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Exercices Électricité

Condensateurs en Série et en Parallèle

Condensateurs en Série et en Parallèle

Condensateurs en Série et en Parallèle

Comprendre les Associations de Condensateurs

Les condensateurs sont des composants électroniques essentiels capables de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique. Leur capacité à stocker la charge est mesurée en Farads (F). Dans les circuits, les condensateurs peuvent être combinés de deux manières principales : en série ou en parallèle. Chaque type d'association affecte différemment la capacité totale du circuit, ainsi que la répartition de la charge et de la tension aux bornes de chaque condensateur. Comprendre ces associations est crucial pour l'analyse et la conception de circuits électroniques.

Pour des condensateurs en parallèle, la capacité équivalente \(C_{\text{eq}}\) est la somme des capacités individuelles : \(C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + C_3 + \dots\). La tension est la même aux bornes de chaque condensateur. Pour des condensateurs en série, l'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités individuelles : \(1/C_{\text{eq}} = 1/C_1 + 1/C_2 + 1/C_3 + \dots\). La charge est la même sur chaque condensateur.

Données de l'étude

On considère le circuit de condensateurs suivant, alimenté par une source de tension continue :

  • Condensateur \(C_1 = 2,0 \, \mu\text{F}\)
  • Condensateur \(C_2 = 4,0 \, \mu\text{F}\)
  • Condensateur \(C_3 = 3,0 \, \mu\text{F}\)
  • Les condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) sont montés en parallèle.
  • Ce groupement parallèle (\(C_{12}\)) est ensuite monté en série avec le condensateur \(C_3\).
  • La tension totale appliquée aux bornes de l'ensemble du circuit est \(V_{\text{tot}} = 12,0 \, \text{V}\).
Schéma du Circuit de Condensateurs
{/* Source de tension */} {/* Grande barre + */} {/* Petite barre - */} V_tot 12V {/* Fil vers le groupement */} {/* Point de division pour C1 et C2 */} {/* Vers C1 */} {/* Vers C2 */} {/* Condensateur C1 */} C₁ 2µF {/* Condensateur C2 */} C₂ 4µF {/* Point de jonction après C1 et C2 */} {/* Fil vers C3 */} {/* Condensateur C3 */} C₃ 3µF {/* Retour à la source */} {/* Ligne pointillée pour fermer la boucle visuellement */} Circuit de condensateurs C1 // C2, en série avec C3

Schéma du circuit avec les condensateurs \(C_1\), \(C_2\) en parallèle, et ce groupement en série avec \(C_3\).

Questions à traiter

  1. Calculer la capacité équivalente \(C_{12}\) du groupement parallèle des condensateurs \(C_1\) et \(C_2\).
  2. Calculer la capacité équivalente totale \(C_{\text{eq}}\) du circuit complet (c'est-à-dire \(C_{12}\) en série avec \(C_3\)).
  3. Calculer la charge totale \(Q_{\text{tot}}\) emmagasinée par le circuit et fournie par la source de tension.
  4. Déterminer la tension \(V_3\) aux bornes du condensateur \(C_3\) et la charge \(Q_3\) qu'il emmagasine.
  5. Déterminer la tension \(V_{12}\) aux bornes du groupement parallèle (\(C_1\) et \(C_2\)).
  6. Calculer les charges \(Q_1\) et \(Q_2\) emmagasinées respectivement par les condensateurs \(C_1\) et \(C_2\).
  7. Calculer l'énergie totale \(W_{\text{tot}}\) emmagasinée par l'ensemble du circuit.

Correction : Condensateurs en Série et en Parallèle

Question 1 : Capacité équivalente \(C_{12}\) du groupement parallèle (\(C_1, C_2\))

Principe :

Pour des condensateurs montés en parallèle, la capacité équivalente est la somme des capacités individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[C_{\text{parallèle}} = C_a + C_b + \dots\]
Données spécifiques :
  • \(C_1 = 2,0 \, \mu\text{F}\)
  • \(C_2 = 4,0 \, \mu\text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} C_{12} &= C_1 + C_2 \\ &= 2,0 \, \mu\text{F} + 4,0 \, \mu\text{F} \\ &= 6,0 \, \mu\text{F} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La capacité équivalente du groupement parallèle \(C_{12} = 6,0 \, \mu\text{F}\).

