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Analyse Dynamique d’un Circuit R-C

Analyse Dynamique d’un Circuit R-C

Analyse Dynamique d’un Circuit R-C

Comprendre l'Analyse Dynamique des Circuits RC

Les circuits RC, composés d'une résistance (R) et d'un condensateur (C), sont fondamentaux en électronique. Leur comportement dynamique, c'est-à-dire leur réponse à des variations de tension ou de courant au cours du temps, est crucial dans de nombreuses applications telles que les filtres, les circuits de temporisation, et les alimentations.

Lorsqu'une source de tension continue est appliquée à un circuit RC série initialement déchargé, le condensateur ne se charge pas instantanément. La tension à ses bornes et le courant dans le circuit évoluent de manière exponentielle vers leurs valeurs de régime permanent. Cette phase est appelée régime transitoire. La rapidité de cette évolution est caractérisée par la constante de temps du circuit, \(\tau = RC\). Après environ \(5\tau\), le condensateur est considéré comme pratiquement chargé (ou déchargé).

Cet exercice se concentre sur l'analyse de la charge d'un condensateur dans un circuit RC série, incluant le calcul de la constante de temps, des expressions de la tension aux bornes du condensateur et du courant, ainsi que de l'énergie stockée.

Données de l'étude

On considère un circuit RC série alimenté par une source de tension continue \(V_S\) via un interrupteur K. Initialement, à \(t < 0\), l'interrupteur K est ouvert et le condensateur C est complètement déchargé (\(v_C(0^-) = 0 \, \text{V}\)). À l'instant \(t=0\), l'interrupteur K est fermé.

Caractéristiques du circuit :

  • Source de tension continue (\(V_S\)) : \(12 \, \text{V}\)
  • Résistance (\(R\)) : \(10 \, \text{kΩ}\)
  • Capacité (\(C\)) : \(100 \, \mu\text{F}\) (microFarads)
Schéma du Circuit RC Série (Charge)
VS +- K (t=0) R C Masse (0V) vC(t) +- i(t)

Circuit RC série. L'interrupteur K se ferme à t=0.

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
  2. Écrire l'expression de la tension aux bornes du condensateur \(v_C(t)\) pour \(t \ge 0\).
  3. Calculer la valeur de \(v_C(t)\) aux instants \(t = \tau\), \(t = 2\tau\), et \(t = 5\tau\).
  4. Écrire l'expression du courant \(i(t)\) circulant dans le circuit pour \(t \ge 0\).
  5. Calculer la valeur du courant \(i(t)\) à l'instant initial (\(t = 0^+\)) et à \(t = \tau\).
  6. Calculer l'énergie maximale \(W_C\) stockée dans le condensateur lorsque celui-ci est complètement chargé.
  7. Si, une fois le condensateur complètement chargé, l'interrupteur K est ouvert et le condensateur est déchargé à travers une résistance de \(5 \, \text{kΩ}\), quelle serait la nouvelle constante de temps de décharge \(\tau_d\) ?

Correction : Analyse Dynamique d’un Circuit R-C

Question 1 : Constante de temps \(\tau\) du circuit

Principe :

La constante de temps \(\tau\) d'un circuit RC série est le produit de la résistance \(R\) et de la capacité \(C\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau = R \cdot C\]
Données spécifiques :
  • Résistance (\(R\)) : \(10 \, \text{kΩ} = 10 \times 10^3 \, \text{Ω}\)
  • Capacité (\(C\)) : \(100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F} = 10^{-4} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau &= (10 \times 10^3 \, \text{Ω}) \cdot (10^{-4} \, \text{F}) \\ &= 10 \times 10^{3-4} \, \text{s} \\ &= 10 \times 10^{-1} \, \text{s} \\ &= 1.0 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La constante de temps du circuit est \(\tau = 1.0 \, \text{s}\).

