Champ Électrique et Potentiel Électrique
Contexte : L'étude du mouvement d'une particule chargée, comme un électronParticule subatomique de charge négative qui gravite autour du noyau d'un atome., dans un champ électrique uniformeRégion de l'espace où le vecteur champ électrique est constant en tout point, tant en magnitude qu'en direction. est un fondement de l'électromagnétisme.
Ce principe est au cœur de nombreuses technologies, notamment les anciens écrans à tube cathodique et les oscilloscopes, où des faisceaux d'électrons sont déviés pour former des images. Cet exercice vous guidera à travers l'analyse de la trajectoire d'un électron pénétrant entre deux plaques chargées, en appliquant les lois fondamentales de la mécanique et de l'électricité.
Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe de la deuxième loi de Newton dans un contexte électrostatique. Il vous permettra de décomposer le mouvement, de comprendre comment une force constante perpendiculaire à la vitesse initiale engendre une trajectoire parabolique, et de lier les concepts de champ, potentiel et force.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton) à une particule chargée.
- Déterminer les équations horaires et la trajectoire d'un électron dans un champ uniforme.
- Calculer la déflexion électrique subie par la particule.
- Maîtriser les relations entre champ électrique, tension et force électrostatique.
Données de l'étude
Schéma du dispositif
| Caractéristique | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Longueur des plaques | \(L\) | \(10,0 \text{ cm}\) |
| Distance entre les plaques | \(d\) | \(2,0 \text{ cm}\) |
| Tension appliquée | \(U\) | \(40 \text{ V}\) |
| Vitesse initiale de l'électron | \(v_0\) | \(1,0 \times 10^7 \text{ m/s}\) |
| Charge élémentaire | \(e\) | \(1,60 \times 10^{-19} \text{ C}\) |
| Masse de l'électron | \(m_e\) | \(9,11 \times 10^{-31} \text{ kg}\) |
Questions à traiter
- Exprimer le vecteur champ électrique \(\vec{E}\) en fonction de \(U\) et \(d\). Calculer sa norme.
- Déterminer les coordonnées du vecteur force électrostatique \(\vec{F}\) qui s'exerce sur l'électron.
- En appliquant la deuxième loi de Newton, en déduire les coordonnées du vecteur accélération \(\vec{a}\) de l'électron.
- Établir les équations horaires du mouvement \(x(t)\) et \(y(t)\).
- Déduire des questions précédentes l'équation de la trajectoire \(y(x)\). Quelle est la nature de cette trajectoire ?
- Calculer la déviation verticale \(y_S\) de l'électron à la sortie des plaques (en \(x = L\)).
Les bases sur le mouvement dans un champ E
Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de mobiliser des connaissances à la fois en mécanique newtonienne et en électrostatique.
1. Champ et Potentiel
Entre deux plaques parallèles soumises à une tension \(U\) et séparées d'une distance \(d\), le champ électrique est uniforme. Sa norme est donnée par :
\[ E = \frac{U}{d} \]
Le vecteur \(\vec{E}\) est dirigé de la plaque de potentiel le plus élevé (positive) vers celle de potentiel le plus bas (négative).
2. Force Électrostatique
Une particule de charge \(q\) placée dans un champ électrique \(\vec{E}\) subit une force \(\vec{F}\) telle que :
\[ \vec{F} = q \vec{E} \]
Si \(q>0\), \(\vec{F}\) et \(\vec{E}\) ont le même sens. Si \(q<0\) (comme pour un électron), \(\vec{F}\) et \(\vec{E}\) sont de sens opposés.
3. Lois de la Cinématique
En appliquant la deuxième loi de Newton \(\sum \vec{F} = m \vec{a}\), on obtient l'accélération. Par intégrations successives par rapport au temps, on trouve la vitesse puis la position :
\[ \vec{a}(t) \xrightarrow{\int} \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) dt + \vec{v}(0) \xrightarrow{\int} \vec{OM}(t) = \int \vec{v}(t) dt + \vec{OM}(0) \]
Correction : Champ Électrique et Potentiel Électrique
Question 1 : Expression et calcul du champ électrique \(\vec{E}\)
Principe
Le champ électrique créé par deux plaques parallèles, formant un condensateur plan, est uniforme dans la zone centrale. Il est directement lié à la différence de potentiel (tension) entre les plaques et à la distance qui les sépare. Sa direction est toujours des potentiels élevés vers les potentiels bas.
