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Modélisation d’un Dipôle Équivalent

Modélisation d’un Dipôle Équivalent (Théorème de Thévenin)

Modélisation d’un Dipôle Équivalent

Comprendre la Modélisation par Dipôle Équivalent

Dans l'analyse des réseaux électriques complexes, il est souvent utile de simplifier une partie du circuit en la remplaçant par un dipôle équivalent plus simple. Le théorème de Thévenin est un outil puissant qui permet de remplacer n'importe quel circuit linéaire vu depuis deux bornes A et B par une source de tension idéale \(V_{Th}\) (la tension de Thévenin) en série avec une résistance équivalente \(R_{Th}\) (la résistance de Thévenin). De même, le théorème de Norton permet de modéliser le circuit par une source de courant idéale \(I_N\) en parallèle avec une résistance équivalente \(R_N\) (où \(R_N = R_{Th}\)). Cette modélisation simplifie grandement l'analyse du comportement du circuit lorsqu'une charge est connectée à ses bornes, ou pour étudier l'interaction entre différentes parties d'un réseau plus vaste.

Données de l'étude

On considère le circuit électrique linéaire suivant, alimenté par une source de tension continue \(V_S\). On souhaite déterminer le dipôle équivalent de Thévenin vu entre les bornes A et B.

Caractéristiques du circuit :

  • Tension de la source (\(V_S\)) : \(60 \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(10 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(20 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_3\) : \(30 \, \Omega\)

Le circuit est configuré comme suit : \(V_S\) est en série avec \(R_1\). Le point de jonction entre \(R_1\) et \(R_2\) est le point X. La résistance \(R_2\) est connectée entre X et la masse (borne négative de \(V_S\)). La résistance \(R_3\) est connectée entre le point X et la borne A. La borne B est connectée à la masse.

Schéma du Circuit Linéaire
+ - Vs R1 X R2 R3 A B Circuit pour Équivalent de Thévenin

Circuit linéaire dont on cherche l'équivalent de Thévenin entre les bornes A et B.

Questions à traiter

  1. Calculer la tension de Thévenin (\(V_{Th}\)) entre les bornes A et B.
  2. Calculer la résistance de Thévenin (\(R_{Th}\)) vue entre les bornes A et B.
  3. Dessiner le circuit équivalent de Thévenin.
  4. Une charge \(R_L = 15 \, \Omega\) est connectée entre les bornes A et B. Calculer le courant \(I_L\) circulant dans cette charge.
  5. Calculer la tension \(V_L\) aux bornes de la charge \(R_L\).
  6. Calculer la puissance \(P_L\) dissipée par la charge \(R_L\).
  7. Pour quelle valeur de \(R_L\) la puissance transférée à la charge serait-elle maximale ? Quelle serait cette puissance maximale ?

Correction : Modélisation d’un Dipôle Équivalent (Théorème de Thévenin)

Question 1 : Tension de Thévenin (\(V_{Th}\))

Principe :

La tension de Thévenin \(V_{Th}\) est la tension à vide entre les bornes A et B. Lorsque A et B sont en circuit ouvert, aucun courant ne circule dans \(R_3\). Par conséquent, la tension au point A est la même que la tension au point X (\(V_A = V_X\)). Le point B est à la masse (0V). Donc \(V_{Th} = V_A - V_B = V_X - 0 = V_X\). La tension \(V_X\) est la tension aux bornes de \(R_2\) dans le diviseur de tension formé par \(R_1\) et \(R_2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_X = V_S \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2}\] \[V_{Th} = V_X\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 60 \, \text{V}\)
  • \(R_1 = 10 \, \Omega\)
  • \(R_2 = 20 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_X &= 60 \, \text{V} \cdot \frac{20 \, \Omega}{10 \, \Omega + 20 \, \Omega} \\ &= 60 \cdot \frac{20}{30} \\ &= 60 \cdot \frac{2}{3} \\ &= 40 \, \text{V} \end{aligned} \] \[ V_{Th} = V_X = 40 \, \text{V} \]
Résultat Question 1 : La tension de Thévenin est \(V_{Th} = 40 \, \text{V}\).

