Constantes de Temps RC et RL dans un Circuit

Constantes de Temps RC et RL dans un Circuit DC

Constantes de Temps RC et RL dans un Circuit DC

Calculer et interpréter les constantes de temps pour des circuits RC et RL série en régime transitoire, et analyser l'évolution de la tension ou du courant.

Lorsqu'un circuit contenant des capacités (C) ou des inductances (L) est soumis à un échelon de tension (par exemple, la fermeture d'un interrupteur), il entre dans un régime transitoire avant d'atteindre un régime permanent. La vitesse à laquelle ce régime permanent est atteint est caractérisée par la constante de temps du circuit.

Concepts clés :

  • Circuit RC Série :
    • Constante de temps : \(\tau = RC\)
    • Charge du condensateur (initialement déchargé, tension source \(E\)) : \(v_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})\)
    • Courant de charge : \(i(t) = \frac{E}{R} e^{-t/\tau}\)
    • Décharge du condensateur (initialement chargé à \(V_0\)) à travers une résistance \(R\) : \(v_C(t) = V_0 e^{-t/\tau}\)
  • Circuit RL Série :
    • Constante de temps : \(\tau = \frac{L}{R}\)
    • Établissement du courant (courant initial nul, tension source \(E\)) : \(i_L(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-t/\tau})\)
    • Tension aux bornes de la bobine : \(v_L(t) = E e^{-t/\tau}\)
    • Rupture du courant (courant initial \(I_0\)) dans une maille RL : \(i_L(t) = I_0 e^{-t/\tau}\)
  • Après un temps égal à une constante de temps (\(t=\tau\)), la grandeur variable atteint environ 63.2% de sa variation totale (pour une charge/établissement) ou diminue à environ 36.8% de sa valeur initiale (pour une décharge/rupture).
  • Après environ \(5\tau\), le régime permanent est considéré comme atteint.

Données du Problème

Partie 1 : Circuit RC Série

  • Source de tension continue : \(E_1 = 12 \text{ V}\)
  • Résistance : \(R_1 = 100 \text{ k}\Omega\)
  • Capacité : \(C_1 = 10 \, \mu\text{F}\)
  • Le condensateur est initialement déchargé. À \(t=0\), un interrupteur est fermé, connectant la source au circuit RC.

Partie 2 : Circuit RL Série

  • Source de tension continue : \(E_2 = 24 \text{ V}\)
  • Résistance : \(R_2 = 10 \, \Omega\)
  • Inductance : \(L_2 = 50 \text{ mH}\)
  • À \(t=0\), un interrupteur est fermé, connectant la source au circuit RL. Le courant initial dans la bobine est nul.
Circuit RC + - E1 K1 (t=0) R1 C1 Circuit RL + - E2 K2 (t=0) R2 L2
Circuits RC et RL série pour l'étude des constantes de temps.

Questions

Partie 1 : Circuit RC Série

  1. Calculer la constante de temps \(\tau_1\) du circuit RC.
  2. Écrire l'expression de la tension \(v_{C1}(t)\) aux bornes du condensateur \(C_1\) pendant sa charge.
  3. Calculer la valeur de la tension \(v_{C1}\) à \(t = \tau_1\). Quel pourcentage de la tension finale cela représente-t-il ?
  4. Après combien de temps (approximativement, en multiples de \(\tau_1\)) le condensateur sera-t-il considéré comme pratiquement chargé (par exemple, à 99% de \(E_1\)) ? (Utiliser \(\ln(0.01) \approx -4.6\))
  5. Écrire l'expression du courant \(i_{C1}(t)\) circulant dans le circuit RC pendant la charge. Quelle est sa valeur à \(t=0\) et à \(t=\tau_1\) ?

Partie 2 : Circuit RL Série

  1. Calculer la constante de temps \(\tau_2\) du circuit RL.
  2. Écrire l'expression du courant \(i_{L2}(t)\) dans la bobine \(L_2\) pendant l'établissement du courant.
  3. Calculer la valeur du courant \(i_{L2}\) à \(t = \tau_2\). Quel pourcentage du courant final cela représente-t-il ?
  4. Écrire l'expression de la tension \(v_{L2}(t)\) aux bornes de la bobine \(L_2\) pendant l'établissement du courant. Quelle est sa valeur à \(t=0\) et à \(t=\tau_2\) ?

