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Exercice : Puissance en Circuit Résistif AC

Calcul de Puissance dans un Circuit Résistif Pur

Contexte : Le Régime SinusoïdalRégime de fonctionnement d'un circuit électrique où les tensions et courants sont des fonctions sinusoïdales du temps..

En électrotechnique, la majorité des réseaux de distribution (comme nos prises de courant domestiques) fonctionnent en régime alternatif sinusoïdal. Comprendre comment la puissance est consommée dans ce régime est fondamental. Cet exercice se concentre sur le cas le plus simple : un circuit ne comportant qu'une résistance pure.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à distinguer la tension maximale de la tension efficace, à appliquer la loi d'Ohm en alternatif, et à calculer la puissance active (la puissance "utile" qui est facturée).

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la relation tension-courant (déphasage) dans une résistance pure.
Savoir calculer les valeurs efficaces de tension et de courant.
Calculer la puissance active (moyenne) et l'énergie consommée.
Distinguer puissance active (moyenne) et puissance instantanée.

Données de l'étude

On étudie un circuit électrique simple composé d'un générateur de tension alternative sinusoïdale alimentant une résistance pure (un radiateur électrique, par exemple).

Fiche Technique

Composant	Description
Générateur	Tension sinusoïdale $u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t)$
Charge	Résistance Pure $R$

Schéma du Circuit Étudié

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Maximale	$U_{\text{max}}$	325	V
Fréquence	$f$	50	Hz
Résistance	$R$	10	$\Omega$

Questions à traiter

Calculer la tension efficace ($U_{\text{eff}}$) aux bornes de la résistance et la pulsation ($\omega$) du signal.
Déterminer l'expression de l'intensité instantanée $i(t)$ et calculer sa valeur efficace ($I_{\text{eff}}$).
Calculer la puissance active (ou moyenne) $P$ consommée par la résistance.
Calculer la puissance maximale instantanée ($P_{\text{max}}$).
Calculer l'énergie ($W$) en kWh consommée par la résistance si elle fonctionne pendant 3 heures.

Les bases sur les Circuits Résistifs AC

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin de trois concepts fondamentaux liés aux circuits résistifs en régime sinusoïdal.

1. Loi d'Ohm en régime sinusoïdal
Pour une résistance pure, la loi d'Ohm s'applique à tout instant. La tension $u(t)$ et le courant $i(t)$ sont directement proportionnels : \[ u(t) = R \cdot i(t) \] Cela implique que le courant et la tension sont en phase (ils atteignent leurs maximums et zéros en même temps).

2. Valeurs Efficaces (RMS)
En sinusoïdal, la valeur efficaceValeur quadratique moyenne. C'est la valeur d'une tension ou d'un courant continu qui produirait le même échauffement dans une résistance. (notée "eff" ou RMS) est la valeur la plus utilisée (c'est ce que mesure un multimètre). Elle est liée à la valeur maximale par : \[ U_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \quad \text{et} \quad I_{\text{eff}} = \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \]

3. Puissance Active (Moyenne)
La puissance activePartie moyenne de la puissance instantanée, représentant l'énergie réellement consommée (transformée en chaleur, travail) par le circuit. $P$, mesurée en Watts (W), est la puissance moyenne consommée par le circuit. Dans un circuit résistif pur, elle est donnée par : \[ P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}} \] En utilisant la loi d'Ohm ($U_{\text{eff}} = R \cdot I_{\text{eff}}$), on peut aussi écrire : \[ P = R \cdot I_{\text{eff}}^2 \quad \text{ou} \quad P = \frac{U_{\text{eff}}^2}{R} \]

Correction : Calcul de Puissance dans un Circuit Résistif Pur

Question 1 : Calculer la tension efficace ($U_{\text{eff}}$) et la pulsation ($\omega$)

Principe

Cette étape consiste à "traduire" les données du générateur. On nous donne la tension maximale ($U_{\text{max}}$) et la fréquence ($f$), mais les calculs de puissance utilisent presque toujours la tension efficace ($U_{\text{eff}}$) et la pulsation ($\omega$).

