Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Puissance en Régime Triphasé Déséquilibré

Calcul de la Puissance en Régime Triphasé Déséquilibré

Calcul de la Puissance en Régime Triphasé Déséquilibré

Comprendre le Régime Déséquilibré

Alors qu'un circuit triphasé est dit "équilibré" si les charges sur les trois phases sont identiques, un circuit "déséquilibré" présente des impédances différentes sur chaque phase. Cette situation est fréquente en pratique, par exemple lorsqu'un réseau triphasé alimente plusieurs charges monophasées distinctes. Dans ce cas, les courants de ligne ne sont plus égaux et déphasés de 120°, et un courant apparaît dans le neutre. Les formules de puissance simples pour les régimes équilibrés (\(P_T = \sqrt{3}UI\cos\phi\)) ne sont plus applicables. Il faut alors utiliser le théorème de Boucherot, qui stipule que les puissances totales (active et réactive) sont les sommes arithmétiques des puissances de chaque phase.

Données de l'étude

Un récepteur triphasé est connecté en étoile à un réseau 230 V / 400 V, 50 Hz, avec neutre. Les charges sur chaque phase sont différentes :

  • Phase 1 : Résistance pure, \(\underline{Z_1} = 20 \, \Omega\)
  • Phase 2 : Charge inductive, \(\underline{Z_2} = (15 + j10) \, \Omega\)
  • Phase 3 : Charge capacitive, \(\underline{Z_3} = (25 - j30) \, \Omega\)

On prendra les tensions simples comme référence de phase : \(\underline{V_1} = 230 \angle 0^\circ \, \text{V}\), \(\underline{V_2} = 230 \angle -120^\circ \, \text{V}\), \(\underline{V_3} = 230 \angle 120^\circ \, \text{V}\).

Schéma du Circuit Triphasé Déséquilibré en Étoile
L1 L2 L3 N N' Z₁ Z₂ Z₃ I_N

Questions à traiter

  1. Calculer le courant complexe (\(\underline{I_1}\), \(\underline{I_2}\), \(\underline{I_3}\)) dans chaque phase.
  2. Calculer la puissance active (\(P_1, P_2, P_3\)) et la puissance réactive (\(Q_1, Q_2, Q_3\)) pour chaque phase.
  3. Calculer les puissances totales active (\(P_T\)) et réactive (\(Q_T\)) par la méthode de Boucherot.
  4. En déduire la puissance apparente totale (\(S_T\)) et le facteur de puissance global (\(k\)) de l'installation.
  5. Calculer le courant complexe dans le neutre (\(\underline{I_N}\)).

Correction : Calcul de la Puissance en Régime Triphasé Déséquilibré

1. Courants Complexes de Phase

Principe :

On applique la loi d'Ohm en notation complexe pour chaque phase, en utilisant la tension simple correspondante et l'impédance de la branche. \(\underline{I_n} = \underline{V_n} / \underline{Z_n}\).

Calcul :

Phase 1 :

\[ \underline{I_1} = \frac{230 \angle 0^\circ}{20 \angle 0^\circ} = 11.5 \angle 0^\circ \, \text{A} \]

Phase 2 (avec \(\underline{Z_2} \approx 18.03 \angle 33.7^\circ \, \Omega\)) :

\[ \underline{I_2} = \frac{230 \angle -120^\circ}{18.03 \angle 33.7^\circ} \approx 12.76 \angle -153.7^\circ \, \text{A} \]

Phase 3 (avec \(\underline{Z_3} \approx 39.05 \angle -50.2^\circ \, \Omega\)) :

\[ \underline{I_3} = \frac{230 \angle 120^\circ}{39.05 \angle -50.2^\circ} \approx 5.89 \angle 170.2^\circ \, \text{A} \]
Résultat : \(\underline{I_1} = 11.5 \angle 0^\circ \, \text{A}\), \(\underline{I_2} \approx 12.76 \angle -153.7^\circ \, \text{A}\), \(\underline{I_3} \approx 5.89 \angle 170.2^\circ \, \text{A}\).

2. Puissances par Phase

Principe :

Pour chaque phase, la puissance active est \(P_n = U_n I_n \cos(\phi_n)\) et la puissance réactive est \(Q_n = U_n I_n \sin(\phi_n)\), où \(\phi_n\) est le déphasage entre la tension et le courant de la phase n.

