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Exercice : Calcul du Générateur de Thévenin

Calcul du Générateur de Thévenin

Contexte : Le théorème de ThéveninUn principe fondamental en analyse de circuits électriques qui permet de simplifier un circuit complexe en un générateur de tension idéal en série avec une résistance équivalente..

Le théorème de Thévenin est un outil extrêmement puissant en électronique pour simplifier l'analyse de circuits linéaires. Il nous permet de remplacer une partie complexe d'un circuit, quelle que soit sa composition, par un modèle équivalent très simple : une source de tension unique (\(E_{\text{th}}\)) en série avec une résistance unique (\(R_{\text{th}}\)). Cet exercice vous guidera à travers les étapes pour trouver ce modèle équivalent pour un circuit donné.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra la méthode systématique pour déterminer la tension et la résistance de Thévenin, deux compétences essentielles pour tout électronicien souhaitant analyser et dépanner des circuits efficacement.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe du modèle équivalent de Thévenin.
Maîtriser la méthode de calcul de la tension de Thévenin (\(E_{\text{th}}\)) à vide.
Savoir calculer la résistance de Thévenin (\(R_{\text{th}}\)) en éteignant les sources indépendantes.
Appliquer le modèle de Thévenin pour calculer le courant dans une charge.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique ci-dessous. L'objectif est de déterminer le générateur de Thévenin équivalent vu des bornes A et B.

Schéma du Circuit Électrique

Questions à traiter

Calculer la tension de Thévenin \(E_{\text{th}}\) entre les bornes A et B.
Calculer la résistance de Thévenin \(R_{\text{th}}\) vue des bornes A et B.
Dessiner le schéma du générateur de Thévenin équivalent.
Si l'on branche une résistance de charge \(R_L = 1.5\ \text{k}\Omega\) entre A et B, quel sera le courant \(I_L\) qui la traversera ?

Les bases sur le Théorème de Thévenin

Le théorème de Thévenin simplifie un réseau linéaire complexe en un circuit équivalent simple, facilitant l'analyse de la charge.

1. Tension de Thévenin (\(E_{\text{th}}\))
C'est la tension mesurée aux bornes de sortie (A et B) lorsque le circuit est "à vide", c'est-à-dire sans aucune charge connectée. On l'appelle aussi tension en circuit ouvertLa différence de potentiel entre deux points d'un circuit lorsqu'il n'y a pas de chemin pour le courant entre ces points.. \[ E_{\text{th}} = V_{AB, \text{ouvert}} \]

2. Résistance de Thévenin (\(R_{\text{th}}\))
C'est la résistance équivalenteLa valeur d'une résistance unique qui aurait le même effet sur le circuit que tout un réseau de résistances. vue depuis les bornes de sortie (A et B) après avoir "éteint" toutes les sources indépendantes. Éteindre une source de tension signifie la remplacer par un court-circuitUne connexion de résistance quasi nulle, généralement un fil, qui force la tension entre ses bornes à être nulle., et éteindre une source de courant signifie la remplacer par un circuit ouvertUne coupure dans un circuit où la résistance est infinie, ce qui empêche le courant de passer..

Correction : Calcul du Générateur de Thévenin

Question 1 : Calculer la tension de Thévenin \(E_{\text{th}}\)

Principe

Le concept physique est de trouver la différence de potentiel qui existerait entre les points A et B si on ne branchait rien dessus. Comme aucun courant ne peut sortir par la borne A (circuit ouvert), la résistance R2 ne voit passer aucun courant. Elle ne provoque donc aucune chute de tension. La tension au point A est alors la même que celle au noeud connectant R1, R2 et R3.

Mini-Cours

Ce problème se ramène à un diviseur de tensionUn circuit simple avec deux résistances en série qui divise la tension d'entrée en une tension de sortie plus petite.. Quand deux résistances (ici R1 et R3) sont en série et alimentées par une source de tension (E), la tension aux bornes de l'une d'elles (R3) est une fraction de la tension totale, proportionnelle à sa valeur de résistance par rapport à la somme des résistances.

