Puissance dans un Circuit Capacitif AC
Analyser le comportement d'un condensateur en courant alternatif et calculer les puissances associées.
Lorsqu'un condensateur est soumis à une tension alternative, il se charge et se décharge périodiquement. Contrairement à une résistance, un condensateur idéal ne dissipe pas de puissance active (moyenne). Il emmagasine de l'énergie dans son champ électrique pendant une partie du cycle et la restitue à la source pendant l'autre partie. Cela conduit à une puissance dite "réactive".
La capacité d'un condensateur à s'opposer au passage du courant alternatif est appelée réactance capacitive (\(X_C\)), et elle dépend de la fréquence du signal et de la capacité du condensateur :
Où \(\omega\) est la pulsation (\(2\pi f\)), \(f\) la fréquence, et \(C\) la capacité.
Dans un circuit purement capacitif, le courant est en avance de phase de 90° (\(\pi/2\) radians) par rapport à la tension. Le facteur de puissance \(\cos(\phi) = \cos(90^\circ) = 0\).
- Puissance Active (Moyenne) \(P\) : \(P = V_{eff} I_{eff} \cos(90^\circ) = 0 \text{ W}\).
- Puissance Réactive \(Q_C\) : \(Q_C = V_{eff} I_{eff} \sin(90^\circ) = V_{eff} I_{eff} = \frac{V_{eff}^2}{X_C} = X_C I_{eff}^2\). Unité : Voltampère Réactif (VAR). Par convention, la puissance réactive capacitive est souvent considérée comme négative ou "fournie" au réseau.
- Puissance Apparente \(S\) : \(S = V_{eff} I_{eff}\). Unité : Voltampère (VA). Pour un circuit purement capacitif, \(S = |Q_C|\).
Données du Problème
Un condensateur pur est connecté à une source de tension alternative sinusoïdale.
- Tension efficace de la source (\(V_{eff}\)) : \(24 \text{ V}\)
- Capacité du condensateur (\(C\)) : \(100 \text{ µF}\) (microfarads)
- Fréquence du signal (\(f\)) : \(50 \text{ Hz}\)
Questions
- Calculer la pulsation (\(\omega\)) du signal.
- Calculer la réactance capacitive (\(X_C\)) du condensateur.
- Calculer le courant efficace (\(I_{eff}\)) traversant le condensateur.
- Calculer la tension de crête (\(V_{crête}\)) aux bornes du condensateur.
- Calculer le courant de crête (\(I_{crête}\)) traversant le condensateur.
- Quelle est la puissance active (moyenne) \(P\) consommée par le condensateur ?
- Calculer la puissance réactive \(Q_C\) du condensateur.
- Calculer la puissance apparente \(S\) fournie au condensateur.
- Écrire les expressions de la tension instantanée \(v(t)\) et du courant instantané \(i(t)\), en prenant la tension comme référence de phase (\(\phi_v = 0\)). Quel est le déphasage \(\phi\) du courant par rapport à la tension ?
Correction : Puissance dans un Circuit Capacitif AC
1. Calcul de la Pulsation (\(\omega\))
La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).
Données :
\(f = 50 \text{ Hz}\)
La pulsation du signal est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}\).
2. Calcul de la Réactance Capacitive (\(X_C\))
La réactance capacitive \(X_C = \frac{1}{\omega C}\). Il faut convertir la capacité en Farads (F) : \(100 \text{ µF} = 100 \times 10^{-6} \text{ F}\).
Données :
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
\(C = 100 \times 10^{-6} \text{ F}\)
La réactance capacitive est \(X_C \approx 31.83 \text{ Ω}\).
Quiz Intermédiaire : Réactance
3. Calcul du Courant Efficace (\(I_{eff}\))
Pour un condensateur, la loi d'Ohm s'écrit \(V_{eff} = X_C \times I_{eff}\).
Données :
\(V_{eff} = 24 \text{ V}\)
\(X_C \approx 31.83 \text{ Ω}\)
Le courant efficace traversant le condensateur est \(I_{eff} \approx 0.754 \text{ A}\).
4. Calcul de la Tension de Crête (\(V_{crête}\))
\(V_{crête} = V_{eff} \times \sqrt{2}\).
Données :
\(V_{eff} = 24 \text{ V}\)
La tension de crête est \(V_{crête} \approx 33.94 \text{ V}\).
5. Calcul du Courant de Crête (\(I_{crête}\))
\(I_{crête} = I_{eff} \times \sqrt{2}\).