Question 2 : Résistance de Thévenin (\(R_{Th}\))

Principe :

La résistance de Thévenin \(R_{Th}\) est la résistance équivalente vue entre les bornes A et B lorsque toutes les sources de tension indépendantes sont remplacées par un court-circuit (et les sources de courant par un circuit ouvert). En regardant depuis A et B (avec \(R_3\) connectée à A), la source \(V_S\) est court-circuitée. \(R_1\) et \(R_2\) sont alors en parallèle, et cette combinaison est en série avec \(R_3\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{1||2} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}\] \[R_{Th} = R_3 + R_{1||2}\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 10 \, \Omega\)
  • \(R_2 = 20 \, \Omega\)
  • \(R_3 = 30 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{1||2} &= \frac{10 \, \Omega \times 20 \, \Omega}{10 \, \Omega + 20 \, \Omega} \\ &= \frac{200}{30} \, \Omega \\ &= \frac{20}{3} \, \Omega \\ &\approx 6.667 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} R_{Th} &= 30 \, \Omega + \frac{20}{3} \, \Omega \\ &= \frac{90+20}{3} \, \Omega \\ &= \frac{110}{3} \, \Omega \\ &\approx 36.667 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La résistance de Thévenin est \(R_{Th} = \frac{110}{3} \, \Omega \approx 36.67 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour calculer la résistance de Thévenin, les sources de tension indépendantes sont :

Question 3 : Dessin du circuit équivalent de Thévenin

Principe :

Le circuit équivalent de Thévenin est une source de tension \(V_{Th}\) en série avec une résistance \(R_{Th}\), connectée aux bornes A et B.

Schéma :
Vth + - Rth A B Équivalent de Thévenin
Résultat Question 3 : Le circuit équivalent est une source de \(40 \, \text{V}\) en série avec une résistance de \(110/3 \, \Omega\).

Question 4 : Courant \(I_L\) et tension \(V_L\) pour \(R_L = 15 \, \Omega\)

Principe :

Lorsque la charge \(R_L\) est connectée aux bornes A et B du circuit équivalent de Thévenin, le courant \(I_L\) est \(V_{Th} / (R_{Th} + R_L)\) et la tension \(V_L\) est \(R_L I_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_L = \frac{V_{Th}}{R_{Th} + R_L}\] \[V_L = R_L I_L\]
Données spécifiques :
  • \(V_{Th} = 40 \, \text{V}\)
  • \(R_{Th} = 110/3 \, \Omega \approx 36.667 \, \Omega\)
  • \(R_L = 15 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{Th} + R_L &= \frac{110}{3} \, \Omega + 15 \, \Omega \\ &= \frac{110}{3} + \frac{45}{3} \, \Omega \\ &= \frac{155}{3} \, \Omega \\ &\approx 51.667 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_L &= \frac{40 \, \text{V}}{155/3 \, \Omega} \\ &= \frac{40 \times 3}{155} \, \text{A} \\ &= \frac{120}{155} \, \text{A} \\ &\approx 0.77419 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} V_L &= 15 \, \Omega \times \frac{120}{155} \, \text{A} \\ &= \frac{1800}{155} \, \text{V} \\ &\approx 11.6129 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 :
  • \(I_L \approx 0.774 \, \text{A}\)
  • \(V_L \approx 11.61 \, \text{V}\)

Question 5 : Puissance \(P_L\) dissipée par la charge

Principe :

La puissance dissipée par une résistance est \(P = R I^2 = V I = V^2/R\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_L = R_L I_L^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_L = 15 \, \Omega\)
  • \(I_L \approx 0.77419 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_L &= 15 \, \Omega \times (0.77419 \, \text{A})^2 \\ &= 15 \times 0.599369 \\ &\approx 8.9905 \, \text{W} \end{aligned} \]

Vérification : \(P_L = V_L I_L \approx 11.6129 \, \text{V} \times 0.77419 \, \text{A} \approx 8.9905 \, \text{W}\).

