Exercices Électricité

Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

Comprendre le Théorème de Superposition

Le théorème de superposition est un outil puissant pour analyser les circuits linéaires contenant plusieurs sources indépendantes (de tension ou de courant). Il stipule que la réponse (tension ou courant) dans n'importe quelle branche d'un circuit linéaire est la somme algébrique des réponses causées par chaque source indépendante agissant seule, toutes les autres sources indépendantes étant "éteintes" (sources de tension remplacées par un court-circuit, sources de courant par un circuit ouvert). Ce théorème est particulièrement utile dans les circuits mixtes contenant à la fois des sources DC et AC, car il permet d'analyser les effets de chaque type de source séparément. Pour les sources AC, l'analyse se fait généralement en utilisant les phaseurs et les impédances complexes. L'inductance se comporte comme un court-circuit en régime DC permanent et une impédance \(jL\omega\) en régime AC. Une capacité se comporte comme un circuit ouvert en DC et une impédance \(1/(jC\omega)\) en AC.

Données de l'étude

On considère un circuit série simple contenant une source de tension continue \(V_1\), une source de tension alternative \(v_2(t)\), deux résistances \(R_1\) et \(R_2\), et une inductance \(L\).

Caractéristiques du circuit :

  • Source de tension DC (\(V_1\)) : \(12 \, \text{V}\)
  • Source de tension AC (\(v_2(t)\)) : \(20 \cos(100t + \pi/3) \, \text{V}\)
  • Résistance \(R_1\) : \(3 \, \Omega\)
  • Résistance \(R_2\) : \(5 \, \Omega\)
  • Inductance (\(L\)) : \(40 \, \text{mH}\)

Tous ces éléments sont connectés en série pour former une boucle unique.

Schéma du Circuit Série Mixte
+ - V1 R1 R2 L ~ v2(t) i(t) Circuit Série Mixte DC/AC

Un circuit série avec une source DC, une source AC, deux résistances et une inductance.

Questions à traiter

  1. Calculer le courant continu \(I_{DC}\) circulant dans le circuit dû à la source de tension \(V_1\) seule (en considérant le régime permanent DC).
  2. Calculer l'impédance de l'inductance (\(Z_L\)) à la pulsation \(\omega\) de la source AC.
  3. Calculer l'impédance totale complexe (\(Z_{AC,tot}\)) du circuit vue par la source AC \(v_2(t)\) lorsque la source DC \(V_1\) est éteinte.
  4. Calculer le phaseur du courant \(\vec{I}_{AC}\) dû à la source \(v_2(t)\) seule.
  5. Écrire l'expression du courant instantané \(i_{AC}(t)\) dû à la source \(v_2(t)\) seule.
  6. En utilisant le théorème de superposition, déterminer l'expression du courant instantané total \(i_{total}(t)\) circulant dans le circuit.
  7. Calculer la valeur efficace du courant total \(I_{total,RMS}\).
  8. Calculer la puissance active moyenne totale dissipée dans la résistance \(R_2\).

Correction : Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

Question 1 : Courant continu \(I_{DC}\)

Principe :

Pour la source DC seule, la source AC \(v_2(t)\) est remplacée par un court-circuit. En régime permanent DC, une inductance se comporte comme un court-circuit.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_{tot,DC} = R_1 + R_2\] \[I_{DC} = \frac{V_1}{R_{tot,DC}}\]
Données spécifiques :
  • \(V_1 = 12 \, \text{V}\)
  • \(R_1 = 3 \, \Omega\)
  • \(R_2 = 5 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} R_{tot,DC} &= 3 \, \Omega + 5 \, \Omega \\ &= 8 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_{DC} &= \frac{12 \, \text{V}}{8 \, \Omega} \\ &= 1.5 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le courant continu est \(I_{DC} = 1.5 \, \text{A}\).

Question 2 : Impédance de l'inductance (\(Z_L\))

Principe :

L'impédance d'une inductance \(L\) à la pulsation \(\omega\) est \(Z_L = j\omega L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_L = j\omega L\]
Données spécifiques :
  • \(\omega = 100 \, \text{rad/s}\) (de \(v_2(t) = 20 \cos(100t + \pi/3)\))
  • \(L = 40 \, \text{mH} = 0.04 \, \text{H}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_L &= j \times 100 \, \text{rad/s} \times 0.04 \, \text{H} \\ &= j4 \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'impédance de l'inductance est \(Z_L = j4 \, \Omega\).

