Exercices Électricité

Optimisation d’un Câble de Distribution

Optimisation d’un Câble de Distribution

Optimisation d’un Câble de Distribution

Comprendre l'Optimisation d'un Câble de Distribution

Le dimensionnement correct des câbles électriques est crucial pour assurer la sécurité, la fiabilité et l'efficacité énergétique des installations électriques. Un câble sous-dimensionné peut entraîner une chute de tension excessive à la charge, une surchauffe dangereuse et des pertes d'énergie importantes. À l'inverse, un câble surdimensionné représente un coût initial plus élevé. L'optimisation consiste donc à choisir la section de câble appropriée qui répond aux exigences techniques (chute de tension, courant admissible) tout en minimisant les coûts globaux (coût du câble et coût des pertes d'énergie sur la durée de vie de l'installation).

Cet exercice se concentre sur le calcul de la section d'un câble en courant continu (DC) pour alimenter une charge, en tenant compte de la chute de tension admissible et des pertes par effet Joule.

Données de l'étude

Une installation industrielle est alimentée en courant continu par un câble bifilaire (deux conducteurs : un pour l'aller, un pour le retour).

Caractéristiques de l'installation :

  • Tension au départ de la ligne (source) (\(V_{\text{départ}}\)) : \(48 \, \text{V DC}\)
  • Puissance consommée par la charge (\(P_{\text{charge}}\)) : \(2 \, \text{kW}\)
  • Longueur de la ligne (distance entre la source et la charge) (\(L\)) : \(50 \, \text{m}\)
  • Matériau des conducteurs : Cuivre
  • Résistivité du cuivre à 20°C (\(\rho_{\text{Cu}}\)) : \(1.72 \times 10^{-8} \, \text{Ω.m}\)
  • Chute de tension maximale admissible dans le câble (\(\Delta U_{\text{adm}\%}\)) : 3% de \(V_{\text{départ}}\)
Schéma de la Ligne de Distribution
Source Vdépart 48V DC + - Rcâble/2 Rcâble/2 Charge Pcharge 2kW Icharge L = 50m

Schéma de la ligne d'alimentation DC avec source, câble (représenté par sa résistance linéique) et charge.

Questions à traiter

  1. Calculer le courant absorbé par la charge (\(I_{\text{charge}}\)).
  2. Calculer la chute de tension maximale admissible en volts (\(\Delta U_{\text{adm}}\)).
  3. Déterminer la section minimale (\(S_{\text{min}}\)) des conducteurs en cuivre pour ne pas dépasser cette chute de tension.
  4. Une section normalisée de \(6 \, \text{mm}^2\) est choisie pour les conducteurs. Calculer la résistance réelle totale du câble (aller-retour) (\(R_{\text{câble réel}}\)) avec cette section.
  5. Calculer la chute de tension réelle en volts (\(\Delta U_{\text{réelle}}\)) et en pourcentage (\(\Delta U_{\text{réelle}\%}\)) avec la section de \(6 \, \text{mm}^2\).
  6. Calculer les pertes par effet Joule dans le câble (\(P_{\text{pertes}}\)) avec la section de \(6 \, \text{mm}^2\).
  7. Calculer le rendement de la ligne de distribution (\(\eta\)) avec la section de \(6 \, \text{mm}^2\).

Correction : Optimisation d’un Câble de Distribution

Question 1 : Courant absorbé par la charge (\(I_{\text{charge}}\))

Principe :

En courant continu, la puissance (\(P\)) est le produit de la tension (\(U\)) et du courant (\(I\)). Le courant absorbé par la charge peut être calculé à partir de la puissance de la charge et de la tension à ses bornes. Pour un premier calcul de dimensionnement, on utilise souvent la tension de départ (\(V_{\text{départ}}\)) pour estimer le courant, en considérant que \(P_{\text{charge}}\) est la puissance utile et que la tension réelle à la charge sera proche de \(V_{\text{départ}}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{\text{charge}} = \frac{P_{\text{charge}}}{V_{\text{départ}}}\]

Note : Cette approximation est courante pour un premier dimensionnement. Une analyse plus fine tiendrait compte de la chute de tension pour calculer le courant, ce qui pourrait mener à une équation du second degré ou une approche itérative si la charge n'est pas purement résistive ou si sa puissance dépend fortement de la tension.

Données spécifiques :
  • Puissance de la charge (\(P_{\text{charge}}\)) : \(2 \, \text{kW} = 2000 \, \text{W}\)
  • Tension au départ (\(V_{\text{départ}}\)) : \(48 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{\text{charge}} &= \frac{2000 \, \text{W}}{48 \, \text{V}} \\ &\approx 41.6667 \, \text{A} \end{aligned} \]

Nous arrondirons à \(41.67 \, \text{A}\) pour les calculs suivants.

