Champ et Potentiel Électriques pour une Charge

Principe :

Le vecteur distance \(\vec{r}\) va de la source (charge \(q\)) au point d'observation (P). Si \(q\) est en \((x_q, y_q)\) et P en \((x_P, y_P)\), alors \(\vec{r} = (x_P - x_q)\hat{i} + (y_P - y_q)\hat{j}\). La norme est \(r = |\vec{r}| = \sqrt{(x_P - x_q)^2 + (y_P - y_q)^2}\).

Données spécifiques :

• Position de \(q\) (Origine O) : \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\)
• Position de P : \((6,0 \, \text{cm}; 8,0 \, \text{cm})\)

Calcul :

Coordonnées en mètres : \(q\) en \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\), P en \((0,06 \, \text{m}; 0,08 \, \text{m})\).

Principe :

Le vecteur unitaire \(\hat{u}\) est obtenu en divisant le vecteur \(\vec{r}\) par sa norme \(r\).

Formule(s) utilisée(s) :

Calcul :

Principe :

Le champ électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est donné par la loi de Coulomb : \(\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q = -4,0 \, \text{nC} = -4,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
• \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
• \(r = 0,10 \, \text{m}\)
• \(\hat{u} = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\)

Calcul :

Principe :

La magnitude (ou norme) d'un vecteur \(\vec{V} = V_x\hat{i} + V_y\hat{j}\) est \(|\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}\). L'angle \(\alpha\) qu'il forme avec l'axe des x positifs est donné par \(\alpha = \text{atan2}(V_y, V_x)\) ou \(\tan(\alpha) = V_y / V_x\) (en faisant attention au quadrant).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(E_x = -2160 \, \text{N/C}\)
• \(E_y = -2880 \, \text{N/C}\)

Calcul :

Alternativement, \(|\vec{E}| = |k_e \frac{q}{r^2}| = (9 \times 10^9) \frac{|-4 \times 10^{-9}|}{(0,1)^2} = \frac{36}{0,01} = 3600 \, \text{N/C}\).

Puisque \(E_x < 0\) et \(E_y < 0\), le vecteur est dans le troisième quadrant. \(\tan(\alpha') = \frac{|-2880|}{|-2160|} = \frac{2880}{2160} = \frac{4}{3} \approx 1,333\). \(\alpha' = \arctan(4/3) \approx 53,13^{\circ}\). L'angle par rapport à l'axe des x positifs est \(\alpha = 180^{\circ} + \alpha' \approx 180^{\circ} + 53,13^{\circ} = 233,13^{\circ}\). Ou, en utilisant la direction de \(\hat{u}\) (0,6 ; 0,8) qui est à \(53,13^{\circ}\), et comme q est négative, \(\vec{E}\) est opposé à \(\hat{u}\), donc l'angle est \(53,13^{\circ} + 180^{\circ} = 233,13^{\circ}\).

Principe :

Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_e \frac{q}{r}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q = -4,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
• \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
• \(r = 0,10 \, \text{m}\)

Calcul :

Principe :

Le travail \(W_{\text{ext}}\) qu'un opérateur extérieur doit fournir pour amener une charge \(q'\) de l'infini (où \(V_\infty = 0\)) à un point P (où le potentiel est \(V_P\)) sans variation d'énergie cinétique est égal à la variation de l'énergie potentielle électrique de la charge \(q'\), soit \(W_{\text{ext}} = q' (V_P - V_\infty) = q' V_P\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q' = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
• \(V_P = -360 \, \text{V}\)

Calcul :

Le signe négatif signifie que l'opérateur extérieur effectue un travail négatif, c'est-à-dire que le champ électrique effectue un travail positif pour attirer la charge positive \(q'\) vers le potentiel négatif créé par \(q\).