Classification de Systèmes de Contrôle

Cette section rappelle les définitions clés pour la classification des systèmes de contrôle.

Système Linéaire vs. Non-Linéaire

Un système est dit linéaire s'il respecte le principe de superposition. C'est-à-dire, si une entrée \(u_1(t)\) produit une sortie \(y_1(t)\) et une entrée \(u_2(t)\) produit une sortie \(y_2(t)\), alors une entrée \((\alpha u_1(t) + \beta u_2(t))\) produira une sortie \((\alpha y_1(t) + \beta y_2(t))\) pour toutes constantes \(\alpha, \beta\). Mathématiquement, pour un opérateur système \(H\):

Un système qui ne respecte pas ce principe est non-linéaire. Les systèmes non-linéaires contiennent souvent des multiplications de variables d'état, des fonctions trigonométriques, des saturations, des seuils, etc.

Système Invariant dans le Temps (SIT) vs. Variant dans le Temps (SVT)

Un système est dit invariant dans le temps (SIT) si ses caractéristiques (paramètres) ne changent pas au cours du temps. Si la réponse à une entrée \(u(t)\) est \(y(t)\), alors la réponse à une entrée décalée \(u(t-t_0)\) sera une sortie également décalée \(y(t-t_0)\) pour tout \(t_0\).

Un système dont les paramètres varient avec le temps est dit variant dans le temps (SVT). Par exemple, la masse d'une fusée qui consomme son carburant.

Système SISO vs. MIMO

Un système est dit à une seule entrée et une seule sortie (SISO - Single Input Single Output) s'il possède une seule variable d'entrée pour contrôler une seule variable de sortie.

Un système est dit à entrées et sorties multiples (MIMO - Multiple Inputs Multiple Outputs) s'il possède plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties.

Système en Boucle Ouverte vs. Boucle Fermée

Un système de contrôle est dit en boucle ouverte lorsque l'action de commande est indépendante de la sortie du processus. Il n'y a pas de mesure de la sortie pour corriger la commande.

Un système de contrôle est dit en boucle fermée (ou asservi) lorsque l'action de commande dépend de la sortie du processus. La sortie est mesurée par un capteur et comparée à une consigne (valeur désirée). La différence (erreur) est utilisée par un correcteur pour ajuster la commande afin de minimiser cette erreur. C'est le principe de la rétroaction (feedback).

Appliquons les définitions précédentes pour classifier les systèmes donnés.

Système A : Régulateur de vitesse de croisière

• Linéaire/Non-linéaire : Souvent modélisé comme linéaire autour d'un point de fonctionnement (vitesse constante). En réalité, la dynamique du véhicule est non-linéaire (résistance de l'air, etc.), mais la linéarisation est une approximation courante pour la conception du contrôleur.
• SIT/SVT : Généralement considéré comme SIT, en supposant que la masse du véhicule et les caractéristiques du moteur ne changent pas significativement pendant le fonctionnement.
• SISO/MIMO : SISO. L'entrée est la consigne de vitesse (ou l'action sur l'accélérateur/frein moteur) et la sortie est la vitesse mesurée du véhicule.
• Boucle Ouverte/Fermée : Boucle Fermée. La vitesse actuelle est mesurée et comparée à la consigne pour ajuster la commande moteur.

Système B : Thermostat d'ambiance

• Linéaire/Non-linéaire : Typiquement non-linéaire. Un thermostat simple fonctionne en mode "tout-ou-rien" (on/off) et présente souvent une hystérésis pour éviter des commutations trop fréquentes.
• SIT/SVT : Généralement SIT, les caractéristiques du thermostat et du système de chauffage ne changent pas avec le temps.
• SISO/MIMO : SISO. L'entrée est la consigne de température, la sortie est la température ambiante mesurée. La commande est l'activation/désactivation du chauffage.
• Boucle Ouverte/Fermée : Boucle Fermée. La température ambiante est mesurée et comparée à la consigne.