Correction : Constantes de Temps RC et RL dans un Circuit DC

Partie 1 : Circuit RC Série

1. Calcul de la Constante de Temps \(\tau_1\)

La constante de temps d'un circuit RC est \(\tau_1 = R_1 C_1\).

Données :

  • \(R_1 = 100 \text{ k}\Omega = 100 \times 10^3 \, \Omega\)
  • \(C_1 = 10 \, \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \text{ F}\)
\[ \begin{aligned} \tau_1 &= (100 \times 10^3 \, \Omega) \times (10 \times 10^{-6} \text{ F}) \\ &= 1000 \times 10^{-3} \text{ s} \\ &= 1.0 \text{ s} \end{aligned} \]

La constante de temps du circuit RC est \(\tau_1 = 1.0 \text{ s}\).

2. Expression de la Tension \(v_{C1}(t)\)

Lors de la charge d'un condensateur initialement déchargé dans un circuit RC série alimenté par une source \(E_1\), la tension aux bornes du condensateur est \(v_{C1}(t) = E_1(1 - e^{-t/\tau_1})\).

Données :

  • \(E_1 = 12 \text{ V}\)
  • \(\tau_1 = 1.0 \text{ s}\)
\[ v_{C1}(t) = 12(1 - e^{-t/1.0}) \text{ V} = 12(1 - e^{-t}) \text{ V} \]

La tension aux bornes du condensateur est \(v_{C1}(t) = 12(1 - e^{-t}) \text{ V}\) (avec t en secondes).

3. Tension \(v_{C1}\) à \(t = \tau_1\)

On remplace \(t\) par \(\tau_1\) dans l'expression de \(v_{C1}(t)\).

Données :

  • \(E_1 = 12 \text{ V}\)
  • \(\tau_1 = 1.0 \text{ s}\)
\[ \begin{aligned} v_{C1}(\tau_1) &= 12(1 - e^{-\tau_1/\tau_1}) \\ &= 12(1 - e^{-1}) \\ &\approx 12(1 - 0.36788) \\ &\approx 12 \times 0.63212 \\ &\approx 7.585 \text{ V} \end{aligned} \]

Pourcentage de la tension finale :

\[ \begin{aligned} \%E_1 &= \frac{v_{C1}(\tau_1)}{E_1} \times 100\% \\ &\approx \frac{7.585 \text{ V}}{12 \text{ V}} \times 100\% \\ &\approx 0.6321 \times 100\% \\ &\approx 63.21\% \end{aligned} \]

À \(t = \tau_1\), \(v_{C1}(\tau_1) \approx 7.59 \text{ V}\), ce qui représente environ 63.2% de la tension finale.

Quiz Intermédiaire : Constante de Temps RC

Question : Si la résistance \(R_1\) dans le circuit RC est doublée, la constante de temps \(\tau_1\) :

4. Temps pour Atteindre 95% de \(E_1\)

On cherche \(t\) tel que \(v_{C1}(t) = 0.95 E_1\). Donc \(E_1(1 - e^{-t/\tau_1}) = 0.95 E_1\).

Donnée : \(\ln(0.05) \approx -3.0\) (car \(1-0.95=0.05\), donc \(e^{-t/\tau_1} = 0.05\)) ou \(\ln(1-0.95) = \ln(0.05)\). On utilise \(\ln(0.01) \approx -4.6\) pour 99%.

Pour 95%, on a \(1 - e^{-t/\tau_1} = 0.95 \Rightarrow e^{-t/\tau_1} = 1 - 0.95 = 0.05\).

Donc, \(-t/\tau_1 = \ln(0.05)\). \(\ln(0.05) \approx -2.9957 \approx -3.0\).

\[ \begin{aligned} -t/\tau_1 &\approx -3.0 \\ t &\approx 3.0 \tau_1 \end{aligned} \]

Si on utilise la donnée pour 99% (\(e^{-t/\tau_1} = 0.01\)), alors \(-t/\tau_1 = \ln(0.01) \approx -4.6\), donc \(t \approx 4.6 \tau_1\). Le régime permanent (charge complète à >99%) est souvent considéré atteint après \(5\tau\).

