Calcul de l'Autonomie d'une Batterie de Téléphone
Contexte : La gestion critique de l'énergie mobile.
De nos jours, nous vivons dans un monde ultra-connecté où la mobilité est reine. Que ce soit pour nos smartphones qui nous servent de bureau de poche, nos ordinateurs portables pour le télétravail, ou les voitures électriques qui révolutionnent nos transports, un élément est central : la batterie. Comprendre comment l'énergie est stockée et consommée n'est plus seulement une affaire de physiciens, c'est une nécessité pour tout utilisateur averti. Pourquoi mon téléphone s'éteint-il plus vite quand je joue ? Pourquoi la charge rapide chauffe-t-elle l'appareil ?
Dans cet exercice, nous allons plonger au cœur d'une batterie de technologie Lithium-IonTechnologie standard actuelle offrant une haute densité énergétique., la référence actuelle pour sa densité énergétique. Nous analyserons son comportement en Courant ContinuLe flux d'électrons circule dans un seul sens, du pôle négatif vers le positif. (DC), c'est-à-dire un flux d'électrons régulier, semblable à une rivière calme, par opposition au courant alternatif de nos prises murales. Nous apprendrons à jongler avec les unités fondamentales comme le mAhMilliampère-heure : unité de charge électrique (Q)., mesure de la capacité, et le WhWatt-heure : unité d'énergie réelle (E)., véritable juge de paix de la puissance disponible. Prêts à maîtriser votre énergie ?
Remarque Pédagogique : Comprendre ces calculs permet non seulement de réussir ses examens de physique, mais aussi de mieux gérer ses propres appareils au quotidien (choix d'une batterie externe, compréhension de la charge rapide).
Objectifs Pédagogiques
- Maîtriser la relation fondamentale de l'autonomie : \(Q = I \cdot t\).
- Savoir convertir les unités de charge (mAh ↔ Ah ↔ Coulombs).
- Distinguer la capacité de charge (Ah) de l'énergie stockée (Wh).
- Calculer des temps de charge et de décharge théoriques.
- Comprendre l'impact de la consommation (Intensité) sur la durée de vie de la batterie.
Données de l'étude
Nous étudions un smartphone de dernière génération, le "TechnoX 2024". L'utilisateur souhaite savoir combien de temps il peut regarder des vidéos en streaming avant que son téléphone ne s'éteigne, et combien de temps il peut le laisser en veille au fond de son sac.
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Modèle | TechnoX 2024 |
| Technologie Batterie | Li-Ion (Lithium-Ion) |
| Tension nominale | 3.7 V (Moyenne) |
| Tension de charge max | 4.2 V |
Schéma du Système Électrique Simplifié
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Capacité Batterie | \(Q\) | 4000 | \(\text{mAh}\) |
| Courant (Vidéo) | \(I_{\text{vidéo}}\) | 500 | \(\text{mA}\) |
| Courant (Veille) | \(I_{\text{veille}}\) | 20 | \(\text{mA}\) |
Questions à traiter
- Convertir la capacité de la batterie en Ampère-heure (Ah).
- Calculer l'autonomie théorique en mode "Lecture Vidéo".
- Calculer l'autonomie théorique en mode "Veille" en heures et en jours.
- Calculer l'énergie totale stockée dans la batterie en Watt-heure (Wh).
- Si le chargeur délivre 2A, combien de temps faut-il pour une charge complète (0 à 100%) ?
Les bases théoriques
Pour bien comprendre le fonctionnement d'une batterie, il est essentiel d'avoir des images mentales claires. Le concept le plus efficace est l'Analogie Hydraulique, qui compare l'électricité à de l'eau circulant dans des tuyaux.
1. L'Analogie du Château d'Eau (Réservoir)
Imaginez un grand réservoir d'eau en hauteur.
- La Capacité (Ah) : C'est la taille du réservoir. Plus il est grand, plus il contient de litres d'eau. Une batterie de 4000 mAh est un "réservoir" de 4 Ampères-heure.