Quiz Intermédiaire 1 : En régime DC permanent, une inductance idéale se comporte comme :

Question 3 : Impédance totale AC (\(Z_{AC,tot}\))

Principe :

Pour la source AC seule, la source DC \(V_1\) est remplacée par un court-circuit. Les éléments \(R_1, R_2, L\) sont alors en série.

Formule(s) utilisée(s) :
\[Z_{AC,tot} = R_1 + R_2 + Z_L\]
Données spécifiques :
  • \(R_1 = 3 \, \Omega\)
  • \(R_2 = 5 \, \Omega\)
  • \(Z_L = j4 \, \Omega\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} Z_{AC,tot} &= 3 \, \Omega + 5 \, \Omega + j4 \, \Omega \\ &= (8 + j4) \, \Omega \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : L'impédance totale AC est \(Z_{AC,tot} = (8 + j4) \, \Omega\).

Question 4 : Phaseur du courant \(\vec{I}_{AC}\)

Principe :

Le phaseur du courant \(\vec{I}_{AC}\) est donné par \(\vec{I}_{AC} = \vec{V}_2 / Z_{AC,tot}\), où \(\vec{V}_2\) est le phaseur de la source \(v_2(t)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\vec{V}_2 = V_{m2} \angle \phi = 20 \angle (\pi/3) \, \text{V}\] \[Z_{AC,tot} = |Z_{AC,tot}| \angle \theta_Z\] \[\vec{I}_{AC} = \frac{V_{m2}}{|Z_{AC,tot}|} \angle (\phi - \theta_Z)\]
Calcul :

\(Z_{AC,tot} = 8 + j4 \, \Omega\)

\[ \begin{aligned} |Z_{AC,tot}| &= \sqrt{8^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{64 + 16} \\ &= \sqrt{80} \\ &\approx 8.944 \, \Omega \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \theta_Z &= \arctan\left(\frac{4}{8}\right) \\ &= \arctan(0.5) \\ &\approx 26.565^\circ \end{aligned} \]

\(\phi = \pi/3 \, \text{rad} = 60^\circ\)

\[ \begin{aligned} \vec{I}_{AC} &= \frac{20 \angle 60^\circ \, \text{V}}{8.944 \angle 26.565^\circ \, \Omega} \\ &\approx \frac{20}{8.944} \angle (60^\circ - 26.565^\circ) \, \text{A} \\ &\approx 2.236 \angle 33.435^\circ \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : Le phaseur du courant AC est \(\vec{I}_{AC} \approx 2.236 \angle 33.435^\circ \, \text{A}\).

Question 5 : Courant instantané \(i_{AC}(t)\)

Principe :

On convertit le phaseur \(\vec{I}_{AC}\) en expression temporelle.

Formule(s) utilisée(s) :
\[i_{AC}(t) = |\vec{I}_{AC}| \cos(\omega t + \text{phase de } \vec{I}_{AC})\]
Calcul :
\[i_{AC}(t) \approx 2.236 \cos(100t + 33.435^\circ) \, \text{A}\]

Ou en radians : \(33.435^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} \approx 0.5835 \, \text{rad}\)

\[i_{AC}(t) \approx 2.236 \cos(100t + 0.5835) \, \text{A}\]
Résultat Question 5 : Le courant instantané AC est \(i_{AC}(t) \approx 2.236 \cos(100t + 33.435^\circ) \, \text{A}\).

Question 6 : Courant instantané total \(i_{total}(t)\)

Principe :

D'après le théorème de superposition, le courant total est la somme du courant DC et du courant AC.

Formule(s) utilisée(s) :
\[i_{total}(t) = I_{DC} + i_{AC}(t)\]
Calcul :
\[i_{total}(t) = 1.5 \, \text{A} + 2.236 \cos(100t + 33.435^\circ) \, \text{A}\]
Résultat Question 6 : Le courant instantané total est \(i_{total}(t) = 1.5 + 2.236 \cos(100t + 33.435^\circ) \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Le théorème de superposition s'applique aux circuits :

Question 7 : Valeur efficace du courant total \(I_{total,RMS}\)

Principe :