Mini-Cours
Le champ électrique \(\vec{E}\) et le potentiel \(V\) sont liés par la relation \(\vec{E} = -\vec{\nabla}V\). Dans le cas simple d'un champ uniforme le long d'un axe (ici, l'axe y), cette relation se simplifie en \(E_y = -\frac{dV}{dy}\). En intégrant entre les deux plaques, on retrouve la relation \(U = V_{P1} - V_{P2} \approx E \cdot d\).
Remarque Pédagogique
Une bonne habitude est de toujours déterminer qualitativement la direction du champ avant tout calcul. La plaque P1 est à un potentiel plus élevé que P2 (\(U>0\)), donc \(\vec{E}\) pointe de P1 vers P2, c'est-à-dire dans la direction des 'y' négatifs dans notre repère.
Normes
Il ne s'agit pas de normes de construction, mais de lois fondamentales de l'électrostatique. Les formules utilisées sont des piliers de la physique classique, valables dans le cadre de l'électromagnétisme de Maxwell.
Formule(s)
Norme du champ électrique
Expression vectorielle du champ
Hypothèses
On formule l'hypothèse d'un condensateur plan idéal : les plaques sont considérées comme infinies et on néglige les effets de bord, ce qui garantit que le champ \(\vec{E}\) est parfaitement uniforme et vertical dans tout l'espace entre les plaques.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension | \(U\) | \(40\) | \(\text{V}\) |
| Distance | \(d\) | \(2,0\) | \(\text{cm}\) |
Astuces
Pour une estimation rapide, retenez que \(1 \text{ V/cm}\) équivaut à \(100 \text{ V/m}\). Ici, \(40 \text{ V}\) sur \(2 \text{ cm}\) donne \(20 \text{ V/cm}\), soit \(2000 \text{ V/m}\). Cela permet de vérifier l'ordre de grandeur de son résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Direction du champ électrique
Calcul(s)
Avant tout calcul, il est impératif de travailler avec des unités du Système International. La distance \(d\) doit donc être convertie en mètres.
Conversion de la distance
On applique ensuite la formule pour trouver la norme du champ électrique.
Calcul de la norme du champ
Schéma (Après les calculs)
Vecteur champ électrique résultant
Réflexions
Une valeur de \(2000 \text{ V/m}\) (ou \(2000 \text{ N/C}\)) est un champ électrique modéré, typique des petites expériences de laboratoire. C'est suffisant pour avoir un effet très important sur une particule aussi légère qu'un électron.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est l'oubli de la conversion des centimètres en mètres pour la distance \(d\). Une telle erreur fausserait le résultat d'un facteur 100.
Points à retenir
- La formule \(E = U/d\) pour un champ uniforme.
- La direction du champ \(\vec{E}\) va toujours du potentiel `+` vers le potentiel `-`.
- La nécessité de travailler en unités SI (V, m).
Le saviez-vous ?
Le concept de "champ" a été introduit par Michael Faraday au 19ème siècle. Avant lui, on parlait d'"action à distance". L'idée de Faraday d'un champ remplissant l'espace et agissant comme médiateur des forces a révolutionné la physique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension était de \(100 \text{ V}\) et la distance de \(5 \text{ cm}\), quelle serait la norme du champ E ?
Question 2 : Coordonnées de la force électrostatique \(\vec{F}\)
Principe
Une charge électrique \(q\) immergée dans un champ électrique \(\vec{E}\) subit une force, appelée force de Coulomb (ou électrostatique). La direction de cette force dépend crucialement du signe de la charge.
Mini-Cours
La force électrostatique est l'une des quatre interactions fondamentales de la nature. Elle est responsable de la plupart des phénomènes du quotidien (cohésion de la matière, réactions chimiques...). Elle peut être attractive ou répulsive. Pour un électron (charge \(q=-e\)), la force \(\vec{F}\) est toujours de sens opposé au champ \(\vec{E}\).