- La Tension (V) : C'est la hauteur du château d'eau. Plus il est haut, plus l'eau a de la pression en bas. C'est ce qui donne la "force" au courant.
- Le Courant (A) : C'est le débit de l'eau qui sort du robinet. Si vous ouvrez grand le robinet (gros courant), le réservoir se vide vite. Si vous laissez un goutte-à-goutte (courant faible), il dure très longtemps.
2. Loi de l'Autonomie (Conservation de la charge)
Mathématiquement, le temps de décharge dépend simplement de la taille du réservoir divisée par le débit. C'est une relation de proportionnalité inverse : si vous doublez le débit, vous divisez le temps par deux.
Relation Temps - Capacité - Courant
Où :
- \(t\) est le temps en heures (h).
- \(Q\) est la capacité en Ampère-heure (Ah) ou mAh.
- \(I\) est le courant en Ampère (A) ou mA.
3. Énergie stockée vs Capacité de charge
Attention à la nuance ! La capacité \(Q\) (en Ah) nous dit combien d'électrons on a. Mais pour savoir quel travail (chauffer, éclairer, calculer) ces électrons peuvent faire, il faut multiplier par la "force" (la tension \(U\)).
C'est la différence entre verser un seau d'eau depuis 10cm de haut (faible énergie) ou depuis 10m de haut (forte énergie, ça fait mal !).
Énergie électrique
Où :
- \(E\) est l'énergie en Watt-heure (Wh).
- \(Q\) est la capacité en Ampère-heure (Ah).
- \(U\) est la tension en Volt (V).
4. Puissance instantanée
La puissance est la vitesse à laquelle l'énergie est consommée à un instant T. C'est le produit de la pression (Tension) par le débit (Courant).
Loi de Puissance
Où :
- \(P\) est la puissance en Watt (W).
- \(U\) est la tension (V).
- \(I\) est le courant (A).
Correction : Calcul de l'Autonomie d'une Batterie de Téléphone
Question 1 : Conversion de la capacité
Principe
L'unité standard des batteries mobiles est le milliampère-heure (mAh)Millième d'ampère pendant une heure.. Cependant, pour faciliter les comparaisons avec des batteries plus grosses (voiture, onduleur) ou pour calculer l'énergie en Wh, il est indispensable de savoir convertir cette valeur en Ampère-heure (Ah). C'est une simple conversion d'unités basée sur le système métrique.
Mini-Cours
Le préfixe "Milli" (m) : Dans le système international (SI), il signifie toujours un millième (\(10^{-3}\)).
Donc \(1 \text{ A} = 1000 \text{ mA}\) et \(1 \text{ Ah} = 1000 \text{ mAh}\).
Remarque Pédagogique
Il est souvent plus sûr de tout convertir en unités de base (Ampères, Heures, Volts) avant de commencer les calculs complexes pour éviter les erreurs d'ordres de grandeur (facteur 1000).
Normes
La capacité des batteries Lithium est mesurée selon la norme CEI 61960, qui impose une décharge lente (généralement à C/5) à une température de 20°C pour valider la valeur annoncée.
Formule(s)
Formule de conversion
Hypothèses
Pour ce calcul, nous considérons :
- Que la valeur nominale indiquée (4000 mAh) est exacte (batterie neuve).
- Que la température est clémente (le froid réduit temporairement la capacité).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Capacité nominale | \(Q_{\text{mAh}}\) | 4000 | \(\text{mAh}\) |
Astuces
Pour diviser par 1000, déplacez simplement la virgule de 3 rangs vers la gauche. 4000,0 devient 4,000.
Visualisation de la Capacité
Calcul(s)
Calcul Principal
Application numérique
On applique la formule de conversion en explicitant la puissance de 10 :
Conversion de Q
Le résultat final est obtenu en simplifiant la fraction : la batterie a une capacité de 4 Ampères-heure.
Schéma (Après les calculs)
Réflexions
4 Ah est une valeur standard pour un smartphone. À titre de comparaison, une batterie de voiture standard fait environ 60 Ah, soit 15 fois plus.