Question 2 : Expression de la tension \(v_C(t)\) pour \(t \ge 0\)

Principe :

Lors de la charge d'un condensateur initialement déchargé dans un circuit RC série alimenté par une source de tension continue \(V_S\), la tension aux bornes du condensateur \(v_C(t)\) est donnée par : \(v_C(t) = V_S (1 - e^{-t/\tau})\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[v_C(t) = V_S (1 - e^{-t/\tau})\]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 12 \, \text{V}\)
  • \(\tau = 1.0 \, \text{s}\) (de Q1)
Expression :
\[v_C(t) = 12 (1 - e^{-t/1.0}) \, \text{V} = 12 (1 - e^{-t}) \, \text{V}\]

(pour \(t\) en secondes)

Résultat Question 2 : L'expression de la tension aux bornes du condensateur est \(v_C(t) = 12 (1 - e^{-t}) \, \text{V}\) pour \(t \ge 0\).

Quiz Intermédiaire 1 : À \(t=0\) (juste après la fermeture de l'interrupteur), la tension aux bornes d'un condensateur initialement déchargé dans un circuit RC série est :

Question 3 : Valeur de \(v_C(t)\) à \(t = \tau, 2\tau, 5\tau\)

Principe :

Remplacer \(t\) par les valeurs spécifiées dans l'expression de \(v_C(t)\).

Calculs :

À \(t = \tau = 1.0 \, \text{s}\) :

\[ \begin{aligned} v_C(\tau) &= 12 (1 - e^{-1}) \, \text{V} \\ &\approx 12 (1 - 0.36788) \, \text{V} \\ &= 12 \cdot 0.63212 \, \text{V} \\ &\approx 7.585 \, \text{V} \quad (\text{environ } 63.2\% \text{ de } V_S) \end{aligned} \]

À \(t = 2\tau = 2.0 \, \text{s}\) :

\[ \begin{aligned} v_C(2\tau) &= 12 (1 - e^{-2}) \, \text{V} \\ &\approx 12 (1 - 0.13534) \, \text{V} \\ &= 12 \cdot 0.86466 \, \text{V} \\ &\approx 10.376 \, \text{V} \quad (\text{environ } 86.5\% \text{ de } V_S) \end{aligned} \]

À \(t = 5\tau = 5.0 \, \text{s}\) :

\[ \begin{aligned} v_C(5\tau) &= 12 (1 - e^{-5}) \, \text{V} \\ &\approx 12 (1 - 0.006738) \, \text{V} \\ &= 12 \cdot 0.993262 \, \text{V} \\ &\approx 11.919 \, \text{V} \quad (\text{environ } 99.3\% \text{ de } V_S) \end{aligned} \]
Résultat Question 3 :
  • \(v_C(\tau) \approx 7.59 \, \text{V}\)
  • \(v_C(2\tau) \approx 10.38 \, \text{V}\)
  • \(v_C(5\tau) \approx 11.92 \, \text{V}\)

Question 4 : Expression du courant \(i(t)\) pour \(t \ge 0\)

Principe :

Le courant dans un condensateur est \(i(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt}\). Alternativement, dans un circuit RC série, \(V_S = R i(t) + v_C(t)\), donc \(i(t) = \frac{V_S - v_C(t)}{R}\).

Utilisons \(i(t) = C \frac{dv_C(t)}{dt}\) avec \(v_C(t) = V_S (1 - e^{-t/\tau})\).

Calcul de la dérivée :
\[ \begin{aligned} \frac{dv_C(t)}{dt} &= \frac{d}{dt} [V_S (1 - e^{-t/\tau})] \\ &= V_S \frac{d}{dt} (1 - e^{-t/\tau}) \\ &= V_S \left(0 - (-\frac{1}{\tau}) e^{-t/\tau}\right) \\ &= \frac{V_S}{\tau} e^{-t/\tau} \end{aligned} \]

