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Exercices Électricité

Champ et Potentiel Électriques pour une Charge

Champ et Potentiel Électriques pour une Charge Ponctuelle

Champ et Potentiel Électriques pour une Charge Ponctuelle

Comprendre le Champ et le Potentiel Électriques d'une Charge Ponctuelle

Une charge électrique ponctuelle \(q\) est la source la plus élémentaire de champ et de potentiel électrostatiques. Le champ électrique \(\vec{E}\) en un point de l'espace décrit la force vectorielle qui s'exercerait sur une charge d'essai unité positive placée en ce point. Le potentiel électrique \(V\) est une grandeur scalaire qui décrit l'énergie potentielle électrique par unité de charge. Ces deux grandeurs sont intimement liées : le champ électrique dérive du potentiel (\(\vec{E} = -\vec{\nabla}V\)). Cet exercice explore le calcul de ces deux grandeurs pour une charge ponctuelle unique.

Données de l'étude

On considère une charge ponctuelle \(q = -4,0 \, \text{nC}\) située à l'origine O \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\) d'un repère cartésien.

On souhaite calculer le champ électrique \(\vec{E}\) et le potentiel électrique \(V\) créés par cette charge au point P de coordonnées \((6,0 \, \text{cm}; 8,0 \, \text{cm})\).

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.
Schéma : Charge Ponctuelle et Point P
{/* Axes */} {/* Axe X */} x (cm) {/* Axe Y */} y (cm) O {/* Charge q à l'origine (0,0) -> (50,150) en SVG */} {/* Charge négative */} q {/* Point P (6,8) -> (50+6*15, 150-8*15) = (50+90, 150-120) = (140,30) en SVG (échelle: 1cm = 15px) */} P(6,8) {/* Vecteur r de q à P */} r {/* Angle approx tan(8/6) */} {/* Champ E (approximatif, vers q car q est négative) */} {/* E: P -> P - u_r * k = (140,30) - (0.6, -0.8) * 30 = (140-18, 30+24) = (122, 54) */} E Charge q et point d'évaluation P

Configuration de la charge \(q\) et du point P.

Questions à traiter

  1. Calculer le vecteur distance \(\vec{r}\) de la charge \(q\) au point P, ainsi que sa norme \(r\).
  2. Déterminer le vecteur unitaire \(\hat{u}\) dirigé de la charge \(q\) vers le point P.
  3. Calculer le vecteur champ électrique \(\vec{E}\) créé par la charge \(q\) au point P.
  4. Calculer la magnitude (norme) et l'angle (par rapport à l'axe des x positifs) du champ électrique \(\vec{E}\) au point P.
  5. Calculer le potentiel électrique \(V\) créé par la charge \(q\) au point P.
  6. Quel travail \(W_{\text{ext}}\) un opérateur extérieur doit-il fournir pour amener une charge test \(q' = +2,0 \, \text{nC}\) de l'infini (où le potentiel est nul) jusqu'au point P, sans variation d'énergie cinétique ?

Correction : Champ et Potentiel Électriques pour une Charge Ponctuelle

Question 1 : Vecteur distance \(\vec{r}\) et norme \(r\)

Principe :

Le vecteur distance \(\vec{r}\) va de la source (charge \(q\)) au point d'observation (P). Si \(q\) est en \((x_q, y_q)\) et P en \((x_P, y_P)\), alors \(\vec{r} = (x_P - x_q)\hat{i} + (y_P - y_q)\hat{j}\). La norme est \(r = |\vec{r}| = \sqrt{(x_P - x_q)^2 + (y_P - y_q)^2}\).