Résultat Question 5 : La puissance dissipée par la charge est \(P_L \approx 8.99 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le théorème de Thévenin simplifie un circuit linéaire en :

Question 6 : Condition pour transfert maximal de puissance et \(P_{L,max}\)

Principe :

Le transfert maximal de puissance d'une source (modélisée par son équivalent de Thévenin) vers une charge résistive \(R_L\) se produit lorsque la résistance de la charge est égale à la résistance de Thévenin (\(R_L = R_{Th}\)). La puissance maximale transférée est alors \(P_{L,max} = V_{Th}^2 / (4 R_{Th})\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{L,opt} = R_{Th}\] \[P_{L,max} = \frac{V_{Th}^2}{4 R_{Th}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{Th} = 40 \, \text{V}\)
  • \(R_{Th} = 110/3 \, \Omega \approx 36.667 \, \Omega\)
Calcul :
\[ R_{L,opt} = \frac{110}{3} \, \Omega \approx 36.67 \, \Omega \] \[ \begin{aligned} P_{L,max} &= \frac{(40 \, \text{V})^2}{4 \times (110/3 \, \Omega)} \\ &= \frac{1600}{440/3} \\ &= \frac{1600 \times 3}{440} \\ &= \frac{4800}{440} \\ &= \frac{120}{11} \, \text{W} \\ &\approx 10.909 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 :
  • Pour un transfert maximal de puissance, \(R_L = R_{Th} \approx 36.67 \, \Omega\).
  • La puissance maximale transférée est \(P_{L,max} \approx 10.91 \, \text{W}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La tension de Thévenin (\(V_{Th}\)) est :

2. Pour calculer la résistance de Thévenin (\(R_{Th}\)), on :

3. Le transfert maximal de puissance d'un dipôle de Thévenin vers une charge résistive \(R_L\) se produit lorsque :

Glossaire

Dipôle Électrique
Portion de circuit électrique accessible par deux bornes (ou pôles).
Circuit Linéaire
Circuit composé uniquement d'éléments linéaires (résistances, capacités, inductances dont les valeurs ne dépendent pas du courant ou de la tension) et de sources indépendantes.
Théorème de Thévenin
Théorème qui stipule que tout circuit linéaire vu de deux bornes A et B peut être remplacé par un générateur de tension idéal \(V_{Th}\) en série avec une résistance \(R_{Th}\).
Tension de Thévenin (\(V_{Th}\))
Tension mesurée à vide (sans charge connectée) entre les bornes A et B du circuit original.
Résistance de Thévenin (\(R_{Th}\))
Résistance équivalente vue entre les bornes A et B du circuit original lorsque toutes les sources de tension indépendantes sont remplacées par des courts-circuits et toutes les sources de courant indépendantes par des circuits ouverts.
Dipôle Équivalent de Thévenin
Circuit simple composé d'une source de tension \(V_{Th}\) en série avec une résistance \(R_{Th}\).
Théorème de Norton
Théorème qui stipule que tout circuit linéaire vu de deux bornes A et B peut être remplacé par une source de courant idéale \(I_N\) en parallèle avec une résistance \(R_N\) (où \(R_N = R_{Th}\) et \(I_N = V_{Th}/R_{Th}\)).
Transfert Maximal de Puissance
Condition sous laquelle une source délivre la puissance maximale à une charge. Pour une source avec une résistance interne \(R_S\) (ou \(R_{Th}\)), cela se produit lorsque la résistance de la charge \(R_L\) est égale à \(R_S\).
Modélisation d’un Dipôle Équivalent

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