Calcul :
\[ \begin{aligned} P_1 &= V_1 I_1 \cos(\phi_1) \\ &= 230 \times 11.5 \times \cos(0^\circ) \\ &= 2645 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_1 &= V_1 I_1 \sin(\phi_1) \\ &= 230 \times 11.5 \times \sin(0^\circ) \\ &= 0 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_2 &= V_2 I_2 \cos(\phi_2) \\ &= 230 \times 12.76 \times \cos(33.7^\circ) \\ &\approx 2442 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_2 &= V_2 I_2 \sin(\phi_2) \\ &= 230 \times 12.76 \times \sin(33.7^\circ) \\ &\approx 1630 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} P_3 &= V_3 I_3 \cos(\phi_3) \\ &= 230 \times 5.89 \times \cos(-50.2^\circ) \\ &\approx 868 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_3 &= V_3 I_3 \sin(\phi_3) \\ &= 230 \times 5.89 \times \sin(-50.2^\circ) \\ &\approx -1041 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
Résultat : \(P_1=2645\,\text{W}, Q_1=0\,\text{VAR}\); \(P_2\approx 2442\,\text{W}, Q_2\approx 1630\,\text{VAR}\); \(P_3\approx 868\,\text{W}, Q_3\approx -1041\,\text{VAR}\).

3. Puissances Totales (Méthode de Boucherot)

Principe :

Le théorème de Boucherot permet de calculer les puissances totales en faisant la somme arithmétique des puissances actives et réactives de chaque phase.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_T = P_1 + P_2 + P_3 \quad ; \quad Q_T = Q_1 + Q_2 + Q_3 \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_T &= 2645 + 2442 + 868 \\ &= 5955 \, \text{W} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} Q_T &= 0 + 1630 - 1041 \\ &= 589 \, \text{VAR} \end{aligned} \]
Résultat : La puissance active totale est \(P_T = 5955 \, \text{W}\) et la puissance réactive totale est \(Q_T = 589 \, \text{VAR}\).

4. Puissance Apparente Totale et Facteur de Puissance Global

Principe :

La puissance apparente totale est la norme du vecteur puissance complexe \(\underline{S_T} = P_T + jQ_T\). Le facteur de puissance global est le rapport \(P_T / S_T\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} S_T &= \sqrt{P_T^2 + Q_T^2} \\ &= \sqrt{5955^2 + 589^2} \\ &= \sqrt{35462025 + 346921} \\ &\approx 5984 \, \text{VA} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} k &= \frac{P_T}{S_T} \\ &= \frac{5955}{5984} \\ &\approx 0.995 \, (\text{inductif, car } Q_T > 0) \end{aligned} \]
Résultat : La puissance apparente totale est \(S_T \approx 5.98 \, \text{kVA}\) et le facteur de puissance global est \(k \approx 0.995\).

5. Courant dans le Neutre (\(\underline{I_N}\))

Principe :

Le courant dans le fil de neutre est la somme vectorielle (complexe) des courants de chaque phase. Il est non nul car le système est déséquilibré.

Calcul :

On convertit les courants en forme rectangulaire pour les additionner :

\[ \begin{aligned} \underline{I_1} &= 11.5 \\ \underline{I_2} &\approx 12.76(\cos(-153.7^\circ) + j\sin(-153.7^\circ)) \approx -11.43 - j5.68 \\ \underline{I_3} &\approx 5.89(\cos(170.2^\circ) + j\sin(170.2^\circ)) \approx -5.80 + j1.00 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \underline{I_N} &= \underline{I_1} + \underline{I_2} + \underline{I_3} \\ &= 11.5 + (-11.43 - j5.68) + (-5.80 + j1.00) \\ &= (11.5 - 11.43 - 5.80) + j(-5.68 + 1.00) \\ &= -5.73 - j4.68 \, \text{A} \end{aligned} \]

Module :

\[ \begin{aligned} |I_N| &= \sqrt{(-5.73)^2 + (-4.68)^2} \\ &\approx 7.4 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat : Le courant dans le neutre est \(\underline{I_N} \approx (-5.73 - j4.68) \, \text{A}\), soit une valeur efficace de \(I_N \approx 7.4 \, \text{A}\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. En régime triphasé déséquilibré, la puissance active totale est :

2. Le courant dans le neutre d'un système triphasé en étoile est non nul si...

Glossaire

Régime Déséquilibré
État d'un système polyphasé où les impédances de charge ne sont pas identiques sur toutes les phases, entraînant des courants et des déphasages différents pour chaque phase.
Théorème de Boucherot
Théorème fondamental stipulant que la puissance active totale d'un système est la somme des puissances actives de ses composants, et de même pour la puissance réactive. Il est essentiel pour l'analyse des circuits déséquilibrés.
Courant de Neutre (\(I_N\))
Courant circulant dans le conducteur de neutre d'un système en étoile. En régime équilibré, il est nul. En régime déséquilibré, il correspond à la somme vectorielle des courants des trois phases (\(\underline{I_N} = \underline{I_1} + \underline{I_2} + \underline{I_3}\)).
Puissance en Régime Déséquilibré - Exercice d'Application

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