Exercices Électricité

Calcul du potentiel électrique au centre d’un carré

Calcul du Potentiel Électrique au Centre d’un Carré

Calcul du Potentiel Électrique au Centre d’un Carré

Comprendre le Potentiel Électrique pour un Ensemble de Charges

Le potentiel électrique \(V\) en un point de l'espace, créé par un ensemble de charges ponctuelles, est la somme algébrique (scalaire) des potentiels créés par chaque charge individuelle en ce point. Ce principe de superposition rend le calcul du potentiel souvent plus simple que celui du champ électrique (qui est vectoriel). Le potentiel créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_e q/r\). Cet exercice vise à appliquer ces concepts pour déterminer le potentiel au centre d'un carré aux sommets duquel sont placées des charges.

Données de l'étude

On considère un carré de côté \(a = 10,0 \, \text{cm}\). Quatre charges ponctuelles sont placées à ses sommets :

  • \(q_1 = +2,0 \, \text{nC}\) au sommet A \((-5,0 \, \text{cm}; +5,0 \, \text{cm})\)
  • \(q_2 = -3,0 \, \text{nC}\) au sommet B \((+5,0 \, \text{cm}; +5,0 \, \text{cm})\)
  • \(q_3 = +2,0 \, \text{nC}\) au sommet C \((+5,0 \, \text{cm}; -5,0 \, \text{cm})\)
  • \(q_4 = -3,0 \, \text{nC}\) au sommet D \((-5,0 \, \text{cm}; -5,0 \, \text{cm})\)

On souhaite calculer le potentiel électrique total au centre P du carré, qui coïncide avec l'origine du repère \((0 \, \text{cm}; 0 \, \text{cm})\).

Constante :

  • Constante de Coulomb : \(k_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • Référence du potentiel : Le potentiel est nul à l'infini.
Schéma : Charges aux Sommets d'un Carré
{/* Carré */} {/* Diagonales */} {/* Centre P */} P(0,0) {/* Charges (coordonnées SVG approximatives pour un carré centré) */} {/* q1 (-5,+5) -> (50,50) */} q₁ A {/* q2 (+5,+5) -> (150,50) */} q₂ B {/* q3 (+5,-5) -> (150,150) */} q₃ C {/* q4 (-5,-5) -> (50,150) */} q₄ D Charges aux sommets d'un carré

Configuration des charges \(q_1, q_2, q_3, q_4\) aux sommets A, B, C, D d'un carré centré en P.

Questions à traiter

  1. Déterminer la distance \(d\) entre chaque sommet du carré et son centre P.
  2. Calculer le potentiel électrique \(V_1\) créé par la charge \(q_1\) au centre P.
  3. Calculer le potentiel électrique \(V_2\) créé par la charge \(q_2\) au centre P.
  4. Calculer le potentiel électrique \(V_3\) créé par la charge \(q_3\) au centre P.
  5. Calculer le potentiel électrique \(V_4\) créé par la charge \(q_4\) au centre P.
  6. En utilisant le principe de superposition, déterminer le potentiel électrique total \(V_P\) au centre du carré.
  7. Quel travail \(W_{\text{ext}}\) un opérateur extérieur devrait-il fournir pour amener une charge test \(q_0 = +1,0 \, \text{nC}\) de l'infini (où le potentiel est nul) jusqu'au centre P du carré ?

Correction : Calcul du Potentiel Électrique au Centre d’un Carré

Question 1 : Distance \(d\) entre chaque sommet et le centre P

Principe :

Le centre P du carré est à l'origine \((0,0)\). Les sommets sont A\((-a/2, +a/2)\), B\((+a/2, +a/2)\), C\((+a/2, -a/2)\), D\((-a/2, -a/2)\) si le côté est \(a\). La distance de chaque sommet au centre est la même. C'est la moitié de la longueur de la diagonale du carré. La diagonale d'un carré de côté \(a\) est \(a\sqrt{2}\).

