Exercices Électricité

Effets des Harmoniques dans les Réseaux

Effets des Harmoniques dans les Réseaux

Effets des Harmoniques dans les Réseaux

Comprendre les Harmoniques dans les Réseaux Électriques

Idéalement, la tension et le courant dans un réseau électrique sont des sinusoïdes pures à la fréquence fondamentale (par exemple, 50 Hz ou 60 Hz). Cependant, la prolifération des charges non linéaires (comme les convertisseurs de puissance, les variateurs de vitesse, les lampes fluorescentes compactes, les ordinateurs) introduit des courants et/ou des tensions harmoniques. Les harmoniques sont des composantes sinusoïdales dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence fondamentale. La présence d'harmoniques peut entraîner divers problèmes dans les réseaux électriques, tels que l'augmentation des pertes, l'échauffement des équipements, des interférences avec les systèmes de communication, et des dysfonctionnements des dispositifs sensibles. L'analyse harmonique, y compris le calcul du Taux de Distorsion Harmonique (THD), est donc essentielle pour évaluer la qualité de l'onde électrique et prendre des mesures correctives si nécessaire.

Données de l'étude

Une charge non linéaire est alimentée par une source de tension sinusoïdale via une ligne de distribution possédant une résistance. Le courant absorbé par la charge n'est pas sinusoïdal et peut être représenté par sa décomposition en série de Fourier.

Caractéristiques du système :

  • Source de tension : \(v_s(t) = 325 \cos(100\pi t) \, \text{V}\) (soit \(V_{S,RMS} \approx 230 \, \text{V}\), \(f = 50 \, \text{Hz}\))
  • Courant absorbé par la charge : \(i(t) = 25 \cos(100\pi t - 25^\circ) + 10 \cos(300\pi t - 70^\circ) + 5 \cos(500\pi t - 110^\circ) \, \text{A}\)
  • Résistance de la ligne de distribution (aller et retour combinés) : \(R_{ligne} = 0.4 \, \Omega\)
Schéma : Source, Ligne et Charge Non Linéaire
~ Vs(t) Rligne i(t) Charge Non-Linéaire Système avec Charge Non-Linéaire

Une source sinusoïdale alimente une charge non linéaire à travers une ligne résistive, générant un courant harmonique.

Questions à traiter

  1. Identifier la fréquence fondamentale (\(f_1\)) et les fréquences des harmoniques présents dans le courant \(i(t)\). Quels sont les rangs de ces harmoniques ?
  2. Calculer la valeur efficace de la composante fondamentale du courant (\(I_1\)).
  3. Calculer la valeur efficace de la composante harmonique de rang 3 (\(I_3\)).
  4. Calculer la valeur efficace de la composante harmonique de rang 5 (\(I_5\)).
  5. Calculer la valeur efficace totale du courant \(i(t)\) (\(I_{RMS,total}\)).
  6. Calculer le Taux de Distorsion Harmonique en courant (\(\text{THD}_i\)).
  7. Calculer la puissance active dissipée par la composante fondamentale du courant dans la résistance de ligne (\(P_{pertes,1}\)).
  8. Calculer la puissance active dissipée par l'harmonique de rang 3 dans la résistance de ligne (\(P_{pertes,3}\)).
  9. Calculer la puissance active dissipée par l'harmonique de rang 5 dans la résistance de ligne (\(P_{pertes,5}\)).
  10. Calculer la puissance active totale dissipée dans la résistance de ligne (\(P_{pertes,ligne,total}\)) en utilisant les composantes harmoniques. Vérifier ce résultat en utilisant le courant RMS total.

Correction : Effets des Harmoniques dans les Réseaux

Question 1 : Fréquences et rangs des harmoniques

Principe :

L'expression du courant \(i(t)\) est une somme de termes sinusoïdaux. La fréquence fondamentale \(f_1\) est la plus basse fréquence présente. Les fréquences des harmoniques sont des multiples entiers de \(f_1\). Le rang d'un harmonique est le rapport de sa fréquence à la fréquence fondamentale.

\(i(t) = 25 \cos(100\pi t - 25^\circ) + 10 \cos(300\pi t - 70^\circ) + 5 \cos(500\pi t - 90^\circ) \, \text{A}\)

Analyse :

Terme 1 : \(\omega_1 = 100\pi \, \text{rad/s}\). Donc \(f_1 = \omega_1 / (2\pi) = 100\pi / (2\pi) = 50 \, \text{Hz}\). C'est la fondamentale (rang 1).

Terme 2 : \(\omega_3 = 300\pi \, \text{rad/s}\). Donc \(f_3 = \omega_3 / (2\pi) = 300\pi / (2\pi) = 150 \, \text{Hz}\). Rang = \(150/50 = 3\). C'est l'harmonique de rang 3.

Terme 3 : \(\omega_5 = 500\pi \, \text{rad/s}\). Donc \(f_5 = \omega_5 / (2\pi) = 500\pi / (2\pi) = 250 \, \text{Hz}\). Rang = \(250/50 = 5\). C'est l'harmonique de rang 5.