Remarque Pédagogique
Visualisez l'électron comme une "bille" de charge négative. La plaque positive (P1) l'attire et la plaque négative (P2) le repousse. Les deux effets s'additionnent pour créer une force nette vers le haut, c'est-à-dire dans la direction des 'y' positifs, opposée à \(\vec{E}\).
Normes
La loi de force \(\vec{F} = q\vec{E}\) est une définition fondamentale en électrostatique, universellement applicable.
Formule(s)
Expression vectorielle de la force
Hypothèses
On suppose que la seule force agissant sur l'électron est la force électrostatique. On néglige notamment son poids, une hypothèse que nous allons justifier.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge élémentaire | \(e\) | \(1,60 \times 10^{-19}\) | \(\text{C}\) |
| Champ électrique | \(E\) | \(2000\) | \(\text{V/m}\) |
Astuces
Retenez "même signe, même sens" pour \(q>0\) et "signe opposé, sens opposé" pour \(q<0\). C'est un moyen mnémotechnique simple pour ne jamais se tromper sur la direction de la force.
Schéma (Avant les calculs)
Force sur l'électron
Calcul(s)
On exprime d'abord le vecteur force en fonction des vecteurs unitaires, en se rappelant que la charge de l'électron est \(-e\).
Expression du vecteur force
On calcule ensuite la norme (l'intensité) de cette force.
Calcul de la norme de la force
Le vecteur force n'a donc qu'une composante verticale, dirigée vers le haut.
Coordonnées du vecteur force
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Force résultant
Réflexions
Justifions la négligence du poids : \(P = m_e g\).
Calcul du poids de l'électron
Le rapport \(F/P \approx (3,2 \times 10^{-16}) / (8,94 \times 10^{-30}) \approx 3,6 \times 10^{13}\). La force électrostatique est des dizaines de milliers de milliards de fois plus intense que le poids. L'hypothèse était donc parfaitement justifiée.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier le signe négatif de la charge de l'électron et de conclure à tort que la force est dans le même sens que le champ.
Points à retenir
- La loi de force \(\vec{F} = q\vec{E}\).
- Le sens de \(\vec{F}\) dépend du signe de \(q\).
- Dans le monde subatomique, les forces électrostatiques sont immensément plus grandes que les forces gravitationnelles.
Le saviez-vous ?
L'expérience de la goutte d'huile de Robert Millikan (1909) utilisait ce principe. En ajustant un champ électrique pour suspendre de minuscules gouttes d'huile chargées contre la gravité, il a pu mesurer la force électrique, et ainsi prouver que la charge électrique était "quantifiée" (venait par paquets) et mesurer la valeur de la charge élémentaire \(e\).
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la norme de la force si la particule était un ion Hélium He\(^{2+}\) (charge \(q=+2e\)) dans le même champ.
Question 3 : Coordonnées du vecteur accélération \(\vec{a}\)
Principe
La deuxième loi de Newton (ou Relation Fondamentale de la Dynamique) établit un lien de cause à effet : la somme des forces appliquées à un objet est directement proportionnelle à l'accélération qu'il subit. Le coefficient de proportionnalité est la masse inertielle de l'objet.
Mini-Cours
La relation \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\) est le pilier de la mécanique classique. Elle implique que si la force résultante est constante (ce qui est le cas ici), l'accélération est également constante. Le mouvement sera donc "uniformément accéléré" dans la direction de la force.
Remarque Pédagogique
L'accélération est la "réponse" de l'objet à la force. Visualisez la masse comme l'inertie, une "résistance" au changement de mouvement. Pour une même force, un objet plus massif (proton) subira une accélération beaucoup plus faible qu'un objet léger (électron).
Normes
La mécanique newtonienne est le cadre d'étude. Elle est extrêmement précise tant que les vitesses des objets sont faibles par rapport à la vitesse de la lumière (\(c \approx 3 \times 10^8\) m/s). Ici, \(v_0 = 10^7 \text{ m/s}\), soit environ 3% de \(c\), donc le cadre newtonien est parfaitement valide.
Formule(s)
Deuxième loi de Newton
Expression de l'accélération
Hypothèses
- Le référentiel du laboratoire est considéré galiléen (non-accéléré).
- Le poids de l'électron est négligé devant la force électrostatique (justifié à la Q2).