Données :
\(I_{eff} \approx 0.754 \text{ A}\)
Alternativement, \(I_{crête} = V_{crête} / X_C \approx 33.94 \text{ V} / 31.83 \text{ Ω} \approx 1.066 \text{ A}\).
Le courant de crête est \(I_{crête} \approx 1.066 \text{ A}\).
6. Puissance Active (Moyenne) \(P\)
Pour un condensateur idéal, le courant est en avance de phase de 90° sur la tension. Donc \(\phi = -90^\circ\) (ou \(+90^\circ\) si on prend le déphasage de la tension par rapport au courant). Le facteur de puissance \(\cos(\phi) = \cos(-90^\circ) = 0\).
La puissance active consommée par un condensateur idéal est \(P = 0 \text{ W}\).
7. Calcul de la Puissance Réactive (\(Q_C\))
Pour un condensateur, \(Q_C = V_{eff} I_{eff} \sin(\phi)\). Avec \(\phi = -90^\circ\), \(\sin(-90^\circ) = -1\). Par convention, on peut aussi la définir comme \(Q_C = V_{eff}I_{eff}\) et indiquer qu'elle est capacitive.
La valeur absolue est \(|Q_C| = V_{eff}I_{eff} \approx 18.10 \text{ VAR}\). Le signe négatif indique que le condensateur "fournit" de la puissance réactive au système (ou absorbe une puissance réactive de signe opposé à une inductance).
La puissance réactive du condensateur est \(Q_C \approx -18.10 \text{ VAR}\) (ou \(18.10 \text{ VAR}\) capacitive).
8. Calcul de la Puissance Apparente (\(S\))
\(S = V_{eff} I_{eff}\).
Pour un composant purement réactif (comme un condensateur idéal), \(S = |Q|\).
La puissance apparente est \(S \approx 18.10 \text{ VA}\).
Quiz Intermédiaire : Puissances
9. Expressions de \(v(t)\) et \(i(t)\), et Déphasage \(\phi\)
Tension : \(v(t) = V_{crête} \sin(\omega t)\). Courant : \(i(t) = I_{crête} \sin(\omega t + \phi_{i})\). Pour un condensateur, le courant est en avance de \(90^\circ\) (\(\pi/2\) radians) sur la tension.
Données :
\(V_{crête} \approx 33.94 \text{ V}\)
\(I_{crête} \approx 1.066 \text{ A}\)
\(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\)
Le déphasage \(\phi\) du courant par rapport à la tension est de \(+90^\circ\) ou \(+\pi/2\) radians.
\(v(t) \approx 33.94 \sin(100\pi t) \text{ V}\)
\(i(t) \approx 1.066 \sin(100\pi t + \pi/2) \text{ A}\)
Déphasage \(\phi = +90^\circ\)
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Glossaire des Termes Clés
Réactance Capacitive (\(X_C\)) :
Opposition offerte par un condensateur au passage d'un courant alternatif. Elle est inversement proportionnelle à la fréquence et à la capacité. Unité : Ohm (Ω).
Puissance Active (Moyenne) \(P\) :
Puissance réellement dissipée ou transformée en travail utile. Nulle pour un condensateur idéal. Unité : Watt (W).
Puissance Réactive (\(Q_C\)) :
Puissance échangée entre la source et le champ électrique du condensateur. Unité : Voltampère Réactif (VAR).
Puissance Apparente \(S\) :
Produit des valeurs efficaces de la tension et du courant (\(S = V_{eff} I_{eff}\)). Pour un condensateur idéal, \(S = |Q_C|\). Unité : Voltampère (VA).
Déphasage \(\phi\) :
Différence de phase angulaire entre la tension et le courant. Pour un condensateur pur, le courant est en avance de 90° sur la tension.
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Pourquoi un condensateur idéal ne consomme-t-il aucune puissance active (moyenne) ? Où va l'énergie pendant les cycles de charge et de décharge ?
2. Quel rôle jouent les condensateurs dans les circuits de filtrage des alimentations électroniques ?
3. Comment la puissance réactive capacitive peut-elle être utilisée pour compenser la puissance réactive inductive dans un réseau électrique ? Quel en est l'avantage ?
4. Si un circuit contient à la fois une résistance et un condensateur en série (circuit RC), comment calculerait-on l'impédance totale et le déphasage ? La puissance active serait-elle nulle ?
5. Quelle est la différence fondamentale entre la puissance réactive d'un condensateur et celle d'une bobine (inductance) en termes de signe et de déphasage courant-tension ?
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