Modélisation d'une Ligne de Transmission Courte

Comprendre la Ligne de Transmission Courte

Pour le transport de l'énergie électrique sur de courtes distances (généralement moins de 80 km), les effets capacitifs entre les conducteurs et la terre sont suffisamment faibles pour être négligés. Une telle ligne est appelée "ligne de transmission courte". Son modèle équivalent est donc simplifié et ne comprend que son impédance série totale, composée de la résistance ohmique des conducteurs (R) et de leur réactance inductive (L). L'analyse de ce modèle est cruciale pour déterminer la chute de tension en ligne et le rendement du transport d'énergie.

Données de l'étude

Une ligne triphasée de 50 km de long est utilisée pour alimenter une charge. La tension composée (ligne-à-ligne) à l'arrivée (côté charge) est maintenue à \(U_R = 20 \, \text{kV}\). La charge consomme une puissance apparente de \(S_R = 5 \, \text{MVA}\) avec un facteur de puissance de \(0.85\) en retard (inductif).

Les paramètres de la ligne par kilomètre sont :

Résistance linéique : \(r = 0.25 \, \Omega/\text{km}\)
Réactance inductive linéique : \(x_L = 0.4 \, \Omega/\text{km}\)

Schéma Équivalent Monophasé d'une Ligne Courte

Questions à traiter

Calculer l'impédance série totale (\(\underline{Z}\)) de la ligne.
Déterminer la tension simple à l'arrivée (\(V_R\)) et le courant de ligne (\(I_R\)).
Calculer la chute de tension complexe dans la ligne.
Déterminer la tension simple au départ de la ligne (\(V_S\)), puis la tension composée \(U_S\).
Calculer la régulation de tension en pourcentage.
Calculer le rendement (\(\eta\)) de la ligne de transmission.

Correction : Modélisation d'une Ligne de Transmission Courte

1. Impédance Série Totale (\(\underline{Z}\))

Principe :

L'impédance totale est obtenue en multipliant les paramètres linéiques (par km) par la longueur totale de la ligne.

Calcul :

\begin{aligned} R &= r \times \text{longueur} = 0.25 \, \Omega/\text{km} \times 50 \, \text{km} = 12.5 \, \Omega \\ X_L &= x_L \times \text{longueur} = 0.4 \, \Omega/\text{km} \times 50 \, \text{km} = 20 \, \Omega \end{aligned}

\underline{Z} = (12.5 + j20) \, \Omega

En forme polaire : \(|Z| = \sqrt{12.5^2 + 20^2} \approx 23.58 \, \Omega\), et \(\arg(Z) = \arctan(20/12.5) \approx 58^\circ\).

Résultat : L'impédance totale de la ligne est \(\underline{Z} = (12.5 + j20) \, \Omega\).

2. Tension Simple et Courant de Ligne

Principe :

L'analyse se fait sur le modèle monophasé équivalent. On calcule d'abord la tension simple (phase-neutre) à partir de la tension composée (phase-phase). Ensuite, on calcule le courant à partir de la puissance apparente et de la tension.

Calcul :

Tension simple à l'arrivée (référence de phase) :

\begin{aligned} V_R &= \frac{U_R}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{20000 \, \text{V}}{\sqrt{3}} \\ &\approx 11547 \, \text{V} \Rightarrow \underline{V_R} = 11547 \angle 0^\circ \, \text{V} \end{aligned}

Courant de ligne (le courant est en retard car le facteur de puissance est inductif) :

\begin{aligned} S_R &= \sqrt{3} U_R I_R \Rightarrow I_R = \frac{S_R}{\sqrt{3} U_R} \\ &= \frac{5 \times 10^6 \, \text{VA}}{\sqrt{3} \times 20000 \, \text{V}} \\ &\approx 144.3 \, \text{A} \end{aligned}

Le déphasage est \(\phi_R = \arccos(0.85) \approx 31.8^\circ\). Le courant complexe est donc :

\underline{I_R} = 144.3 \angle -31.8^\circ \, \text{A}

Résultat : \(V_R \approx 11.55 \, \text{kV}\) et \(I_R \approx 144.3 \, \text{A}\).

3. Chute de Tension en Ligne

Principe :

La chute de tension est le produit de l'impédance complexe de la ligne par le courant complexe qui la traverse.

