Calcul de Puissance dans un Circuit Résistif
Calculer les différentes formes de puissance (instantanée, moyenne, apparente) dans un circuit résistif simple alimenté en courant alternatif.
Dans un circuit alimenté en courant alternatif (CA), la puissance varie constamment. On distingue plusieurs types de puissances :
- Puissance Instantanée \(p(t)\) : Produit de la tension instantanée \(v(t)\) et du courant instantané \(i(t)\). Elle varie au cours du temps. \(p(t) = v(t) \times i(t)\).
- Puissance Active (ou Moyenne) \(P\) : Valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période. C'est la puissance réellement consommée par la charge et transformée en travail (chaleur, lumière, etc.). Pour une charge purement résistive, \(P = V_{eff} I_{eff} = R I_{eff}^2 = V_{eff}^2 / R\).
- Puissance Apparente \(S\) : Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant : \(S = V_{eff} I_{eff}\). Elle représente la puissance totale que la source doit fournir. Unité : Voltampère (VA).
- Puissance Réactive \(Q\) : Puissance échangée entre la source et les éléments réactifs (inductances, capacités) du circuit. Pour une charge purement résistive, \(Q = 0\) VAR (Voltampère Réactif).
Le facteur de puissance (\(\cos \phi\)) est le rapport \(P/S\). Pour une charge résistive, \(\phi = 0\) et \(\cos \phi = 1\), donc \(P = S\).
Données du Problème
Une résistance pure \(R\) est alimentée par une source de tension alternative sinusoïdale.
- Tension efficace aux bornes de la résistance (\(V_{eff}\)) : \(120 \text{ V}\)
- Valeur de la résistance (\(R\)) : \(30 \text{ Ω}\)
- Fréquence du signal (\(f\)) : \(60 \text{ Hz}\)
Questions
- Calculer la tension de crête (\(V_{crête}\)) aux bornes de la résistance.
- Calculer le courant efficace (\(I_{eff}\)) traversant la résistance.
- Calculer le courant de crête (\(I_{crête}\)) traversant la résistance.
- Écrire les expressions mathématiques de la tension instantanée \(v(t)\) et du courant instantané \(i(t)\), en supposant une phase nulle pour la tension à l'origine.
- Calculer la puissance active (moyenne) \(P\) dissipée par la résistance.
- Calculer la puissance apparente \(S\) fournie à la résistance.
- Quelle est la valeur de la puissance réactive \(Q\) ? Justifier.
- Déterminer l'expression de la puissance instantanée \(p(t)\) et commenter sa forme et sa fréquence par rapport au signal de tension.
Correction : Calcul de Puissance dans un Circuit Résistif
1. Calcul de la Tension de Crête (\(V_{crête}\))
Pour un signal sinusoïdal, \(V_{crête} = V_{eff} \times \sqrt{2}\).
Données :
\(V_{eff} = 120 \text{ V}\)
La tension de crête aux bornes de la résistance est \(V_{crête} \approx 169.70 \text{ V}\).
2. Calcul du Courant Efficace (\(I_{eff}\))
On utilise la loi d'Ohm avec les valeurs efficaces : \(I_{eff} = V_{eff} / R\).
Données :
\(V_{eff} = 120 \text{ V}\)
\(R = 30 \text{ Ω}\)
Le courant efficace traversant la résistance est \(I_{eff} = 4 \text{ A}\).
3. Calcul du Courant de Crête (\(I_{crête}\))
Pour un signal sinusoïdal, \(I_{crête} = I_{eff} \times \sqrt{2}\).
Données :
\(I_{eff} = 4 \text{ A}\)
Alternativement, \(I_{crête} = V_{crête} / R \approx 169.70 \text{ V} / 30 \text{ Ω} \approx 5.657 \text{ A}\).
Le courant de crête traversant la résistance est \(I_{crête} \approx 5.657 \text{ A}\).
Quiz Intermédiaire : Crête et Efficace
4. Expressions de \(v(t)\) et \(i(t)\)
On calcule d'abord la pulsation \(\omega = 2\pi f\). Pour une résistance, tension et courant sont en phase (\(\phi = 0\)).
