Calcul de la Puissance Moyenne pour un Four

Contexte : Le Triangle des PuissancesUne représentation vectorielle des relations entre la puissance active (P), la puissance réactive (Q) et la puissance apparente (S) dans un circuit AC..

Un four électrique est un appareil ménager courant. Bien qu'il soit principalement un élément chauffant (une résistance), il contient souvent un petit moteur pour le ventilateur de convection. Ce moteur introduit une composante inductive. L'appareil n'est donc pas une résistance pure, mais un circuit R-L (Résistance-Inductance). Nous allons modéliser un four électrique et calculer la puissance qu'il consomme réellement (la Puissance MoyenneAussi appelée Puissance Active (P), c'est la puissance réelle consommée par le circuit, dissipée en chaleur (effet Joule) ou en travail. Mesurée en Watts (W)., que vous payez sur votre facture d'électricité).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la puissance active (réelle) consommée par un appareil R-L (Résistif-Inductif) typique, en faisant la distinction fondamentale entre la puissance active (W), la puissance réactive (VAR) et la puissance apparente (VA).

Objectifs Pédagogiques

Calculer l'impédance (\(Z\)) et la réactance (\(X_L\)) d'un circuit R-L série.
Déterminer le courant efficace (\(I_{\text{eff}}\)) dans le circuit.
Calculer le facteur de puissance (\(\cos(\phi)\)).
Calculer la puissance moyenne (active, \(P\)), la puissance réactive (\(Q\)) et la puissance apparente (\(S\)).
Comprendre et visualiser le "Triangle des Puissances".

Données de l'étude

Un four électrique est branché sur le réseau domestique (supposé sinusoïdal parfait). Il est modélisé comme une résistance \(R\) (l'élément chauffant) en série avec une inductance \(L\) (le moteur du ventilateur).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Tension d'alimentation efficace (\(V_{\text{eff}}\))	230 V
Fréquence du réseau (\(f\))	50 Hz

Modèle R-L Série du Four

[Nom du Paramètre]	[Description ou Formule]	[Valeur]	[Unité]
Résistance (\(R\))	Élément chauffant principal	20	\(\Omega\)
Inductance (\(L\))	Moteur du ventilateur	25	mH

Questions à traiter

Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) du moteur.
Calculer l'impédance totale (\(Z\)) du four.
Calculer le courant efficace (\(I_{\text{eff}}\)) total circulant dans le four.
Calculer le facteur de puissance (\(\cos(\phi)\)) du four.
Calculer la puissance moyenne (active, \(P\)) consommée par le four.

Les bases sur la Puissance en AC

En courant alternatif (AC), les relations ne sont pas aussi simples qu'en continu à cause du déphasage entre tension et courant introduit par les inductances et les capacités.

1. Impédance et Loi d'Ohm en AC
La résistance totale d'un circuit AC est appelée ImpédanceLa "résistance" totale d'un circuit AC, combinant la résistance pure (R) et les réactances (X). Mesurée en Ohms (Ω). (\(Z\)). Elle combine la résistance pure (\(R\)) et la RéactanceL'opposition au passage du courant AC due aux inductances (X_L) ou aux capacités (X_C). Mesurée en Ohms (Ω). (\(X\)). \[ \text{Réactance inductive: } X_L = L \cdot \omega = 2 \pi f L \] \[ \text{Impédance R-L série: } Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} \] \[ \text{Loi d'Ohm AC: } V_{\text{eff}} = Z \cdot I_{\text{eff}} \]

2. Le Triangle des Puissances
Il existe trois types de puissance :

Puissance Apparente (\(S\)) : La puissance "totale" que le réseau doit fournir. \(S = V_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}\) (en Volt-Ampères, VA).
Puissance Active (\(P\)) : La puissance "utile" consommée. \(P = S \cdot \cos(\phi)\) (en Watts, W).
Puissance Réactive (\(Q\)) : La puissance "fictive" échangée. \(Q = S \cdot \sin(\phi)\) (en Volt-Ampères Réactifs, VAR).

\[ S^2 = P^2 + Q^2 \] \[ \text{Facteur de Puissance: } \cos(\phi) = \frac{R}{Z} = \frac{P}{S} \]

Correction : Calcul de la Puissance Moyenne pour un Four en Courant Alternatif

Question 1 : Calculer la réactance inductive (\(X_L\)) du moteur.