Mini-Cours

La tension efficace $U_{\text{eff}}$ est la valeur normalisée (en Europe, 230V). Elle est liée à la valeur maximale (l'amplitude du signal) par $ \sqrt{2} $. La pulsation $\omega$ (en rad/s) mesure la "vitesse de rotation" du signal, elle est liée à la fréquence $f$ (en Hz) qui mesure le nombre de cycles par seconde.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas $U_{\text{max}}$ et $U_{\text{eff}}$. $U_{\text{max}}$ est le pic de la sinusoïde, tandis que $U_{\text{eff}}$ est la valeur "utile" pour les calculs de puissance moyenne. Les 325V donnés sont typiques pour un réseau 230V ($230 \times \sqrt{2} \approx 325$).

Normes

En Europe, la fréquence standard des réseaux de distribution est de 50 Hz. Aux États-Unis, elle est de 60 Hz.

Formule(s)

Les deux formules à appliquer sont :

Tension efficace

U_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}}

Pulsation

\omega = 2 \pi f

Hypothèses

On suppose que le signal est parfaitement sinusoïdal et que les valeurs données sont exactes.

Donnée(s)

Nous extrayons les données de l'énoncé nécessaires pour cette question :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Maximale	$U_{\text{max}}$	325	V
Fréquence	$f$	50	Hz

Astuces

Retenez que $\sqrt{2} \approx 1.414$. Diviser par $\sqrt{2}$ revient à multiplier par environ 0.707.

Schéma (Avant les calculs)

Nous visualisons la sinusoïde de tension $u(t)$ avec son amplitude $U_{\text{max}}$.

Visualisation de $U_{\text{max}}$ et $U_{\text{eff}}$

Calcul(s)

On applique les formules avec les données fournies.

Étape 1 : Calcul de la tension efficace $U_{\text{eff}}$

On substitue la valeur de $U_{\text{max}}$ (325 V) dans la formule :

\begin{aligned} U_{\text{eff}} &= \frac{U_{\text{max}}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{325 \text{ V}}{\sqrt{2}} \\ &\approx 229.81 \text{ V} \end{aligned}

Ce résultat est la tension "utile" du circuit, celle que mesurerait un voltmètre en mode AC.

Étape 2 : Calcul de la pulsation $\omega$

On substitue la valeur de $f$ (50 Hz) dans la formule :

\begin{aligned} \omega &= 2 \pi f \\ &= 2 \pi \cdot 50 \text{ Hz} \\ &\approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned}

Cette valeur est nécessaire pour écrire l'expression temporelle du signal (par exemple, $\sin(314.16 t)$).

Schéma (Après les calculs)

Les résultats sont des paramètres qui quantifient les signaux. Nous pouvons les visualiser comme des données clés extraites de la sinusoïde de tension :

Paramètres Calculés du Signal de Tension

Réflexions

On trouve $U_{\text{eff}} \approx 229.8 \text{ V}$. C'est la valeur de tension standard du réseau domestique européen (souvent arrondie à 230 V), ce qui confirme que la tension maximale de 325V est la valeur de crête correspondante.

Points de vigilance

Attention à ne pas utiliser $f=50$ Hz directement dans les équations sinusoïdales ($\sin(\omega t)$). Il faut toujours la convertir en pulsation $\omega$.

Points à retenir

$U_{\text{eff}} = U_{\text{max}} / \sqrt{2}$
$\omega = 2 \pi f$
Pour 50 Hz, $\omega \approx 314$ rad/s.

Le saviez-vous ?

La tension efficace est appelée "RMS" en anglais (Root Mean Square), ce qui décrit son calcul mathématique : la Racine (Root) de la Moyenne (Mean) du Carré (Square) du signal.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La tension efficace est $U_{\text{eff}} \approx 229.81 \text{ V}$ et la pulsation est $\omega \approx 314.16 \text{ rad/s}$.

