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Calcul du gain et des résistances pour un AOP

Calcul du Gain et des Résistances pour un Amplificateur Opérationnel

Calcul du Gain et des Résistances pour un Amplificateur Opérationnel

Comprendre la Conception d'Amplificateurs à AOP

Les amplificateurs opérationnels (AOP) sont des composants polyvalents au cœur de nombreux circuits électroniques. Leur capacité à amplifier des signaux avec une grande précision en fait des éléments essentiels. L'une des configurations les plus courantes est l'amplificateur inverseur, où le gain en tension est déterminé principalement par le rapport de deux résistances externes : la résistance de contre-réaction (\(R_f\)) et la résistance d'entrée (\(R_1\)).

Pour un AOP idéal fonctionnant en régime linéaire (c'est-à-dire non saturé), deux règles d'or s'appliquent : 1) aucun courant ne circule dans ses entrées, et 2) la différence de potentiel entre ses deux entrées est nulle (l'entrée inverseuse est à une "masse virtuelle" si l'entrée non-inverseuse est à la masse). Ces règles simplifient grandement l'analyse et la conception des circuits à AOP. Le gain en tension d'un amplificateur inverseur idéal est donné par \(A_v = -R_f / R_1\).

Cet exercice se concentre sur la détermination des valeurs de résistances pour obtenir un gain en tension spécifié avec un AOP en configuration inverseuse, et sur le calcul des courants et tensions résultants.

Données de l'étude

On souhaite concevoir un amplificateur inverseur utilisant un AOP idéal.

Spécifications et composants :

  • Gain en tension désiré (\(A_v\)) : \(-5\)
  • Tension d'entrée (\(V_{\text{in}}\)) : \(+0.2 \, \text{V}\) (tension continue)
  • Résistance d'entrée choisie (\(R_1\)) : \(10 \, \text{kΩ}\)
  • L'AOP est considéré comme idéal.
Schéma d'un Amplificateur Opérationnel Inverseur
Vin R1 - + Rf Vout Amplificateur Inverseur à AOP

Schéma d'un amplificateur opérationnel en configuration inverseuse.

Questions à traiter

  1. Rappeler la formule du gain en tension \(A_v\) d'un amplificateur inverseur à AOP idéal en fonction de \(R_1\) et \(R_f\).
  2. Calculer la valeur de la résistance de contre-réaction \(R_f\) nécessaire pour obtenir le gain désiré \(A_v = -5\), sachant que \(R_1 = 10 \, \text{kΩ}\).
  3. Calculer la tension de sortie \(V_{\text{out}}\) de l'amplificateur pour \(V_{\text{in}} = +0.2 \, \text{V}\).
  4. En supposant un AOP idéal, quelle est la tension à l'entrée inverseuse (\(V_-\)) ?
  5. Calculer le courant \(I_1\) circulant dans la résistance \(R_1\).
  6. Calculer le courant \(I_f\) circulant dans la résistance de contre-réaction \(R_f\).
  7. Quelle est l'impédance d'entrée \(Z_{\text{in}}\) de ce montage, vue par la source \(V_{\text{in}}\) ?
  8. Si la tension d'alimentation de l'AOP est de \(\pm 15 \, \text{V}\) et que sa tension de saturation en sortie est de \(\pm 13.5 \, \text{V}\), quelle est la plage de tensions d'entrée \(V_{\text{in}}\) pour laquelle l'amplificateur fonctionne en régime linéaire (sans saturation) ?

Correction : Calcul du Gain et des Résistances pour un Amplificateur Opérationnel

Question 1 : Formule du gain en tension \(A_v\)

Principe :

Pour un amplificateur inverseur construit avec un AOP idéal, le gain en tension en boucle fermée \(A_v\) est déterminé par le rapport des résistances de contre-réaction (\(R_f\)) et d'entrée (\(R_1\)).

Formule :
\[A_v = -\frac{R_f}{R_1}\]

Le signe négatif indique l'inversion de phase entre le signal d'entrée et le signal de sortie.

Résultat Question 1 : Le gain en tension est \(A_v = -R_f / R_1\).