Données spécifiques :
  • Côté du carré \(a = 10,0 \, \text{cm} = 0,10 \, \text{m}\)
  • Coordonnées de P : \((0 \, \text{m}; 0 \, \text{m})\)
  • Coordonnées de A : \((-0,05 \, \text{m}; +0,05 \, \text{m})\)
Calcul :

La distance \(d\) d'un sommet (par exemple A) au centre P est :

\[ \begin{aligned} d &= \sqrt{(x_A - x_P)^2 + (y_A - y_P)^2} \\ &= \sqrt{(-0,05 \, \text{m} - 0)^2 + (0,05 \, \text{m} - 0)^2} \\ &= \sqrt{(-0,05)^2 + (0,05)^2} \, \text{m} \\ &= \sqrt{0,0025 + 0,0025} \, \text{m} \\ &= \sqrt{0,0050} \, \text{m} \\ &= \sqrt{50 \times 10^{-4}} \, \text{m} = \sqrt{25 \times 2 \times 10^{-4}} \, \text{m} \\ &= 5\sqrt{2} \times 10^{-2} \, \text{m} \\ &\approx 0,07071 \, \text{m} \end{aligned} \]

Alternativement, la demi-diagonale est \(d = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{0,10 \, \text{m} \times \sqrt{2}}{2} = 0,05\sqrt{2} \, \text{m}\).

Résultat Question 1 : La distance \(d\) de chaque sommet au centre P est \(d = 0,05\sqrt{2} \, \text{m} \approx 0,07071 \, \text{m}\).

Question 2 : Potentiel électrique \(V_1\) créé par \(q_1\) au centre P

Principe :

Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_e \frac{q}{r}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_1 = k_e \frac{q_1}{d}\]
Données spécifiques :
  • \(q_1 = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(d = 0,05\sqrt{2} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_1 &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,05\sqrt{2} \, \text{m}} \\ &= \frac{18}{0,05\sqrt{2}} \, \text{V} \\ &= \frac{360}{\sqrt{2}} \, \text{V} \\ &= \frac{360\sqrt{2}}{2} \, \text{V} \\ &= 180\sqrt{2} \, \text{V} \\ &\approx 254,56 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : \(V_1 = 180\sqrt{2} \, \text{V} \approx 254,56 \, \text{V}\).

Question 3 : Potentiel électrique \(V_2\) créé par \(q_2\) au centre P

Principe :

Même principe que pour \(V_1\), la distance est la même (\(d\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_2 = k_e \frac{q_2}{d}\]
Données spécifiques :
  • \(q_2 = -3,0 \, \text{nC} = -3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(k_e = 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\)
  • \(d = 0,05\sqrt{2} \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_2 &= (9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2) \frac{-3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}}{0,05\sqrt{2} \, \text{m}} \\ &= \frac{-27}{0,05\sqrt{2}} \, \text{V} \\ &= \frac{-540}{\sqrt{2}} \, \text{V} \\ &= \frac{-540\sqrt{2}}{2} \, \text{V} \\ &= -270\sqrt{2} \, \text{V} \\ &\approx -381,84 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : \(V_2 = -270\sqrt{2} \, \text{V} \approx -381,84 \, \text{V}\).

Question 4 : Potentiel électrique \(V_3\) créé par \(q_3\) au centre P

Principe :

Même principe, distance \(d\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_3 = k_e \frac{q_3}{d}\]
Données spécifiques :
  • \(q_3 = +2,0 \, \text{nC} = +2,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
Calcul :

Puisque \(q_3 = q_1\) et la distance est la même, \(V_3 = V_1\).

\[ V_3 = 180\sqrt{2} \, \text{V} \] \[ V_3 \approx 254,56 \, \text{V} \]
Résultat Question 4 : \(V_3 = 180\sqrt{2} \, \text{V} \approx 254,56 \, \text{V}\).

Question 5 : Potentiel électrique \(V_4\) créé par \(q_4\) au centre P

Principe :

Même principe, distance \(d\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_4 = k_e \frac{q_4}{d}\]
Données spécifiques :
  • \(q_4 = -3,0 \, \text{nC} = -3,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
Calcul :

Puisque \(q_4 = q_2\) et la distance est la même, \(V_4 = V_2\).

\[ V_4 = -270\sqrt{2} \, \text{V} \] \[ V_4 \approx -381,84 \, \text{V} \]
Résultat Question 5 : \(V_4 = -270\sqrt{2} \, \text{V} \approx -381,84 \, \text{V}\).

