Calcul du potentiel électrique au centre d’un carré

Principe :

Le centre P du carré est à l'origine \((0,0)\). Les sommets sont A\((-a/2, +a/2)\), B\((+a/2, +a/2)\), C\((+a/2, -a/2)\), D\((-a/2, -a/2)\) si le côté est \(a\). La distance de chaque sommet au centre est la même. C'est la moitié de la longueur de la diagonale du carré. La diagonale d'un carré de côté \(a\) est \(a\sqrt{2}\).

Données spécifiques :

• Côté du carré \(a = 10,0 \, \text{cm} = 0,10 \, \text{m}\)
• Coordonnées de P : \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\)
• Coordonnées de A : \((-0,05 \, \text{m}; +0,05 \, \text{m})\)

Calcul :

La distance \(d\) d'un sommet (par exemple A) au centre P est :

Alternativement, la demi-diagonale est \(d = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{0,10 \, \text{m} \times \sqrt{2}}{2} = 0,05\sqrt{2} \, \text{m}\).

Principe :

Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_e \frac{q}{r}\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q_1 = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
• \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
• \(d = 0,05\sqrt{2} \, \text{m}\)

Calcul :

Principe :

Même principe que pour \(V_1\), la distance est la même (\(d\)).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q_2 = -3,0 \, \text{nC} = -3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
• \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
• \(d = 0,05\sqrt{2} \, \text{m}\)

Calcul :

Principe :

Même principe, distance \(d\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q_3 = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)

Calcul :

Puisque \(q_3 = q_1\) et la distance est la même, \(V_3 = V_1\).

Principe :

Même principe, distance \(d\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q_4 = -3,0 \, \text{nC} = -3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)

Calcul :

Puisque \(q_4 = q_2\) et la distance est la même, \(V_4 = V_2\).

Principe :

Le principe de superposition stipule que le potentiel électrique total en un point dû à un ensemble de charges est la somme algébrique (scalaire) des potentiels créés par chaque charge individuelle en ce point.

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(V_1 \approx 254,56 \, \text{V}\)
• \(V_2 \approx -381,84 \, \text{V}\)
• \(V_3 \approx 254,56 \, \text{V}\)
• \(V_4 \approx -381,84 \, \text{V}\)

Calcul :

En utilisant les valeurs approchées :

Principe :

Le travail \(W_{\text{ext}}\) qu'un opérateur extérieur doit fournir pour amener une charge \(q_0\) de l'infini (où \(V_\infty = 0\)) à un point P (où le potentiel est \(V_P\)) sans variation d'énergie cinétique est égal à la variation de l'énergie potentielle électrique de la charge \(q_0\), soit \(W_{\text{ext}} = q_0 (V_P - V_\infty) = q_0 V_P\).

Formule(s) utilisée(s) :

Données spécifiques :

• \(q_0 = +1,0 \, \text{nC} = +1,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
• \(V_P \approx -254,56 \, \text{V}\)

Calcul :

Le signe négatif indique que l'opérateur extérieur effectue un travail négatif (ou que le champ électrique effectue un travail positif) car la charge positive \(q_0\) est amenée vers une région de potentiel négatif.