A}\)
  • \(R_N = 4.5 \, \Omega\)
  • \(R_L = 4 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_L &= 2 \, \text{A} \times \frac{4.5 \, \Omega}{4.5 \, \Omega + 4 \, \Omega} \\ &= 2 \, \text{A} \times \frac{4.5}{8.5} \\ &= 2 \, \text{A} \times \frac{9}{17} \\ &= \frac{18}{17} \, \text{A} \\ &\approx 1.0588 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le courant traversant la charge \(R_L\) est \(I_L \approx 1.06 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Dans un circuit équivalent de Norton, la source de courant \(I_N\) est en :

Question 5 : Tension (\(V_L\)) aux bornes de \(R_L\)

Principe :

La tension aux bornes de la charge est \(V_L = R_L I_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_L = R_L I_L\]
Données spécifiques :
  • \(R_L = 4 \, \Omega\)
  • \(I_L = \frac{18}{17} \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_L &= 4 \, \Omega \times \frac{18}{17} \, \text{A} \\ &= \frac{72}{17} \, \text{V} \\ &\approx 4.235 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La tension aux bornes de la charge est \(V_L \approx 4.24 \, \text{V}\).

Question 6 : Puissance (\(P_L\)) dissipée par \(R_L\)

Principe :

La puissance dissipée par la charge est \(P_L = V_L I_L\) ou \(P_L = I_L^2 R_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_L = I_L^2 R_L\]
Données spécifiques :
  • \(I_L = \frac{18}{17} \, \text{A}\)
  • \(R_L = 4 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_L &= \left(\frac{18}{17} \, \text{A}\right)^2 \times 4 \, \Omega \\ &= \frac{324}{289} \, \text{A}^2 \times 4 \, \Omega \\ &= \frac{1296}{289} \, \text{W} \\ &\approx 4.4844 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : La puissance dissipée par la charge est \(P_L \approx 4.48 \, \text{W}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le courant de Norton (\(I_N\)) est le courant qui traverse :

2. Pour calculer la résistance de Norton (\(R_N\)), les sources de tension indépendantes du circuit original sont :

3. Dans un circuit équivalent de Norton, la résistance de Norton \(R_N\) est connectée :

Glossaire

Théorème de Norton
Théorème permettant de simplifier un circuit linéaire complexe en un circuit équivalent composé d'une source de courant idéale (\(I_N\)) en parallèle avec une résistance équivalente (\(R_N\)).
Courant de Norton (\(I_N\))
Courant qui circulerait à travers un court-circuit placé entre les deux bornes de sortie du circuit original.
Résistance de Norton (\(R_N\))
Résistance équivalente vue entre les deux bornes de sortie du circuit original lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (sources de tension court-circuitées, sources de courant ouvertes).
Circuit Équivalent de Norton
Modèle simplifié d'un circuit, composé d'une source de courant \(I_N\) en parallèle avec une résistance \(R_N\).
Diviseur de Courant
Règle utilisée pour déterminer comment le courant se divise entre des branches parallèles. Le courant dans une branche est proportionnel à la conductance de cette branche (ou inversement proportionnel à sa résistance) par rapport à la conductance (ou résistance) totale du groupement parallèle.
Application du Théorème de Norton

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