Points de vigilance
Ne confondez pas avec les Coulombs (C) qui sont l'unité officielle du Système International pour la charge. \(1 \text{ Ah} = 3600 \text{ C}\). Mais dans l'industrie mobile, on utilise quasi-exclusivement le mAh.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- mAh = milliampère-heure.
- 1 Ah = 1000 mAh.
- C'est la mesure de la "taille du réservoir" d'électrons.
Le saviez-vous ?
Le tout premier iPhone (2007) n'avait qu'une batterie de 1400 mAh. Les capacités ont presque triplé en 15 ans pour compenser des écrans plus grands et plus lumineux.
FAQ
Pourquoi n'utilise-t-on pas le Coulomb ?
Parce que le mAh est plus intuitif pour le grand public : il relie directement une consommation (en mA) à une durée (en h). Le Coulomb (Ampère-seconde) donnerait des chiffres trop grands (4 Ah = 14 400 C).
A vous de jouer
Si la batterie faisait 5200 mAh (gros modèle), combien cela ferait-il en Ah ?
📝 Mémo
"Milli" = mille fois plus petit. Toujours diviser par 1000 pour revenir à l'unité de base.
Question 2 : Autonomie en mode "Vidéo"
Principe
Nous cherchons la durée \(t\) pendant laquelle la batterie peut fournir un courant de 500 mA avant d'être vide. C'est l'application directe de la définition de la capacité : "Combien de temps je peux tenir avec un certain débit ?".
Mini-Cours
Le débit d'électrons s'appelle l'Intensité (\(I\)). Plus l'intensité est élevée (plus le processeur travaille fort, plus l'écran brille), plus le réservoir se vide vite.
Remarque Pédagogique
Le courant de 500 mA est une moyenne. En réalité, le décodage vidéo crée des pics de consommation (GPU, rétroéclairage), mais lisser cette valeur permet une estimation fiable de l'autonomie.
Normes
Les tests d'autonomie vidéo sont souvent réalisés avec une luminosité d'écran calibrée à 150 cd/m² (nits) et le mode avion activé pour standardiser les mesures.
Formule(s)
Loi de décharge
Calcul du temps
Hypothèses
Nous posons les hypothèses suivantes :
- Le courant de décharge est constant à 500 mA.
- La batterie peut délivrer 100% de sa capacité nominale (pas de coupure prématurée).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Capacité | \(Q\) | 4000 | \(\text{mAh}\) |
| Courant Vidéo | \(I\) | 500 | \(\text{mA}\) |
Astuces
Astuce d'unités : Si \(Q\) est en mAh et \(I\) en mA, le résultat est directement en heures (h). Les "milli" s'annulent numérateur/dénominateur.
Situation : Lecture Vidéo
Calcul(s)
Calcul Principal
Application numérique
On remplace les variables par leurs valeurs numériques (4000 et 500). Les unités 'milli' s'annulent :
Calcul de l'autonomie
La division donne un résultat rond : l'utilisateur pourra théoriquement regarder des vidéos pendant 8 heures d'affilée.
Résultat
Réflexions
Ce résultat de 8h est assez réaliste pour un smartphone milieu de gamme en streaming 4G/5G. En Wi-Fi, la consommation serait moindre et l'autonomie plus grande.
Points de vigilance
Attention à l'homogénéité ! Ne divisez jamais des Ah par des mA directement. Convertissez tout en Ah/A ou en mAh/mA.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- \(t = Q / I\)
- Plus le courant \(I\) est grand, plus le temps \(t\) est court (inversement proportionnels).
Le saviez-vous ?
L'écran est souvent le composant le plus gourmand. Réduire la luminosité de 100% à 50% peut doubler l'autonomie vidéo.
FAQ
Est-ce que l'autonomie baisse quand la batterie vieillit ?
Oui. Une batterie usée perd de sa capacité \(Q\). Si \(Q\) passe de 4000 à 3000 mAh après 2 ans, l'autonomie passera de 8h à 6h (3000/500).
