Calcul de la Fréquence Angulaire de Coupure

Vous êtes un ingénieur électronique travaillant sur la conception d’un filtre passe-bas qui utilisera un circuit RC simple. Ce filtre est destiné à être intégré dans un système audio pour éliminer les interférences haute fréquence avant le traitement du signal.

Données fournies

Résistance : \(R = 1 \, \text{k}\Omega = 1000 \, \Omega\)
Condensateur : \(C = 0.47 \, \mu\text{F} = 0.47 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Schéma du filtre passe-bas RC simple.

Question

Calculez la fréquence angulaire de coupure \(\omega_c\) du circuit RC. Utilisez cette fréquence pour déterminer la fréquence de coupure \(f_c\) en Hz.

Correction : Calcul de la Fréquence Angulaire de Coupure

1. Calcul de la Fréquence Angulaire de Coupure (\(\omega_c\))

La fréquence angulaire de coupure (ou pulsation de coupure) \(\omega_c\) pour un filtre RC passe-bas simple est définie comme l'inverse du produit de la résistance \(R\) et de la capacité \(C\). C'est la fréquence à laquelle le gain en tension du filtre est réduit à \(1/\sqrt{2}\) (environ -3 dB) de sa valeur maximale (gain en continu). La formule est : \(\omega_c = \frac{1}{RC}\). L'unité de \(\omega_c\) est le radian par seconde (rad/s).

Données pour cette étape

Résistance : \(R = 1000 \, \Omega\)
Capacité : \(C = 0.47 \times 10^{-6} \, \text{F}\)

Calcul

\begin{aligned} \omega_c &= \frac{1}{RC} \\ \omega_c &= \frac{1}{(1000 \, \Omega) \times (0.47 \times 10^{-6} \, \text{F})} \\ \omega_c &= \frac{1}{1000 \times 0.47 \times 10^{-6}} \, \text{rad/s} \\ \omega_c &= \frac{1}{0.47 \times 10^{-3}} \, \text{rad/s} \\ \omega_c &\approx 2127.66 \, \text{rad/s} \end{aligned}

Résultat (\(\omega_c\))

La fréquence angulaire de coupure est \(\omega_c \approx 2128 \, \text{rad/s}\).

2. Calcul de la Fréquence de Coupure (\(f_c\))

La fréquence de coupure \(f_c\) (exprimée en Hertz, Hz) est liée à la fréquence angulaire de coupure \(\omega_c\) par la relation \(\omega_c = 2 \pi f_c\). On peut donc calculer \(f_c\) en divisant \(\omega_c\) par \(2 \pi\). \[ f_c = \frac{\omega_c}{2 \pi} \]

Données pour cette étape

Fréquence angulaire de coupure : \(\omega_c \approx 2127.66 \, \text{rad/s}\) (calculée à l'étape 1)
\(\pi \approx 3.14159\) (ou utiliser la valeur de la calculatrice)

Calcul

\begin{aligned} f_c &= \frac{\omega_c}{2 \pi} \\ f_c &\approx \frac{2127.66 \, \text{rad/s}}{2 \times 3.14159} \\ f_c &\approx \frac{2127.66}{6.28318} \, \text{Hz} \\ f_c &\approx 338.63 \, \text{Hz} \end{aligned}

Résultat Final (\(f_c\))

La fréquence de coupure du filtre RC est \(f_c \approx 339 \, \text{Hz}\).

Cela signifie que ce filtre commencera à atténuer significativement les fréquences au-dessus d'environ 339 Hz.

Calcul de la Fréquence Angulaire de Coupure