Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DHT)
Comprendre la Distorsion Harmonique Totale
Dans un système électronique idéal, un signal sinusoïdal en entrée devrait produire un signal sinusoïdal de même fréquence en sortie, éventuellement amplifié ou atténué. Cependant, en raison des non-linéarités des composants réels (transistors, amplificateurs, etc.), le signal de sortie peut contenir des fréquences qui n'étaient pas présentes dans le signal d'entrée. Ces fréquences additionnelles sont des multiples entiers de la fréquence du signal d'entrée (fréquence fondamentale) et sont appelées harmoniques.
La Distorsion Harmonique Totale (DHT, ou THD en anglais pour Total Harmonic Distortion) est une mesure quantitative de la distorsion introduite par ces harmoniques. Elle est définie comme le rapport de la somme des puissances de toutes les composantes harmoniques à la puissance de la fréquence fondamentale. Plus couramment, elle est exprimée en termes de valeurs efficaces (RMS) des tensions (ou courants) : \[ \text{DHT} = \frac{\sqrt{V_{2,\text{rms}}^2 + V_{3,\text{rms}}^2 + V_{4,\text{rms}}^2 + \dots}}{V_{1,\text{rms}}} \] où \(V_{1,\text{rms}}\) est la valeur efficace de la composante fondamentale, et \(V_{n,\text{rms}}\) est la valeur efficace de l'harmonique de rang \(n\). La DHT est généralement exprimée en pourcentage (%). Une faible valeur de DHT indique que le signal de sortie est une reproduction fidèle du signal d'entrée, tandis qu'une valeur élevée indique une distorsion importante.
Cet exercice se concentre sur le calcul de la DHT d'un signal de sortie d'un amplificateur dont les amplitudes des premières harmoniques sont connues.
Données de l'étude
- Fondamentale (\(V_{1,\text{peak}}\)) à \(f_1 = 1 \, \text{kHz}\) : \(2.0 \, \text{V}\)
- Harmonique 2 (\(V_{2,\text{peak}}\)) à \(f_2 = 2 \, \text{kHz}\) : \(0.3 \, \text{V}\)
- Harmonique 3 (\(V_{3,\text{peak}}\)) à \(f_3 = 3 \, \text{kHz}\) : \(0.2 \, \text{V}\)
- Harmonique 4 (\(V_{4,\text{peak}}\)) à \(f_4 = 4 \, \text{kHz}\) : \(0.1 \, \text{V}\)
- Les harmoniques d'ordre supérieur sont considérées comme négligeables.
Spectre de Fréquence Typique d'un Signal Distordu
Représentation schématique d'un spectre de fréquence montrant la fondamentale et ses harmoniques.
Questions à traiter
- Calculer la valeur efficace (RMS) de la composante fondamentale (\(V_{1,\text{rms}}\)).
- Calculer les valeurs efficaces (RMS) des harmoniques 2, 3 et 4 (\(V_{2,\text{rms}}\), \(V_{3,\text{rms}}\), \(V_{4,\text{rms}}\)).
- Calculer la valeur efficace totale des harmoniques (\(V_{H,\text{rms}}\)), où \(V_{H,\text{rms}} = \sqrt{V_{2,\text{rms}}^2 + V_{3,\text{rms}}^2 + V_{4,\text{rms}}^2}\).
- Calculer la Distorsion Harmonique Totale (DHT) en pourcentage.
- Calculer la valeur efficace totale du signal de sortie (\(V_{\text{total,rms}}\)), où \(V_{\text{total,rms}} = \sqrt{V_{1,\text{rms}}^2 + V_{H,\text{rms}}^2}\).
- Si l'harmonique 2 avait une amplitude de \(0.05 \, \text{V}\) au lieu de \(0.3 \, \text{V}\) (les autres harmoniques restant inchangées), quelle serait la nouvelle DHT ? Commenter l'impact de la réduction de l'amplitude d'une harmonique sur la DHT.
Correction : Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DHT)
Question 1 : Valeur efficace de la fondamentale (\(V_{1,\text{rms}}\))
Principe :
Pour un signal sinusoïdal, la valeur efficace (RMS) est égale à la valeur de crête (amplitude) divisée par \(\sqrt{2}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(V_{1,\text{peak}} = 2.0 \, \text{V}\)
Calcul :
Question 2 : Valeurs efficaces des harmoniques (\(V_{2,\text{rms}}\), \(V_{3,\text{rms}}\), \(V_{4,\text{rms}}\))
Principe :
Même principe que pour la fondamentale : \(V_{n,\text{rms}} = V_{n,\text{peak}} / \sqrt{2}\).