Le condensateur atteint 95% de sa charge finale après environ \(3\tau_1\). (Il atteint 99% après environ \(4.6\tau_1\), et est considéré pratiquement chargé après \(5\tau_1\)).

5. Expression et Valeurs du Courant \(i_{C1}(t)\)

Le courant de charge est \(i_{C1}(t) = \frac{E_1}{R_1} e^{-t/\tau_1}\).

Données :

  • \(E_1 = 12 \text{ V}\)
  • \(R_1 = 100 \times 10^3 \, \Omega\)
  • \(\tau_1 = 1.0 \text{ s}\)

Courant initial maximal \(I_0 = E_1/R_1\):

\[ I_0 = \frac{12 \text{ V}}{100 \times 10^3 \, \Omega} = 0.00012 \text{ A} = 0.12 \text{ mA} \]

Expression du courant :

\[ i_{C1}(t) = 0.12 e^{-t} \text{ mA} \]

Valeur à \(t=0\) :

\[ i_{C1}(0) = 0.12 e^{0} \text{ mA} = 0.12 \text{ mA} \]

Valeur à \(t=\tau_1=1.0\text{s}\) :

\[ \begin{aligned} i_{C1}(\tau_1) &= 0.12 e^{-1} \text{ mA} \\ &\approx 0.12 \times 0.36788 \text{ mA} \\ &\approx 0.0441 \text{ mA} \end{aligned} \]
  • Expression du courant : \(i_{C1}(t) = 0.12 e^{-t} \text{ mA}\) (avec t en secondes)
  • \(i_{C1}(0) = 0.12 \text{ mA}\)
  • \(i_{C1}(\tau_1) \approx 0.044 \text{ mA}\) (environ 36.8% de \(I_0\))

Partie 2 : Circuit RL Série

6. Calcul de la Constante de Temps \(\tau_2\)

La constante de temps d'un circuit RL est \(\tau_2 = \frac{L_2}{R_2}\).

Données :

  • \(L_2 = 50 \text{ mH} = 50 \times 10^{-3} \text{ H}\)
  • \(R_2 = 10 \, \Omega\)
\[ \begin{aligned} \tau_2 &= \frac{50 \times 10^{-3} \text{ H}}{10 \, \Omega} \\ &= 5 \times 10^{-3} \text{ s} \\ &= 5.0 \text{ ms} \end{aligned} \]

La constante de temps du circuit RL est \(\tau_2 = 5.0 \text{ ms}\).

7. Expression du Courant \(i_{L2}(t)\)

Lors de l'établissement du courant dans un circuit RL série alimenté par une source \(E_2\) (courant initial nul), le courant est \(i_{L2}(t) = \frac{E_2}{R_2}(1 - e^{-t/\tau_2})\).

Données :

  • \(E_2 = 24 \text{ V}\)
  • \(R_2 = 10 \, \Omega\)
  • \(\tau_2 = 5.0 \times 10^{-3} \text{ s}\)

Courant final (permanent) \(I_{final} = E_2/R_2\):

\[ I_{final} = \frac{24 \text{ V}}{10 \, \Omega} = 2.4 \text{ A} \]
\[ i_{L2}(t) = 2.4(1 - e^{-t/(5.0 \times 10^{-3})}) \text{ A} = 2.4(1 - e^{-200t}) \text{ A} \]

Le courant dans la bobine est \(i_{L2}(t) = 2.4(1 - e^{-200t}) \text{ A}\) (avec t en secondes).

Quiz Intermédiaire : Constante de Temps RL

Question : Si l'inductance \(L_2\) dans le circuit RL est diminuée, la constante de temps \(\tau_2\) :

8. Courant \(i_{L2}\) à \(t = \tau_2\)

On remplace \(t\) par \(\tau_2\) dans l'expression de \(i_{L2}(t)\).