Résultat Question 1 : Le courant absorbé par la charge est \(I_{\text{charge}} \approx 41.67 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la puissance d'une charge DC double et que la tension d'alimentation reste constante, le courant absorbé :

Question 2 : Chute de tension maximale admissible en volts (\(\Delta U_{\text{adm}}\))

Principe :

La chute de tension maximale admissible est donnée en pourcentage de la tension de départ. Il suffit de calculer cette valeur en volts.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U_{\text{adm}} = \Delta U_{\text{adm}\%} \cdot V_{\text{départ}}\]
Données spécifiques :
  • Pourcentage de chute de tension admissible (\(\Delta U_{\text{adm}\%}\)) : \(3\% = 0.03\)
  • Tension au départ (\(V_{\text{départ}}\)) : \(48 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{adm}} &= 0.03 \cdot 48 \, \text{V} \\ &= 1.44 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La chute de tension maximale admissible est \(\Delta U_{\text{adm}} = 1.44 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Une chute de tension de 5% sur une ligne alimentée en 230V correspond à :

Question 3 : Section minimale (\(S_{\text{min}}\)) des conducteurs

Principe :

La chute de tension dans un câble bifilaire est donnée par \(\Delta U = R_{\text{câble}} \cdot I\). La résistance du câble est \(R_{\text{câble}} = \rho \frac{2L}{S}\) (car il y a un conducteur aller et un conducteur retour, chacun de longueur \(L\)). En combinant ces formules et en utilisant la chute de tension admissible, on peut isoler la section \(S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U_{\text{adm}} = \rho_{\text{Cu}} \frac{2L}{S_{\text{min}}} I_{\text{charge}} \quad \Rightarrow \quad S_{\text{min}} = \frac{2 \cdot \rho_{\text{Cu}} \cdot L \cdot I_{\text{charge}}}{\Delta U_{\text{adm}}}\]
Données spécifiques :
  • Résistivité du cuivre (\(\rho_{\text{Cu}}\)) : \(1.72 \times 10^{-8} \, \text{Ω.m}\)
  • Longueur de la ligne (aller simple) (\(L\)) : \(50 \, \text{m}\)
  • Courant (\(I_{\text{charge}}\)) : \(\approx 41.67 \, \text{A}\) (calculé à la question 1)
  • Chute de tension admissible (\(\Delta U_{\text{adm}}\)) : \(1.44 \, \text{V}\) (calculée à la question 2)
Calcul :
\[ \begin{aligned} S_{\text{min}} &= \frac{2 \cdot (1.72 \times 10^{-8} \, \text{Ω.m}) \cdot 50 \, \text{m} \cdot 41.6667 \, \text{A}}{1.44 \, \text{V}} \\ &= \frac{3.44 \times 10^{-8} \, \text{Ω.m} \cdot 50 \, \text{m} \cdot 41.6667 \, \text{A}}{1.44 \, \text{V}} \\ &= \frac{1.72 \times 10^{-6} \, \text{Ω.m}^2 \cdot 41.6667 \, \text{A}}{1.44 \, \text{V}} \\ &= \frac{7.1666804 \times 10^{-5} \, \text{Ω.m}^2\text{.A}}{1.44 \, \text{V}} \\ &\approx 4.97686 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

Conversion en mm² : \(S_{\text{min}} \approx 4.97686 \times 10^{-5} \, \text{m}^2 \times (1000 \, \text{mm/m})^2 = 4.97686 \times 10^{-5} \times 10^6 \, \text{mm}^2 \approx 49.77 \, \text{mm}^2\).

Ce résultat de section est effectivement élevé. Cela est dû à la combinaison d'une tension de départ relativement basse (48V), d'un courant important (plus de 40A), d'une longueur de câble non négligeable (100m aller-retour) et d'une exigence de chute de tension stricte (3%, soit seulement 1.44V). Dans de telles conditions, pour limiter la chute de tension, une section de conducteur importante est nécessaire.

Résultat Question 3 : La section minimale des conducteurs est \(S_{\text{min}} \approx 49.77 \, \text{mm}^2\).

Quiz Intermédiaire 3 : Si la longueur du câble double, pour maintenir la même chute de tension (en volts) avec le même courant, la section du câble doit :

Question 4 : Résistance réelle du câble (\(R_{\text{câble réel}}\)) avec une section normalisée de \(6 \, \text{mm}^2\)

Note: La section minimale calculée à la Q3 (\(\approx 49.77 \, \text{mm}^2\)) est très élevée. Pour la suite de l'exercice, nous utilisons la section de \(6 \, \text{mm}^2\) comme indiqué dans l'énoncé de cette question. Cette section est significativement inférieure à \(S_{\text{min}}\) calculée pour une chute de tension de 3%, ce qui nous permettra d'observer l'impact d'un câble potentiellement sous-dimensionné par rapport à cette exigence stricte.

