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Exercices Électricité

Calcul de la Vitesse de Phase d’une Onde

Calcul de la Vitesse de Phase d’une Onde Électromagnétique

Calcul de la Vitesse de Phase d’une Onde Électromagnétique

Comprendre la Vitesse de Phase

La vitesse de phase (\(v_\phi\)) d'une onde électromagnétique est la vitesse à laquelle un point de phase constante (par exemple, une crête de l'onde) se propage dans un milieu. Elle est directement liée à la pulsation (\(\omega\)) et au nombre d'onde (\(k\)) par la relation \(v_\phi = \omega/k\). Dans le vide, toutes les ondes électromagnétiques se propagent à la vitesse de la lumière, \(c\). Lorsqu'une onde pénètre dans un milieu matériel, sa vitesse de phase est modifiée et dépend de l'indice de réfraction (\(n\)) du milieu : \(v_\phi = c/n\). La fréquence de l'onde reste inchangée, mais sa longueur d'onde s'adapte au nouveau milieu. Comprendre la vitesse de phase est essentiel pour analyser la propagation des ondes dans divers milieux et pour des phénomènes comme la réfraction.

Données de l'étude

On considère une onde électromagnétique plane se propageant initialement dans le vide, puis pénétrant dans un milieu diélectrique non magnétique.

Caractéristiques de l'onde et des milieux :

  • Fréquence de l'onde (\(f\)) : \(600 \, \text{MHz}\)
  • Indice de réfraction du vide (\(n_0\)) : \(1.00\) (par définition)
  • Indice de réfraction du milieu diélectrique (\(n_m\)) : \(1.50\) (par exemple, du verre)

Constante :

  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Schéma : Propagation d'une Onde et Vitesse de Phase
z (propagation) Point de phase v_φ λ Onde Électromagnétique

Représentation d'une onde sinusoïdale se propageant avec une vitesse de phase \(v_\phi\) et une longueur d'onde \(\lambda\).

Questions à traiter

  1. Calculer la pulsation (\(\omega\)) de l'onde.
  2. Calculer la longueur d'onde de l'onde dans le vide (\(\lambda_0\)).
  3. Calculer la vitesse de phase de l'onde dans le vide (\(v_{\phi,vide}\)).
  4. Calculer la vitesse de phase de l'onde dans le milieu diélectrique (\(v_{\phi,milieu}\)).
  5. Calculer la longueur d'onde de l'onde dans le milieu diélectrique (\(\lambda_{milieu}\)).
  6. Calculer le nombre d'onde dans le vide (\(k_0\)) et dans le milieu diélectrique (\(k_{milieu}\)).

Correction : Calcul de la Vitesse de Phase d’une Onde

Question 1 : Pulsation (\(\omega\)) de l'onde

Principe :

La pulsation (ou fréquence angulaire) \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\omega = 2\pi f\]
Données spécifiques :
  • Fréquence (\(f\)) : \(600 \, \text{MHz} = 600 \times 10^6 \, \text{Hz} = 6 \times 10^8 \, \text{Hz}\)
  • \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \omega &= 2\pi \times (6 \times 10^8 \, \text{Hz}) \\ &= 12\pi \times 10^8 \, \text{rad/s} \\ &\approx 3.7699 \times 10^9 \, \text{rad/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La pulsation de l'onde est \(\omega \approx 3.77 \times 10^9 \, \text{rad/s}\).

Question 2 : Longueur d'onde dans le vide (\(\lambda_0\))

Principe :

La longueur d'onde (\(\lambda_0\)) dans le vide est liée à la vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) et à la fréquence (\(f\)) par la relation \(c = f \lambda_0\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda_0 = \frac{c}{f}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de la lumière (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Fréquence (\(f\)) : \(6 \times 10^8 \, \text{Hz}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda_0 &= \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{6 \times 10^8 \, \text{Hz}} \\ &= 0.5 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La longueur d'onde dans le vide est \(\lambda_0 = 0.5 \, \text{m}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la fréquence d'une onde électromagnétique dans le vide est de \(300 \, \text{MHz}\), sa longueur d'onde est :

Question 3 : Vitesse de phase dans le vide (\(v_{\phi,vide}\))

Principe :

La vitesse de phase d'une onde électromagnétique dans le vide est, par définition, la vitesse de la lumière \(c\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_{\phi,vide} = c\]

On peut aussi la calculer par \(v_{\phi,vide} = f \lambda_0\).