Remarque Pédagogique

Le réflexe à avoir est de toujours analyser le circuit dans la condition demandée. Ici, "à vide" signifie "pas de courant en sortie". Redessiner mentalement ou sur papier le circuit en enlevant la branche de sortie permet de voir immédiatement que R2 est "flottante" et que R1 et R3 sont en série.

Normes

Ce calcul ne fait pas appel à une norme de construction (comme l'Eurocode), mais il repose sur les lois fondamentales de l'électricité établies par Georg Ohm et Gustav Kirchhoff, qui sont la base de toutes les normes internationales en génie électrique (comme celles de l'IEC).

Formule(s)

Formule du diviseur de tension

V_{R3} = E \cdot \frac{R_3}{R_1 + R_3}

Hypothèses

Pour ce calcul, on suppose que les composants sont idéaux : la source de tension est parfaite (sa tension ne chute pas avec le courant) et les fils de connexion ont une résistance nulle.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Source de tension	E	12	V
Résistance 1	R1	2	kΩ
Résistance 3	R3	6	kΩ

Astuces

Pour aller plus vite, on peut voir le ratio des résistances. R3 est 3 fois plus grande que R1. La tension totale (12V) va donc se répartir en 4 parts (1+3). R3 prendra 3 de ces 4 parts. Donc (12V / 4) * 3 = 9V. C'est un bon moyen de vérifier l'ordre de grandeur.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit à vide pour le calcul de \(E_{\text{th}}\)

Calcul(s)

Calcul de la tension de Thévenin \(E_{\text{th}}\)

\begin{aligned} E_{\text{th}} = V_A &= E \cdot \frac{R_3}{R_1 + R_3} \\ &= 12\ \text{V} \cdot \frac{6\ \text{k}\Omega}{2\ \text{k}\Omega + 6\ \text{k}\Omega} \\ &= 12\ \text{V} \cdot \frac{6}{8} \\ &= 12\ \text{V} \cdot 0.75 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat \(E_{\text{th}}\)

Réflexions

Le résultat de 9V est cohérent. Il est inférieur à la tension d'alimentation de 12V, ce qui est normal pour un diviseur de tension. Si on avait trouvé une tension supérieure à 12V, il y aurait eu une erreur de calcul.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'inclure R2 dans le calcul du diviseur de tension. Il faut bien se rappeler que la tension de Thévenin se calcule à vide, ce qui implique un courant nul dans toute branche connectée directement à la sortie A.

Points à retenir

Pour \(E_{\text{th}}\) : 1. Isoler les bornes de sortie A et B. 2. Identifier les simplifications (courants nuls). 3. Calculer la tension \(V_{AB}\) qui apparaît.

Le saviez-vous ?

Léon Charles Thévenin, un ingénieur télégraphe français, a publié son théorème en 1883. Il l'a développé pour simplifier l'analyse des circuits télégraphiques complexes et le calcul de l'atténuation du signal.

FAQ

Résultat Final

\(E_{\text{th}} = 9\ \text{V}\)

A vous de jouer

Si la source E valait 24V, quelle serait la nouvelle valeur de \(E_{\text{th}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Tension à vide aux bornes de sortie.
Formule Essentielle : Diviseur de tension \(V_{\text{out}} = V_{\text{in}} \cdot (R_2 / (R_1+R_2))\).
Point de Vigilance Majeur : Ignorer les résistances où aucun courant ne circule.

Question 2 : Calculer la résistance de Thévenin \(R_{\text{th}}\)

Principe

Le concept est de déterminer la résistance "vue" depuis les bornes A et B, comme si on y branchait un ohmmètre. Pour ce faire, on doit neutraliser l'effet des sources d'énergie internes au circuit pour ne mesurer que la partie passive (les résistances).

Mini-Cours

Pour "éteindre" les sources indépendantes : une source de tension est remplacée par un court-circuit (un fil, résistance nulle) et une source de courant est remplacée par un circuit ouvert (une coupure, résistance infinie). Une fois les sources éteintes, on calcule la résistance équivalente entre les bornes A et B en utilisant les lois d'association série et parallèle.

Remarque Pédagogique

La difficulté est souvent de bien visualiser comment les résistances sont connectées après avoir éteint les sources. Le meilleur conseil est de redessiner le circuit. Placez les bornes A et B à droite, et redessinez le reste du circuit à gauche en partant de ces bornes et en remontant vers les points de connexion.