A vous de jouer

Quelle serait la pulsation $\omega$ si le réseau était américain (fréquence $f = 60 \text{ Hz}$) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Conversion des grandeurs (Max $\rightarrow$ Eff, Hz $\rightarrow$ rad/s).
Formules : $U_{\text{eff}} = U_{\text{max}}/\sqrt{2}$, $\omega = 2\pi f$.

Question 2 : Déterminer l'expression de $i(t)$ et calculer $I_{\text{eff}}$

Principe

Maintenant que nous connaissons la tension, nous utilisons la loi d'Ohm pour trouver le courant. Comme la charge est une résistance pure, le courant suivra la tension "instantanément", sans décalage (déphasage).

Mini-Cours

La loi d'Ohm $u(t) = R \cdot i(t)$ est valable à chaque instant. Par conséquent, $i(t) = u(t) / R$. Si $u(t) = U_{\text{max}} \sin(\omega t)$, alors $i(t) = (U_{\text{max}} / R) \sin(\omega t)$. On pose $I_{\text{max}} = U_{\text{max}} / R$. Le courant $i(t)$ est donc aussi une sinusoïde, en phase avec $u(t)$.

Remarque Pédagogique

Puisque la loi d'Ohm s'applique aux valeurs instantanées, elle s'applique aussi aux valeurs maximales ($U_{\text{max}} = R \cdot I_{\text{max}}$) et aux valeurs efficaces ($U_{\text{eff}} = R \cdot I_{\text{eff}}$). Il est souvent plus simple de calculer $I_{\text{eff}}$ directement à partir de $U_{\text{eff}}$.

Normes

L'Ampère (A) est l'unité standard du Système International (SI) pour le courant électrique. Les normes d'installation (comme la NFC 15-100 en France) définissent les calibres de protection (disjoncteurs) en fonction de ce courant efficace $I_{\text{eff}}$.

Formule(s)

Courant instantané

i(t) = \frac{u(t)}{R} = \frac{U_{\text{max}}}{R} \sin(\omega t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t)

Courant efficace (Loi d'Ohm en efficace)

I_{\text{eff}} = \frac{U_{\text{eff}}}{R}

Hypothèses

La résistance $R$ est "pure", c'est-à-dire qu'elle n'a pas d'effet inductif ou capacitif. Sa valeur est constante.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé et les résultats de la Q1 :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Efficace	$U_{\text{eff}}$	229.81	V
Tension Maximale	$U_{\text{max}}$	325	V
Résistance	$R$	10	$\Omega$
Pulsation	$\omega$	314.16	rad/s

Astuces

Calculez toujours $I_{\text{eff}}$ avec $U_{\text{eff}}$, c'est plus direct. N'utilisez $I_{\text{max}}$ que si on vous demande explicitement l'expression instantanée $i(t)$.

Schéma (Avant les calculs)

Dans une résistance, la tension et le courant sont en phase. Leurs sinusoïdes "montent" et "descendent" en même temps.

Tension et Courant en Phase

Calcul(s)

On calcule d'abord le courant efficace, puis le courant maximal pour l'expression de $i(t)$.

Étape 1 : Calcul du courant efficace $I_{\text{eff}}$

On utilise la loi d'Ohm avec les valeurs efficaces (calculées à la Q1) :

\begin{aligned} I_{\text{eff}} &= \frac{U_{\text{eff}}}{R} \\ &= \frac{229.81 \text{ V}}{10 \text{ \(\Omega\)}} \\ &\approx 22.98 \text{ A} \end{aligned}

C'est le courant "efficace" qui circule, celui qui est pertinent pour l'échauffement et le dimensionnement des câbles.

Étape 2 : Calcul du courant maximal $I_{\text{max}}$

On utilise la loi d'Ohm avec les valeurs maximales (données de l'énoncé) :

\begin{aligned} I_{\text{max}} &= \frac{U_{\text{max}}}{R} \\ &= \frac{325 \text{ V}}{10 \text{ \(\Omega\)}} \\ &= 32.5 \text{ A} \end{aligned}

C'est l'amplitude (le pic) de la sinusoïde de courant.