Données :

  • \(I_{final} = 2.4 \text{ A}\)
\[ \begin{aligned} i_{L2}(\tau_2) &= I_{final}(1 - e^{-\tau_2/\tau_2}) \\ &= 2.4(1 - e^{-1}) \text{ A} \\ &\approx 2.4(1 - 0.36788) \text{ A} \\ &\approx 2.4 \times 0.63212 \text{ A} \\ &\approx 1.517 \text{ A} \end{aligned} \]

Pourcentage du courant final :

\[ \begin{aligned} \%I_{final} &= \frac{i_{L2}(\tau_2)}{I_{final}} \times 100\% \\ &\approx \frac{1.517 \text{ A}}{2.4 \text{ A}} \times 100\% \\ &\approx 0.6321 \times 100\% \\ &\approx 63.21\% \end{aligned} \]

À \(t = \tau_2\), \(i_{L2}(\tau_2) \approx 1.52 \text{ A}\), ce qui représente environ 63.2% du courant final.

9. Tension \(v_{L2}(t)\) aux Bornes de la Bobine

La tension aux bornes de la bobine lors de l'établissement du courant est \(v_{L2}(t) = L_2 \frac{di_{L2}(t)}{dt}\). On sait aussi que \(v_{L2}(t) = E_2 e^{-t/\tau_2}\).

Données :

  • \(E_2 = 24 \text{ V}\)
  • \(\tau_2 = 5.0 \times 10^{-3} \text{ s}\)

Expression de la tension :

\[ v_{L2}(t) = 24 e^{-t/(5.0 \times 10^{-3})} \text{ V} = 24 e^{-200t} \text{ V} \]

Valeur à \(t=0\) :

\[ v_{L2}(0) = 24 e^{0} \text{ V} = 24 \text{ V} \]

Valeur à \(t=\tau_2=0.005\text{s}\) :

\[ \begin{aligned} v_{L2}(\tau_2) &= 24 e^{-1} \text{ V} \\ &\approx 24 \times 0.36788 \text{ V} \\ &\approx 8.829 \text{ V} \end{aligned} \]
  • Expression de la tension : \(v_{L2}(t) = 24 e^{-200t} \text{ V}\) (avec t en secondes)
  • \(v_{L2}(0) = 24 \text{ V}\)
  • \(v_{L2}(\tau_2) \approx 8.83 \text{ V}\) (environ 36.8% de \(E_2\))

Quiz : Testez vos connaissances !

Question 1 : La constante de temps \(\tau\) d'un circuit RC série est donnée par :

Question 2 : Dans un circuit RL série, après un temps \(t = \tau\) (constante de temps) lors de l'établissement du courant, le courant atteint environ :

Question 3 : L'unité de la constante de temps \(\tau\) est :

Question 4 : Dans un circuit RC, si la capacité C augmente, la constante de temps \(\tau\) :

Glossaire des Termes Clés

Constante de Temps (\(\tau\)) :

Caractéristique d'un circuit RC ou RL qui détermine la rapidité avec laquelle le circuit répond à un changement soudain de tension ou de courant. Elle représente le temps nécessaire pour que la tension ou le courant atteigne environ 63.2% de sa variation totale vers sa valeur finale.

Circuit RC :

Circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C).

Circuit RL :

Circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'une bobine (inductance L).

Régime Transitoire :

Période pendant laquelle les courants et les tensions dans un circuit varient avec le temps après une perturbation (ex: fermeture d'un interrupteur), avant d'atteindre un état stable (régime permanent).

Charge d'un Condensateur :

Processus par lequel un condensateur accumule de la charge électrique, entraînant une augmentation de la tension à ses bornes.

Établissement du Courant (dans une Bobine) :

Processus par lequel le courant augmente progressivement dans une bobine lorsqu'une tension lui est appliquée, en raison de l'opposition de la bobine aux variations de courant.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment la constante de temps affecte-t-elle la forme des signaux dans les circuits de filtrage RC ou RL ?

2. Que se passe-t-il si un condensateur initialement chargé est déchargé à travers une résistance ? Quelle est l'expression de la tension et du courant ?

3. Que se passe-t-il si le courant dans une bobine est brusquement interrompu sans chemin de décharge approprié (par exemple, ouverture d'un interrupteur dans un circuit RL) ?

4. Comment la constante de temps est-elle utilisée dans la conception des circuits de temporisation ?

5. Dans un circuit RLC série, comment définirait-on une "constante de temps" ou un paramètre équivalent pour caractériser le régime transitoire, qui peut être oscillatoire ?

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