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Exercices Électricité

Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série

Calcul de la Résonance dans un Circuit RLC Série

Pic de Courant : Calcul de la Résonance en Circuit RLC Série

La Résonance : Quand le circuit s'emballe (ou presque) !

Dans un circuit RLC série alimenté par une source de tension alternative, il existe une fréquence particulière, appelée fréquence de résonance, pour laquelle le circuit présente des caractéristiques uniques. À cette fréquence, les effets de l'inductance (L) et de la capacité (C) se compensent mutuellement, ce qui minimise l'opposition globale du circuit au passage du courant (l'impédance). Cela se traduit par un courant maximal dans le circuit. Ce phénomène est crucial dans de nombreuses applications, comme le réglage des radios ou les filtres de fréquences. Cet exercice vous aidera à comprendre comment calculer cette fréquence et analyser le comportement du circuit à la résonance.

Le Circuit RLC de Clara

Clara étudie un circuit RLC série. Il est composé d'une résistance (R), d'une bobine d'inductance (L) et d'un condensateur de capacité (C), tous connectés en série avec une source de tension alternative \(v_s(t)\).

Informations sur le circuit :

  • Résistance \(R\) : \(10 \, \text{Ohms (}\text{\Omega}\text{)}\).
  • Inductance \(L\) : \(20 \, \text{millihenrys (}\text{mH}\text{)}\) (c'est-à-dire \(20 \times 10^{-3} \, \text{H}\)).
  • Capacité \(C\) : \(50 \, \text{microfarads (}\mu\text{F}\text{)}\) (c'est-à-dire \(50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)).
  • La source de tension délivre une tension efficace \(V_s = 10 \, \text{Volts (}\text{V}\text{)}\).
Schéma du circuit RLC série de Clara
vs(t) {/* MODIFIÉ: LaTeX retiré */} R=10Ω L=20mH C=50µF I(t) Circuit RLC Série

Le courant \(I(t)\) circule à travers la résistance, l'inductance et la capacité.

Questions à traiter

  1. Exprimez la réactance inductive (\(X_L\)) en fonction de la pulsation \(\omega\) et de l'inductance \(L\).
  2. Exprimez la réactance capacitive (\(X_C\)) en fonction de la pulsation \(\omega\) et de la capacité \(C\).
  3. La résonance se produit lorsque \(X_L = X_C\). À partir de cette condition, dérivez la formule de la pulsation de résonance \(\omega_0\).
  4. Calculez la valeur de la pulsation de résonance \(\omega_0\) pour le circuit de Clara. Donnez votre réponse en radians par seconde (rad/s).
  5. Calculez la fréquence de résonance \(f_0\) correspondante. Donnez votre réponse en Hertz (Hz). (Rappel : \(\omega = 2\pi f\))
  6. Quelle est l'impédance totale (\(Z\)) du circuit RLC série à la fréquence de résonance ?
  7. Calculez le courant efficace (\(I_0\)) dans le circuit lorsque la source fonctionne à la fréquence de résonance \(f_0\).
  8. Calculez le facteur de qualité (\(Q\)) de ce circuit. (Rappel : \(Q = \frac{X_L}{R}\) à la résonance, ou \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\))

Correction : Analyse du Circuit RLC de Clara

Question 1 : Réactance inductive (\(X_L\))

Réponse :

La réactance inductive est l'opposition offerte par une inductance au passage d'un courant alternatif. Elle augmente avec la fréquence.

\[ X_L = \omega L \]

Où \(\omega\) est la pulsation en \(\text{rad/s}\) et \(L\) est l'inductance en \(\text{Henrys (H)}\).

Question 2 : Réactance capacitive (\(X_C\))

Réponse :

La réactance capacitive est l'opposition offerte par un condensateur au passage d'un courant alternatif. Elle diminue lorsque la fréquence augmente.

\[ X_C = \frac{1}{\omega C} \]

Où \(\omega\) est la pulsation en \(\text{rad/s}\) et \(C\) est la capacité en \(\text{Farads (F)}\).

Question 3 : Dérivation de la pulsation de résonance (\(\omega_0\))

Réponse :

À la résonance, la réactance inductive est égale à la réactance capacitive :

\[ X_L = X_C \] \[ \omega_0 L = \frac{1}{\omega_0 C} \]

En multipliant par \(\omega_0 C\) et en divisant par \(L\), on obtient :

\[ \omega_0^2 L C = 1 \] \[ \omega_0^2 = \frac{1}{LC} \]

Donc, la pulsation de résonance est :

\[ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \]

Question 4 : Calcul de la pulsation de résonance (\(\omega_0\))

Données :
  • \(L = 20 \, \text{mH} = 20 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
  • \(C = 50 \, \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{(20 \times 10^{-3} \, \text{H}) \cdot (50 \times 10^{-6} \, \text{F})}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1000 \times 10^{-9} \, \text{H} \cdot \text{F}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 \times 10^{-6} \, \text{s}^2}} \\ &= \frac{1}{1 \times 10^{-3} \, \text{s}} \\ &= 1000 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La pulsation de résonance \(\omega_0\) est de \(1000 \, \text{rad/s}\).

