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Fréquences de Résonance d’une Cavité

Fréquences de Résonance d’une Cavité

Fréquences de Résonance d’une Cavité

Comprendre la Résonance dans les Cavités Électromagnétiques

Une cavité résonnante est une structure tridimensionnelle, généralement à parois conductrices, capable de confiner des ondes électromagnétiques et de les faire osciller à des fréquences spécifiques, appelées fréquences de résonance. À ces fréquences, des ondes stationnaires s'établissent à l'intérieur de la cavité, résultant de la superposition d'ondes se propageant et se réfléchissant sur les parois. L'énergie électromagnétique peut alors être stockée efficacement dans la cavité.

Les fréquences de résonance dépendent de la géométrie (forme et dimensions) de la cavité et des propriétés du milieu qui la remplit (généralement le vide ou l'air). Différents modes de résonance, caractérisés par des configurations spécifiques des champs électrique et magnétique (modes TE\(_{mnp}\) ou TM\(_{mnp}\)), peuvent exister. Chaque mode possède sa propre fréquence de résonance. La fréquence la plus basse est appelée fréquence du mode fondamental.

Cet exercice se concentre sur le calcul des fréquences de résonance pour différents modes TE dans une cavité rectangulaire remplie d'air.

Données de l'étude

On considère une cavité résonnante rectangulaire aux parois parfaitement conductrices, remplie d'air.

Caractéristiques de la cavité :

  • Dimension le long de l'axe x (\(a\)) : \(3.0 \, \text{cm}\)
  • Dimension le long de l'axe y (\(b\)) : \(2.0 \, \text{cm}\)
  • Dimension le long de l'axe z (\(d\)) : \(4.0 \, \text{cm}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide (et approximativement dans l'air) (\(c\)) : \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

On s'intéressera aux modes Transverses Électriques (TE\(_{mnp}\)).

Schéma d'une Cavité Résonnante Rectangulaire
a (largeur) b d (longueur) Cavité Rectangulaire Dimensions a, b, d

Cavité résonnante rectangulaire de dimensions \(a, b, d\).

Questions à traiter

  1. Convertir les dimensions \(a\), \(b\), et \(d\) de la cavité en mètres.
  2. Écrire la formule générale de la fréquence de résonance \(f_{mnp}\) pour les modes TE\(_{mnp}\) dans une cavité rectangulaire remplie d'air (ou de vide). Préciser les conditions sur les indices \(m, n, p\).
  3. Calculer la fréquence de résonance \(f_{101}\) pour le mode TE\(_{101}\).
  4. Calculer la fréquence de résonance \(f_{011}\) pour le mode TE\(_{011}\).
  5. Calculer la fréquence de résonance \(f_{111}\) pour le mode TE\(_{111}\).
  6. Identifier le mode dominant (mode de plus basse fréquence non nulle) parmi les modes TE et calculer sa fréquence.
  7. Une onde de fréquence \(f_{op} = 7.0 \, \text{GHz}\) est injectée dans la cavité. Quels sont les modes TE\(_{m0p}\) (avec \(m \ge 1, p \ge 1\)) qui peuvent être excités ?

Correction : Fréquences de Résonance d’une Cavité

Question 1 : Conversion des dimensions \(a, b, d\)

Principe :

Convertir les centimètres en mètres (1 cm = 0.01 m).

Données spécifiques :
  • \(a = 3.0 \, \text{cm}\)
  • \(b = 2.0 \, \text{cm}\)
  • \(d = 4.0 \, \text{cm}\)
Calculs :
\[ \begin{aligned} a &= 3.0 \, \text{cm} = 0.030 \, \text{m} \\ b &= 2.0 \, \text{cm} = 0.020 \, \text{m} \\ d &= 4.0 \, \text{cm} = 0.040 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • \(a = 0.030 \, \text{m}\)
  • \(b = 0.020 \, \text{m}\)
  • \(d = 0.040 \, \text{m}\)

Question 2 : Formule générale de la fréquence de résonance \(f_{mnp}\) pour les modes TE

Principe :

Pour une cavité rectangulaire remplie d'air (ou de vide), la fréquence de résonance pour un mode TE\(_{mnp}\) est donnée par la formule suivante, où \(c\) est la vitesse de la lumière, et \(a, b, d\) sont les dimensions de la cavité le long des axes x, y, z respectivement.

Formule(s) utilisée(s) :
\[f_{mnp} = \frac{c}{2} \sqrt{\left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 + \left(\frac{p}{d}\right)^2}\]

Pour les modes TE\(_{mnp}\), les indices \(m\) et \(n\) sont des entiers \(\ge 0\) (mais pas simultanément nuls), et l'indice \(p\) est un entier \(\ge 1\). Si \(p=0\), il n'y a pas de variation du champ le long de l'axe \(z\), ce qui correspondrait à un mode de guide d'ondes plutôt qu'à un mode de résonance de cavité tridimensionnelle (onde stationnaire le long de z).