Principe

La réactance inductive (\(X_L\)) est l'opposition qu'une bobine (inductance) oppose au passage d'un courant alternatif. Elle dépend de la valeur de l'inductance (\(L\)) et de la vitesse de variation du courant, c'est-à-dire la fréquence (\(f\)) ou la pulsation (\(\omega\)).

Mini-Cours

La réactance inductive se mesure en Ohms (\(\Omega\)), tout comme une résistance. Elle est directement proportionnelle à la fréquence : plus la fréquence est élevée, plus la bobine "bloque" le courant.

Remarque Pédagogique

La fréquence est la clé ! La réactance inductive n'existe qu'en courant alternatif. Si c'était du courant continu (f=0 Hz), la bobine serait un simple fil (X_L = 0).

Normes

Ce calcul est fondamental et est utilisé dans toutes les normes électriques (comme la NF C 15-100 en France) pour dimensionner les circuits, mais le calcul de base est universel (CEI 60364).

Formule(s)

Pulsation (ou vitesse angulaire)

\omega = 2 \pi f

Réactance Inductive

X_L = L \cdot \omega = 2 \pi f L

Hypothèses

On suppose que la bobine (inductance) est "parfaite", c'est-à-dire qu'elle n'a pas de résistance interne propre (ce qui est faux en réalité, mais la résistance R de 20 Ω est si grande qu'on peut négliger la résistance du fil du moteur).

L'alimentation est parfaitement sinusoïdale.
Les composants R et L sont parfaits et linéaires.

Donnée(s)

Nous extrayons les données nécessaires de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Inductance	L	25	mH
Fréquence	f	50	Hz

Astuces

Un moyen mnémotechnique : \(X_L = L \cdot \omega\). Le 'L' et le 'L' de 'Inductance' vont ensemble. Pour les condensateurs, c'est l'inverse : \(X_C = 1 / (C \cdot \omega)\).

Schéma (Avant les calculs)

Le problème est de trouver la 'résistance' AC de la bobine. Ce n'est pas encore un triangle, juste un calcul de composant.

Composant Inductif

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de l'inductance

L = 25 \text{ mH} = 25 \times 10^{-3} \text{ H} = 0.025 \text{ H}

La valeur est convertie de milli-Henrys (mH) en Henrys (H), l'unité standard du Système International, en divisant par 1000.

Étape 2 : Calcul de la réactance (\(X_L\))

On insère les valeurs de \(f\) (50 Hz) et \(L\) (0.025 H) dans la formule. On calcule d'abord \(2 \cdot 50 = 100\), puis on multiplie par 0.025 pour obtenir \(2.5\), qui est ensuite multiplié par \(\pi\).

\begin{aligned} X_L &= 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L \\ &= 2 \cdot \pi \cdot (50) \cdot (0.025) \\ &= (2 \cdot 50) \cdot (0.025) \cdot \pi \\ &= (100) \cdot (0.025) \cdot \pi \\ &= 2.5 \pi \\ &\approx 7.854 \text{ } \Omega \end{aligned}

Le résultat final est \(7.854 \text{ } \Omega\). C'est l'opposition, en Ohms, que le moteur du ventilateur oppose au courant alternatif.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une valeur numérique pour la réactance. Nous pouvons la noter sur notre composant.

Composant Inductif Calculé

Réflexions

Le moteur du ventilateur oppose une "résistance" de \(7.85 \text{ } \Omega\) due à son inductance. Notez que cette valeur est bien plus faible que la résistance de l'élément chauffant (\(20 \text{ } \Omega\)), ce qui est logique : le four est avant tout un appareil de chauffage.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est l'unité de l'inductance. La formule nécessite \(L\) en Henrys (H), mais elle est donnée en milli-Henrys (mH). Il faut impérativement convertir.

Points à retenir

La réactance inductive \(X_L\) dépend de \(f\) et \(L\).
L'unité de \(X_L\) est l'Ohm (\(\Omega\)).
Attention aux conversions (mH en H).

Le saviez-vous ?

Les grosses bobines (inductances) sont utilisées pour créer des "filtres" qui bloquent les hautes fréquences (parasites) tout en laissant passer le 50 Hz utile.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La réactance inductive du moteur est d'environ 7.85 \(\Omega\).