Résultat Question 1 :
  • Fréquence fondamentale : \(f_1 = 50 \, \text{Hz}\) (Rang 1)
  • Harmonique de rang 3 : \(f_3 = 150 \, \text{Hz}\)
  • Harmonique de rang 5 : \(f_5 = 250 \, \text{Hz}\)

Question 2 : Valeur efficace de la composante fondamentale (\(I_1\))

Principe :

Pour un signal sinusoïdal \(i(t) = I_m \cos(\omega t + \phi)\), la valeur efficace est \(I_{RMS} = I_m / \sqrt{2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_1 = \frac{I_{1m}}{\sqrt{2}}\]
Données spécifiques :
  • Amplitude de la fondamentale (\(I_{1m}\)) : \(25 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_1 &= \frac{25 \, \text{A}}{\sqrt{2}} \\ &\approx \frac{25}{1.41421} \, \text{A} \\ &\approx 17.6777 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La valeur efficace de la composante fondamentale est \(I_1 \approx 17.68 \, \text{A}\).

Question 3 : Valeur efficace de l'harmonique de rang 3 (\(I_3\))

Principe :

Similaire à la question 2.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_3 = \frac{I_{3m}}{\sqrt{2}}\]
Données spécifiques :
  • Amplitude de l'harmonique 3 (\(I_{3m}\)) : \(10 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \frac{10 \, \text{A}}{\sqrt{2}} \\ &\approx \frac{10}{1.41421} \, \text{A} \\ &\approx 7.0711 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La valeur efficace de l'harmonique de rang 3 est \(I_3 \approx 7.07 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Les charges non linéaires sont une source majeure d'harmoniques car :

Question 4 : Valeur efficace de l'harmonique de rang 5 (\(I_5\))

Principe :

Similaire aux questions précédentes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_5 = \frac{I_{5m}}{\sqrt{2}}\]
Données spécifiques :
  • Amplitude de l'harmonique 5 (\(I_{5m}\)) : \(5 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_5 &= \frac{5 \, \text{A}}{\sqrt{2}} \\ &\approx \frac{5}{1.41421} \, \text{A} \\ &\approx 3.5355 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La valeur efficace de l'harmonique de rang 5 est \(I_5 \approx 3.54 \, \text{A}\).

Question 5 : Valeur efficace totale du courant (\(I_{RMS,total}\))

Principe :

Pour un courant périodique non sinusoïdal composé de plusieurs harmoniques, la valeur efficace totale est la racine carrée de la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque composante (fondamentale et harmoniques).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{RMS,total} = \sqrt{I_1^2 + I_3^2 + I_5^2 + \dots}\]
Données spécifiques :
  • \(I_1 \approx 17.6777 \, \text{A}\)
  • \(I_3 \approx 7.0711 \, \text{A}\)
  • \(I_5 \approx 3.5355 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_1^2 &\approx (17.6777)^2 \approx 312.501 \\ I_3^2 &\approx (7.0711)^2 \approx 50.000 \\ I_5^2 &\approx (3.5355)^2 \approx 12.4997 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_{RMS,total} &= \sqrt{312.501 + 50.000 + 12.4997} \\ &= \sqrt{375.0007} \\ &\approx 19.3649 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La valeur efficace totale du courant est \(I_{RMS,total} \approx 19.36 \, \text{A}\).

Question 6 : Taux de Distorsion Harmonique en courant (\(\text{THD}_i\))

Principe :

Le Taux de Distorsion Harmonique (THD) est une mesure de la distorsion d'une forme d'onde par rapport à sa composante fondamentale. Pour le courant, il est défini comme le rapport de la valeur efficace de la somme de tous les harmoniques à la valeur efficace de la fondamentale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\text{THD}_i = \frac{\sqrt{I_3^2 + I_5^2 + I_7^2 + \dots}}{I_1} \times 100\%\]

Ou, si \(I_{RMS,total}\) est connu : \(\text{THD}_i = \frac{\sqrt{I_{RMS,total}^2 - I_1^2}}{I_1} \times 100\%\)

Calcul :
\[ \begin{aligned} \sqrt{I_3^2 + I_5^2} &= \sqrt{50.000 + 12.4997} \\ &= \sqrt{62.4997} \\ &\approx 7.9057 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{THD}_i &= \frac{7.9057 \, \text{A}}{17.6777 \, \text{A}} \times 100\% \\ &\approx 0.4472 \times 100\% \\ &\approx 44.72\% \end{aligned} \]

Avec l'autre formule :

\[ \begin{aligned} \text{THD}_i &= \frac{\sqrt{(19.3649)^2 - (17.6777)^2}}{17.6777} \times 100\% \\ &= \frac{\sqrt{375.0007 - 312.501}}{17.6777} \times 100\% \\ &= \frac{\sqrt{62.4997}}{17.6777} \times 100\% \\ &\approx \frac{7.9057}{17.6777} \times 100\% \\ &\approx 44.72\% \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le Taux de Distorsion Harmonique en courant est \(\text{THD}_i \approx 44.72\%\).