Question 2 : Calcul de la résistance \(R_f\)

Principe :

En utilisant la formule du gain et les valeurs données pour \(A_v\) et \(R_1\), on peut calculer \(R_f\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_f = -A_v \cdot R_1\]
Données spécifiques :
  • Gain désiré (\(A_v\)) : \(-5\)
  • Résistance d'entrée (\(R_1\)) : \(10 \, \text{kΩ} = 10 \times 10^3 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_f &= -(-5) \cdot (10 \times 10^3 \, \text{Ω}) \\ &= 5 \cdot 10000 \, \text{Ω} \\ &= 50000 \, \text{Ω} \\ &= 50 \, \text{kΩ} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance de contre-réaction nécessaire est \(R_f = 50 \, \text{kΩ}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour obtenir un gain inverseur de -10 avec \(R_1 = 5 \, \text{kΩ}\), \(R_f\) doit être :

Question 3 : Tension de sortie \(V_{\text{out}}\)

Principe :

La tension de sortie est le produit du gain en tension et de la tension d'entrée : \(V_{\text{out}} = A_v \cdot V_{\text{in}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{\text{out}} = A_v \cdot V_{\text{in}}\]
Données spécifiques :
  • Gain en tension (\(A_v\)) : \(-5\)
  • Tension d'entrée (\(V_{\text{in}}\)) : \(+0.2 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_{\text{out}} &= (-5) \cdot (0.2 \, \text{V}) \\ &= -1.0 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La tension de sortie est \(V_{\text{out}} = -1.0 \, \text{V}\).

Question 4 : Tension à l'entrée inverseuse (\(V_-\))

Principe :

Pour un AOP idéal fonctionnant en régime linéaire avec l'entrée non-inverseuse (+) connectée à la masse (\(V_+ = 0\)), la tension à l'entrée inverseuse (-) est également nulle en raison de la contre-réaction (masse virtuelle).

Conclusion :
\[V_- = V_+ = 0 \, \text{V}\]
Résultat Question 4 : La tension à l'entrée inverseuse est \(V_- = 0 \, \text{V}\).

Question 5 : Courant \(I_1\) traversant \(R_1\)

Principe :

Le courant \(I_1\) est donné par la loi d'Ohm appliquée à \(R_1\), avec la tension \(V_{\text{in}}\) à une extrémité et \(V_-\) à l'autre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_1 = \frac{V_{\text{in}} - V_-}{R_1}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{in}} = 0.2 \, \text{V}\)
  • \(V_- = 0 \, \text{V}\) (de Q4)
  • \(R_1 = 10 \, \text{kΩ} = 10 \times 10^3 \, \text{Ω}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{0.2 \, \text{V} - 0 \, \text{V}}{10 \times 10^3 \, \text{Ω}} \\ &= \frac{0.2}{10000} \, \text{A} \\ &= 0.00002 \, \text{A} \\ &= 20 \times 10^{-6} \, \text{A} = 20 \, \mu\text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : Le courant traversant \(R_1\) est \(I_1 = 20 \, \mu\text{A}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le courant qui entre dans l'entrée inverseuse d'un AOP idéal est :

Question 6 : Courant \(I_f\) traversant \(R_f\)

Principe :

Puisque le courant d'entrée de l'AOP idéal (\(I_-\)) est nul, le courant \(I_1\) doit s'écouler entièrement à travers \(R_f\). Donc \(I_f = I_1\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_f = I_1\]
Données spécifiques :
  • \(I_1 = 20 \, \mu\text{A}\) (de Q5)
Calcul :
\[ I_f = 20 \, \mu\text{A} \]

On peut aussi le calculer par \(I_f = (V_- - V_{\text{out}})/R_f = (0 - (-1.0 \, \text{V})) / (50 \, \text{kΩ}) = 1.0 \, \text{V} / 50000 \, \text{Ω} = 0.00002 \, \text{A} = 20 \, \mu\text{A}\).

Résultat Question 6 : Le courant traversant \(R_f\) est \(I_f = 20 \, \mu\text{A}\).

Question 7 : Impédance d'entrée \(Z_{\text{in}}\) du montage

Principe :

L'impédance d'entrée vue par la source \(V_{\text{in}}\) est la résistance que "voit" la source. Comme l'entrée inverseuse (-) est une masse virtuelle (\(V_- = 0 \, \text{V}\)), la source \(V_{\text{in}}\) voit simplement la résistance \(R_1\) connectée à cette masse virtuelle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{\text{in}} = R_1\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 10 \, \text{kΩ}\)
Résultat Question 7 : L'impédance d'entrée du montage est \(Z_{\text{in}} = 10 \, \text{kΩ}\).