A vous de jouer

Si le four était utilisé aux États-Unis (fréquence \(f = 60 \text{ Hz}\)), quelle serait la nouvelle réactance \(X_L\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 :

Concept Clé : Réactance inductive.
Formule : \(X_L = 2 \pi f L\).
Piège : Unités (mH \(\rightarrow\) H).

Question 2 : Calculer l'impédance totale (\(Z\)) du four.

Principe

L'impédance (\(Z\)) est la "résistance" globale du circuit en courant alternatif. Elle combine la résistance pure (\(R\)) et la réactance (\(X_L\)). Puisqu'elles sont déphasées de 90°, on ne peut pas simplement les additionner. On doit utiliser une somme vectorielle (théorème de Pythagore).

Mini-Cours

Le triangle des impédances est un triangle rectangle. Le côté horizontal est la résistance (R), le côté vertical est la réactance (X_L), et l'hypoténuse est l'impédance (Z).

Remarque Pédagogique

Cette somme vectorielle est fondamentale. Pensez à un bateau qui avance (R) tout en étant déporté par un courant de côté (X_L). La distance totale parcourue (Z) est supérieure à la simple avancée.

Normes

Le concept d'impédance est la base de l'électrotechnique AC. Il n'y a pas de "norme" spécifique, c'est une loi physique fondamentale.

Formule(s)

Impédance d'un circuit R-L série

Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}

Hypothèses

Nous supposons que R et X_L sont parfaitement en série et que le déphasage entre les deux est exactement de 90°.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q1 et les données de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	20	\(\Omega\)
Réactance inductive	\(X_L\)	7.85	\(\Omega\)

Astuces

L'impédance \(Z\) sera toujours supérieure à la plus grande des deux valeurs (\(R\) ou \(X_L\)). C'est un bon moyen de vérifier rapidement son calcul. Ici, \(Z\) doit être > 20 \(\Omega\).

Schéma (Avant les calculs)

On peut visualiser cela avec le "Triangle des Impédances".

Triangle des Impédances

Calcul(s)

Application de la formule

On remplace \(R\) par 20 et \(X_L\) par la valeur calculée (7.854). On calcule le carré de chaque terme (\(20^2 = 400\) et \(7.854^2 \approx 61.68\)), on les additionne, puis on prend la racine carrée du résultat.

\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + X_L^2} \\ &= \sqrt{(20)^2 + (7.854)^2} \\ &= \sqrt{400 + 61.68} \\ &= \sqrt{461.68} \\ &\approx 21.487 \text{ } \Omega \end{aligned}

L'impédance totale \(Z\) du four est donc de \(21.49 \text{ } \Omega\). Cette valeur représente la résistance globale du circuit au courant alternatif.

Schéma (Après les calculs)

Nous pouvons maintenant dessiner le triangle des impédances complet avec la valeur de Z.

Triangle des Impédances (Complet)

Réflexions

L'impédance totale est de 21.49 \(\Omega\). Comme prévu, elle est légèrement supérieure à la résistance de 20 \(\Omega\). L'inductance du moteur a un impact, mais la résistance domine le comportement du circuit.

Points de vigilance

Ne jamais additionner R et X_L ! \(20 + 7.85 = 27.85 \Omega\) est FAUX. C'est une erreur de débutant très fréquente.

Points à retenir

L'impédance Z est la somme vectorielle (Pythagore) de R et X.
Z est toujours > R et Z est toujours > X.

Le saviez-vous ?

Le 'j' en électricité (ex: \(Z = R + jX_L\)) est ce que les mathématiciens appellent 'i' (la racine de -1). On utilise 'j' car 'i' est déjà réservé pour le courant (intensité).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

L'impédance totale du four est d'environ 21.49 \(\Omega\).

A vous de jouer

Si la résistance était de 30 \(\Omega\) (avec \(X_L = 7.85 \Omega\)), quelle serait l'impédance \(Z\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 :

Concept Clé : Impédance (somme vectorielle).
Formule : \(Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}\).
Piège : Ne pas additionner \(R + X_L\).

Question 3 : Calculer le courant efficace (\(I_{\text{eff}}\)) total.