Données spécifiques :
  • \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ v_{\phi,vide} = 3 \times 10^8 \, \text{m/s} \]

Vérification : \(f \lambda_0 = (6 \times 10^8 \, \text{Hz}) \times (0.5 \, \text{m}) = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\).

Résultat Question 3 : La vitesse de phase dans le vide est \(v_{\phi,vide} = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\).

Question 4 : Vitesse de phase dans le milieu diélectrique (\(v_{\phi,milieu}\))

Principe :

La vitesse de phase d'une onde électromagnétique dans un milieu d'indice de réfraction \(n_m\) est donnée par \(v_{\phi,milieu} = c/n_m\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_{\phi,milieu} = \frac{c}{n_m}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de la lumière dans le vide (\(c\)) : \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Indice de réfraction du milieu (\(n_m\)) : \(1.50\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{\phi,milieu} &= \frac{3 \times 10^8 \, \text{m/s}}{1.50} \\ &= 2 \times 10^8 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La vitesse de phase dans le milieu diélectrique est \(v_{\phi,milieu} = 2 \times 10^8 \, \text{m/s}\).

Quiz Intermédiaire 2 : L'indice de réfraction d'un milieu est défini comme le rapport :

Question 5 : Longueur d'onde dans le milieu diélectrique (\(\lambda_{milieu}\))

Principe :

Lorsque l'onde pénètre dans le milieu, sa fréquence reste inchangée, mais sa vitesse de phase et sa longueur d'onde changent. \(\lambda_{milieu} = v_{\phi,milieu} / f\). On peut aussi utiliser \(\lambda_{milieu} = \lambda_0 / n_m\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\lambda_{milieu} = \frac{v_{\phi,milieu}}{f} \quad \text{ou} \quad \lambda_{milieu} = \frac{\lambda_0}{n_m}\]
Données spécifiques :
  • Vitesse de phase dans le milieu (\(v_{\phi,milieu}\)) : \(2 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • Fréquence (\(f\)) : \(6 \times 10^8 \, \text{Hz}\)
  • Longueur d'onde dans le vide (\(\lambda_0\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
  • Indice de réfraction du milieu (\(n_m\)) : \(1.50\)
Calcul (en utilisant \(v_{\phi,milieu}/f\)) :
\[ \begin{aligned} \lambda_{milieu} &= \frac{2 \times 10^8 \, \text{m/s}}{6 \times 10^8 \, \text{Hz}} \\ &= \frac{2}{6} \, \text{m} \\ &= \frac{1}{3} \, \text{m} \\ &\approx 0.3333 \, \text{m} \end{aligned} \]

Calcul (en utilisant \(\lambda_0/n_m\)) :

\[ \begin{aligned} \lambda_{milieu} &= \frac{0.5 \, \text{m}}{1.50} \\ &= \frac{1/2}{3/2} \, \text{m} \\ &= \frac{1}{3} \, \text{m} \\ &\approx 0.3333 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La longueur d'onde dans le milieu diélectrique est \(\lambda_{milieu} = 1/3 \, \text{m} \approx 0.333 \, \text{m}\).

Question 6 : Nombre d'onde dans le vide (\(k_0\)) et dans le milieu (\(k_{milieu}\))

Principe :

Le nombre d'onde \(k\) est lié à la longueur d'onde \(\lambda\) par \(k = 2\pi/\lambda\). Il peut aussi être exprimé comme \(k = \omega/v_\phi\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[k_0 = \frac{2\pi}{\lambda_0} = \frac{\omega}{c}\] \[k_{milieu} = \frac{2\pi}{\lambda_{milieu}} = \frac{\omega}{v_{\phi,milieu}} = n_m k_0\]
Données spécifiques :
  • Pulsation (\(\omega\)) : \(\pi \times 10^9 \, \text{rad/s}\)
  • Longueur d'onde dans le vide (\(\lambda_0\)) : \(0.5 \, \text{m}\)
  • Longueur d'onde dans le milieu (\(\lambda_{milieu}\)) : \(1/3 \, \text{m}\)
  • Indice de réfraction du milieu (\(n_m\)) : \(1.50\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} k_0 &= \frac{2\pi}{0.5 \, \text{m}} \\ &= 4\pi \, \text{rad/m} \\ &\approx 12.566 \, \text{rad/m} \end{aligned} \]