Question 5 : Calcul de la fréquence de résonance (\(f_0\))

Données :
  • \(\omega_0 = 1000 \, \text{rad/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_0 &= \frac{\omega_0}{2\pi} \\ &= \frac{1000 \, \text{rad/s}}{2\pi} \\ &\approx \frac{1000}{6.283} \, \text{Hz} \\ &\approx 159.15 \, \text{Hz} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La fréquence de résonance \(f_0\) est d'environ \(159.15 \, \text{Hz}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'inductance d'un circuit RLC est doublée, comment la fréquence de résonance \(f_0\) change-t-elle (en supposant que C reste constante) ?

Question 6 : Impédance (\(Z\)) à la résonance

Réponse :

L'impédance totale d'un circuit RLC série est donnée par \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\).

À la fréquence de résonance, \(X_L = X_C\), donc \(X_L - X_C = 0\).

\[ \begin{aligned} Z_0 &= \sqrt{R^2 + (0)^2} \\ &= \sqrt{R^2} \\ &= R \end{aligned} \]

L'impédance à la résonance est donc simplement égale à la résistance.

\[ Z_0 = R = 10 \, \text{\Omega} \]
Résultat Question 6 : L'impédance du circuit à la résonance est \(Z_0 = 10 \, \text{\Omega}\).

Question 7 : Courant efficace (\(I_0\)) à la résonance

Données :
  • Tension efficace de la source \(V_s = 10 \, \text{V}\)
  • Impédance à la résonance \(Z_0 = 10 \, \text{\Omega}\)
Calcul (Loi d'Ohm) :
\[ \begin{aligned} I_0 &= \frac{V_s}{Z_0} \\ &= \frac{10 \, \text{V}}{10 \, \text{\Omega}} \\ &= 1 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le courant efficace dans le circuit à la résonance est \(I_0 = 1 \, \text{A}\).

Question 8 : Facteur de qualité (\(Q\))

Données :
  • \(R = 10 \, \text{\Omega}\)
  • \(L = 20 \times 10^{-3} \, \text{H}\)
  • \(C = 50 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(\omega_0 = 1000 \, \text{rad/s}\)
Calcul (en utilisant \(Q = \frac{\omega_0 L}{R}\)) :
\[ \begin{aligned} X_{L0} &= \omega_0 L \\ &= (1000 \, \text{rad/s}) \cdot (20 \times 10^{-3} \, \text{H}) \\ &= 20 \, \text{\Omega} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q &= \frac{X_{L0}}{R} \\ &= \frac{20 \, \text{\Omega}}{10 \, \text{\Omega}} \\ &= 2 \end{aligned} \]

Alternativement, en utilisant \(Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\) :

\[ \begin{aligned} Q &= \frac{1}{10 \, \text{\Omega}} \sqrt{\frac{20 \times 10^{-3} \, \text{H}}{50 \times 10^{-6} \, \text{F}}} \\ &= \frac{1}{10} \sqrt{\frac{0.02}{0.00005}} \\ &= \frac{1}{10} \sqrt{400} \\ &= \frac{1}{10} \cdot 20 \\ &= 2 \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Le facteur de qualité \(Q\) du circuit est de \(2\).

Quiz Intermédiaire 2 : À la résonance, l'impédance d'un circuit RLC série est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La fréquence de résonance \(\omega_0\) d'un circuit RLC série est donnée par :

2. À la résonance dans un circuit RLC série, le courant dans le circuit est :

3. Si la capacité \(C\) d'un circuit RLC série diminue, comment la fréquence de résonance \(f_0\) change-t-elle (en supposant que L reste constante) ?

Glossaire

Circuit RLC Série
Circuit électrique comprenant une résistance (R), une inductance (L) et une capacité (C) connectées en série.
Résonance
Phénomène qui se produit dans un circuit RLC à une fréquence spécifique (fréquence de résonance) où les réactances inductive et capacitive s'annulent, conduisant à une impédance minimale (égale à R) et un courant maximal.
Pulsation (\(\omega\))
Vitesse angulaire du signal alternatif, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Son unité est le \(\text{radian par seconde (rad/s)}\).
Fréquence (\(f\))
Nombre de cycles d'un signal alternatif par seconde. Son unité est le \(\text{Hertz (Hz)}\).
Réactance Inductive (\(X_L\))
Opposition d'une inductance au passage d'un courant alternatif. \(X_L = \omega L\). Unité : \(\text{Ohm (}\text{\Omega}\text{)}\).
Réactance Capacitive (\(X_C\))
Opposition d'un condensateur au passage d'un courant alternatif. \(X_C = 1/(\omega C)\). Unité : \(\text{Ohm (}\text{\Omega}\text{)}\).
Impédance (\(Z\))
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Pour un circuit RLC série, \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\). Unité : \(\text{Ohm (}\text{\Omega}\text{)}\).
Fréquence de Résonance (\(f_0\) ou \(\omega_0\))
Fréquence à laquelle \(X_L = X_C\), résultant en une impédance minimale et un courant maximal. \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\).
Facteur de Qualité (\(Q\))
Paramètre sans dimension qui décrit à quel point un circuit résonant est sélectif en fréquence. Un \(Q\) élevé signifie une résonance "pointue". \(Q = X_{L0}/R = X_{C0}/R = (1/R)\sqrt{L/C}\).
Calcul de la Résonance en Circuit RLC Série

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