Normes

Tout comme pour \(E_{\text{th}}\), le calcul de \(R_{\text{th}}\) est basé sur les lois fondamentales de l'électrocinétique.

Formule(s)

Association en série

R_{\text{série}} = R_a + R_b

Association en parallèle

R_{\text{parallèle}} = \frac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b}

Hypothèses

On suppose que la source de tension est idéale, ce qui signifie que sa résistance interne est nulle. C'est pourquoi on la remplace par un fil (résistance nulle).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	R1	2	kΩ
Résistance 2	R2	3	kΩ
Résistance 3	R3	6	kΩ

Astuces

Pour le calcul de deux résistances en parallèle, si l'une est un multiple de l'autre (ici 6 = 3 * 2), le calcul se simplifie. On peut aussi utiliser la formule avec les conductances : \(G_{\text{eq}} = G_1 + G_2\).

Schéma (Avant les calculs)

Circuit pour le calcul de \(R_{\text{th}}\) (Source E court-circuitée)

Calcul(s)

Vu des bornes A et B, la résistance R2 est en série avec l'ensemble (R1 en parallèle avec R3). La source de tension étant court-circuitée, R1 et R3 se retrouvent bien en parallèle.

Étape 1 : Calcul du parallèle \(R_1 || R_3\)

\begin{aligned} R_{13} &= \frac{R_1 \cdot R_3}{R_1 + R_3} \\ &= \frac{2\ \text{k}\Omega \cdot 6\ \text{k}\Omega}{2\ \text{k}\Omega + 6\ \text{k}\Omega} \\ &= \frac{12}{8}\ \text{k}\Omega \\ &= 1.5\ \text{k}\Omega \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la résistance de Thévenin \(R_{\text{th}}\)

\begin{aligned} R_{\text{th}} &= R_2 + R_{13} \\ &= 3\ \text{k}\Omega + 1.5\ \text{k}\Omega \\ &= 4.5\ \text{k}\Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de \(R_{\text{th}}\)

Réflexions

La résistance équivalente de 4.5 kΩ est du même ordre de grandeur que les résistances du circuit, ce qui est logique. Elle est supérieure à R2 seule, ce qui est normal car on ajoute une association de résistances en série avec elle.

Points de vigilance

L'erreur classique est de mal interpréter les associations. En regardant le schéma original, on pourrait penser que R2 et R3 sont en série. Le redessin du circuit après avoir éteint les sources est crucial pour éviter cette erreur et voir que R1 et R3 sont en parallèle.

Points à retenir

Pour \(R_{\text{th}}\) : 1. Éteindre les sources (tension -> fil, courant -> coupure). 2. Se placer aux bornes de sortie. 3. Calculer la résistance équivalente "vue" depuis ces bornes.

Le saviez-vous ?

Le théorème de Norton est le "dual" du théorème de Thévenin. Il permet de remplacer un circuit par une source de courant en parallèle avec une résistance. La résistance de Norton est exactement la même que la résistance de Thévenin !

FAQ

Résultat Final

\(R_{\text{th}} = 4.5\ \text{k}\Omega\)

A vous de jouer

Si R2 valait 1 kΩ au lieu de 3 kΩ, quelle serait la nouvelle valeur de \(R_{\text{th}}\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Résistance équivalente vue des bornes avec sources éteintes.
Formule Essentielle : \(R_{\text{parallèle}} = (R_a \cdot R_b) / (R_a + R_b)\).
Point de Vigilance Majeur : Redessiner le circuit pour bien voir les associations série/parallèle.

Question 3 : Dessiner le schéma du générateur de Thévenin équivalent

Principe

Le but du théorème est de remplacer tout le circuit complexe vu des bornes A et B par le modèle le plus simple possible : un générateur de tension parfait (\(E_{\text{th}}\)) avec sa résistance interne (\(R_{\text{th}}\)) en série.