Principe

Maintenant que nous avons l'impédance (\(Z\)), qui est la "résistance" totale du circuit, et que nous connaissons la tension totale (\(V_{\text{eff}}\)), nous pouvons appliquer la loi d'Ohm généralisée au courant alternatif pour trouver le courant total.

Mini-Cours

La loi d'Ohm en AC (\(V = ZI\)) est identique en forme à la loi d'Ohm en DC (\(V = RI\)), mais utilise l'impédance (Z) au lieu de la résistance (R) pour tenir compte de tous les déphasages.

Remarque Pédagogique

Assurez-vous que les tensions et courants sont de même type : si vous utilisez une tension *efficace* (V_eff), vous obtiendrez un courant *efficace* (I_eff). Si vous utilisez une tension *max* (V_max), vous obtiendrez un courant *max* (I_max).

Normes

La tension domestique (230 V) est une valeur *efficace* normalisée en Europe (CEI 60038).

Formule(s)

Loi d'Ohm en AC

V_{\text{eff}} = Z \cdot I_{\text{eff}} \implies I_{\text{eff}} = \frac{V_{\text{eff}}}{Z}

Hypothèses

On suppose que la tension de 230V est stable et ne chute pas lorsque le four est allumé.

Donnée(s)

De l'énoncé et du résultat de la Q2.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension efficace	\(V_{\text{eff}}\)	230	V
Impédance totale	\(Z\)	21.49	\(\Omega\)

Astuces

Avant de calculer, faites une estimation. \(Z\) est un peu plus grand que \(R\) (21.5 vs 20). Le courant sera donc un peu plus faible que si le circuit était purement résistif (\(230/20 = 11.5 \text{ A}\)). Notre résultat doit être proche, mais juste en dessous de 11.5 A. C'est le cas (10.7 A).

Schéma (Avant les calculs)

Nous utilisons le schéma de l'énoncé. L'objectif est de trouver le courant \(I_{\text{eff}}\) qui circule dans la boucle, en connaissant la tension \(V_{\text{eff}}\) et l'impédance totale \(Z\).

Calcul du Courant Efficace

Calcul(s)

Application de la formule

On divise la tension efficace (\(V_{\text{eff}}\) = 230 V) par l'impédance totale (\(Z\)) que nous venons de calculer (\(21.487 \text{ } \Omega\)).

\begin{aligned} I_{\text{eff}} &= \frac{V_{\text{eff}}}{Z} \\ &= \frac{230 \text{ V}}{21.487 \text{ } \Omega} \\ &\approx 10.704 \text{ A} \end{aligned}

Le courant total efficace qui circule dans le four est de \(10.704 \text{ A}\).

Schéma (Après les calculs)

On peut représenter le courant circulant dans le circuit.

Courant dans le circuit

Réflexions

Le four appelle un courant d'environ 10.7 A. C'est une valeur typique pour un gros appareil électroménager. Un disjoncteur domestique standard (par exemple 16 A ou 20 A) est conçu pour supporter ce courant.

Points de vigilance

Ne pas utiliser R au lieu de Z. \(230/20 = 11.5 \text{ A}\) est le courant que consommerait le four *sans* son ventilateur. Le courant réel (10.7 A) est plus faible car l'impédance totale est plus grande.

Points à retenir

La loi d'Ohm AC utilise l'impédance Z : \(I = V / Z\).

Le saviez-vous ?

Les valeurs "efficaces" (RMS en anglais) ont été inventées pour que les formules de puissance (\(P=RI^2\)) fonctionnent aussi bien en AC qu'en DC. 230V efficace produit la même chaleur dans une résistance que 230V continu.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le courant efficace total est d'environ 10.70 A.

A vous de jouer

Si la tension du réseau chutait à 220 V (avec la même impédance), quel serait le courant ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 :

Concept Clé : Loi d'Ohm en AC.
Formule : \(I_{\text{eff}} = V_{\text{eff}} / Z\).

Question 4 : Calculer le facteur de puissance (\(\cos(\phi)\)) du four.