Quiz Intermédiaire 2 : Un THD élevé dans un réseau électrique indique :

Question 7 : Pertes actives dues à la fondamentale (\(P_{pertes,1}\))

Principe :

Les pertes par effet Joule dues à la composante fondamentale du courant dans la résistance de ligne sont \(P_1 = R_{ligne} I_1^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{pertes,1} = R_{ligne} I_1^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_{ligne} = 0.4 \, \Omega\)
  • \(I_1 \approx 17.6777 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{pertes,1} &= 0.4 \, \Omega \times (17.6777 \, \text{A})^2 \\ &\approx 0.4 \times 312.501 \, \text{W} \\ &\approx 125.00 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Les pertes actives dues à la fondamentale sont \(P_{pertes,1} \approx 125.00 \, \text{W}\).

Question 8 : Pertes actives dues à l'harmonique 3 (\(P_{pertes,3}\))

Principe :

\(P_3 = R_{ligne} I_3^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{pertes,3} = R_{ligne} I_3^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_{ligne} = 0.4 \, \Omega\)
  • \(I_3 \approx 7.0711 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{pertes,3} &= 0.4 \, \Omega \times (7.0711 \, \text{A})^2 \\ &\approx 0.4 \times 50.000 \, \text{W} \\ &= 20.00 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 8 : Les pertes actives dues à l'harmonique 3 sont \(P_{pertes,3} \approx 20.00 \, \text{W}\).

Question 9 : Pertes actives dues à l'harmonique 5 (\(P_{pertes,5}\))

Principe :

\(P_5 = R_{ligne} I_5^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{pertes,5} = R_{ligne} I_5^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_{ligne} = 0.4 \, \Omega\)
  • \(I_5 \approx 3.5355 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{pertes,5} &= 0.4 \, \Omega \times (3.5355 \, \text{A})^2 \\ &\approx 0.4 \times 12.4997 \, \text{W} \\ &\approx 5.00 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 9 : Les pertes actives dues à l'harmonique 5 sont \(P_{pertes,5} \approx 5.00 \, \text{W}\).

Question 10 : Pertes actives totales dans la ligne (\(P_{pertes,ligne,total}\))

Principe :

La puissance active totale dissipée dans une résistance par un courant non sinusoïdal est la somme des puissances dissipées par chaque composante harmonique (y compris la fondamentale). Elle est aussi égale à \(R_{ligne} I_{RMS,total}^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{pertes,ligne,total} = P_{pertes,1} + P_{pertes,3} + P_{pertes,5}\] \[P_{pertes,ligne,total} = R_{ligne} I_{RMS,total}^2\]
Calcul :

Méthode 1 : Somme des pertes harmoniques

\[ \begin{aligned} P_{pertes,ligne,total} &\approx 125.00 \, \text{W} + 20.00 \, \text{W} + 5.00 \, \text{W} \\ &= 150.00 \, \text{W} \end{aligned} \]

Méthode 2 : Utilisation du courant RMS total

\[ \begin{aligned} P_{pertes,ligne,total} &= R_{ligne} I_{RMS,total}^2 \\ &\approx 0.4 \, \Omega \times (19.3649 \, \text{A})^2 \\ &\approx 0.4 \times 375.0007 \, \text{W} \\ &\approx 150.00 \, \text{W} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent des résultats concordants.

Résultat Question 10 : La puissance active totale dissipée dans la ligne est \(P_{pertes,ligne,total} \approx 150.00 \, \text{W}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Les harmoniques de courant dans un réseau électrique :

2. Le Taux de Distorsion Harmonique (THD) en courant est une mesure de :

3. La puissance active totale dissipée dans une résistance par un courant non sinusoïdal est :

Glossaire

Harmonique
Composante sinusoïdale d'un signal périodique non sinusoïdal, dont la fréquence est un multiple entier de la fréquence fondamentale.
Fréquence Fondamentale (\(f_1\))
Fréquence la plus basse (et généralement la plus importante en amplitude) d'un signal périodique. Pour les réseaux électriques, c'est typiquement 50 Hz ou 60 Hz.
Rang Harmonique (\(h\))
Rapport entre la fréquence d'un harmonique (\(f_h\)) et la fréquence fondamentale (\(f_1\)). \(h = f_h/f_1\).
Charge Non Linéaire
Charge électrique pour laquelle le courant absorbé n'est pas proportionnel à la tension appliquée. Ces charges sont les principales sources d'harmoniques.
Valeur Efficace (RMS)
Pour un courant (ou une tension) variable, c'est la valeur d'un courant (ou tension) continu qui produirait la même dissipation de puissance moyenne dans une résistance.
Taux de Distorsion Harmonique (THD)
Mesure de la distorsion d'une forme d'onde due à la présence d'harmoniques. Il est généralement exprimé en pourcentage de la composante fondamentale.
Pertes par Effet Joule
Dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur résistif due au passage du courant. Les courants harmoniques contribuent à ces pertes.
Puissance Active (\(P\))
Puissance moyenne réellement consommée ou dissipée. Unité : Watt (W).
Décomposition en Série de Fourier
Méthode mathématique permettant de représenter un signal périodique non sinusoïdal comme une somme de composantes sinusoïdales (la fondamentale et ses harmoniques).
Effets des Harmoniques dans les Réseaux Électriques

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