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Calcul de la Bande Passante et du Gain

Calcul de la Bande Passante et du Gain d’un Filtre RC

Calcul de la Bande Passante et du Gain d’un Filtre RC

Comprendre la Bande Passante et le Gain des Filtres

En électronique, un filtre est un circuit qui modifie l'amplitude et/ou la phase des composantes fréquentielles d'un signal. Le gain d'un filtre (\(A\)) est le rapport entre l'amplitude du signal de sortie et l'amplitude du signal d'entrée. Ce gain est généralement dépendant de la fréquence et est souvent exprimé en décibels (dB).

La bande passante (BW) d'un filtre est la plage de fréquences pour laquelle le filtre laisse passer le signal avec une atténuation minimale (ou un gain proche de son maximum). Elle est typiquement définie comme la plage de fréquences où la puissance du signal de sortie est supérieure ou égale à la moitié de la puissance maximale. Pour un gain en tension, cela correspond aux fréquences où le gain est supérieur ou égal à \(1/\sqrt{2}\) (environ 0.707) de son gain maximal, ce qui équivaut à une atténuation de -3 dB par rapport au gain maximal. La fréquence à laquelle le gain chute à -3 dB par rapport au gain en bande passante est appelée fréquence de coupure (\(f_c\)).

Un filtre RC passe-bas simple est constitué d'une résistance (R) en série avec un condensateur (C), la tension de sortie étant prise aux bornes du condensateur. Il atténue les hautes fréquences et laisse passer les basses fréquences.

Cet exercice se concentre sur l'analyse d'un filtre RC passe-bas, incluant le calcul de sa fonction de transfert, de sa fréquence de coupure, de son gain à différentes fréquences, et de sa bande passante.

Données de l'étude

On considère un filtre RC passe-bas alimenté par une source de tension sinusoïdale \(v_e(t)\).

Caractéristiques du circuit :

  • Résistance (\(R\)) : \(1.0 \, \text{kΩ}\)
  • Capacité (\(C\)) : \(10 \, \text{nF}\) (nanoFarads)
  • Tension d'entrée : \(v_e(t)\)
  • Tension de sortie (aux bornes de C) : \(v_s(t)\)
Schéma du Filtre RC Passe-Bas
Ve R C Vs

Filtre RC passe-bas. La sortie est prise aux bornes du condensateur C.

Questions à traiter

  1. Déterminer l'expression de la fonction de transfert complexe \(H(j\omega) = \frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)}\) du filtre RC passe-bas.
  2. Déterminer l'expression du module du gain en tension \(|H(j\omega)|\).
  3. Calculer la fréquence de coupure à -3dB (\(f_c\)) du filtre.
  4. Calculer le gain en tension en décibels (dB) à la fréquence de coupure \(f_c\).
  5. Quel est le gain en tension (en valeur absolue et en dB) du filtre pour les très basses fréquences (\(f \rightarrow 0\)) ?
  6. Quelle est la bande passante à -3dB de ce filtre ?
  7. Si la tension d'entrée est \(v_e(t) = 5 \cos(2\pi f_c t) \, \text{V}\), quelle est l'amplitude maximale de la tension de sortie \(v_s(t)\) ?

Correction : Calcul de la Bande Passante et du Gain d’un Filtre RC

Question 1 : Fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\)

Principe :

La fonction de transfert est le rapport de la tension de sortie sur la tension d'entrée dans le domaine fréquentiel. Pour un filtre RC passe-bas, la sortie est prise aux bornes du condensateur. On utilise le diviseur de tension avec les impédances : \(Z_R = R\) et \(Z_C = \frac{1}{j\omega C}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[H(j\omega) = \frac{V_s(j\omega)}{V_e(j\omega)} = \frac{Z_C}{R + Z_C}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} H(j\omega) &= \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R + \frac{1}{j\omega C}} \\ &= \frac{\frac{1}{j\omega C}}{\frac{j\omega RC + 1}{j\omega C}} \\ &= \frac{1}{1 + j\omega RC} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La fonction de transfert complexe est \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}\).