Principe

Le Facteur de PuissanceLe ratio entre la puissance active (P) et la puissance apparente (S). Une valeur de 1 est parfaite (résistif pur), une valeur < 1 indique une charge réactive. (\(\cos(\phi)\)) est un nombre (sans unité) compris entre 0 et 1. Il mesure "l'efficacité" avec laquelle le courant est utilisé pour produire un travail utile (chaleur). Un facteur de 1 (circuit purement résistif) est idéal. Un facteur faible signifie qu'une grande partie du courant est "réactive" et ne produit pas de travail utile.

Mini-Cours

Le déphasage \(\phi\) est l'angle (visible dans le triangle des impédances) entre la résistance \(R\) et l'impédance \(Z\). Le facteur de puissance est le cosinus de cet angle. Il peut être calculé directement à partir du triangle des impédances ou du triangle des puissances.

Remarque Pédagogique

Le facteur de puissance (FP) est crucial pour les distributeurs d'électricité. Un mauvais FP (proche de 0) signifie qu'ils doivent fournir beaucoup de courant (I) pour peu de puissance utile (P), ce qui sature leurs lignes pour rien. Les usines sont pénalisées si leur FP est mauvais.

Normes

De nombreuses normes (ex: "Energy Star") imposent maintenant aux appareils électroniques d'avoir un "PFC" (Power Factor Correction) pour s'assurer que leur \(\cos(\phi)\) est proche de 1.

Formule(s)

Facteur de Puissance (depuis les impédances)

\cos(\phi) = \frac{\text{Côté Adjaçent}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{R}{Z}

Hypothèses

Les formules \(\cos(\phi) = R/Z\) et \(\cos(\phi) = P/S\) sont équivalentes car les triangles des impédances et des puissances sont homothétiques (ils ont les mêmes angles).

Donnée(s)

Des questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	20	\(\Omega\)
Impédance totale	\(Z\)	21.49	\(\Omega\)

Astuces

Puisque \(R=20\) et \(Z=21.49\), on voit que \(R\) est "presque" égal à \(Z\). Le résultat du ratio doit donc être "presque" 1. 0.93 est bien "presque 1".

Schéma (Avant les calculs)

Nous réutilisons le "Triangle des Impédances" de la Q2, car \(\cos(\phi)\) est l'angle de ce triangle.

Triangle des Impédances et Angle \(\phi\)

Calcul(s)

Application de la formule

On divise la valeur de la résistance (\(R\) = 20 \(\Omega\)) par la valeur de l'impédance (\(Z\) = 21.487 \(\Omega\)). Les unités (\(\Omega\)) s'annulent, donnant un résultat sans dimension.

\begin{aligned} \cos(\phi) &= \frac{R}{Z} \\ &= \frac{20 \text{ } \Omega}{21.487 \text{ } \Omega} \\ &\approx 0.9308 \end{aligned}

Le facteur de puissance est d'environ 0.93. C'est un nombre sans unité qui indique que le circuit est majoritairement résistif.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est le cosinus de l'angle \(\phi\). Nous pouvons calculer cet angle pour information : \(\phi = \arccos(0.9308) \approx 21.4^\circ\).

Triangle des Impédances et Angle \(\phi\)

Réflexions

Le facteur de puissance est de 0.93 (ou 93%). C'est une très bonne valeur, proche de 1. Cela confirme que l'appareil est fortement dominé par sa résistance (le chauffage) et que la composante inductive (le moteur) est faible. On dit que le facteur de puissance est "inductif" ou "en retard" car le courant est en retard sur la tension.

Points de vigilance

Ne confondez pas l'angle \(\phi\) (en degrés ou radians) et le facteur de puissance \(\cos(\phi)\) (sans unité). Si on vous demande le *facteur* de puissance, ne donnez pas \(\phi = \arccos(0.93) \approx 21.4^\circ\).

Points à retenir

Le facteur de puissance \(\cos(\phi)\) est le ratio R/Z.
Un FP élevé (proche de 1) est "bon" (circuit résistif).
Un FP faible (proche de 0) est "mauvais" (circuit réactif).

Le saviez-vous ?

Pour corriger un mauvais facteur de puissance *inductif* (dû aux moteurs), on ajoute des *condensateurs* en parallèle. C'est ce qu'on appelle la "compensation d'énergie réactive".

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

Le facteur de puissance du four est d'environ 0.93 (inductif).