Étape 3 : Expression de $i(t)$

On assemble l'expression $i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t)$ avec les valeurs calculées :

i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t) \approx 32.5 \sin(314.16 t) \text{ (A)}

Cette équation décrit la valeur du courant à n'importe quel instant $t$. Notez l'absence de déphasage (pas de "+$\varphi$") car c'est une résistance.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma "avant les calculs" montrait la *relation* (en phase). Le schéma "après" confirme les *amplitudes* calculées pour les deux signaux.

Amplitudes de $u(t)$ et $i(t)$

Réflexions

Le courant efficace est de 22.98 A. C'est une intensité élevée, typique d'un appareil de forte puissance comme un radiateur électrique. L'expression $i(t)$ confirme que le courant est une sinusoïde de même pulsation $\omega$ que la tension, et sans déphasage.

Points de vigilance

Ne mélangez pas les valeurs max et efficaces ! Si vous calculez $I_{\text{eff}}$ avec $U_{\text{max}}$ (ex: $325 / 10$) ou $I_{\text{max}}$ avec $U_{\text{eff}}$, vous obtiendrez un résultat incohérent. Utilisez $U_{\text{eff}}$ avec $I_{\text{eff}}$ et $U_{\text{max}}$ avec $I_{\text{max}}$.

Points à retenir

Loi d'Ohm en efficace : $U_{\text{eff}} = R \cdot I_{\text{eff}}$.
Dans une résistance, tension et courant sont en phase.

Le saviez-vous ?

Si le composant avait été une bobine (inductance) pure, le courant aurait été en retard de 90° ($\pi/2$) sur la tension. Pour un condensateur pur, il aurait été en avance de 90°.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

L'expression du courant est $i(t) \approx 32.5 \sin(314.16 t) \text{ A}$ et sa valeur efficace est $I_{\text{eff}} \approx 22.98 \text{ A}$.

A vous de jouer

Si la résistance était de $R = 5 \text{ \(\Omega$}\), que vaudrait le courant efficace $I_{\text{eff}}$ ? (avec $U_{\text{eff}} = 229.81 \text{ V}$)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Loi d'Ohm en AC pour une résistance.
Formule : $I_{\text{eff}} = U_{\text{eff}} / R$.
Résultat : Courant et tension sont en phase.

Question 3 : Calculer la puissance active (moyenne) $P$

Principe

C'est l'objectif final : déterminer l'énergie (par seconde) que le générateur fournit et que la résistance dissipe (sous forme de chaleur). C'est cette puissance, en Watts, qui est facturée par le fournisseur d'électricité.

Mini-Cours

La puissance instantanée est $p(t) = u(t) \cdot i(t)$. Comme $u$ et $i$ sont sinusoïdaux et en phase, $p(t)$ est une sinusoïde "au carré", toujours positive, qui oscille au double de la fréquence. La puissance active $P$ est la valeur moyenne de $p(t)$. Pour une résistance, cette moyenne se calcule très simplement avec les valeurs efficaces.

Remarque Pédagogique

Il y a trois façons d'arriver au même résultat, ce qui est excellent pour vérifier son calcul ! Utiliser $P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}$ est le plus universel, mais $P = R \cdot I_{\text{eff}}^2$ est très courant (effet Joule).

Normes

L'unité de puissance active est le Watt (W), en l'honneur de James Watt. 1 Watt = 1 Joule par seconde.

Formule(s)

Puissance active (formule générale)

P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}

Variantes pour résistance (Effet Joule)

P = R \cdot I_{\text{eff}}^2 \quad \text{ou} \quad P = \frac{U_{\text{eff}}^2}{R}

Hypothèses

On suppose que toute la puissance consommée est dissipée par effet Joule (chaleur), ce qui est la définition d'une résistance pure.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Efficace	$U_{\text{eff}}$	229.81	V
Courant Efficace	$I_{\text{eff}}$	22.98	A
Résistance	$R$	10	$\Omega$

Astuces

Utilisez au moins deux des trois formules pour vérifier votre résultat. Si $P = U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}}$ et $P = R \cdot I_{\text{eff}}^2$ ne donnent pas le même résultat, vous avez une erreur (probablement d'arrondi) dans $U_{\text{eff}}$ ou $I_{\text{eff}}$.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des puissances : $u(t)$ et $i(t)$ sont en phase. $p(t) = u(t)i(t)$ est donc toujours positive (car 'moins' fois 'moins' = 'plus'). La puissance active $P$ est la valeur moyenne de $p(t)$.