Question 2 : Module du gain en tension \(|H(j\omega)|\)

Principe :

Le module d'un nombre complexe \(z = x + jy\) est \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Pour la fonction de transfert \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}\), le numérateur est 1 et le dénominateur est \(1 + j(\omega RC)\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} |H(j\omega)| &= \left| \frac{1}{1 + j\omega RC} \right| \\ &= \frac{|1|}{|1 + j\omega RC|} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1^2 + (\omega RC)^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le module du gain en tension est \(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\).

Quiz Intermédiaire 1 : L'impédance d'un condensateur \(C\) à la pulsation \(\omega\) est :

Question 3 : Fréquence de coupure à -3dB (\(f_c\))

Principe :

La fréquence de coupure \(f_c\) est la fréquence à laquelle le gain en tension \(|H(j\omega_c)|\) est égal à \(1/\sqrt{2}\) fois le gain maximal (qui est 1 pour ce filtre). Donc, \(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega_c RC)^2}} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sqrt{1 + (\omega_c RC)^2} &= \sqrt{2} \\ 1 + (\omega_c RC)^2 &= 2 \\ (\omega_c RC)^2 &= 1 \\ \omega_c RC &= 1 \\ \omega_c &= \frac{1}{RC} \end{aligned} \]

Puisque \(\omega_c = 2\pi f_c\), on a :

\[f_c = \frac{1}{2\pi RC}\]

Avec les valeurs données :

\[ \begin{aligned} R &= 1.0 \, \text{kΩ} = 1000 \, \text{Ω} \\ C &= 10 \, \text{nF} = 10 \times 10^{-9} \, \text{F} = 10^{-8} \, \text{F} \\ RC &= (1000 \, \text{Ω}) \cdot (10^{-8} \, \text{F}) = 10^{-5} \, \text{s} \\ f_c &= \frac{1}{2\pi \cdot (10^{-5} \, \text{s})} \\ &= \frac{10^5}{2\pi} \, \text{Hz} \\ &\approx \frac{100000}{6.283185} \, \text{Hz} \\ &\approx 15915.49 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La fréquence de coupure est \(f_c \approx 15915 \, \text{Hz}\) (ou \(15.92 \, \text{kHz}\)).

Question 4 : Gain en tension en dB à \(f = f_c\)

Principe :

À la fréquence de coupure \(f_c\), le module du gain est \(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}\). Le gain en décibels (dB) est donné par \(G_{\text{dB}} = 20 \log_{10}(|H(j\omega)|)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[G_{\text{dB}}(f_c) = 20 \log_{10}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} G_{\text{dB}}(f_c) &= 20 \log_{10}(2^{-1/2}) \\ &= 20 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \log_{10}(2) \\ &= -10 \log_{10}(2) \\ &\approx -10 \cdot 0.30103 \\ &\approx -3.0103 \, \text{dB} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le gain en tension à la fréquence de coupure est approximativement \(-3 \, \text{dB}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Une atténuation de -3 dB correspond à une réduction de la puissance du signal d'environ :

Question 5 : Gain pour \(f \rightarrow 0\) (DC)

Principe :

Lorsque \(f \rightarrow 0\), \(\omega \rightarrow 0\). On examine le module du gain \(|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}\) dans cette limite.

Calcul :
\[ \lim_{\omega \to 0} |H(j\omega)| = \lim_{\omega \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} = 1 \]

Le gain en valeur absolue est 1. En décibels :

\[ G_{\text{dB}}(f=0) = 20 \log_{10}(1) = 20 \cdot 0 = 0 \, \text{dB} \]
Résultat Question 5 : Pour \(f \rightarrow 0\), le gain en tension est \(|H(j0)| = 1\), soit \(0 \, \text{dB}\).

