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Application de la Méthode des Tensions de Nœud

Application de la Méthode des Tensions de Nœud

Comprendre l’Application de la Méthode des Tensions de Nœud

Dans une petite station météorologique, plusieurs instruments sont alimentés par un circuit en courant continu.

Ces instruments incluent un anémomètre, un thermomètre, et un baromètre, chacun nécessitant des tensions spécifiques pour fonctionner correctement.

L’objectif est de déterminer les tensions aux différents points du circuit pour garantir le bon fonctionnement des instruments.

Le circuit est composé de trois résistances:

  • \(R_1 = 100\, \Omega\), connectée entre le point d’alimentation (12V) et un nœud A.
  • \(R_2 = 200\, \Omega\), connectée entre le nœud A et la terre (0V).
  • \(R_3 = 150\, \Omega\), connectée entre le nœud A et un autre nœud B, qui est lui-même connecté à la terre par une source de tension inconnue \(V_x\).
Application de la Méthode des Tensions de Nœud

Question:

Utilisez la méthode des tensions de nœud pour déterminer les tensions aux nœuds A et B, ainsi que la valeur de la tension \(V_x\).

Correction : Application de la Méthode des Tensions de Nœud

Étape 1: Établissement des équations initiales

Pour les nœuds A et B, nous avons les équations suivantes :

  • Pour le nœud A:

\[ \frac{V_A – 12}{100} + \frac{V_A}{200} + \frac{V_A – V_B}{150} = 0 \]

  • Pour le nœud B:

\[ \frac{V_B – V_A}{150} = 0 \]

Étape 2: Simplification et substitution

Sachant que \( V_B = V_x \) et \( V_A = V_B \) à cause de la connexion directe entre A et B via \( R_3 \), nous simplifions notre analyse :

\[ \frac{V_A – 12}{100} + \frac{V_A}{200} + \frac{V_A – V_A}{150} = 0 \]

En substituant \(V_A = V_B\), l’équation devient :

\[ \frac{V_A – 12}{100} + \frac{V_A}{200} = 0 \]

Étape 3: Calculs

Pour résoudre cette équation, multiplions chaque terme par 200 pour éliminer le dénominateur :

\[ 2(V_A – 12) + V_A = 0 \] \[ 2V_A – 24 + V_A = 0 \] \[ 3V_A = 24 \] \[ V_A = 8 \, \text{V} \]

Étape 4: Conclusion

Nous avons trouvé que \( V_A = 8 \, \text{V} \). Puisque \( V_B = V_A \), nous avons également \( V_B = 8 \, \text{V} \). Enfin, comme \( V_B \) est également égal à \( V_x \), la tension \( V_x \) est de \( 8 \, \text{V} \).

Résultats finaux:

  • Tension au nœud A: \( V_A = 8 \, \text{V} \)
  • Tension au nœud B: \( V_B = 8 \, \text{V} \)
  • Valeur de \( V_x \): \( 8 \, \text{V} \)

Application de la Méthode des Tensions de Nœud

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