Mini-Cours

Le modèle de Thévenin est un "dipôle actif linéaireUn composant ou circuit à deux bornes qui contient des sources d'énergie et dont la réponse est proportionnelle aux signaux d'entrée.". Cela signifie qu'il se comporte comme une source d'énergie (il a une tension à vide non nulle) et que sa réponse est proportionnelle aux sollicitations (linéaire). Il est entièrement défini par les deux valeurs \(E_{\text{th}}\) et \(R_{\text{th}}\).

Remarque Pédagogique

Ce schéma est la conclusion de notre analyse. Il représente l'essence du circuit original, tel que vu par n'importe quelle charge que l'on pourrait brancher sur les bornes A et B. La complexité interne du circuit original est maintenant cachée, rendant les calculs futurs beaucoup plus simples.

Normes

La représentation schématique des sources de tension et des résistances suit des conventions internationales (symboles IEC 60617) pour que les schémas soient compréhensibles par tous les ingénieurs et techniciens dans le monde.

Formule(s)

Il n'y a pas de formule pour cette question, c'est une représentation graphique basée sur les résultats précédents.

Hypothèses

Le schéma représente un modèle idéal. En réalité, la tension de la source pourrait varier légèrement avec la charge et la résistance pourrait changer avec la température, mais ce modèle est une excellente approximation dans la plupart des cas.

Donnée(s)

On utilise les résultats des deux questions précédentes.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de Thévenin	\(E_{\text{th}}\)	9	V
Résistance de Thévenin	\(R_{\text{th}}\)	4.5	kΩ

Astuces

Toujours dessiner la source de tension avec la bonne polarité. \(E_{\text{th}}\) est la tension \(V_{AB} = V_A - V_B\). Comme nous avons trouvé une valeur positive, cela signifie que le potentiel en A est plus élevé qu'en B. La borne "+" de la source est donc du côté de A.

Calcul(s)

Aucun calcul n'est nécessaire pour cette étape.

Schéma (Après les calculs)

Générateur de Thévenin Équivalent

Réflexions

Ce schéma simple est électriquement indiscernable du circuit original complexe, à condition de ne regarder que ce qui se passe aux bornes A et B. C'est une abstraction puissante.

Points de vigilance

Ne jamais dessiner la résistance en parallèle avec la source de tension pour un modèle de Thévenin. C'est la structure du modèle de Norton.

Points à retenir

Le modèle de Thévenin est toujours une source de tension en série avec une résistance. C'est la définition même du modèle.

Le saviez-vous ?

Le concept de circuit équivalent a été crucial dans le développement des premiers amplificateurs pour les tubes à vide, bien avant l'invention du transistor. Il permettait de modéliser le comportement complexe d'un tube par des sources et des résistances simples.

FAQ

Résultat Final

Le schéma ci-dessus est le résultat final de cette question.

A vous de jouer

Comment le schéma changerait-il si \(E_{\text{th}}\) était négatif (par exemple -9V) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Représentation standardisée du générateur équivalent.
Structure : Toujours \(E_{\text{th}}\) en série avec \(R_{\text{th}}\).
Point de Vigilance Majeur : Respecter la polarité de \(E_{\text{th}}\) (\(V_{AB}\)).

Question 4 : Calculer le courant \(I_L\) dans une charge \(R_L\) de 1.5 kΩ

Principe

L'intérêt majeur du modèle de Thévenin est de rendre ce calcul trivial. En branchant la charge \(R_L\) sur le générateur équivalent, on obtient une simple boucle série. Le courant peut alors être trouvé avec la loi d'Ohm la plus simple.

Mini-Cours

La loi d'OhmUne loi fondamentale qui stipule que le courant traversant un conducteur entre deux points est directement proportionnel à la tension entre ces deux points (I = V/R). généralisée pour une boucle série stipule que le courant est égal à la somme des forces électromotrices (ici, juste \(E_{\text{th}}\)) divisée par la somme de toutes les résistances de la boucle (ici, \(R_{\text{th}}\) et \(R_L\)).

Remarque Pédagogique

Comparez la simplicité de ce calcul avec la méthode qu'il aurait fallu employer sur le circuit de départ (par exemple, la loi des mailles ou le théorème de Millman). C'est là que l'on voit toute la puissance de la simplification par Thévenin.