Résultat Question 2 : La formule est \(f_{mnp} = \frac{c}{2} \sqrt{(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2 + (\frac{p}{d})^2}\), avec \(m, n \ge 0\) (non tous les deux nuls), \(p \ge 1\).

Quiz Intermédiaire 1 : Les indices \(m, n, p\) dans la formule de la fréquence de résonance représentent :

Question 3 : Fréquence de résonance \(f_{101}\) pour TE\(_{101}\)

Principe :

Appliquer la formule générale avec \(m=1, n=0, p=1\).

Données spécifiques :
  • \(c = 3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
  • \(a = 0.030 \, \text{m}\)
  • \(b = 0.020 \, \text{m}\)
  • \(d = 0.040 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{101} &= \frac{3.00 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.030}\right)^2 + \left(\frac{0}{0.020}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.040}\right)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{(33.333)^2 + 0^2 + (25.0)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{1111.0889 + 625} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{1736.0889} \\ &\approx (1.5 \times 10^8) \cdot 41.6664 \\ &\approx 6.24996 \times 10^9 \, \text{Hz} \end{aligned} \]

Soit \(f_{101} \approx 6.25 \, \text{GHz}\).

Résultat Question 3 : La fréquence de résonance pour le mode TE\(_{101}\) est \(f_{101} \approx 6.25 \, \text{GHz}\).

Question 4 : Fréquence de résonance \(f_{011}\) pour TE\(_{011}\)

Principe :

Appliquer la formule générale avec \(m=0, n=1, p=1\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{011} &= \frac{3.00 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{0}{0.030}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.020}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.040}\right)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{0^2 + (50.0)^2 + (25.0)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{2500 + 625} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{3125} \\ &\approx (1.5 \times 10^8) \cdot 55.9017 \\ &\approx 8.38525 \times 10^9 \, \text{Hz} \end{aligned} \]

Soit \(f_{011} \approx 8.39 \, \text{GHz}\).

Résultat Question 4 : La fréquence de résonance pour le mode TE\(_{011}\) est \(f_{011} \approx 8.39 \, \text{GHz}\).

Question 5 : Fréquence de résonance \(f_{111}\) pour TE\(_{111}\)

Principe :

Appliquer la formule générale avec \(m=1, n=1, p=1\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} f_{111} &= \frac{3.00 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.030}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.020}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.040}\right)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{(33.333)^2 + (50.0)^2 + (25.0)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{1111.0889 + 2500 + 625} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{4236.0889} \\ &\approx (1.5 \times 10^8) \cdot 65.0852 \\ &\approx 9.76278 \times 10^9 \, \text{Hz} \end{aligned} \]

Soit \(f_{111} \approx 9.76 \, \text{GHz}\).

Résultat Question 5 : La fréquence de résonance pour le mode TE\(_{111}\) est \(f_{111} \approx 9.76 \, \text{GHz}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Pour un mode TE\(_{mnp}\), si l'indice \(p\) augmente, la fréquence de résonance :

Question 6 : Identification du mode dominant TE et sa fréquence

Principe :

Le mode dominant est le mode TE\(_{mnp}\) (avec \(m,n \ge 0\) non tous deux nuls, et \(p \ge 1\)) qui a la plus basse fréquence de résonance. Nous avons calculé \(f_{101} \approx 6.25 \, \text{GHz}\) et \(f_{011} \approx 8.39 \, \text{GHz}\). D'autres modes comme TE\(_{201}\) ou TE\(_{021}\) auraient des fréquences plus élevées. Le mode TE\(_{101}\) est le candidat le plus probable si \(a\) est la plus grande dimension transversale ou si \(d\) est suffisamment grand.

Comparons les termes sous la racine pour les modes de base : \(\left(\frac{1}{a}\right)^2 = (\frac{1}{0.03})^2 \approx 1111.1\) \(\left(\frac{1}{b}\right)^2 = (\frac{1}{0.02})^2 = 2500\) \(\left(\frac{1}{d}\right)^2 = (\frac{1}{0.04})^2 = 625\)

  • TE\(_{101}\): \(\sqrt{1111.1 + 0 + 625} = \sqrt{1736.1} \approx 41.67\)
  • TE\(_{011}\): \(\sqrt{0 + 2500 + 625} = \sqrt{3125} \approx 55.90\)
  • TE\(_{110}\) n'est pas un mode de cavité si \(p \ge 1\). Le mode TE\(_{111}\) a été calculé à \(f_{111} \approx 9.76 \, \text{GHz}\).

Le plus petit terme \(\sqrt{(\frac{m}{a})^2 + (\frac{n}{b})^2 + (\frac{p}{d})^2}\) pour \(m,n\) non tous deux nuls et \(p \ge 1\) sera obtenu pour \(m=1, n=0, p=1\) ou \(m=0, n=1, p=1\). Comme \(a > b\), le terme \((1/a)^2\) est plus petit que \((1/b)^2\). La dimension \(d\) est la plus grande. Le mode TE\(_{101}\) donne la plus petite somme des carrés, donc la plus basse fréquence.