Question 8 : Plage de \(V_{\text{in}}\) pour fonctionnement linéaire

Principe :

L'AOP sature lorsque sa tension de sortie \(V_{\text{out}}\) atteint les limites imposées par ses tensions d'alimentation (ici \(\pm 13.5 \, \text{V}\)). On sait que \(V_{\text{out}} = A_v \cdot V_{\text{in}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[-13.5 \, \text{V} \le A_v \cdot V_{\text{in}} \le +13.5 \, \text{V}\]
Données spécifiques :
  • \(A_v = -5\)
  • \(V_{\text{sat}} = \pm 13.5 \, \text{V}\)
Calcul :

Pour la saturation positive :

\[ \begin{aligned} -5 \cdot V_{\text{in}} &\le 13.5 \, \text{V} \\ V_{\text{in}} &\ge \frac{13.5}{-5} \, \text{V} \\ V_{\text{in}} &\ge -2.7 \, \text{V} \end{aligned} \]

Pour la saturation négative :

\[ \begin{aligned} -5 \cdot V_{\text{in}} &\ge -13.5 \, \text{V} \\ V_{\text{in}} &\le \frac{-13.5}{-5} \, \text{V} \\ V_{\text{in}} &\le +2.7 \, \text{V} \end{aligned} \]

Donc, pour un fonctionnement linéaire, \(-2.7 \, \text{V} \le V_{\text{in}} \le +2.7 \, \text{V}\).

Résultat Question 8 : La plage de tensions d'entrée pour un fonctionnement linéaire est de \(-2.7 \, \text{V}\) à \(+2.7 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 1 (AOP) : Si la tension de sortie d'un AOP atteint sa limite d'alimentation, on dit qu'il est :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Pour un AOP idéal en configuration inverseuse, le gain en tension dépend :

2. L'entrée inverseuse (-) d'un AOP idéal dans un montage inverseur avec l'entrée non-inverseuse (+) à la masse est appelée :

3. L'impédance de sortie d'un amplificateur inverseur utilisant un AOP idéal est :

Glossaire

Amplificateur Opérationnel (AOP)
Circuit intégré amplificateur différentiel à gain élevé, haute impédance d'entrée et basse impédance de sortie, utilisé avec une contre-réaction pour réaliser diverses fonctions linéaires et non linéaires.
AOP Idéal
Modèle simplifié d'AOP avec des caractéristiques parfaites : gain en boucle ouverte infini, impédance d'entrée infinie, impédance de sortie nulle, bande passante infinie, tension différentielle d'entrée nulle en régime linéaire (\(V_+ = V_-\)), courants d'entrée nuls (\(I_+ = I_- = 0\)).
Montage Inverseur
Configuration d'amplificateur à AOP où le signal d'entrée est appliqué à l'entrée inverseuse (-) via une résistance \(R_1\), et une résistance de contre-réaction \(R_f\) relie la sortie à l'entrée inverseuse. L'entrée non-inverseuse (+) est typiquement à la masse. La sortie est en opposition de phase avec l'entrée.
Gain en Tension en Boucle Fermée (\(A_v\))
Rapport de la tension de sortie à la tension d'entrée d'un amplificateur lorsque la boucle de contre-réaction est active. Pour un inverseur idéal, \(A_v = -R_f/R_1\).
Masse Virtuelle
Point dans un circuit (typiquement l'entrée inverseuse d'un AOP en montage inverseur) qui se maintient à un potentiel de 0V (ou au potentiel de l'entrée non-inverseuse) grâce à la contre-réaction, sans être physiquement connecté à la masse.
Impédance d'Entrée (\(Z_{\text{in}}\))
Impédance "vue" par la source de signal connectée à l'entrée d'un circuit. Pour l'amplificateur inverseur idéal, c'est \(R_1\).
Impédance de Sortie (\(Z_{\text{out}}\))
Impédance "vue" en regardant vers la sortie d'un circuit, lorsque la source d'entrée est désactivée. Pour un AOP idéal, elle est nulle.
Saturation (AOP)
État où la tension de sortie de l'AOP atteint ses limites maximales ou minimales, déterminées par ses tensions d'alimentation. L'AOP ne fonctionne plus en régime linéaire.
Calcul d’un Amplificateur Opérationnel Inverseur

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