Question 2 : Capacité équivalente totale \(C_{\text{eq}}\) du circuit

Principe :

Le groupement \(C_{12}\) est en série avec \(C_3\). Pour des condensateurs en série, l'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités individuelles.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{1}{C_{\text{série}}} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b} + \dots\]
Données spécifiques :
  • \(C_{12} = 6,0 \, \mu\text{F}\)
  • \(C_3 = 3,0 \, \mu\text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{1}{C_{\text{eq}}} &= \frac{1}{C_{12}} + \frac{1}{C_3} \\ &= \frac{1}{6,0 \, \mu\text{F}} + \frac{1}{3,0 \, \mu\text{F}} \\ &= \frac{1}{6,0} \, (\mu\text{F})^{-1} + \frac{2}{6,0} \, (\mu\text{F})^{-1} \\ &= \frac{3}{6,0} \, (\mu\text{F})^{-1} \\ &= \frac{1}{2,0} \, (\mu\text{F})^{-1} \end{aligned} \]
\[ C_{\text{eq}} = 2,0 \, \mu\text{F} \]
Résultat Question 2 : La capacité équivalente totale du circuit \(C_{\text{eq}} = 2,0 \, \mu\text{F}\).

Question 3 : Charge totale \(Q_{\text{tot}}\)

Principe :

La charge totale emmagasinée par un circuit de capacité équivalente \(C_{\text{eq}}\) soumis à une tension \(V_{\text{tot}}\) est donnée par \(Q = CV\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_{\text{tot}} = C_{\text{eq}} V_{\text{tot}}\]
Données spécifiques :
  • \(C_{\text{eq}} = 2,0 \, \mu\text{F} = 2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(V_{\text{tot}} = 12,0 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_{\text{tot}} &= (2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (12,0 \, \text{V}) \\ &= 24,0 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 24,0 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La charge totale emmagasinée \(Q_{\text{tot}} = 24,0 \, \mu\text{C}\).

Quiz Intermédiaire : Dans un groupement de condensateurs en série, quelle grandeur est la même pour tous les condensateurs ?

Question 4 : Tension \(V_3\) et charge \(Q_3\) sur \(C_3\)

Principe :

Le groupement \(C_{12}\) et le condensateur \(C_3\) sont en série. Dans un montage en série, la charge est la même pour tous les éléments. Donc, la charge sur \(C_3\) est égale à la charge totale \(Q_{\text{tot}}\). La tension aux bornes de \(C_3\) peut ensuite être calculée avec \(V = Q/C\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Q_3 = Q_{\text{tot}}\] \[V_3 = \frac{Q_3}{C_3}\]
Données spécifiques :
  • \(Q_{\text{tot}} = 24,0 \, \mu\text{C}\)
  • \(C_3 = 3,0 \, \mu\text{F} = 3,0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ Q_3 = 24,0 \, \mu\text{C} \]
\[ \begin{aligned} V_3 &= \frac{24,0 \times 10^{-6} \, \text{C}}{3,0 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\ &= 8,0 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • Charge sur \(C_3\) : \(Q_3 = 24,0 \, \mu\text{C}\)
  • Tension aux bornes de \(C_3\) : \(V_3 = 8,0 \, \text{V}\)

Question 5 : Tension \(V_{12}\) aux bornes du groupement parallèle (\(C_1, C_2\))

Principe :