A vous de jouer
Si le courant était de 400 mA (écran moins lumineux), quelle serait l'autonomie ?
📝 Mémo
Autonomie = Capacité / Consommation. C'est la règle d'or.
Question 3 : Autonomie en mode "Veille"
Principe
En mode veille, la consommation de courant est extrêmement faible car la plupart des composants sont désactivés. Nous appliquons la même loi que précédemment, mais avec un courant \(I\) très réduit.
Mini-Cours
Les modes "économie d'énergie" agissent en réduisant la fréquence du processeur et en coupant les communications, ce qui diminue \(I\).
Remarque Pédagogique
C'est un excellent exemple de l'effet de levier de la consommation : diviser le courant par 25 (de 500 à 20 mA) multiplie le temps par 25.
Normes
Les données constructeurs de "temps de veille" (standby time) sont souvent des valeurs idéales, sans aucune application installée qui tournerait en arrière-plan (comme les réseaux sociaux).
Formule(s)
Calcul du temps
Hypothèses
On suppose un environnement réseau stable. Si le téléphone cherche le réseau en permanence (zone blanche), la consommation \(I\) explosera.
- Courant de veille stable à 20 mA.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Courant de veille | \(I_{\text{veille}}\) | 20 | \(\text{mA}\) |
| Capacité | \(Q\) | 4000 | \(\text{mAh}\) |
Astuces
Pour convertir des heures en jours, divisez par 24. Pour le reste décimal (ex: 0.33 jour), remultipliez par 24 pour avoir les heures restantes.
Situation : Veille
Calcul(s)
Détail du calcul
Étape 1 : Calcul de la durée brute en heures. On divise la capacité par le courant de veille :
Étape 2 : Conversion en jours (1 jour = 24h). On divise 200 par 24 pour obtenir le nombre de jours complets :
Étape 3 : Interprétation du reste décimal. On prend la partie décimale (0.333) et on la multiplie par 24 pour revenir en heures :
Le temps total est donc de 8 jours complets plus 8 heures.
Résultat
Réflexions
C'est pourquoi un téléphone oublié dans un tiroir peut encore avoir de la batterie une semaine plus tard, alors qu'il se vide en quelques heures si on joue avec.
Points de vigilance
Attention à l'interprétation des décimales ! "8.33 jours" n'est pas "8 jours et 33 minutes". Il faut convertir la fraction de jour.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La veille consomme 10 à 50 fois moins que l'activité.
- Savoir convertir des heures en jours est nécessaire pour communiquer un résultat pertinent.
Le saviez-vous ?
Le légendaire Nokia 3310 (an 2000) avait une batterie de 900 mAh seulement, mais durait 10 jours en veille car il n'avait pas de connexions Internet gourmandes en arrière-plan.
FAQ
Le mode avion augmente-t-il cette autonomie ?
Oui, considérablement. En coupant la recherche réseau, le courant peut descendre sous les 5 mA, quadruplant ainsi le temps de veille.
A vous de jouer
Si le mode "Ultra Économie" réduit le courant à 10 mA, quelle est l'autonomie en heures ?
📝 Mémo
Diviser le courant par 2 double l'autonomie.
Question 4 : Calcul de l'énergie (Wh)
Principe
Le Watt-heure (Wh)Unité d'énergie (Travail). 1 Wh = 3600 Joules. est la seule unité fiable pour comparer des batteries de tensions différentes. Pour soulever un poids (effectuer un travail), il ne suffit pas d'avoir beaucoup de corde (Ah), il faut aussi de la force (Tension V). Le Watt-heure combine ces deux aspects. Une batterie de 4000 mAh à 3.7V contient moins d'énergie qu'une batterie de 2000 mAh à 12V. Pour connaître l'énergie réelle, il faut multiplier sa charge par sa tension.
Mini-Cours
Analogie Hydraulique :
- Capacité (Ah) = Volume d'eau (Litres).
- Tension (V) = Hauteur de la chute d'eau (Pression).
- Énergie (Wh) = Puissance de l'impact de l'eau en bas.