Principe :

La résistance d'un câble bifilaire est calculée avec la formule \(R = \rho \frac{2L}{S}\), où \(S\) est la section choisie.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{\text{câble réel}} = \rho_{\text{Cu}} \frac{2L}{S_{\text{choisie}}}\]
Données spécifiques :
  • Résistivité du cuivre (\(\rho_{\text{Cu}}\)) : \(1.72 \times 10^{-8} \, \text{Ω.m}\)
  • Longueur de la ligne (aller simple) (\(L\)) : \(50 \, \text{m}\)
  • Section choisie (\(S_{\text{choisie}}\)) : \(6 \, \text{mm}^2 = 6 \times 10^{-6} \, \text{m}^2\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{\text{câble réel}} &= (1.72 \times 10^{-8} \, \text{Ω.m}) \frac{2 \cdot 50 \, \text{m}}{6 \times 10^{-6} \, \text{m}^2} \\ &= (1.72 \times 10^{-8}) \frac{100}{6 \times 10^{-6}} \, \text{Ω} \\ &= \frac{1.72 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-6}} \, \text{Ω} \\ &= \frac{1.72}{6} \, \text{Ω} \\ &\approx 0.286667 \, \text{Ω} \end{aligned} \]

Nous arrondirons à \(0.287 \, \text{Ω}\) pour les calculs suivants.

Résultat Question 4 : La résistance réelle du câble avec une section de \(6 \, \text{mm}^2\) est \(R_{\text{câble réel}} \approx 0.287 \, \text{Ω}\).

Quiz Intermédiaire 4 : Si on utilise de l'aluminium (\(\rho_{\text{Al}} > \rho_{\text{Cu}}\)) au lieu du cuivre avec la même section et longueur, la résistance du câble sera :

Question 5 : Chute de tension réelle (\(\Delta U_{\text{réelle}}\)) et pourcentage (\(\Delta U_{\text{réelle}\%}\)) avec \(S = 6 \, \text{mm}^2\)

Principe :

La chute de tension réelle est calculée en utilisant la résistance réelle du câble et le courant absorbé par la charge. Le pourcentage est ensuite calculé par rapport à la tension de départ.

Formule(s) utilisée(s) :
\[\Delta U_{\text{réelle}} = R_{\text{câble réel}} \cdot I_{\text{charge}}\] \[\Delta U_{\text{réelle}\%} = \frac{\Delta U_{\text{réelle}}}{V_{\text{départ}}} \cdot 100\%\]
Données spécifiques :
  • Résistance réelle du câble (\(R_{\text{câble réel}}\)) : \(\approx 0.287 \, \text{Ω}\) (calculée à la Q4)
  • Courant (\(I_{\text{charge}}\)) : \(\approx 41.67 \, \text{A}\) (calculé à la Q1)
  • Tension au départ (\(V_{\text{départ}}\)) : \(48 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{réelle}} &= 0.286667 \, \text{Ω} \cdot 41.6667 \, \text{A} \\ &\approx 11.9445 \, \text{V} \\ \\ \Delta U_{\text{réelle}\%} &= \frac{11.9445 \, \text{V}}{48 \, \text{V}} \cdot 100\% \\ &\approx 0.248843 \cdot 100\% \\ &\approx 24.88\% \end{aligned} \]

Cette chute de tension (\(\approx 24.88\%\)) est bien supérieure aux 3% admissibles, ce qui confirme que la section de \(6 \, \text{mm}^2\) est largement insuffisante pour respecter l'exigence initiale de chute de tension avec le courant calculé.

Résultat Question 5 : La chute de tension réelle est \(\Delta U_{\text{réelle}} \approx 11.94 \, \text{V}\), soit environ \(24.88\%\).

Quiz Intermédiaire 5 : Une chute de tension élevée dans un câble est indésirable car :

Question 6 : Pertes par effet Joule dans le câble (\(P_{\text{pertes}}\)) avec \(S = 6 \, \text{mm}^2\)

Principe :