- La masse de l'électron est constante (cadre non-relativiste).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Force électrostatique | \(F_y\) | \(3,20 \times 10^{-16}\) | \(\text{N}\) |
| Masse de l'électron | \(m_e\) | \(9,11 \times 10^{-31}\) | \(\text{kg}\) |
Astuces
Puisque \(\vec{a}\) et \(\vec{F}\) sont colinéaires, il n'est pas toujours nécessaire de passer par les vecteurs. On peut directement calculer la norme \(a = F/m_e\) et en déduire la direction et le sens à partir de ceux de la force.
Schéma (Avant les calculs)
Colinéarité de la Force et de l'Accélération
Calcul(s)
On divise le vecteur force par la masse de l'électron pour obtenir le vecteur accélération.
Expression du vecteur accélération
On réalise l'application numérique pour la composante verticale.
Calcul de la composante verticale
Schéma (Après les calculs)
Vecteur Accélération
Réflexions
L'accélération est colossale (\(3,51 \times 10^{14} \text{ m/s}^2\)). Pour donner un ordre de grandeur, c'est environ 36 mille milliards de fois l'accélération de la pesanteur terrestre (\(g\)). Cela confirme à nouveau que le poids est totalement négligeable et que les particules subatomiques réagissent de manière spectaculaire aux champs électromagnétiques.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les grandeurs sont en unités SI (N, kg) avant de faire le calcul. Une erreur dans les puissances de 10 est vite arrivée.
Points à retenir
- La deuxième loi de Newton \(\vec{F}=m\vec{a}\) est la clé pour passer de la cause (force) à l'effet (accélération).
- L'accélération est constante car la force électrostatique dans un champ uniforme est constante.
- Les ordres de grandeur des accélérations pour les particules subatomiques sont immenses.
Le saviez-vous ?
Les accélérateurs de particules, comme le LHC au CERN, utilisent des champs électriques extrêmement intenses pour communiquer des accélérations gigantesques à des particules et les amener à des vitesses proches de celle de la lumière, afin de sonder les secrets de la matière.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait l'accélération d'un proton (masse \(m_p \approx 1,67 \times 10^{-27}\) kg) dans le même champ ?
Question 4 : Équations horaires du mouvement \(x(t)\) et \(y(t)\)
Principe
La cinématique est l'étude du mouvement indépendamment des causes qui le provoquent. Pour trouver la position au cours du temps (équations horaires), il faut "remonter le temps" depuis l'accélération en effectuant deux intégrations successives. Chaque intégration fait apparaître une constante qui est déterminée par les conditions à l'instant initial.
Mini-Cours
En physique, intégrer l'accélération \(\vec{a}(t)\) donne le vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\), et intégrer le vecteur vitesse \(\vec{v}(t)\) donne le vecteur position \(\vec{OM}(t)\). C'est l'opération inverse de la dérivation. Les conditions initiales (\(\vec{v}(0)\) et \(\vec{OM}(0)\)) sont les "points de départ" de ces intégrations.
Remarque Pédagogique
Le secret est d'appliquer le principe d'indépendance des mouvements. On traite l'axe horizontal (x) et l'axe vertical (y) comme deux problèmes séparés et plus simples. Le temps 't' est le lien qui synchronise ces deux mouvements.
Normes
Les lois de la cinématique classique (Newton, Galilée) sont utilisées. Elles décrivent le mouvement des objets macroscopiques et des particules à des vitesses non relativistes.
Formule(s)
Relations cinématiques
Hypothèses
On se base sur les conditions initiales du problème, à l'instant \(t=0\) :
- Position : L'électron part de l'origine O, donc \(\vec{OM}(0) = \vec{0}\), soit \(x(0)=0\) et \(y(0)=0\).
- Vitesse : La vitesse initiale est \(\vec{v}(0) = \vec{v_0}\), soit \(v_x(0)=v_0\) et \(v_y(0)=0\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Expression/Valeur |
|---|---|---|
| Accélération | \(\vec{a}\) | \((0, \frac{eE}{m_e})\) |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | \(1,0 \times 10^7 \text{ m/s}\) |
Astuces
Puisque \(a_x=0\), on sait d'avance que le mouvement en x est un Mouvement Rectiligne Uniforme (MRU) de la forme \(x(t) = v_0 t\). Puisque \(a_y\) est une constante, on sait que le mouvement en y est un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré (MRUA) de la forme \(y(t) = \frac{1}{2} a_y t^2\). Connaître ces formes types permet de vérifier ses calculs.