Remarque Pédagogique
C'est l'unité utilisée par les compagnies aériennes pour la sécurité. La limite en cabine est généralement de 100 Wh.
Normes
Règlementation IATA sur le transport des marchandises dangereuses (batteries Lithium).
Formule(s)
Énergie Électrique
Hypothèses
La tension d'une batterie Li-Ion varie de 4.2V (pleine) à 3.0V (vide). Pour calculer l'énergie, on utilise toujours la tension nominale moyenne indiquée sur la batterie.
- Tension moyenne constante de 3.7 V.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Capacité convertie (\(Q\)) | 4 Ah (voir Q1) |
| Tension nominale (\(U\)) | 3.7 V |
Astuces
Moyen mnémotechnique : Pensez à la formule de puissance \(P = U \cdot I\). L'énergie est juste la puissance multipliée par le temps : \(E = P \cdot t = U \cdot (I \cdot t) = U \cdot Q\).
Données Énergie
Calcul(s)
Détail du calcul
On utilise la capacité convertie en Ah (4 Ah) que l'on multiplie par la tension moyenne (3.7 V). Le principe mathématique est que \(1 \text{ V} \times 1 \text{ A} = 1 \text{ W}\), donc \(1 \text{ V} \times 1 \text{ Ah} = 1 \text{ Wh}\).
On peut décomposer mentalement : \(4 \times 3 = 12\) et \(4 \times 0.7 = 2.8\). Au total : \(12 + 2.8 = 14.8\). La batterie stocke au total 14.8 Watt-heures d'énergie.
Résultat Énergie
Réflexions
14.8 Wh est une quantité modeste. Pour comparer, une batterie d'ordinateur portable fait souvent autour de 50 Wh (3 à 4 fois plus). C'est logique car un ordinateur consomme beaucoup plus.
Points de vigilance
Ne pas utiliser la capacité en mAh directement sans ajuster les unités (4000 * 3.7), sinon vous obtiendrez des mWh (milliwatt-heure) et non des Wh. Divisez toujours par 1000 à la fin si vous faites ça.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Wh = Ah × V
- Le Wh est la seule vraie mesure de la "quantité d'énergie" physique.
Le saviez-vous ?
Une batterie de voiture électrique (Tesla Model 3) contient environ 75 000 Wh (75 kWh). Cela équivaut à environ 5000 batteries de smartphone !
FAQ
Ma batterie externe affiche 10 000 mAh. Est-ce beaucoup ?
C'est une bonne capacité (environ 37 Wh). Mais attention, lors de la charge, il y a des pertes d'énergie (rendement), donc vous ne récupérerez pas les 10 000 mAh entiers dans votre téléphone.
A vous de jouer
Une batterie de PC portable fait 4000 mAh mais sous 11.1 V. Quelle est son énergie en Wh ?
📝 Mémo
Le Watt-heure est l'unité facturée par votre fournisseur d'électricité (en kWh). C'est la monnaie universelle de l'énergie.
Question 5 : Temps de charge
Principe
Le principe est symétrique à la décharge : on remplit le réservoir. Le chargeur agit comme une pompe qui pousse les électrons dans la batterie. Le courant \(I\) circule maintenant du chargeur vers la batterie. Plus le chargeur est puissant (plus il fournit d'ampères), plus le réservoir se remplit vite.
Mini-Cours
Les phases de charge : Une vraie charge Li-Ion se fait en deux étapes :
1. CC (Courant Constant) : On envoie le courant max (80% de la charge, rapide).
2. CV (Tension Constante) : On réduit le courant petit à petit pour finir le remplissage sans dépasser 4.2V (20% restants, lents).
Remarque Pédagogique
Le calcul que nous allons faire donne un temps minimum théorique. Le temps réel est toujours plus long à cause de la phase CV qui ralentit la fin de charge.
Normes
Le standard USB Battery Charging (BC 1.2) ou les protocoles modernes comme USB Power Delivery (PD) négocient le courant max admissible.