Puissance Instantanée et Active

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul avec $U_{\text{eff}}$ et $I_{\text{eff}}$ (Méthode 1)

On multiplie la tension efficace (Q1) par le courant efficace (Q2) :

\begin{aligned} P &= U_{\text{eff}} \cdot I_{\text{eff}} \\ &= 229.81 \text{ V} \cdot 22.98 \text{ A} \\ &\approx 5280.8 \text{ W} \end{aligned}

Ce résultat est la puissance active (moyenne).

Étape 2 : Vérification avec $U_{\text{eff}}^2 / R$ (Méthode 2)

On utilise la tension efficace (Q1) et la résistance (énoncé) :

\begin{aligned} P &= \frac{U_{\text{eff}}^2}{R} \\ &= \frac{(229.81 \text{ V})^2}{10 \text{ \(\Omega\)}} \\ &= \frac{52812.636... \text{ V}^2}{10 \text{ \(\Omega\)}} \\ &\approx 5281.3 \text{ W} \end{aligned}

Le résultat est identique, ce qui valide nos calculs de $U_{\text{eff}}$ et $I_{\text{eff}}$.

Note sur la précision

Les petits écarts proviennent de l'arrondi de $U_{\text{eff}}$. Le calcul exact se fait avec les valeurs maximales :

\text{Valeur exacte : } P = \frac{U_{\text{max}} \cdot I_{\text{max}}}{2} \] \[ P = \frac{325 \text{ V} \cdot 32.5 \text{ A}}{2} \] \[ = \frac{10562.5}{2} = 5281.25 \text{ W}

C'est la valeur la plus précise que nous retiendrons.

Schéma (Après les calculs)

Le schéma de puissance peut maintenant être annoté avec les valeurs moyennes et maximales calculées. (La puissance maximale $P_{\text{max}}$ sera formellement calculée à la Q4).

Valeurs de Puissance Calculées

Réflexions

Les méthodes donnent un résultat cohérent (la petite différence de 0.5W est due à l'arrondi de $U_{\text{eff}}$). La puissance exacte est 5281.25 W (soit 5.28 kW). C'est la puissance d'un gros radiateur ou d'un four.

Points de vigilance

Ne calculez jamais la puissance moyenne avec les valeurs maximales (ex: $U_{\text{max}} \cdot I_{\text{max}}$). Cela vous donnerait la puissance *maximale instantanée*, qui est le double de la puissance active $P$.

Points à retenir

La puissance active $P$ est la puissance moyenne consommée.
$P = U_{\text{eff}} I_{\text{eff}}$ (en Watts).
Pour une résistance, $P$ est toujours positive (elle consomme de l'énergie, elle n'en produit pas).

Le saviez-vous ?

Les anciens compteurs électriques "tournaient" grâce à un disque en aluminium. La vitesse de ce disque était directement proportionnelle à la puissance active $P$ consommée par l'habitation.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La puissance active consommée par la résistance est $P = 5281.25 \text{ W}$ (ou 5.28 kW).

A vous de jouer

Si on divise la tension efficace par deux ($U_{\text{eff}} = 115 \text{ V}$) et qu'on garde $R = 10 \text{ \(\Omega$}\), quelle sera la nouvelle puissance $P$ ? (Indice : $P = U_{\text{eff}}^2 / R$)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Puissance active (moyenne) $P$.
Formules : $P = U_{\text{eff}} I_{\text{eff}} = R I_{\text{eff}}^2 = U_{\text{eff}}^2 / R$.
Unité : Watt (W).