Données :
\(V_{crête} \approx 169.70 \text{ V}\)
\(I_{crête} \approx 5.657 \text{ A}\)
\(f = 60 \text{ Hz}\)
Expressions instantanées :
\(v(t) \approx 169.70 \sin(120\pi t) \text{ V}\)
\(i(t) \approx 5.657 \sin(120\pi t) \text{ A}\)
Quiz Intermédiaire : Formes d'Onde
5. Calcul de la Puissance Active (Moyenne) \(P\)
Pour une charge résistive, \(P = V_{eff} I_{eff}\) ou \(P = R I_{eff}^2\) ou \(P = V_{eff}^2 / R\).
Données :
\(V_{eff} = 120 \text{ V}\)
\(I_{eff} = 4 \text{ A}\)
\(R = 30 \text{ Ω}\)
Vérification : \(P = R I_{eff}^2 = 30 \text{ Ω} \times (4 \text{ A})^2 = 30 \times 16 = 480 \text{ W}\).
La puissance active dissipée par la résistance est \(P = 480 \text{ W}\).
Quiz Intermédiaire : Puissance Active
6. Calcul de la Puissance Apparente \(S\)
La puissance apparente est \(S = V_{eff} I_{eff}\).
Données :
\(V_{eff} = 120 \text{ V}\)
\(I_{eff} = 4 \text{ A}\)
La puissance apparente fournie à la résistance est \(S = 480 \text{ VA}\).
7. Valeur de la Puissance Réactive \(Q\)
Pour une charge purement résistive, la tension et le courant sont en phase, donc le déphasage \(\phi = 0\). La puissance réactive est \(Q = V_{eff} I_{eff} \sin(\phi)\).
La puissance réactive est \(Q = 0 \text{ VAR}\), car la charge est purement résistive et n'emmagasine aucune énergie réactive.
8. Expression de la Puissance Instantanée \(p(t)\)
\(p(t) = v(t) \times i(t)\). On utilise les expressions de \(v(t)\) et \(i(t)\) trouvées précédemment.
\(v(t) \approx 169.70 \sin(120\pi t)\)
\(i(t) \approx 5.657 \sin(120\pi t)\)
On sait que \(\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}\). Donc :
Commentaire :
- La puissance instantanée oscille à une fréquence double de celle de la tension et du courant (soit \(2 \times 60 \text{ Hz} = 120 \text{ Hz}\)).
- Elle est toujours positive ou nulle (car \(\sin^2\) est toujours \(\ge 0\), ou \(1-\cos(2\alpha)\) est toujours \(\ge 0\)), ce qui signifie que la résistance dissipe de l'énergie en permanence (elle ne la restitue jamais à la source).
- La valeur moyenne de \(p(t)\) est de \(480 \text{ W}\), ce qui correspond à la puissance active calculée. Le terme \(-480 \cos(240\pi t)\) a une moyenne nulle sur une période.
La puissance instantanée est \(p(t) \approx 480 - 480 \cos(240\pi t) \text{ W}\).
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Glossaire des Termes Clés
Puissance Instantanée \(p(t)\) :
Produit à chaque instant de la tension instantanée et du courant instantané. Varie au cours du temps.
Puissance Active (Moyenne) \(P\) :
Valeur moyenne de la puissance instantanée sur une période. Représente l'énergie réellement transformée par unité de temps. Unité : Watt (W).
Puissance Apparente \(S\) :
Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant (\(S = V_{eff} I_{eff}\)). Unité : Voltampère (VA).
Puissance Réactive \(Q\) :
Puissance oscillant entre la source et les éléments réactifs (bobines, condensateurs) sans être dissipée. Unité : Voltampère Réactif (VAR).
Facteur de Puissance (\(\cos \phi\)) :
Rapport \(P/S\). Indique l'efficacité de l'utilisation de la puissance apparente. Pour une charge résistive, il est de 1.
Déphasage (\(\phi\)) :
Différence de phase angulaire entre le signal de tension et le signal de courant.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Si la résistance de l'exercice était remplacée par une bobine idéale (inductance pure), quelles seraient les valeurs de \(P\), \(Q\), et \(S\) ? Quel serait le déphasage \(\phi\) ?
2. Même question si la résistance était remplacée par un condensateur idéal.
3. Pourquoi la puissance instantanée dans une résistance est-elle toujours positive ou nulle, alors qu'elle peut être négative pour des charges inductives ou capacitives ?
4. Comment la forme d'onde de la tension (par exemple, carrée au lieu de sinusoïdale) affecterait-elle le calcul des différentes puissances et des valeurs efficaces ?
5. Expliquez avec vos propres mots pourquoi la puissance apparente est une notion importante pour le dimensionnement des installations électriques (câbles, transformateurs) même si seule la puissance active est "utile".
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