Schéma (Avant les calculs)
Conditions Initiales
Calcul(s)
On intègre les composantes du vecteur accélération pour obtenir celles du vecteur vitesse.
Étape 1 : Intégration de \(\vec{a}\) pour trouver \(\vec{v}(t)\)
On utilise les conditions initiales sur la vitesse (\(v_x(0)=v_0\) et \(v_y(0)=0\)) pour déterminer les constantes d'intégration \(C_1\) et \(C_2\).
On intègre une seconde fois les composantes du vecteur vitesse pour trouver le vecteur position.
Étape 2 : Intégration de \(\vec{v}(t)\) pour trouver \(\vec{OM}(t)\)
On utilise les conditions initiales sur la position (\(x(0)=0\) et \(y(0)=0\)) pour déterminer les constantes \(C_3\) et \(C_4\).
Schéma (Après les calculs)
Les schémas après calculs représentent les deux mouvements décomposés sur leurs axes respectifs.
Mouvements sur les axes x et y
Réflexions
Les équations obtenues décrivent complètement le mouvement. À tout instant \(t\), on peut connaître la position et la vitesse de l'électron. Le mouvement horizontal se fait à vitesse constante, tandis que le mouvement vertical s'accélère, partant de zéro.
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier les constantes d'intégration ou de mal les déterminer. Il faut toujours revenir systématiquement aux conditions initiales (position ET vitesse) pour les fixer.
Points à retenir
- Le passage de \(\vec{a}\) à \(\vec{v}\) puis à \(\vec{OM}\) se fait par intégrations successives.
- Les conditions initiales sont cruciales pour trouver les bonnes équations.
- Le principe d'indépendance des mouvements simplifie énormément le problème.
Le saviez-vous ?
Galilée fut le premier, vers 1638, à utiliser cette méthode de décomposition du mouvement pour analyser la trajectoire des projectiles (comme un boulet de canon), montrant qu'elle résultait de la composition d'un mouvement horizontal uniforme et d'un mouvement vertical uniformément accéléré par la gravité. Le principe est exactement le même ici.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Quelle serait la position de l'électron à l'instant \(t=5 \times 10^{-9} \text{ s}\) (5 nanosecondes) ?
Question 5 : Équation de la trajectoire \(y(x)\)
Principe
L'équation de la trajectoire est une relation mathématique qui lie directement les coordonnées de position \(y\) et \(x\), sans faire intervenir le temps. Elle décrit la "forme" géométrique du chemin suivi par l'objet.
Mini-Cours
En mathématiques, un mouvement décrit par des équations horaires \(x(t)\) et \(y(t)\) est une courbe paramétrique, avec le temps \(t\) comme paramètre. Trouver l'équation de la trajectoire revient à trouver l'équation cartésienne \(y=f(x)\) de cette courbe en éliminant le paramètre \(t\).
Remarque Pédagogique
La méthode est quasi-mécanique : 1. Prendre l'équation horaire la plus simple (ici, \(x(t)\)). 2. Isoler le temps \(t\) dans cette équation. 3. Remplacer (substituer) l'expression de \(t\) que l'on vient de trouver dans la seconde équation horaire (\(y(t)\)). Le tour est joué !
Normes
C'est une technique mathématique standard d'élimination de variable dans un système d'équations paramétriques.
Formule(s)
Système d'équations horaires
Hypothèses
Les équations horaires établies à la question 4 sont supposées correctes. La vitesse initiale \(v_0\) est non-nulle, ce qui nous autorise à diviser par \(v_0\).
Donnée(s)
| Paramètre | Expression |
|---|---|
| Équation horaire en x | \(x(t) = v_0 t\) |
| Équation horaire en y | \(y(t) = \frac{1}{2}\frac{eE}{m_e}t^2\) |
Astuces
Le résultat final, l'équation \(y(x)\), ne doit plus contenir la variable \(t\). Si le 't' est toujours présent à la fin de votre calcul, c'est que l'élimination n'est pas complète ou correcte.