Question 4 : Calculer la puissance maximale instantanée ($P_{\text{max}}$)

Principe

La puissance instantanée $p(t)$ n'est pas constante, elle oscille. La puissance active $P$ est sa valeur moyenne. Nous cherchons ici la valeur de crête (le pic) de cette oscillation, notée $P_{\text{max}}$ ou $p(t)_{\text{max}}$.

Mini-Cours

La puissance instantanée est $p(t) = u(t) \cdot i(t)$.
$p(t) = (U_{\text{max}} \sin(\omega t)) \cdot (I_{\text{max}} \sin(\omega t)) = U_{\text{max}} I_{\text{max}} \sin^2(\omega t)$.
La fonction $\sin^2(\omega t)$ oscille entre 0 et 1. Par conséquent, la puissance $p(t)$ oscille entre 0 et $U_{\text{max}} I_{\text{max}}$.
On a donc $P_{\text{max}} = U_{\text{max}} \cdot I_{\text{max}}$.
On sait aussi que $P = U_{\text{eff}} I_{\text{eff}} = (U_{\text{max}}/\sqrt{2}) \cdot (I_{\text{max}}/\sqrt{2}) = (U_{\text{max}} I_{\text{max}}) / 2$.
La relation fondamentale est donc : $P_{\text{max}} = 2 \cdot P$.

Remarque Pédagogique

C'est un point clé : la puissance moyenne (facturée) est la moitié de la puissance maximale instantanée. Le circuit doit être capable de supporter cette puissance de crête, même si ce n'est que pendant un bref instant à chaque demi-période.

Normes

Il n'y a pas de "norme" pour la puissance maximale instantanée elle-même, mais c'est une donnée de conception critique. Les fiches techniques des composants électroniques (diodes, transistors) spécifient leur "Safe Operating Area (SOA)" ou zone de fonctionnement sûre, qui inclut la puissance de crête maximale qu'ils peuvent dissiper sans être détruits.

Formule(s)

Puissance maximale instantanée (Méthode 1)

P_{\text{max}} = U_{\text{max}} \cdot I_{\text{max}}

Puissance maximale instantanée (Méthode 2)

P_{\text{max}} = 2 \cdot P

Hypothèses

On suppose que le circuit est linéaire (la résistance $R$ est constante) et que le générateur est "parfait" (il est capable de fournir ce pic de courant et de puissance sans que sa tension ne chute).

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension Maximale	$U_{\text{max}}$	325	V
Courant Maximal	$I_{\text{max}}$	32.5	A
Puissance Active	$P$	5281.25	W

Astuces

Le moyen le plus rapide de trouver $P_{\text{max}}$ est presque toujours de calculer la puissance active $P$ (avec les valeurs efficaces) puis de simplement la multiplier par 2.

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous concentrons sur la relation entre la moyenne ($P$) et le pic ($P_{\text{max}}$) de la courbe de puissance instantanée $p(t)$. L'objectif est de trouver la valeur de ce pic.

Objectif : Trouver $P_{\text{max}}$

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul avec les valeurs maximales (Méthode 1)

On multiplie la tension maximale (énoncé) par le courant maximal (Q2) :

\begin{aligned} P_{\text{max}} &= U_{\text{max}} \cdot I_{\text{max}} \\ &= 325 \text{ V} \cdot 32.5 \text{ A} \\ &= 10562.5 \text{ W} \end{aligned}

Le pic de puissance instantanée est de 10562.5 W.

Étape 2 : Vérification avec la puissance active (Méthode 2)

On double la puissance active (moyenne) calculée à la Q3 :

\begin{aligned} P_{\text{max}} &= 2 \cdot P \\ &= 2 \cdot 5281.25 \text{ W} \\ &= 10562.5 \text{ W} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent un résultat identique, ce qui confirme la relation $P_{\text{max}} = 2P$.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul $P_{\text{max}} = 10562.5 \text{ W}$ confirme quantitativement le pic de la courbe $p(t)$ vue à la Q3. Ce pic est exactement le double de la puissance active moyenne $P$.