Question 6 : Bande passante à -3dB

Principe :

Pour un filtre passe-bas du premier ordre comme celui-ci, la bande passante à -3dB est simplement la plage de fréquences allant de 0 Hz jusqu'à la fréquence de coupure \(f_c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[BW = f_c - 0 = f_c\]
Données spécifiques :
  • \(f_c \approx 15915 \, \text{Hz}\) (de Q3)
Résultat Question 6 : La bande passante à -3dB du filtre est \(BW \approx 15.92 \, \text{kHz}\).

Quiz Intermédiaire 3 : Un filtre passe-bas idéal :

Question 7 : Amplitude de sortie \(V_{smax}\) pour \(v_e(t) = 5 \cos(2\pi f_c t) \, \text{V}\)

Principe :

L'amplitude maximale de la tension de sortie \(V_{smax}\) est le produit de l'amplitude maximale de la tension d'entrée \(V_{emax}\) et du module du gain \(|H(j\omega)|\) à la fréquence du signal d'entrée. Ici, la fréquence d'entrée est \(f_c\), où nous savons que \(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{smax} = V_{emax} \cdot |H(j\omega_c)|\]
Données spécifiques :
  • \(V_{emax} = 5 \, \text{V}\)
  • \(|H(j\omega_c)| = 1/\sqrt{2}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{smax} &= 5 \, \text{V} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &\approx 5 \cdot 0.7071 \\ &\approx 3.5355 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : L'amplitude maximale de la tension de sortie est \(V_{smax} \approx 3.54 \, \text{V}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La fonction de transfert d'un filtre RC passe-bas est \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}\). Son gain en DC (\(\omega \rightarrow 0\)) est :

2. La fréquence de coupure à -3dB d'un filtre RC passe-bas est la fréquence pour laquelle :

3. Si la fréquence d'un signal d'entrée est bien au-delà de la fréquence de coupure d'un filtre RC passe-bas, le signal de sortie sera :

Glossaire

Filtre Électronique
Circuit qui sélectionne ou rejette des signaux en fonction de leur fréquence.
Filtre RC Passe-Bas
Type de filtre électronique qui laisse passer les signaux de basse fréquence et atténue les signaux de haute fréquence. Il est typiquement constitué d'une résistance en série et d'un condensateur en parallèle avec la sortie.
Fonction de Transfert (\(H(j\omega)\))
Rapport, dans le domaine fréquentiel, entre la sortie et l'entrée d'un système linéaire. Pour un filtre, c'est le rapport \(V_s(j\omega)/V_e(j\omega)\).
Gain en Tension (\(A_v\) ou \(|H(j\omega)|\))
Rapport de l'amplitude de la tension de sortie à l'amplitude de la tension d'entrée. Il peut être exprimé en valeur absolue ou en décibels (dB).
Décibel (dB)
Unité logarithmique utilisée pour exprimer le rapport entre deux valeurs d'une grandeur physique, souvent la puissance ou l'intensité. Pour les tensions, le gain en dB est \(20 \log_{10}(|V_{\text{out}}/V_{\text{in}}|)\).
Fréquence de Coupure (\(f_c\))
Fréquence à laquelle la puissance du signal de sortie d'un filtre est réduite de moitié par rapport à la puissance dans la bande passante. Pour le gain en tension, cela correspond à une atténuation de -3 dB, soit un gain de \(1/\sqrt{2}\) par rapport au gain maximal.
Bande Passante (BW)
Plage de fréquences pour laquelle un filtre laisse passer un signal avec une atténuation inférieure à un certain seuil (souvent -3 dB).
Impédance (\(Z\))
Mesure de l'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, combinant la résistance et la réactance. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance Capacitive (\(X_C\))
Opposition offerte par un condensateur au passage d'un courant alternatif. \(|X_C| = 1/(\omega C)\).
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire de l'oscillation de l'onde, \(\omega = 2\pi f\). Unité : Radian par seconde (rad/s).
Calcul de la Bande Passante et du Gain - Exercice d'Application

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