Schéma (Avant les calculs)
Processus d'élimination du temps
Calcul(s)
À partir de l'équation (1), on exprime \(t\) en fonction de \(x\).
Étape 1 : Isoler le temps \(t\)
On injecte cette expression dans l'équation (2) pour éliminer la variable \(t\).
Étape 2 : Substituer \(t\) dans l'équation (2)
Schéma (Après les calculs)
Allure de la trajectoire parabolique
Réflexions
L'équation est de la forme \(y = k \cdot x^2\), où \(k = \frac{eE}{2m_e v_0^2}\) est une constante positive. C'est l'équation caractéristique d'une parabole dont le sommet est à l'origine O(0,0) et dont la concavité est tournée vers les y positifs. C'est parfaitement cohérent avec une force verticale constante dirigée vers le haut.
Points de vigilance
Une erreur fréquente est d'oublier de mettre au carré tous les termes de la fraction lors de la substitution, en particulier \(v_0\). On doit bien avoir \(v_0^2\) au dénominateur.
Points à retenir
- La méthode pour trouver l'équation de la trajectoire : isoler \(t\) et substituer.
- Reconnaître l'équation d'une parabole \(y=kx^2\).
- La composition d'un Mouvement Rectiligne Uniforme et d'un Mouvement Rectiligne Uniformément Accéléré perpendiculaire donne toujours une trajectoire parabolique.
Le saviez-vous ?
Les grandes antennes paraboliques de réception satellite ou les radiotélescopes utilisent la propriété géométrique de la parabole : toutes les ondes arrivant parallèlement à l'axe de la parabole sont réfléchies et convergent vers un point unique, le "foyer". C'est là que l'on place le capteur pour obtenir un signal maximal.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'on remplaçait l'électron par un proton, la trajectoire serait-elle toujours parabolique ?
Question 6 : Calcul de la déviation verticale \(y_S\)
Principe
La déviation verticale, ou déflexion, est simplement la coordonnée verticale de la particule à un endroit précis de son parcours. Ici, on cherche cette coordonnée au moment où l'électron quitte la zone d'influence du champ, c'est-à-dire à l'abscisse \(x=L\).
Mini-Cours
La déflexion électrostatique est une technique fondamentale. Dans un oscilloscope, la tension que l'on veut mesurer est appliquée aux plaques. La déviation \(y_S\) du spot sur l'écran est directement proportionnelle à cette tension. L'oscilloscope est donc un voltmètre très rapide qui "dessine" la tension au cours du temps.
Remarque Pédagogique
Il s'agit maintenant de passer du littéral au numérique. Le plus difficile est fait. Il faut simplement être rigoureux dans l'application numérique, en s'assurant que toutes les valeurs utilisées sont dans les bonnes unités (le Système International).
Normes
Il n'y a pas de norme à proprement parler, il s'agit d'une application numérique directe des lois physiques établies précédemment.
Formule(s)
Déviation à la sortie des plaques
Déviation en fonction de la tension U
Hypothèses
On fait le calcul en supposant que l'électron n'a pas heurté l'une des plaques avant d'atteindre l'abscisse \(x=L\). Il faudra vérifier cette hypothèse a posteriori en comparant le résultat à la demi-distance entre les plaques, \(d/2\).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Charge élémentaire | \(e\) | \(1,60 \times 10^{-19}\) | \(\text{C}\) |
| Tension | \(U\) | \(40\) | \(\text{V}\) |
| Longueur des plaques | \(L\) | \(0,10\) | \(\text{m}\) |
| Distance inter-plaques | \(d\) | \(0,02\) | \(\text{m}\) |
| Masse de l'électron | \(m_e\) | \(9,11 \times 10^{-31}\) | \(\text{kg}\) |
| Vitesse initiale | \(v_0\) | \(1,0 \times 10^7\) | \(\text{m/s}\) |
Astuces
Avant de taper sur la calculatrice, regroupez les nombres d'un côté et les puissances de 10 de l'autre. Cela permet de faire un calcul d'ordre de grandeur mentalement et de repérer plus facilement les erreurs de saisie.