Résultat : $P_{\text{max}}$ vs $P$

Réflexions

Les deux méthodes donnent exactement le même résultat. La puissance moyenne consommée est d'environ 5.28 kW, mais le circuit doit supporter des pics de puissance instantanée de plus de 10.5 kW, deux fois par période (à 100 Hz).

Points de vigilance

Ne confondez pas $P$ (la moyenne, en W) et $P_{\text{max}}$ (le pic instantané, aussi en W). C'est $P$ qui est utilisée pour les calculs d'énergie et de facturation.

Points à retenir

La puissance instantanée $p(t)$ oscille entre 0 et $P_{\text{max}}$.
$P_{\text{max}} = U_{\text{max}} \cdot I_{\text{max}}$.
La relation clé est $P_{\text{max}} = 2 \cdot P$.

Le saviez-vous ?

La puissance instantanée $p(t)$ oscille à une fréquence double de celle de la tension. Si la tension est à 50 Hz, la puissance "pulse" à 100 Hz (100 fois par seconde).

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

La puissance maximale instantanée est $P_{\text{max}} = 10562.5 \text{ W}$ (ou 10.56 kW).

A vous de jouer

Si la puissance active (moyenne) $P$ d'un radiateur est de 1500 W, quelle est la puissance maximale instantanée $P_{\text{max}}$ qu'il consomme à chaque cycle ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Pic de puissance instantanée ($P_{\text{max}}$).
Formules : $P_{\text{max}} = U_{\text{max}} I_{\text{max}} = 2P$.

Question 5 : Calculer l'énergie ($W$) en kWh consommée en 3 heures

Principe

L'énergie est ce que l'on paie. C'est la puissance consommée (la puissance active $P$) multipliée par la durée d'utilisation. On nous demande le résultat en kiloWatt-heure (kWh), l'unité standard de facturation.

Mini-Cours

L'énergie $W$ est le produit de la puissance $P$ par le temps $t$.
Si $P$ est en Watts (W) et $t$ en secondes (s), $W$ est en Joules (J).
Pour obtenir des kiloWatt-heures (kWh), il faut s'assurer que :
1. La puissance $P$ est en kiloWatts (kW).
2. Le temps $t$ est en heures (h).

Remarque Pédagogique

Le Joule (W.s) est l'unité scientifique, mais le kWh est l'unité commerciale. 1 kWh = 1000 W x 3600 s = 3 600 000 Joules (3.6 MJ). Le kWh est beaucoup plus pratique pour la facturation.

Normes

Le KiloWatt-heure (kWh) est l'unité légale et commerciale pour la facturation de l'énergie électrique au public dans la plupart des pays.

Formule(s)

Énergie

W = P \times t

Hypothèses

On suppose que la résistance fonctionne en régime permanent (la puissance $P$ est constante) pendant les 3 heures.

Donnée(s)

Nous utilisons le résultat de la Q3 et la donnée de temps :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Puissance Active	$P$	5281.25	W
Temps	$t$	3	h

Astuces

Pour éviter les erreurs : 1. Convertissez P en kW. 2. Convertissez le temps en heures. N'essayez pas de mélanger les Watts avec les heures ou les kW avec les minutes. Forcez les bonnes unités avant de multiplier.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisez un graphique simple : l'axe Y est la puissance active P (constante à 5.28 kW) et l'axe X est le temps. L'énergie $W$ est l'aire du rectangle formé par $P$ et $t$. La hauteur est $P_{\text{kW}}$ et la largeur est $t_{\text{h}}$.

Objectif : Calculer l'Énergie (Aire)

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion de la puissance en kiloWatts (kW)

On divise la puissance active (Q3) par 1000 pour l'obtenir en kW :

P_{\text{kW}} = \frac{P_{\text{W}}}{1000} \] \[P_{\text{kW}} = \frac{5281.25 \text{ W}}{1000}\] \[ P_{\text{kW}} = 5.28125 \text{ kW}

La puissance est de 5.28125 kW.

