Calcul de la Puissance Moyenne pour un Four : Analyse en CA
Calculer la puissance moyenne consommée par un four électrique alimenté en courant alternatif et l'énergie correspondante.
La puissance en courant alternatif (CA) n'est pas aussi simple à définir que la puissance en courant continu, car la tension et le courant varient constamment. La grandeur la plus utile pour caractériser la consommation d'énergie d'un appareil est la puissance moyenne, aussi appelée puissance active ou puissance réelle. Elle représente la puissance effectivement transformée en travail utile (chaleur, lumière, mouvement) par unité de temps.
Pour un circuit alimenté par une tension sinusoïdale \(v(t) = V_{crête} \sin(\omega t)\) et traversé par un courant \(i(t) = I_{crête} \sin(\omega t - \phi)\), la puissance instantanée est \(p(t) = v(t) \times i(t)\). La puissance moyenne \(P_{moy}\) est donnée par :
Où \(V_{eff}\) et \(I_{eff}\) sont les valeurs efficaces de la tension et du courant, et \(\phi\) est le déphasage entre la tension et le courant. Le terme \(\cos(\phi)\) est appelé facteur de puissance.
Pour une charge purement résistive, comme un four électrique idéal, la tension et le courant sont en phase (\(\phi = 0\)), donc \(\cos(\phi) = 1\). La formule se simplifie :
Données du Problème
Un four électrique, considéré comme une charge purement résistive, est branché sur le réseau électrique domestique européen.
- Tension efficace du réseau (\(V_{eff}\)) : \(230 \text{ V}\)
- Résistance de l'élément chauffant du four (\(R\)) : \(25 \text{ Ω}\)
- Fréquence du réseau (\(f\)) : \(50 \text{ Hz}\)
Questions
- Calculer le courant efficace (\(I_{eff}\)) consommé par le four.
- Calculer la puissance moyenne (active) (\(P_{moy}\)) consommée par le four.
- Calculer la tension de crête (\(V_{crête}\)) aux bornes du four.
- Calculer le courant de crête (\(I_{crête}\)) traversant le four.
- Si le four fonctionne pendant 2 heures et 30 minutes, calculer l'énergie électrique (\(E\)) consommée en kilowattheures (kWh).
Correction : Calcul de la Puissance Moyenne pour un Four
1. Calcul du Courant Efficace (\(I_{eff}\))
Le four est une charge résistive. On utilise la loi d'Ohm avec les valeurs efficaces : \(V_{eff} = R \times I_{eff}\).
Données :
\(V_{eff} = 230 \text{ V}\)
\(R = 25 \text{ Ω}\)
Le courant efficace consommé par le four est \(I_{eff} = 9.2 \text{ A}\).
2. Calcul de la Puissance Moyenne (\(P_{moy}\))
Pour une charge résistive, \(\cos(\phi) = 1\). On peut utiliser \(P_{moy} = V_{eff} \times I_{eff}\) ou \(P_{moy} = R \times I_{eff}^2\) ou \(P_{moy} = V_{eff}^2 / R\).
Données :
\(V_{eff} = 230 \text{ V}\)
\(I_{eff} = 9.2 \text{ A}\) (calculé précédemment)
\(R = 25 \text{ Ω}\)
Méthode 1 : \(P_{moy} = V_{eff} \times I_{eff}\)
Méthode 2 : \(P_{moy} = R \times I_{eff}^2\)
Méthode 3 : \(P_{moy} = V_{eff}^2 / R\)
La puissance moyenne consommée par le four est \(P_{moy} = 2116 \text{ W}\) (ou \(2.116 \text{ kW}\)).
3. Calcul de la Tension de Crête (\(V_{crête}\))
Pour un signal sinusoïdal, \(V_{crête} = V_{eff} \times \sqrt{2}\).
Données :
\(V_{eff} = 230 \text{ V}\)
La tension de crête aux bornes du four est \(V_{crête} \approx 325.27 \text{ V}\).
4. Calcul du Courant de Crête (\(I_{crête}\))
Pour un signal sinusoïdal, \(I_{crête} = I_{eff} \times \sqrt{2}\).
Données :
\(I_{eff} = 9.2 \text{ A}\)
Le courant de crête traversant le four est \(I_{crête} \approx 13.01 \text{ A}\).
Quiz Intermédiaire : Puissance et Énergie
5. Calcul de l'Énergie Électrique Consommée (\(E\))
L'énergie électrique est le produit de la puissance moyenne et de la durée d'utilisation : \(E = P_{moy} \times \Delta t\). Il faut convertir la puissance en kilowatts (kW) et la durée en heures (h).
Données :
\(P_{moy} = 2116 \text{ W} = 2.116 \text{ kW}\)
\(\Delta t = 2 \text{ heures et } 30 \text{ minutes} = 2.5 \text{ heures}\)
L'énergie électrique consommée par le four est \(E = 5.29 \text{ kWh}\).
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Glossaire des Termes Clés
Puissance Active (Moyenne ou Réelle) \(P_{moy}\) :
Partie de la puissance qui est effectivement transformée en travail (chaleur, lumière, etc.) par un récepteur. Unité : Watt (W).
Puissance Apparente (S) :
Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant (\(S = V_{eff} \times I_{eff}\)). Elle représente la puissance totale fournie par la source. Unité : Voltampère (VA).
Puissance Réactive (Q) :
Partie de la puissance qui est échangée entre la source et les éléments réactifs (bobines, condensateurs) du circuit sans être consommée. Unité : Voltampère réactif (VAR).
Facteur de Puissance (\(\cos(\phi)\)) :
Rapport entre la puissance active et la puissance apparente (\(\cos(\phi) = P_{moy} / S\)). Il indique l'efficacité avec laquelle la puissance apparente est convertie en puissance active. Pour une charge résistive, \(\cos(\phi) = 1\).
Énergie Électrique (E) :
Puissance consommée pendant une certaine durée (\(E = P_{moy} \times \Delta t\)). Unité courante : kilowattheure (kWh).
Charge Résistive :
Type de charge électrique qui ne comporte que des éléments résistifs (comme un four, un radiateur électrique). En CA, la tension et le courant sont en phase.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi est-il important pour les fournisseurs d'électricité et les grands consommateurs industriels de maintenir un facteur de puissance proche de 1 ?
2. Si le four de l'exercice avait également un moteur (charge inductive), comment cela affecterait-il le facteur de puissance et le calcul de la puissance moyenne ?
3. Comment peut-on corriger (améliorer) un mauvais facteur de puissance dans une installation électrique ?
4. L'énergie consommée par le four est transformée en chaleur. Quels sont les principes physiques derrière cet effet (effet Joule) ?
5. Si la tension du réseau subit une baisse de 10% (par exemple, de 230V à 207V), quel serait l'impact sur la puissance de chauffage du four et pourquoi ?
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