Quiz Intermédiaire : Le potentiel électrique créé par une charge ponctuelle négative en un point P (potentiel nul à l'infini) est :

Question 6 : Potentiel électrique total \(V_P\) au centre du carré

Principe :

Le principe de superposition stipule que le potentiel électrique total en un point dû à un ensemble de charges est la somme algébrique (scalaire) des potentiels créés par chaque charge individuelle en ce point.

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_P = V_1 + V_2 + V_3 + V_4\]
Données spécifiques :
  • \(V_1 \approx 254,56 \, \text{V}\)
  • \(V_2 \approx -381,84 \, \text{V}\)
  • \(V_3 \approx 254,56 \, \text{V}\)
  • \(V_4 \approx -381,84 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_P &= (180\sqrt{2}) + (-270\sqrt{2}) + (180\sqrt{2}) + (-270\sqrt{2}) \, \text{V} \\ &= (180 - 270 + 180 - 270)\sqrt{2} \, \text{V} \\ &= (360 - 540)\sqrt{2} \, \text{V} \\ &= -180\sqrt{2} \, \text{V} \\ &\approx -254,56 \, \text{V} \end{aligned} \]

En utilisant les valeurs approchées :

\[ \begin{aligned} V_P &\approx 254,56 - 381,84 + 254,56 - 381,84 \, \text{V} \\ &\approx 509,12 - 763,68 \, \text{V} \\ &\approx -254,56 \, \text{V} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : \(V_P = -180\sqrt{2} \, \text{V} \approx -254,56 \, \text{V}\).

Question 7 : Travail \(W_{\text{ext}}\) pour amener \(q_0\) de l'infini à P

Principe :

Le travail \(W_{\text{ext}}\) qu'un opérateur extérieur doit fournir pour amener une charge \(q_0\) de l'infini (où \(V_\infty = 0\)) à un point P (où le potentiel est \(V_P\)) sans variation d'énergie cinétique est égal à la variation de l'énergie potentielle électrique de la charge \(q_0\), soit \(W_{\text{ext}} = q_0 (V_P - V_\infty) = q_0 V_P\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ W_{\text{ext}} = q_0 V_P \]
Données spécifiques :
  • \(q_0 = +1,0 \, \text{nC} = +1,0 \times 10^{-9} \, \text{C}\)
  • \(V_P \approx -254,56 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{\text{ext}} &= (1,0 \times 10^{-9} \, \text{C}) \times (-254,56 \, \text{V}) \\ &= -254,56 \times 10^{-9} \, \text{J} \\ &\approx -254,6 \, \text{nJ} \end{aligned} \]

Le signe négatif indique que l'opérateur extérieur effectue un travail négatif (ou que le champ électrique effectue un travail positif) car la charge positive \(q_0\) est amenée vers une région de potentiel négatif.

Résultat Question 7 : Le travail fourni par un opérateur extérieur est \(W_{\text{ext}} \approx -254,6 \, \text{nJ}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le potentiel électrique au centre d'un carré dû à quatre charges identiques placées aux sommets est :

2. Si toutes les charges aux sommets d'un carré sont doublées, le potentiel au centre :

3. Le travail nécessaire pour amener une charge test de l'infini à un point P est :

Glossaire

Potentiel Électrique (\(V\))
Grandeur scalaire représentant l'énergie potentielle électrique par unité de charge en un point de l'espace. Unité : Volt (V).
Charge Ponctuelle
Charge électrique dont les dimensions spatiales sont suffisamment petites pour être considérées comme un point.
Loi de Coulomb (pour le potentiel)
Le potentiel électrique \(V\) créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est \(V = k_e q/r\).
Principe de Superposition (pour le potentiel)
Pour un système de plusieurs charges, le potentiel électrique total en un point est la somme algébrique (scalaire) des potentiels créés individuellement par chaque charge en ce point.
Constante de Coulomb (\(k_e\))
Constante de proportionnalité, \(k_e \approx 9,0 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\).
Travail Électrique (\(W\))
Travail effectué par (ou contre) le champ électrique lors du déplacement d'une charge. Le travail effectué par un agent extérieur pour déplacer une charge \(q'\) d'un point A à un point B est \(W_{\text{ext}} = q'(V_B - V_A)\).
Volt (V)
Unité SI du potentiel électrique. \(1 \, \text{V} = 1 \, \text{J/C}\).
Potentiel Électrique au Centre d’un Carré

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