A vous de jouer

Si un appareil avait \(R=15 \Omega\) et \(Z=25 \Omega\), quel serait son \(\cos(\phi)\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 :

Concept Clé : Facteur de puissance.
Formule : \(\cos(\phi) = R / Z\).
Valeur : Toujours entre 0 et 1.

Question 5 : Calculer la puissance moyenne (active, \(P\)) consommée.

Principe

C'est la question la plus importante : quelle est la puissance réelle consommée par le four ? C'est cette puissance, mesurée en Watts (W), qui est convertie en chaleur. C'est aussi (principalement) cette puissance que votre compteur électrique enregistre et que vous payez.

Mini-Cours

Il y a deux façons principales de la calculer :
1. En utilisant la puissance apparente (\(S = V \cdot I\)) et le facteur de puissance : \(P = S \cdot \cos(\phi)\).
2. En utilisant le fait que seule la résistance dissipe la puissance active. La puissance moyenne est donc la puissance dissipée par \(R\) par effet Joule : \(P = R \cdot I_{\text{eff}}^2\).
La deuxième méthode est souvent plus directe et plus précise si on connaît \(R\) and \(I\).

Remarque Pédagogique

C'est la puissance qui compte ! La puissance apparente \(S\) (en VA) dimensionne les câbles et le transformateur (car elle est liée au courant total \(I\)), mais c'est la puissance active \(P\) (en W) qui est transformée en chaleur et que vous payez.

Normes

Les compteurs électriques modernes (type Linky) sont capables de mesurer les trois puissances (P, Q, S) et le \(\cos(\phi)\) en temps réel.

Formule(s)

Méthode 1 : Depuis la Puissance Apparente

P = V_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}} \cdot \cos(\phi)

Méthode 2 : Par Effet Joule

P = R \cdot I_{\text{eff}}^2

Hypothèses

On suppose que la résistance \(R\) est le seul composant qui dissipe de la chaleur (ce qui est le but de la formule \(P = R \cdot I^2\)). On néglige la (petite) quantité de chaleur émise par le moteur.

Donnée(s)

Nous utiliserons la Méthode 2, plus directe.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	R	20	\(\Omega\)
Courant efficace	\(I_{\text{eff}}\)	10.704	A

Astuces

Utiliser \(P = R \cdot I_{\text{eff}}^2\) est souvent plus sûr que \(P = V \cdot I \cdot \cos(\phi)\) car cela évite d'utiliser trois valeurs (dont deux calculées) et de cumuler les erreurs d'arrondi. Ici, on n'utilise que \(R\) (donnée) et \(I_{\text{eff}}\) (un seul calcul).

Schéma (Avant les calculs)

Nous allons construire le triangle des puissances. C'est un triangle rectangle homothétique (similaire) au triangle des impédances. L'objectif est de trouver la valeur du côté horizontal, P (Puissance Active).

Triangle des Puissances (Objectif)

Calcul(s)

Calcul avec la Méthode 2

On utilise la formule de l'effet Joule. On prend le courant calculé (\(I_{\text{eff}}\) = 10.704 A), on le met au carré (\(10.704^2 \approx 114.57\)), puis on multiplie ce résultat par la résistance (\(R\) = 20 \(\Omega\)).

\begin{aligned} P &= R \cdot I_{\text{eff}}^2 \\ &= 20 \text{ } \Omega \cdot (10.704 \text{ A})^2 \\ &= 20 \cdot 114.57 \\ &\approx 2291.5 \text{ W} \end{aligned}

La puissance active (moyenne) consommée est de \(2291.5 \text{ W}\). C'est la puissance qui est convertie en chaleur.

Vérification (Méthode 1)

Pour vérifier, on multiplie la tension (\(V_{\text{eff}}\) = 230 V) par le courant (\(I_{\text{eff}}\) = 10.704 A) pour trouver la puissance apparente (\(S \approx 2461.9 \text{ VA}\)). Ensuite, on multiplie ce résultat par le facteur de puissance (\(\cos(\phi)\) = 0.9308).

\begin{aligned} P &= V_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}} \cdot \cos(\phi) \\ &= (230 \text{ V}) \cdot (10.704 \text{ A}) \cdot (0.9308) \\ &= (2461.9 \text{ VA}) \cdot 0.9308 \\ &\approx 2291.5 \text{ W} \end{aligned}

La vérification confirme notre résultat : les deux méthodes donnent la même puissance active.