Calcul :

\begin{aligned} \underline{\Delta V} &= \underline{Z} \times \underline{I_R} \\ &= (23.58 \angle 58^\circ \, \Omega) \times (144.3 \angle -31.8^\circ \, \text{A}) \\ &= (23.58 \times 144.3) \angle (58^\circ - 31.8^\circ) \\ &= 3402 \angle 26.2^\circ \, \text{V} \end{aligned}

Résultat : La chute de tension complexe est d'environ \(3402 \angle 26.2^\circ \, \text{V}\).

4. Tension au Départ de la Ligne

Principe :

On applique la loi des mailles au modèle monophasé : la tension au départ est la somme (vectorielle) de la tension à l'arrivée et de la chute de tension en ligne.

Calcul :

On convertit en forme rectangulaire pour l'addition :

\begin{aligned} \underline{V_R} &= 11547 + j0 \, \text{V} \\ \underline{\Delta V} &= 3402(\cos(26.2^\circ) + j\sin(26.2^\circ)) \approx 3054 + j1499 \, \text{V} \end{aligned}

\begin{aligned} \underline{V_S} &= \underline{V_R} + \underline{\Delta V} \\ &= (11547 + 3054) + j1499 \\ &= 14601 + j1499 \, \text{V} \end{aligned}

Module de la tension simple au départ :

\begin{aligned} V_S = |\underline{V_S}| &= \sqrt{14601^2 + 1499^2} \\ &\approx 14678 \, \text{V} \approx 14.68 \, \text{kV} \end{aligned}

Tension composée au départ :

\begin{aligned} U_S &= V_S \times \sqrt{3} \\ &\approx 14678 \times \sqrt{3} \\ &\approx 25423 \, \text{V} \approx 25.42 \, \text{kV} \end{aligned}

Résultat : La tension simple au départ est \(V_S \approx 14.68 \, \text{kV}\) et la tension composée est \(U_S \approx 25.42 \, \text{kV}\).

5. Régulation de Tension

Calcul :

\begin{aligned} \text{Reg.} \, \% &= \frac{V_S - V_R}{V_R} \times 100 \\ &= \frac{14678 - 11547}{11547} \times 100 \\ &\approx 27.1 \, \% \end{aligned}

Résultat : La régulation de tension est d'environ 27.1 %.

6. Rendement de la Ligne

Calcul :

Puissance active à l'arrivée :

P_R = S_R \times \cos(\phi_R) = 5 \times 10^6 \times 0.85 = 4.25 \times 10^6 \, \text{W}

Pertes actives dans la ligne (pertes Joule) :

\begin{aligned} P_{\text{pertes}} &= 3 \times R_{\text{phase}} \times I_R^2 \\ &= 3 \times 12.5 \, \Omega \times (144.3 \, \text{A})^2 \\ &\approx 779.8 \times 10^3 \, \text{W} \end{aligned}

Puissance active au départ :

P_S = P_R + P_{\text{pertes}} = 4.25 \times 10^6 + 0.78 \times 10^6 = 5.03 \times 10^6 \, \text{W}

Rendement :

\begin{aligned} \eta &= \frac{P_R}{P_S} \times 100 \\ &= \frac{4.25}{5.03} \times 100 \\ &\approx 84.5 \, \% \end{aligned}

Résultat : Le rendement de la ligne est d'environ 84.5 %.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le modèle d'une ligne de transmission courte néglige...

L'admittance shunt (capacité).
La résistance série.
L'inductance série.
La tension.

2. Pour une charge inductive, la tension au départ de la ligne (\(V_S\)) est généralement...

Inférieure à la tension à l'arrivée (\(V_R\)).
Égale à la tension à l'arrivée (\(V_R\)).
Supérieure à la tension à l'arrivée (\(V_R\)).
Nulle.

Glossaire

Ligne de Transmission Courte: Ligne électrique dont la longueur est suffisamment faible (généralement < 80 km) pour que sa capacité parallèle (shunt) puisse être ignorée dans les calculs, ne laissant que son impédance série.
Impédance Série: Combinaison de la résistance et de la réactance inductive d'une ligne, qui cause une chute de tension et des pertes de puissance active.
Régulation de Tension: Mesure en pourcentage de la variation de tension à l'extrémité réceptrice d'une ligne entre la condition à vide et la condition à pleine charge. Une faible régulation est souhaitable.
Rendement de la Ligne (\(\eta\)): Rapport de la puissance active délivrée à la charge (\(P_R\)) sur la puissance active fournie au début de la ligne (\(P_S\)). Il quantifie les pertes de puissance dans la ligne.

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