Système C : Pendule simple non linéarisé (\(mL\ddot{\theta}(t) + mg\sin(\theta(t)) + c\dot{\theta}(t) = \tau(t)\))

• Linéaire/Non-linéaire : Non-linéaire à cause du terme \(\sin(\theta(t))\). Si l'on linéarise pour de petits angles (\(\sin(\theta) \approx \theta\)), le modèle devient linéaire.
• SIT/SVT : SIT, car les paramètres \(m, L, g, c\) sont constants.
• SISO/MIMO : SISO. L'entrée est le couple appliqué \(\tau(t)\), la sortie est l'angle \(\theta(t)\).
• Boucle Ouverte/Fermée : La description est celle du processus physique. S'il est contrôlé, il peut être en boucle ouverte (on applique un couple sans mesurer l'angle pour corriger) ou en boucle fermée (on mesure l'angle pour ajuster le couple afin d'atteindre un angle désiré). Tel quel, c'est le modèle du processus, souvent utilisé dans un contexte de boucle ouverte pour l'analyse ou de boucle fermée pour la commande. Considérons-le comme le processus qui peut être intégré dans l'une ou l'autre structure.

Système D : Équation différentielle \( \frac{d^2y(t)}{dt^2} + a(t)\frac{dy(t)}{dt} + b \cdot y(t) = u(t) \)

• Linéaire/Non-linéaire : Linéaire, car l'équation est linéaire par rapport à \(y(t)\), ses dérivées, et \(u(t)\).
• SIT/SVT : SVT (Variant dans le Temps) à cause du coefficient \(a(t)\) qui dépend explicitement du temps. Si \(a(t)\) était une constante, le système serait SIT.
• SISO/MIMO : SISO. Une entrée \(u(t)\) et une sortie \(y(t)\).
• Boucle Ouverte/Fermée : Ceci décrit le comportement d'un processus. Il peut être utilisé en boucle ouverte ou intégré dans une boucle fermée.

Système E : Pilotage automatique d'un avion

• Linéaire/Non-linéaire : Fortement non-linéaire en général (aérodynamique complexe, couplages). Des modèles linéarisés sont utilisés pour des phases de vol spécifiques.
• SIT/SVT : Peut être SVT car la masse de l'avion change avec la consommation de carburant, et les caractéristiques aérodynamiques peuvent dépendre de l'altitude et de la vitesse (point de fonctionnement).
• SISO/MIMO : Clairement MIMO. Multiples entrées (commandes des gouvernes, poussée des moteurs) et multiples sorties (altitude, vitesse, cap, attitude).
• Boucle Ouverte/Fermée : Boucle Fermée. De nombreux capteurs mesurent l'état de l'avion, qui est comparé aux consignes de vol pour ajuster les commandes.

Il s'agit de combiner les caractéristiques pour trouver un exemple pertinent.

Un exemple concret pourrait être un bras robotique manipulateur avancé utilisé dans une usine pour assembler des pièces de tailles et poids variables :

• Non-linéaire : La dynamique des bras robotiques est intrinsèquement non-linéaire en raison des termes de Coriolis, centrifuges, et des relations trigonométriques entre les angles des articulations et la position de l'effecteur.
• Variant dans le Temps (SVT) : Si le robot manipule des objets de masses différentes, la masse totale de l'effecteur (bras + objet tenu) change au cours du temps ou d'une tâche à l'autre. Ceci affecte la dynamique globale, rendant certains paramètres du modèle dépendants du temps (ou de la tâche en cours). De plus, l'usure des composants peut introduire des variations lentes des paramètres.
• MIMO : Un bras robotique typique a plusieurs articulations, chacune actionnée par un moteur (plusieurs entrées de commande : couples ou courants moteurs). Il possède également plusieurs capteurs pour mesurer les angles des articulations, les vitesses, et potentiellement la position et l'orientation de son effecteur (plusieurs sorties mesurées).

La rétroaction est un concept central en automatique.