Formule(s)

Loi d'Ohm pour la boucle

I_L = \frac{E_{\text{th}}}{R_{\text{th}} + R_L}

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de Thévenin	\(E_{\text{th}}\)	9	V
Résistance de Thévenin	\(R_{\text{th}}\)	4.5	kΩ
Résistance de Charge	\(R_L\)	1.5	kΩ

Astuces

Attention aux unités ! Si vous divisez des Volts par des kOhms, le résultat sera directement en milliampères (mA). C'est une convention très pratique en électronique qui évite de manipuler des puissances de 10.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit de Thévenin avec la charge \(R_L\)

Calcul(s)

Calcul du courant de charge \(I_L\)

\begin{aligned} I_L &= \frac{E_{\text{th}}}{R_{\text{th}} + R_L} \\ &= \frac{9\ \text{V}}{4.5\ \text{k}\Omega + 1.5\ \text{k}\Omega} \\ &= \frac{9\ \text{V}}{6.0\ \text{k}\Omega} \\ &\Rightarrow I_L = 1.5\ \text{mA} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Courant dans la charge

Réflexions

Un courant de 1.5 mA est une valeur typique pour ce genre de circuit. On peut aussi calculer la tension aux bornes de la charge : \(V_L = R_L \cdot I_L = 1.5\ \text{k}\Omega \cdot 1.5\ \text{mA} = 2.25\ \text{V}\). On voit que la tension aux bornes de la charge est bien inférieure à \(E_{\text{th}}\) à cause de la chute de tension dans \(R_{\text{th}}\).

Points de vigilance

L'erreur à ne pas commettre est d'oublier la résistance de Thévenin dans le calcul et de faire \(I_L = E_{\text{th}} / R_L\). \(R_{\text{th}}\) fait partie intégrante du générateur et impacte toujours le courant de sortie.

Points à retenir

Une fois le modèle de Thévenin trouvé, le calcul pour N'IMPORTE QUELLE charge \(R_L\) se fait avec la même formule simple. C'est toute la puissance de cette méthode.

Le saviez-vous ?

Le théorème de transfert de puissance maximaleCe théorème stipule que pour maximiser la puissance délivrée par une source à une charge, la résistance de la charge doit être égale à la résistance interne de la source. découle directement du modèle de Thévenin. Il démontre que la puissance délivrée à la charge \(R_L\) est maximale lorsque \(R_L = R_{\text{th}}\). C'est un concept crucial pour adapter des antennes ou des haut-parleurs.

FAQ

Résultat Final

\(I_L = 1.5\ \text{mA}\)

A vous de jouer

Calculez la tension \(V_L\) aux bornes de la charge pour \(R_L = 1.5\ \text{k}\Omega\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Application de la loi d'Ohm à la boucle série équivalente.
Formule Essentielle : \(I_L = E_{\text{th}} / (R_{\text{th}} + R_L)\).
Point de Vigilance Majeur : Ne pas oublier \(R_{\text{th}}\) dans la résistance totale de la boucle.

Outil Interactif : Simulateur de Charge

Utilisez ce simulateur pour voir comment le courant (\(I_L\)) et la tension (\(V_L\)) aux bornes de la charge varient en fonction de la valeur de la résistance de charge (\(R_L\)), en utilisant le modèle de Thévenin que nous venons de calculer (\(E_{\text{th}} = 9\text{V}\), \(R_{\text{th}} = 4.5\ \text{k}\Omega\)).

Paramètres d'Entrée

Résistance de Charge \(R_L\) (kΩ) 1.5 kΩ

Résultats Clés

Courant de charge \(I_L\) (mA) -

Tension de charge \(V_L\) (V) -

Circuit Linéaire: Un circuit dont les composants (résistances, capacités, inductances) ont des caractéristiques qui ne changent pas avec la tension ou le courant.
Diviseur de Tension: Un montage simple de résistances en série qui permet d'obtenir une tension de sortie proportionnelle à la tension d'entrée.
Circuit Ouvert: Une interruption dans un circuit électrique à travers laquelle aucun courant ne peut circuler.
Court-circuit: Une connexion de faible résistance dans un circuit, souvent un simple fil, qui permet au courant de passer avec une chute de tension quasi nulle.

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