Schéma (Avant les calculs)
Visualisation de la déviation \(y_S\)
Calcul(s)
On procède à l'application numérique de la formule établie précédemment.
Application numérique
Schéma (Après les calculs)
Comparaison de la déviation à la géométrie
Réflexions
La déviation calculée est \(y_S = 1,76 \text{ cm}\). Or, l'électron entre au milieu des plaques, qui sont espacées de \(d=2 \text{ cm}\). La plaque supérieure se trouve donc à l'ordonnée \(y = d/2 = 1 \text{ cm}\). Comme \(y_S = 1,76 \text{ cm} > 1 \text{ cm}\), notre hypothèse de départ est fausse : l'électron heurte la plaque supérieure avant d'atteindre la sortie. La déviation maximale possible est en fait de \(1 \text{ cm}\).
Points de vigilance
La principale erreur est de ne pas convertir toutes les longueurs (\(L\) et \(d\)) en mètres. Une autre est d'oublier de mettre \(v_0\) et \(L\) au carré. Enfin, il faut toujours critiquer son résultat : une déviation plus grande que l'espace disponible est physiquement impossible et signifie que le modèle cesse d'être valable avant la sortie.
Points à retenir
- La déviation se calcule en appliquant l'équation de la trajectoire au point de sortie \(x=L\).
- La déviation est proportionnelle à la tension \(U\) (donc au champ \(E\)) et inversement proportionnelle à l'énergie cinétique initiale (\(\frac{1}{2}m v_0^2\)).
- Il faut toujours vérifier la validité physique du résultat obtenu.
Le saviez-vous ?
Le premier tube cathodique a été inventé par Ferdinand Braun en 1897. Il l'appelait un "indicateur à rayons cathodiques". C'est J.J. Thomson, la même année, qui utilisa un dispositif similaire pour mesurer le rapport charge/masse de l'électron, prouvant qu'il s'agissait d'une particule et ouvrant la porte à la physique subatomique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la déviation \(y_S\) si la vitesse initiale \(v_0\) était doublée (\(2,0 \times 10^7\) m/s). L'électron heurterait-il la plaque dans ce cas ?
Outil Interactif : Trajectoire de l'Électron
Utilisez les curseurs pour faire varier la tension \(U\) et la vitesse initiale \(v_0\) de l'électron. Observez en temps réel comment sa trajectoire et sa déviation finale sont affectées.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est la nature de la trajectoire d'un électron entrant avec une vitesse \(\vec{v_0}\) perpendiculaire à un champ électrique \(\vec{E}\) uniforme ?
- Circulaire
- Parabolique
2. Comment la force électrostatique \(\vec{F}\) agissant sur un électron est-elle orientée par rapport au champ électrique \(\vec{E}\) ?
- Dans le sens opposé à \(\vec{E}\)
- Perpendiculaire à \(\vec{E}\)
3. Si on double la tension \(U\) entre les plaques, comment la déviation finale \(y_S\) est-elle modifiée (en gardant \(v_0\) constante) ?
- Elle est divisée par deux
- Elle est quadruplée
4. Si on double la vitesse initiale \(v_0\) de l'électron, comment la déviation finale \(y_S\) est-elle modifiée (en gardant \(U\) constante) ?
- Elle est doublée
- Elle est divisée par quatre
- Champ Électrique (\(\vec{E}\))
- Champ de force vectoriel créé par des particules chargées. Il décrit la force qui s'exercerait sur une charge unité. Unité : Volt par mètre (V/m) ou Newton par Coulomb (N/C).
- Potentiel Électrique (V)
- Énergie potentielle électrique par unité de charge. La différence de potentiel (tension \(U\)) entre deux points est liée au travail nécessaire pour déplacer une charge entre ces points. Unité : Volt (V).
- Force Électrostatique (\(\vec{F}\))
- Force subie par une particule chargée dans un champ électrique. Elle est donnée par la loi \(\vec{F} = q\vec{E}\). Unité : Newton (N).
- Trajectoire Parabolique
- Courbe décrite par un objet soumis à une accélération constante dans une direction, tout en ayant une vitesse initiale dans une direction perpendiculaire. Similaire au mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur.
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