Formule(s)
Temps de charge
Hypothèses
Pour ce calcul théorique, nous posons les hypothèses simplificatrices suivantes (modèle idéal) :
- Le rendement de charge est de 100% (aucune énergie perdue en chaleur).
- Le courant de charge est constant du début à la fin (on néglige la phase CV).
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Capacité (\(Q\)) | 4000 \text{ mAh} |
| Courant Chargeur (\(I\)) | 2 \text{ A} |
Astuces
Règle du pouce : Si le courant de charge est la moitié de la capacité (ex: 2000mA pour 4000mAh), le temps est de 2h. On appelle cela une charge à "0.5C".
Le Chargeur
Calcul(s)
Détail du calcul
Nous avons le courant en Ampères (2 A). Pour diviser, il faut être cohérent avec la capacité en mAh. On convertit d'abord les 2 A en mA :
Maintenant on applique la formule de temps avec les unités homogènes :
Il faudra environ 2 heures pour recharger la batterie de 0 à 100% avec ce chargeur rapide.
Résultat Charge
Réflexions
C'est un temps de charge standard pour une charge "rapide" de milieu de gamme. Les chargeurs lents (500mA) mettraient 8 heures (toute la nuit).
Points de vigilance
La charge n'est jamais linéaire à 100%. À partir de 80%, le contrôleur de charge réduit le courant pour éviter que la tension de la cellule ne dépasse 4.2V, ce qui provoquerait un dégazage ou une explosion. C'est la phase de saturation.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Temps = Capacité / Courant Chargeur.
- C'est un temps minimum théorique ; la réalité est un peu plus longue (+10-20%).
Le saviez-vous ?
Certains téléphones modernes (technologie SuperVOOC ou HyperCharge) chargent en 20-30 minutes grâce à des puissances énormes (120W) et des batteries divisées en deux cellules chargées en parallèle.
FAQ
Est-il dangereux de laisser le téléphone charger toute la nuit ?
Non, le circuit de gestion de la batterie (BMS) coupe l'alimentation dès que la batterie atteint 100%. Cependant, maintenir la batterie à 100% stresse la chimie à long terme.
A vous de jouer
Si j'utilise un vieux chargeur USB de 1 A (1000 mA), combien de temps cela prendra-t-il ?
📝 Mémo
Un courant plus fort = charge plus rapide = plus de chauffe = usure potentiellement plus rapide.
Schéma Bilan Complet
Ce schéma résume l'ensemble des grandeurs calculées, les états finaux et la configuration du système.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
Voici la synthèse des points clés méthodologiques et physiques abordés dans cet exercice :
-
🔑
Point Clé 1 : Capacité (\(Q\))
C'est la taille du réservoir, exprimée en \text{mAh} ou \text{Ah}. Convertir en \text{Ah} pour les gros calculs. -
📐
Point Clé 2 : Formule de l'Autonomie
\(t = \frac{Q}{I}\) (Le temps, c'est la capacité divisée par le courant). -
⚠️
Point Clé 3 : Unités
Toujours diviser des milliampères par des milliampères (ou Ampères par Ampères). -
⚡
Point Clé 4 : Énergie (Wh)
Seule unité qui permet de comparer des batteries de tensions différentes (\(E = Q \times U\)).
🎛️ Simulateur de Décharge
Modifiez la capacité de la batterie et la consommation pour voir l'impact sur l'autonomie.
Paramètres
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité standard de capacité d'une batterie de téléphone ?
2. Si je double le courant consommé par mon téléphone, que fait l'autonomie ?
3. Quelle formule permet de calculer l'énergie en Wh ?
📚 Glossaire
- mAh
- Milliampère-heure. Unité de charge électrique. 1000 mAh = 1 Ah.
- Courant Continu (DC)
- Type de courant délivré par une batterie, dont le sens ne change pas.
- Wh
- Watt-heure. Unité d'énergie. Prend en compte la tension et la capacité.
- Autonomie
- Durée pendant laquelle un appareil peut fonctionner sur sa réserve d'énergie.
- BMS
- Battery Management System. Circuit électronique qui protège la batterie.
Le Saviez-vous ?
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