Données spécifiques :
  • Position de \(q\) (Origine O) : \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\)
  • Position de P : \((6,0 \, \text{cm}; 8,0 \, \text{cm})\)
Calcul :

Coordonnées en mètres : \(q\) en \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\), P en \((0,06 \, \text{m}; 0,08 \, \text{m})\).

\[ \begin{aligned} \vec{r} &= (0,06 \, \text{m} - 0 \, \text{m})\hat{i} + (0,08 \, \text{m} - 0 \, \text{m})\hat{j} \\ &= 0,06\hat{i} + 0,08\hat{j} \, \text{m} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} r &= |\vec{r}| \\ &= \sqrt{(0,06 \, \text{m})^2 + (0,08 \, \text{m})^2} \\ &= \sqrt{0,0036 \, \text{m}^2 + 0,0064 \, \text{m}^2} \\ &= \sqrt{0,0100 \, \text{m}^2} \\ &= 0,10 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(\vec{r} = 0,06\hat{i} + 0,08\hat{j} \, \text{m}\)
  • \(r = 0,10 \, \text{m}\)

Question 2 : Vecteur unitaire \(\hat{u}\)

Principe :

Le vecteur unitaire \(\hat{u}\) est obtenu en divisant le vecteur \(\vec{r}\) par sa norme \(r\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\hat{u} = \frac{\vec{r}}{r}\]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \hat{u} &= \frac{0,06\hat{i} + 0,08\hat{j} \, \text{m}}{0,10 \, \text{m}} \\ &= \frac{0,06}{0,10}\hat{i} + \frac{0,08}{0,10}\hat{j} \\ &= 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(\hat{u} = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\).

Question 3 : Vecteur champ électrique \(\vec{E}\) au point P

Principe :

Le champ électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est donné par la loi de Coulomb : \(\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{E} = k_e \frac{q}{r^2} \hat{u}\]
Données spécifiques :
  • \(q = -4,0 \, \text{nC} = -4,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(r = 0,10 \, \text{m}\)
  • \(\hat{u} = 0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{E} &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{-4,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{(0,10 \, \text{m})^2} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \\ &= (9,0 \times 10^9) \frac{-4,0 \times 10^{-9}}{0,01} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= \frac{-36}{0,01} (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= -3600 (0,6\hat{i} + 0,8\hat{j}) \, \text{N/C} \\ &= (-3600 \times 0,6)\hat{i} + (-3600 \times 0,8)\hat{j} \, \text{N/C} \\ &= -2160\hat{i} - 2880\hat{j} \, \text{N/C} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : \(\vec{E} = -2160\hat{i} - 2880\hat{j} \, \text{N/C}\).

Question 4 : Magnitude et direction de \(\vec{E}\)

Principe :

La magnitude (ou norme) d'un vecteur \(\vec{V} = V_x\hat{i} + V_y\hat{j}\) est \(|\vec{V}| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}\). L'angle \(\alpha\) qu'il forme avec l'axe des x positifs est donné par \(\alpha = \text{atan2}(V_y, V_x)\) ou \(\tan(\alpha) = V_y / V_x\) (en faisant attention au quadrant).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ |\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} \] \[ \alpha = \text{atan2}(E_y, E_x) \]
Données spécifiques :
  • \(E_x = -2160 \, \text{N/C}\)
  • \(E_y = -2880 \, \text{N/C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} |\vec{E}| &= \sqrt{(-2160 \, \text{N/C})^2 + (-2880 \, \text{N/C})^2} \\ &= \sqrt{4665600 + 8294400} \, \text{N/C} \\ &= \sqrt{12960000} \, \text{N/C} \\ &= 3600 \, \text{N/C} \end{aligned} \]

Alternativement, \(|\vec{E}| = |k_e \frac{q}{r^2}| = (9 \times 10^9) \frac{|-4 \times 10^{-9}|}{(0,1)^2} = \frac{36}{0,01} = 3600 \, \text{N/C}\).

\[ \begin{aligned} \alpha &= \text{atan2}(-2880, -2160) \end{aligned} \]

Puisque \(E_x < 0\) et \(E_y < 0\), le vecteur est dans le troisième quadrant. \(\tan(\alpha') = \frac{|-2880|}{|-2160|} = \frac{2880}{2160} = \frac{4}{3} \approx 1,333\). \(\alpha' = \arctan(4/3) \approx 53,13^{\circ}\). L'angle par rapport à l'axe des x positifs est \(\alpha = 180^{\circ} + \alpha' \approx 180^{\circ} + 53,13^{\circ} = 233,13^{\circ}\). Ou, en utilisant la direction de \(\hat{u}\) (0,6 ; 0,8) qui est à \(53,13^{\circ}\), et comme q est négative, \(\vec{E}\) est opposé à \(\hat{u}\), donc l'angle est \(53,13^{\circ} + 180^{\circ} = 233,13^{\circ}\).