La somme des tensions dans une maille est nulle (loi des mailles de Kirchhoff). La tension totale \(V_{\text{tot}}\) se répartit entre le groupement série \(C_{12}\) et \(C_3\). Donc, \(V_{\text{tot}} = V_{12} + V_3\). Alternativement, la charge sur le groupement \(C_{12}\) est \(Q_{\text{tot}}\) (car en série), et \(V_{12} = Q_{\text{tot}}/C_{12}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_{12} = V_{\text{tot}} - V_3 \quad \text{ou} \quad V_{12} = \frac{Q_{\text{tot}}}{C_{12}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{tot}} = 12,0 \, \text{V}\)
  • \(V_3 = 8,0 \, \text{V}\)
  • \(Q_{\text{tot}} = 24,0 \, \mu\text{C}\)
  • \(C_{12} = 6,0 \, \mu\text{F}\)
Calcul (méthode 1) :
\[ \begin{aligned} V_{12} &= V_{\text{tot}} - V_3 \\ &= 12,0 \, \text{V} - 8,0 \, \text{V} \\ &= 4,0 \, \text{V} \end{aligned} \]
Calcul (méthode 2) :
\[ \begin{aligned} V_{12} &= \frac{Q_{\text{tot}}}{C_{12}} \\ &= \frac{24,0 \times 10^{-6} \, \text{C}}{6,0 \times 10^{-6} \, \text{F}} \\ &= 4,0 \, \text{V} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui est rassurant.

Résultat Question 5 : La tension aux bornes du groupement parallèle \(V_{12} = 4,0 \, \text{V}\).

Question 6 : Charges \(Q_1\) et \(Q_2\) sur \(C_1\) et \(C_2\)

Principe :

Les condensateurs \(C_1\) et \(C_2\) sont en parallèle. Dans un montage en parallèle, la tension aux bornes de chaque élément est la même, et égale à la tension aux bornes du groupement, soit \(V_{12}\). La charge sur chaque condensateur est alors \(Q = CV\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = V_2 = V_{12}\] \[Q_1 = C_1 V_1\] \[Q_2 = C_2 V_2\]
Données spécifiques :
  • \(V_{12} = 4,0 \, \text{V}\)
  • \(C_1 = 2,0 \, \mu\text{F} = 2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(C_2 = 4,0 \, \mu\text{F} = 4,0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Q_1 &= C_1 V_{12} \\ &= (2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (4,0 \, \text{V}) \\ &= 8,0 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 8,0 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_2 &= C_2 V_{12} \\ &= (4,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (4,0 \, \text{V}) \\ &= 16,0 \times 10^{-6} \, \text{C} \\ &= 16,0 \, \mu\text{C} \end{aligned} \]

Vérification : La charge totale sur le groupement parallèle est \(Q_{12} = Q_1 + Q_2 = 8,0 \, \mu\text{C} + 16,0 \, \mu\text{C} = 24,0 \, \mu\text{C}\). Ceci est égal à \(Q_{\text{tot}}\), ce qui est attendu car le groupement \(C_{12}\) est en série avec \(C_3\).

Résultat Question 6 :
  • Charge sur \(C_1\) : \(Q_1 = 8,0 \, \mu\text{C}\)
  • Charge sur \(C_2\) : \(Q_2 = 16,0 \, \mu\text{C}\)

Question 7 : Énergie totale \(W_{\text{tot}}\) emmagasinée

Principe :

L'énergie emmagasinée dans un condensateur est donnée par \(W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{2C}\). L'énergie totale emmagasinée par le circuit peut être calculée en utilisant la capacité équivalente et la tension totale, ou en sommant les énergies de chaque condensateur.