Données spécifiques :
- \(V_{2,\text{peak}} = 0.3 \, \text{V}\)
- \(V_{3,\text{peak}} = 0.2 \, \text{V}\)
- \(V_{4,\text{peak}} = 0.1 \, \text{V}\)
Calculs :
- \(V_{2,\text{rms}} \approx 0.212 \, \text{V}\)
- \(V_{3,\text{rms}} \approx 0.141 \, \text{V}\)
- \(V_{4,\text{rms}} \approx 0.071 \, \text{V}\)
Quiz Intermédiaire 1 : La valeur RMS d'un signal est utile pour calculer :
Question 3 : Valeur efficace totale des harmoniques (\(V_{H,\text{rms}}\))
Principe :
La valeur efficace totale des harmoniques est la racine carrée de la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque harmonique.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques (valeurs RMS de Q2) :
- \(V_{2,\text{rms}} \approx 0.2121 \, \text{V}\)
- \(V_{3,\text{rms}} \approx 0.1414 \, \text{V}\)
- \(V_{4,\text{rms}} \approx 0.0707 \, \text{V}\)
Calcul :
Question 4 : Calcul de la Distorsion Harmonique Totale (DHT)
Principe :
La DHT est le rapport de la valeur efficace totale des harmoniques à la valeur efficace de la fondamentale, exprimé en pourcentage.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(V_{H,\text{rms}} \approx 0.264535 \, \text{V}\) (de Q3)
- \(V_{1,\text{rms}} \approx 1.4142 \, \text{V}\) (de Q1)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 2 : Une DHT de 0% signifie que le signal :
Question 5 : Valeur efficace totale du signal de sortie (\(V_{\text{total,rms}}\))
Principe :
La valeur efficace totale d'un signal composé d'une fondamentale et de ses harmoniques est la racine carrée de la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque composante.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques :
- \(V_{1,\text{rms}}^2 \approx (1.4142)^2 \approx 1.99996 \, \text{V}^2\)
- \(V_{H,\text{rms}}^2 \approx 0.06997886 \, \text{V}^2\) (de Q3)
Calcul :
Question 6 : Nouvelle DHT si \(V_{2,\text{peak}} = 0.05 \, \text{V}\)
Principe :
Recalculer \(V_{2,\text{rms}}\), puis \(V_{H,\text{rms}}\), et enfin la nouvelle DHT.
Calculs :
Nouvelle \(V_{2,\text{rms}}\) :
Nouveau \(V_{H,\text{rms}}\) (les autres harmoniques restent inchangées) :
Nouvelle DHT :
Commentaire : La DHT a significativement diminué (passant d'environ 18.71% à 11.46%) en réduisant l'amplitude de l'harmonique 2, qui était la plus importante des harmoniques. Cela montre que les harmoniques de plus forte amplitude contribuent le plus à la DHT.
Quiz Intermédiaire 3 : Si la fondamentale d'un signal a une valeur RMS de 1V et que la seule harmonique présente a une valeur RMS de 0.1V, la DHT est de :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La Distorsion Harmonique Totale (DHT) mesure :
2. Une harmonique de rang 3 d'un signal de fréquence \(f_1\) a une fréquence de :
3. Pour calculer la DHT, on utilise généralement les valeurs _______ des composantes du signal.
Glossaire
- Distorsion Harmonique Totale (DHT ou THD)
- Mesure de la distorsion d'une forme d'onde par rapport à une sinusoïde pure. Elle quantifie la présence d'harmoniques indésirables.
- Fréquence Fondamentale (\(f_1\))
- La plus basse fréquence et la composante principale d'un signal périodique complexe.
- Harmonique
- Composante fréquentielle d'un signal périodique dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale. L'harmonique de rang \(n\) a une fréquence \(n \cdot f_1\).
- Valeur Efficace (RMS - Root Mean Square)
- Pour un signal variable, c'est la valeur d'un signal continu qui produirait le même effet thermique (puissance dissipée) dans une résistance. Pour une sinusoïde d'amplitude \(V_{\text{peak}}\), \(V_{\text{rms}} = V_{\text{peak}}/\sqrt{2}\).
- Spectre de Fréquence
- Représentation des différentes composantes fréquentielles (amplitude et phase) qui constituent un signal.
- Non-linéarité
- Caractéristique d'un système ou d'un composant dont la sortie n'est pas directement proportionnelle à l'entrée, ce qui peut générer des harmoniques.
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