Étape 2 : Calcul de l'énergie en kWh

On multiplie la puissance en kW par le temps en heures :

\begin{aligned} W &= P_{\text{kW}} \cdot t_{\text{h}} \\ &= 5.28125 \text{ kW} \cdot 3 \text{ h} \\ &= 15.84375 \text{ kWh} \end{aligned}

C'est l'énergie totale consommée pendant les 3 heures.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat final est la valeur de l'énergie consommée, qui est l'aire calculée dans le schéma précédent.

Résultat : Énergie Consommée

Réflexions

L'appareil consomme environ 15.84 kWh en 3 heures. Si le prix du kWh est (par exemple) de 0.20€, l'utilisation de cet appareil pendant 3 heures coûterait $15.84 \times 0.20 \approx 3.17$ €.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est de mal convertir les unités. Par exemple, calculer $5281.25 \text{ W} \times 3 \text{ h}$ et écrire "15843.75 kWh". Le résultat serait en Watt-heures (Wh), pas en kWh !

Points à retenir

L'énergie facturée se calcule avec la puissance active $P$.
1 kWh = 1 kW de puissance pendant 1 heure.
Pensez à convertir les Watts en kW (diviser par 1000).

Le saviez-vous ?

L'abréviation "kWh" est souvent mal écrite "kW/h" (kiloWatt par heure), ce qui n'a aucun sens. Il s'agit bien de kiloWatts multipliés par des heures.

FAQ

Questions fréquentes sur cette étape :

Résultat Final

L'énergie consommée en 3 heures est $W \approx 15.84 \text{ kWh}$.

A vous de jouer

Un appareil a une puissance active $P$ de 800 W. Combien d'énergie (en kWh) consomme-t-il en 90 minutes ? (Indice : 90 minutes = 1.5 heures)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Énergie consommée ($W$).
Formule : $W_{\text{kWh}} = P_{\text{kW}} \times t_{\text{h}}$.

Outil Interactif : Simulateur de Puissance AC

Utilisez les curseurs pour modifier la tension maximale et la résistance. Observez l'impact sur les valeurs efficaces, la puissance active, et les courbes de tension, courant et puissance instantanée.

Paramètres d'Entrée

Tension Maximale ($U_{\text{max}}$) [V] 325 V

Résistance ($R$) [$\Omega$] 10 $\Omega$

Résultats Clés

Tension Efficace ($U_{\text{eff}}$) [V] -

Courant Efficace ($I_{\text{eff}}$) [A] -

Puissance Active ($P$) [W] -

Glossaire

Puissance Active (P): Valeur moyenne de la puissance instantanée. C'est la puissance "utile" qui est convertie en travail ou en chaleur. S'exprime en Watts (W).
Puissance Instantanée (p(t)): Puissance à un instant t, calculée comme $p(t) = u(t) \cdot i(t)$.
Régime Sinusoïdal: Régime de fonctionnement d'un circuit où tensions et courants sont des fonctions sinusoïdales du temps, à une fréquence constante.
Valeur Efficace (RMS): La valeur d'un courant ou d'une tension continue qui produirait le même échauffement (puissance) dans une résistance que le signal alternatif. $U_{\text{eff}} = U_{\text{max}} / \sqrt{2}$.
Pulsation ($\omega$): Vitesse angulaire du signal, liée à la fréquence $f$ par $\omega = 2 \pi f$. S'exprime en radians par seconde (rad/s).

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Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma du Circuit Étudié

Questions à traiter

Les bases sur les Circuits Résistifs AC

Correction : Calcul de Puissance dans un Circuit Résistif Pur

Question 1 : Calculer la tension efficace (\(U_{\text{eff}}\)) et la pulsation (\(\omega\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de \(U_{\text{max}}\) et \(U_{\text{eff}}\)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Paramètres Calculés du Signal de Tension

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Déterminer l'expression de \(i(t)\) et calculer \(I_{\text{eff}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Tension et Courant en Phase

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Amplitudes de \(u(t)\) et \(i(t)\)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calculer la puissance active (moyenne) \(P\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Puissance Instantanée et Active

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Valeurs de Puissance Calculées

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer la puissance maximale instantanée (\(P_{\text{max}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)