Résultat Question 6 : Le mode dominant est le mode TE\(_{101}\), avec une fréquence de résonance \(f_{101} \approx 6.25 \, \text{GHz}\).

Question 7 : Excitation des modes TE\(_{m0p}\) à \(f_{op} = 7.0 \, \text{GHz}\)

Principe :

Un mode TE\(_{m0p}\) peut être excité si sa fréquence de résonance \(f_{m0p}\) est inférieure ou égale à la fréquence d'opération \(f_{op}\). \(f_{m0p} = \frac{c}{2} \sqrt{(\frac{m}{a})^2 + (\frac{p}{d})^2}\). Nous cherchons les entiers \(m \ge 1, p \ge 1\) tels que \(f_{m0p} \le 7.0 \, \text{GHz}\).

Calculs et Analyse :

On a \(f_{101} \approx 6.25 \, \text{GHz}\). Puisque \(6.25 \, \text{GHz} \le 7.0 \, \text{GHz}\), le mode TE\(_{101}\) peut être excité.

Considérons TE\(_{201}\) (\(m=2, p=1\)):

\[ \begin{aligned} f_{201} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{2}{0.030}\right)^2 + \left(\frac{1}{0.040}\right)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{(66.667)^2 + (25.0)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{4444.44 + 625} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{5069.44} \\ &\approx (1.5 \times 10^8) \cdot 71.20 \\ &\approx 10.68 \times 10^9 \, \text{Hz} = 10.68 \, \text{GHz} \end{aligned} \]

Puisque \(10.68 \, \text{GHz} > 7.0 \, \text{GHz}\), le mode TE\(_{201}\) ne peut pas être excité.

Considérons TE\(_{102}\) (\(m=1, p=2\)):

\[ \begin{aligned} f_{102} &= \frac{3 \times 10^8}{2} \sqrt{\left(\frac{1}{0.030}\right)^2 + \left(\frac{2}{0.040}\right)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{(33.333)^2 + (50.0)^2} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{1111.0889 + 2500} \\ &= (1.5 \times 10^8) \sqrt{3611.0889} \\ &\approx (1.5 \times 10^8) \cdot 60.092 \\ &\approx 9.0138 \times 10^9 \, \text{Hz} = 9.01 \, \text{GHz} \end{aligned} \]

Puisque \(9.01 \, \text{GHz} > 7.0 \, \text{GHz}\), le mode TE\(_{102}\) ne peut pas être excité.

Résultat Question 7 : Parmi les modes TE\(_{m0p}\) (avec \(m \ge 1, p \ge 1\)), seul le mode TE\(_{101}\) (fréquence \(\approx 6.25 \, \text{GHz}\)) peut être excité par une onde de \(7.0 \, \text{GHz}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Le mode dominant dans une cavité est celui qui a :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une cavité résonnante :

2. La fréquence de résonance d'un mode donné dans une cavité rectangulaire remplie d'air dépend :

3. Si la dimension 'a' d'une cavité rectangulaire augmente, la fréquence de résonance du mode TE\(_{101}\) :

Glossaire

Cavité Résonnante
Structure, généralement métallique et fermée, capable de stocker de l'énergie électromagnétique en permettant l'établissement d'ondes stationnaires à des fréquences spécifiques appelées fréquences de résonance.
Fréquence de Résonance (\(f_{mnp}\))
Fréquence spécifique à laquelle une cavité peut entretenir une oscillation électromagnétique stable (onde stationnaire) pour un mode donné (\(mnp\)).
Mode de Résonance (ou Mode Propre)
Configuration spatiale spécifique des champs électrique et magnétique d'une onde stationnaire dans une cavité résonnante. Identifié par des indices entiers (m, n, p).
Mode TE (Transverse Électrique)
Mode de propagation ou de résonance pour lequel le champ électrique est entièrement transversal à une direction de référence (généralement l'axe de propagation ou l'axe principal de la cavité), mais où une composante du champ magnétique peut exister dans cette direction.
Mode TM (Transverse Magnétique)
Mode de propagation ou de résonance pour lequel le champ magnétique est entièrement transversal à une direction de référence, mais où une composante du champ électrique peut exister dans cette direction.
Mode Dominant (ou Fondamental)
Mode de résonance ayant la plus basse fréquence de résonance non nulle pour une géométrie de cavité donnée.
Onde Stationnaire
Onde résultant de la superposition de deux ondes de même fréquence se propageant en sens opposés (typiquement par réflexion sur les parois d'une cavité). Elle présente des nœuds (amplitude nulle) et des ventres (amplitude maximale) fixes dans l'espace.
Vitesse de la Lumière (\(c\))
Vitesse de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide, environ \(3.00 \times 10^8 \, \text{m/s}\).
Fréquences de Résonance d’une Cavité

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