Pour un signal composé d'une composante continue \(I_{DC}\) et d'une composante sinusoïdale d'amplitude \(I_{m,AC}\) (valeur efficace \(I_{AC,RMS} = I_{m,AC}/\sqrt{2}\)), la valeur efficace totale est \(I_{total,RMS} = \sqrt{I_{DC}^2 + I_{AC,RMS}^2}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_{AC,RMS} = \frac{|\vec{I}_{AC}|}{\sqrt{2}}\] \[I_{total,RMS} = \sqrt{I_{DC}^2 + I_{AC,RMS}^2}\]
Données spécifiques :
  • \(I_{DC} = 1.5 \, \text{A}\)
  • \(|\vec{I}_{AC}| \approx 2.236 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_{AC,RMS} &= \frac{2.236 \, \text{A}}{\sqrt{2}} \\ &\approx 1.581 \, \text{A} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} I_{total,RMS} &= \sqrt{(1.5 \, \text{A})^2 + (1.581 \, \text{A})^2} \\ &= \sqrt{2.25 + 2.499561} \\ &= \sqrt{4.749561} \\ &\approx 2.179 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La valeur efficace du courant total est \(I_{total,RMS} \approx 2.18 \, \text{A}\).

Question 8 : Puissance active moyenne dissipée dans \(R_2\)

Principe :

La puissance active moyenne dissipée dans une résistance \(R\) par un courant \(i(t)\) est \(P = R \cdot I_{RMS}^2\), où \(I_{RMS}\) est la valeur efficace du courant total traversant la résistance.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{R2} = R_2 \cdot I_{total,RMS}^2\]
Données spécifiques :
  • \(R_2 = 5 \, \Omega\)
  • \(I_{total,RMS} \approx 2.179 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{R2} &= 5 \, \Omega \times (2.179 \, \text{A})^2 \\ &= 5 \times 4.748041 \\ &\approx 23.74 \, \text{W} \end{aligned} \]

Alternativement : \(P_{R2} = P_{R2,DC} + P_{R2,AC} = R_2 I_{DC}^2 + R_2 I_{AC,RMS}^2\)

\[ \begin{aligned} P_{R2,DC} &= 5 \times (1.5)^2 = 5 \times 2.25 = 11.25 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} P_{R2,AC} &= 5 \times (1.581)^2 \approx 5 \times 2.499561 \approx 12.498 \, \text{W} \end{aligned} \] \[ P_{R2} \approx 11.25 + 12.498 = 23.748 \, \text{W} \]

Les résultats concordent.

Résultat Question 8 : La puissance active moyenne dissipée dans \(R_2\) est \(P_{R2} \approx 23.75 \, \text{W}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Lors de l'application du théorème de superposition pour une source de tension DC, les sources de tension AC idéales sont :

2. En régime DC permanent, une inductance se comporte comme :

3. La valeur efficace d'un courant \(i(t) = I_{DC} + I_m \cos(\omega t + \phi)\) est :

Glossaire

Théorème de Superposition
Dans un circuit électrique linéaire contenant plusieurs sources indépendantes, le courant ou la tension dans n'importe quelle branche est la somme algébrique des courants ou tensions produits par chaque source agissant seule, les autres sources étant éteintes.
Source de Tension DC
Source qui fournit une tension constante dans le temps.
Source de Tension AC
Source qui fournit une tension variant sinusoïdalement dans le temps.
Régime Permanent DC
État d'un circuit alimenté en DC où les courants et tensions ne varient plus avec le temps. Une inductance se comporte comme un court-circuit, une capacité comme un circuit ouvert.
Régime Sinusoïdal Permanent (AC)
État d'un circuit alimenté en AC où toutes les tensions et tous les courants sont sinusoïdaux à la même fréquence que la source.
Phaseur
Nombre complexe représentant l'amplitude et la phase d'une grandeur sinusoïdale.
Impédance (\(Z\))
Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif, combinant la résistance et la réactance. \(Z = R + jX\). Unité SI : Ohm (\(\Omega\)).
Réactance Inductive (\(X_L\))
Partie imaginaire de l'impédance d'une inductance, \(X_L = \omega L\).
Valeur Efficace (RMS)
Pour un courant (ou une tension) variable, c'est la valeur d'un courant (ou tension) continu qui produirait la même dissipation de puissance moyenne dans une résistance.
Puissance Active Moyenne (\(P\))
Puissance moyenne réellement consommée ou dissipée dans un circuit AC. Unité SI : Watt (W).
Superposition dans les Réseaux Mixtes DC et AC

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