Résultat Question 4 :
  • Magnitude : \(|\vec{E}| = 3600 \, \text{N/C}\)
  • Angle avec l'axe des x positifs : \(\alpha \approx 233,13^{\circ}\) (ou \(-126,87^{\circ}\))

Quiz Intermédiaire : Le champ électrique créé par une charge ponctuelle négative en un point P est :

Question 5 : Potentiel électrique \(V\) au point P

Principe :

Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_e \frac{q}{r}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V = k_e \frac{q}{r}\]
Données spécifiques :
  • \(q = -4,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(r = 0,10 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{-4,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,10 \, \text{m}} \\ &= \frac{-36 \, \text{N} \cdot \text{m}/\text{C}}{0,10} \\ &= -360 \, \text{N} \cdot \text{m}/\text{C} \\ &= -360 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : \(V = -360 \, \text{V}\).

Question 6 : Travail \(W_{\text{ext}}\) pour amener \(q'\) de l'infini à P

Principe :

Le travail \(W_{\text{ext}}\) qu'un opérateur extérieur doit fournir pour amener une charge \(q'\) de l'infini (où \(V_\infty = 0\)) à un point P (où le potentiel est \(V_P\)) sans variation d'énergie cinétique est égal à la variation de l'énergie potentielle électrique de la charge \(q'\), soit \(W_{\text{ext}} = q' (V_P - V_\infty) = q' V_P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{\text{ext}} = q' V_P \]
Données spécifiques :
  • \(q' = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(V_P = -360 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{ext}} &= (2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (-360 \, \text{V}) \\ &= -720 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &= -720 \, \text{nJ} \end{aligned} \]

Le signe négatif signifie que l'opérateur extérieur effectue un travail négatif, c'est-à-dire que le champ électrique effectue un travail positif pour attirer la charge positive \(q'\) vers le potentiel négatif créé par \(q\).

Résultat Question 6 : Le travail fourni par un opérateur extérieur est \(W_{\text{ext}} = -720 \, \text{nJ}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le champ électrique et le potentiel électrique créés par une charge ponctuelle :

2. Si le potentiel électrique en un point est nul, cela implique que :

3. Le travail effectué par un opérateur extérieur pour déplacer une charge \(q'\) d'un point A à un point B sans variation d'énergie cinétique est :

Glossaire

Champ Électrique (\(\vec{E}\))
Champ vectoriel créé par des charges électriques, décrivant la force électrique exercée sur une charge d'essai unité. Unité : Newton par Coulomb (N/C) ou Volt par mètre (V/m).
Potentiel Électrique (\(V\))
Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge en un point de l'espace. Unité : Volt (V).
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point.
Loi de Coulomb
Décrit la force entre deux charges ponctuelles. Pour le champ : \(E = k_e |q|/r^2\). Pour le potentiel : \(V = k_e q/r\).
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité, \(k_e \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Vecteur Unitaire (\(\hat{u}\))
Vecteur de norme 1 indiquant une direction.
Travail Électrique (\(W\))
Travail effectué par (ou contre) le champ électrique lors du déplacement d'une charge. Le travail effectué par un agent extérieur pour déplacer une charge \(q'\) d'un point A à un point B est \(W_{\text{ext}} = q'(V_B - V_A)\).
Volt (V)
Unité SI du potentiel électrique et de la différence de potentiel. \(1 \, \text{V} = 1 \, \text{J/C}\).
Champ et Potentiel Électrique pour une Charge

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