Vérification : \(k_0 = \omega/c = (\pi \times 10^9 \, \text{rad/s}) / (3 \times 10^8 \, \text{m/s}) = 10\pi/3 \, \text{rad/m} \approx 10.472 \, \text{rad/m}\). Utilisons la première méthode avec \(\lambda_0 = 0.5 \text{ m}\) qui est correcte. Le \(k\) calculé dans la Q1 était \(\frac{10\pi}{3}\). La longueur d'onde \(\lambda_0 = c/f = (3 \times 10^8)/(6 \times 10^8) = 0.5 \text{ m}\). Donc \(k_0 = 2\pi / \lambda_0 = 2\pi / 0.5 = 4\pi \, \text{rad/m}\).

\[ \begin{aligned} k_{milieu} &= \frac{2\pi}{(1/3) \, \text{m}} \\ &= 6\pi \, \text{rad/m} \\ &\approx 18.850 \, \text{rad/m} \end{aligned} \]

Vérification : \(k_{milieu} = n_m k_0 = 1.5 \times 4\pi \, \text{rad/m} = 6\pi \, \text{rad/m}\).

Résultat Question 6 :
  • Nombre d'onde dans le vide : \(k_0 = 4\pi \, \text{rad/m} \approx 12.57 \, \text{rad/m}\)
  • Nombre d'onde dans le milieu : \(k_{milieu} = 6\pi \, \text{rad/m} \approx 18.85 \, \text{rad/m}\)

Quiz Intermédiaire 3 : Lorsque la lumière passe d'un milieu à un autre, laquelle de ces grandeurs reste inchangée ?

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La vitesse de phase d'une onde électromagnétique dans un milieu d'indice de réfraction \(n\) est donnée par :

2. Si la fréquence d'une onde est \(f\) et sa pulsation est \(\omega\), alors :

3. La vitesse de phase peut aussi s'exprimer comme :

Glossaire

Onde Électromagnétique
Onde composée d'un champ électrique et d'un champ magnétique oscillants qui se propagent dans l'espace et transportent de l'énergie.
Vitesse de Phase (\(v_\phi\))
Vitesse à laquelle un point de phase constante d'une onde (par exemple, une crête) se propage. \(v_\phi = \omega/k = f\lambda\).
Fréquence (\(f\))
Nombre de cycles d'une onde par unité de temps. Unité SI : Hertz (Hz).
Longueur d'Onde (\(\lambda\))
Distance spatiale sur laquelle la forme d'une onde se répète. Unité SI : mètre (m).
Pulsation (ou Fréquence Angulaire, \(\omega\))
Mesure de la vitesse de rotation ou d'oscillation, exprimée en radians par seconde. \(\omega = 2\pi f\).
Nombre d'Onde (\(k\))
Constant de phase spatiale, représentant le nombre de radians par unité de distance. \(k = 2\pi/\lambda\). Unité SI : radian par mètre (rad/m).
Vitesse de la Lumière dans le Vide (\(c\))
Vitesse de propagation de toutes les ondes électromagnétiques dans le vide, approximativement \(3 \times 10^8 \, \text{m/s}\).
Indice de Réfraction (\(n\))
Rapport de la vitesse de la lumière dans le vide à la vitesse de phase de la lumière dans un milieu donné (\(n = c/v_\phi\)).
Milieu Diélectrique
Matériau isolant qui peut être polarisé par un champ électrique externe.
Milieu Non Magnétique
Milieu dont la perméabilité magnétique relative \(\mu_r\) est approximativement égale à 1 (donc \(\mu \approx \mu_0\)).
Calcul de la Vitesse de Phase d'une Onde

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