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{\text{tot}} = \frac{1}{2} C_{\text{eq}} V_{\text{tot}}^2\] \[\text{ou} \quad W_{\text{tot}} = W_1 + W_2 + W_3 = \frac{1}{2}C_1 V_1^2 + \frac{1}{2}C_2 V_2^2 + \frac{1}{2}C_3 V_3^2\]
Données spécifiques :
  • \(C_{\text{eq}} = 2,0 \, \mu\text{F} = 2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
  • \(V_{\text{tot}} = 12,0 \, \text{V}\)
  • \(C_1 = 2,0 \, \mu\text{F}\), \(V_1 = V_{12} = 4,0 \, \text{V}\)
  • \(C_2 = 4,0 \, \mu\text{F}\), \(V_2 = V_{12} = 4,0 \, \text{V}\)
  • \(C_3 = 3,0 \, \mu\text{F}\), \(V_3 = 8,0 \, \text{V}\)
Calcul (méthode 1 : avec \(C_{\text{eq}}\)) :
\[ \begin{aligned} W_{\text{tot}} &= \frac{1}{2} C_{\text{eq}} V_{\text{tot}}^2 \\ &= \frac{1}{2} (2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (12,0 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 144 \, \text{V}^2 \\ &= 1,0 \times 10^{-6} \times 144 \, \text{J} \\ &= 144 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &= 144 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]
Calcul (méthode 2 : somme des énergies) :

Pour \(C_1\):

\[ \begin{aligned} W_1 &= \frac{1}{2} C_1 V_1^2 \\ &= \frac{1}{2} (2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (4,0 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (2,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 16 \, \text{V}^2 \\ &= 1,0 \times 10^{-6} \times 16 \, \text{J} \\ &= 16 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &= 16 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]

Pour \(C_2\):

\[ \begin{aligned} W_2 &= \frac{1}{2} C_2 V_2^2 \\ &= \frac{1}{2} (4,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (4,0 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (4,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 16 \, \text{V}^2 \\ &= 2,0 \times 10^{-6} \times 16 \, \text{J} \\ &= 32 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &= 32 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]

Pour \(C_3\):

\[ \begin{aligned} W_3 &= \frac{1}{2} C_3 V_3^2 \\ &= \frac{1}{2} (3,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times (8,0 \, \text{V})^2 \\ &= \frac{1}{2} \times (3,0 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 64 \, \text{V}^2 \\ &= 1,5 \times 10^{-6} \times 64 \, \text{J} \\ &= 96 \times 10^{-6} \, \text{J} \\ &= 96 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]

Somme des énergies :

\[ \begin{aligned} W_{\text{tot}} &= W_1 + W_2 + W_3 \\ &= (16 + 32 + 96) \, \mu\text{J} \\ &= 144 \, \mu\text{J} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent le même résultat.

Résultat Question 7 : L'énergie totale emmagasinée par le circuit est \(W_{\text{tot}} = 144 \, \mu\text{J}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lorsqu'on ajoute un condensateur en parallèle à un autre condensateur, la capacité équivalente :

2. Pour des condensateurs en série, la tension totale se répartit :

3. L'énergie emmagasinée dans un condensateur est proportionnelle :

Glossaire

Condensateur
Composant électronique passif capable d'emmagasiner de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux armatures conductrices (électrodes) séparées par un isolant (diélectrique).
Capacité (\(C\))
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à emmagasiner une charge électrique pour une différence de potentiel donnée. \(C = Q/V\). Unité : Farad (F).
Farad (F)
Unité SI de la capacité électrique. Un condensateur a une capacité d'un farad si une charge d'un coulomb produit une différence de potentiel d'un volt entre ses armatures. Sous-multiples courants : microfarad (\(\mu\text{F}\)), nanofarad (nF), picofarad (pF).
Association en Série
Montage de composants les uns à la suite des autres, de sorte que la même charge les traverse. Pour les condensateurs : \(1/C_{\text{eq}} = \sum (1/C_i)\).
Association en Parallèle
Montage de composants connectés aux mêmes deux points d'un circuit, de sorte que la même tension s'applique à chacun. Pour les condensateurs : \(C_{\text{eq}} = \sum C_i\).
Charge Électrique (\(Q\))
Quantité d'électricité portée par un objet. Unité : Coulomb (C).
Différence de Potentiel (Tension, \(V\) ou \(U\))
Travail nécessaire par unité de charge pour déplacer une charge entre deux points dans un champ électrique. Unité : Volt (V).
Énergie Emmagasinée (\(W\))
Énergie stockée dans le champ électrique d'un condensateur. \(W = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{2C}\). Unité : Joule (J).
Condensateurs en Série et en Parallèle

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