Les pertes par effet Joule (ou pertes cuivre) dans un conducteur sont dues à sa résistance et au courant qui le traverse. Elles sont calculées par la formule \(P = R I^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{pertes}} = R_{\text{câble réel}} \cdot I_{\text{charge}}^2\]
Données spécifiques :
  • Résistance réelle du câble (\(R_{\text{câble réel}}\)) : \(\approx 0.286667 \, \text{Ω}\) (calculée à la Q4)
  • Courant (\(I_{\text{charge}}\)) : \(\approx 41.6667 \, \text{A}\) (calculé à la Q1)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{pertes}} &= 0.286667 \, \text{Ω} \cdot (41.6667 \, \text{A})^2 \\ &= 0.286667 \cdot 1736.115589 \, \text{W} \\ &\approx 497.69 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Les pertes par effet Joule dans le câble sont \(P_{\text{pertes}} \approx 497.69 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 6 : Pour réduire les pertes par effet Joule dans un câble pour un courant donné, il faut :

Question 7 : Rendement de la ligne de distribution (\(\eta\)) avec \(S = 6 \, \text{mm}^2\)

Principe :

Le rendement d'une ligne de distribution est le rapport entre la puissance utile (reçue par la charge) et la puissance fournie (au départ de la ligne). La puissance fournie par la source est \(P_{\text{fournie}} = V_{\text{départ}} \cdot I_{\text{charge}}\). La puissance utile à la charge est cette puissance fournie moins les pertes dans le câble.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{fournie}} = V_{\text{départ}} \cdot I_{\text{charge}}\] \[P_{\text{utile}} = P_{\text{fournie}} - P_{\text{pertes}}\] \[\eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{fournie}}} \cdot 100\%\]
Données spécifiques :
  • Tension au départ (\(V_{\text{départ}}\)) : \(48 \, \text{V}\)
  • Courant (\(I_{\text{charge}}\)) : \(\approx 41.6667 \, \text{A}\) (calculé à la Q1)
  • Pertes dans le câble (\(P_{\text{pertes}}\)) : \(\approx 497.69 \, \text{W}\) (calculée à la Q6)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{fournie}} &= 48 \, \text{V} \cdot 41.6667 \, \text{A} \\ &\approx 2000.00 \, \text{W} \\ \\ P_{\text{utile}} &= 2000.00 \, \text{W} - 497.69 \, \text{W} \\ &= 1502.31 \, \text{W} \\ \\ \eta &= \frac{1502.31 \, \text{W}}{2000.00 \, \text{W}} \cdot 100\% \\ &\approx 0.751155 \cdot 100\% \\ &\approx 75.12\% \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le rendement de la ligne de distribution est \(\eta \approx 75.12\%\).

Quiz Intermédiaire 7 : Un rendement de ligne plus élevé signifie :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La section d'un câble électrique influence principalement :

2. Une chute de tension admissible est spécifiée dans le dimensionnement des câbles pour :

3. Les pertes par effet Joule dans un câble sont proportionnelles :

Glossaire

Section d'un câble (\(S\))
Aire de la section transversale de l'âme conductrice du câble, généralement exprimée en millimètres carrés (\(\text{mm}^2\)). Elle détermine la capacité du câble à transporter le courant et sa résistance.
Chute de Tension (\(\Delta U\))
Diminution de la tension électrique le long d'un conducteur due à sa résistance et au courant qui le traverse. \(\Delta U = R \cdot I\). Exprimée en Volts (\(\text{V}\)) ou en pourcentage (%) de la tension initiale.
Résistivité (\(\rho\))
Propriété intrinsèque d'un matériau caractérisant sa capacité à s'opposer au passage du courant électrique. Unité : Ohm-mètre (\(\text{Ω.m}\)).
Résistance d'un câble (\(R_{\text{câble}}\))
Opposition du câble au passage du courant. Pour un conducteur de longueur \(L\) (aller simple) et de section \(S\), la résistance totale aller-retour est \(R = \rho \frac{2L}{S}\). Unité : Ohm (\(\text{Ω}\)).
Pertes par Effet Joule (\(P_J\) ou \(P_{\text{pertes}}\))
Dissipation d'énergie sous forme de chaleur dans un conducteur parcouru par un courant, due à sa résistance. \(P_J = R \cdot I^2\). Unité : Watt (\(\text{W}\)).
Courant d'Emploi (\(I_B\) ou \(I_{\text{charge}}\))
Courant électrique normalement absorbé par une charge ou une installation en fonctionnement normal. Unité : Ampère (\(\text{A}\)).
Courant Admissible (\(I_Z\))
Courant maximal qu'un câble peut transporter en permanence dans des conditions spécifiées sans que sa température ne dépasse la limite admissible pour son isolant. Unité : Ampère (\(\text{A}\)).
Rendement (\(\eta\))
Rapport entre la puissance utile (reçue par la charge) et la puissance totale fournie (par la source). \(\eta = P_{\text{utile}} / P_{\text{fournie}}\). Exprimé en pourcentage (%).
Courant Continu (DC)
Courant électrique dont la direction reste constante dans le temps (par opposition au courant alternatif AC).
Optimisation d’un Câble de Distribution

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