L'avantage principal d'un système en boucle fermée par rapport à un système en boucle ouverte est sa capacité à réduire la sensibilité de la sortie aux perturbations externes et aux variations des paramètres internes du processus. Il permet également un meilleur suivi de la consigne.

Illustrons avec le Système A (Régulateur de vitesse de croisière) :

• Perturbations : Si la voiture aborde une montée (perturbation : augmentation de la charge), en boucle ouverte, la vitesse chuterait car la commande moteur (position de l'accélérateur) resterait fixe. En boucle fermée, le capteur de vitesse détecte la baisse de vitesse. L'erreur par rapport à la consigne augmente, et le correcteur augmente la commande moteur pour compenser la pente et maintenir la vitesse désirée.
• Variations des paramètres : Si l'efficacité du moteur diminue légèrement avec le temps, ou si le nombre de passagers change (variation de la masse), un système en boucle ouverte ne s'adapterait pas et la vitesse réelle s'écarterait de la consigne pour une même commande. En boucle fermée, le système compenserait ces variations pour maintenir la vitesse de consigne.

De même pour le Système B (Thermostat) : si une fenêtre est ouverte (perturbation : perte de chaleur), la température mesurée chutera, et le thermostat en boucle fermée réactivera le chauffage pour contrer cette baisse, ce qu'un système de chauffage en boucle ouverte (programmé pour fonctionner pendant une durée fixe sans mesurer la température) ne ferait pas efficacement.

Réponses Correctes :

Question 1 : b) Non-linéaire (à cause de \(u^2(t)\), le principe de superposition n'est pas vérifié).

Question 2 : b) L'utilisation de la mesure de la sortie pour ajuster la commande (principe de rétroaction).

Question 3 : c) Invariant dans le temps (SIT).

Question 4 : a) SISO (Single Input Single Output).

Question 5 : b) D'analyser le comportement du système non-linéaire autour d'un point de fonctionnement spécifique en utilisant les outils des systèmes linéaires.

Système de Contrôle (ou Système Asservi) :

Ensemble de composants physiques interconnectés de manière à commander (contrôler) une grandeur physique (la sortie) d'un processus, en fonction d'une consigne (l'entrée).

Linéarité :

Propriété d'un système qui respecte le principe de superposition. Sa réponse à une somme pondérée d'entrées est la somme pondérée des réponses à chaque entrée individuelle.

Non-Linéarité :

Caractéristique d'un système ne respectant pas le principe de superposition. Ses équations peuvent contenir des produits de variables, des fonctions non linéaires (sinus, saturation, seuil, etc.).

Invariant dans le Temps (SIT) :

Un système est SIT si ses paramètres et caractéristiques ne changent pas au cours du temps. La réponse à une entrée décalée dans le temps est simplement la sortie originale décalée du même intervalle.

Variant dans le Temps (SVT) :

Un système est SVT si au moins un de ses paramètres ou caractéristiques change au cours du temps.

SISO (Single Input Single Output) :

Système possédant une seule entrée et une seule sortie.

MIMO (Multiple Inputs Multiple Outputs) :

Système possédant plusieurs entrées et/ou plusieurs sorties.

Boucle Ouverte (Open-Loop) :

Système de contrôle où l'action de commande est indépendante de la sortie du processus. Pas de rétroaction.

Boucle Fermée (Closed-Loop) / Asservissement :

Système de contrôle où la sortie du processus est mesurée et comparée à une consigne pour générer un signal d'erreur, qui est ensuite utilisé par un correcteur pour ajuster l'action de commande. Utilise la rétroaction.

Rétroaction (Feedback) :

Processus par lequel une partie de la sortie d'un système est renvoyée à son entrée pour influencer son comportement futur.

Point de Fonctionnement :

Ensemble de conditions (valeurs des entrées, états, sorties) autour duquel le comportement d'un système est analysé, souvent pour permettre une linéarisation.

Perturbation :

Signal externe non désiré qui affecte la sortie d'un système de contrôle.