Il nous manque \(Q\).

Q = X_L \cdot I_{\text{eff}}^2 \] \[ Q = 7.854 \cdot (10.704)^2\] \[ Q \approx 899.6 \text{ VAR}

S = V_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}} \] \[ S = 230 \cdot 10.704 \] \[ S \approx 2462 \text{ VA}

Vérifions :

\sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{2291.5^2 + 899.6^2} \] \[ = \sqrt{5250972 + 809280} \] \[ = \sqrt{6060252} \] \[ \approx 2461.8 \text{ VA}

Cela correspond à \(S\).

Schéma (Après les calculs)

On peut maintenant dessiner le triangle des puissances.

Triangle des Puissances (Complet)

Réflexions

Le four consomme 2291.5 W (ou 2.29 kW) de puissance réelle, qui est convertie en chaleur. Le réseau doit cependant fournir 2462 VA (puissance apparente), car il doit aussi "alimenter" le champ magnétique du moteur (la puissance réactive \(Q\)). La différence est faible (facteur de puissance élevé) mais pas nulle.

Points de vigilance

Attention aux unités ! P est en Watts (W), Q en Volt-Ampères Réactifs (VAR), et S en Volt-Ampères (VA). N'écrivez jamais \(P = 2291.5 \text{ VA}\) ou \(S = 2462 \text{ W}\), c'est une erreur conceptuelle majeure.

Points à retenir

Seule la résistance \(R\) dissipe la puissance active \(P\).
\(P = R \cdot I_{\text{eff}}^2\).
\(P\) est la puissance "utile" ou "facturée".

Le saviez-vous ?

Un moteur à l'arrêt (bloqué) se comporte presque comme une simple bobine (R très faible). Il consomme alors un courant énorme (I = V/Z, Z est petit) mais très peu de puissance active (P = R * I^2, R est petit). Il consomme surtout une énorme puissance réactive (Q). C'est pour cela qu'un moteur qui force ou qui est bloqué "grille" : le courant \(I\) est trop élevé pour les fils.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape.

Résultat Final

La puissance moyenne (active) consommée est de 2291.5 W (soit 2.29 kW).

A vous de jouer

Quelle est la puissance apparente (\(S = V_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}\)) en VA ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 :

Concept Clé : Puissance Active (\(P\)).
Formules : \(P = R \cdot I_{\text{eff}}^2\) OU \(P = V_{\text{eff}} I_{\text{eff}} \cos(\phi)\).
Unité : Watts (W).

Outil Interactif : Simulateur R-L

Utilisez les curseurs pour voir comment la modification de la résistance (élément chauffant) et de l'inductance (moteur) affecte la puissance consommée et le facteur de puissance. (Tension fixée à 230V, Fréquence à 50Hz).

Paramètres d'Entrée

Résistance (\(R\)) 20 Ω

Inductance (\(L\)) 25 mH

Résultats Clés

Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\)) -

Puissance Active (\(P\)) (W) -

Glossaire

Puissance Active (\(P\)): Aussi appelée Puissance Moyenne. C'est la puissance réelle consommée par le circuit, dissipée en chaleur (effet Joule) ou en travail. Mesurée en Watts (W).
Puissance Réactive (\(Q\)): Puissance "fictive" qui est échangée entre la source et les composants réactifs (bobines, condensateurs) pour maintenir les champs magnétiques et électriques. Elle ne produit pas de travail. Mesurée en Volt-Ampères Réactifs (VAR).
Puissance Apparente (\(S\)): La puissance "totale" que le réseau doit fournir, c'est la combinaison vectorielle de P et Q. \(S = V_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}\). Mesurée en Volt-Ampères (VA).
Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\)): Le ratio entre la puissance active (P) et la puissance apparente (S). Une valeur de 1 est parfaite (résistif pur), une valeur < 1 indique une charge réactive.
Impédance (\(Z\)): La "résistance" totale d'un circuit AC, combinant la résistance pure (R) et les réactances (X). Mesurée en Ohms (\(\Omega\)).
Réactance (\(X\)): L'opposition au passage du courant AC due aux inductances (\(X_L\)) ou aux capacités (\(X_C\)). Mesurée en Ohms (\(\Omega\)).