Calcul de \(i(t)\) :

\[ \begin{aligned} i(t) &= C \cdot \frac{V_S}{\tau} e^{-t/\tau} \\ \text{Comme } \tau &= RC, \text{ alors } C/\tau = C/(RC) = 1/R. \\ i(t) &= \frac{V_S}{R} e^{-t/\tau} \end{aligned} \]
Données spécifiques :
  • \(V_S = 12 \, \text{V}\)
  • \(R = 10 \times 10^3 \, \text{Ω}\)
  • \(\tau = 1.0 \, \text{s}\)
Expression :
\[ \begin{aligned} i(t) &= \frac{12 \, \text{V}}{10 \times 10^3 \, \text{Ω}} e^{-t/1.0} \\ &= 0.0012 \, e^{-t} \, \text{A} \\ &= 1.2 \, e^{-t} \, \text{mA} \end{aligned} \]

(pour \(t\) en secondes)

Résultat Question 4 : L'expression du courant est \(i(t) = 1.2 \, e^{-t} \, \text{mA}\) pour \(t \ge 0\).

Quiz Intermédiaire 2 : Lorsque le condensateur est complètement chargé en régime permanent DC, le courant dans le circuit RC série est :

Question 5 : Valeur du courant \(i(t)\) à \(t = 0^+\) et \(t = \tau\)

Principe :

Remplacer \(t\) par les valeurs spécifiées dans l'expression de \(i(t)\).

Calculs :

À \(t = 0^+\) (juste après la fermeture de l'interrupteur) :

\[ \begin{aligned} i(0^+) &= 1.2 \, e^{-0} \, \text{mA} \\ &= 1.2 \cdot 1 \, \text{mA} \\ &= 1.2 \, \text{mA} \end{aligned} \]

Cela correspond à \(V_S/R\), car à \(t=0^+\), le condensateur initialement déchargé se comporte comme un court-circuit.

À \(t = \tau = 1.0 \, \text{s}\) :

\[ \begin{aligned} i(\tau) &= 1.2 \, e^{-1} \, \text{mA} \\ &\approx 1.2 \cdot 0.36788 \, \text{mA} \\ &\approx 0.441456 \, \text{mA} \end{aligned} \]

Soit environ \(36.8\%\) du courant initial.

Résultat Question 5 :
  • \(i(0^+) = 1.2 \, \text{mA}\)
  • \(i(\tau) \approx 0.441 \, \text{mA}\)

Question 6 : Énergie maximale \(W_C\) stockée

Principe :

L'énergie stockée dans un condensateur est \(W_C = \frac{1}{2} C V_C^2\). L'énergie maximale est atteinte lorsque le condensateur est complètement chargé, c'est-à-dire lorsque \(V_C = V_S\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[W_{C,\text{max}} = \frac{1}{2} C V_S^2\]
Données spécifiques :
  • Capacité (\(C\)) : \(10^{-4} \, \text{F}\)
  • Tension de la source (\(V_S\)) : \(12 \, \text{V}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} W_{C,\text{max}} &= \frac{1}{2} \cdot (10^{-4} \, \text{F}) \cdot (12 \, \text{V})^2 \\ &= 0.5 \cdot 10^{-4} \cdot 144 \, \text{J} \\ &= 72 \times 10^{-4} \, \text{J} \\ &= 0.0072 \, \text{J} \end{aligned} \]

Soit \(W_{C,\text{max}} = 7.2 \, \text{mJ}\).

Résultat Question 6 : L'énergie maximale stockée dans le condensateur est \(W_{C,\text{max}} = 7.2 \times 10^{-3} \, \text{J}\) (ou \(7.2 \, \text{mJ}\)).

Quiz Intermédiaire 3 : L'unité de l'énergie dans le Système International est le :

Question 7 : Nouvelle constante de temps de décharge \(\tau_d\)

Principe :

Si le condensateur, initialement chargé à \(V_S\), est déchargé à travers une nouvelle résistance \(R_d = 5 \, \text{kΩ}\) (après ouverture de K et connexion à \(R_d\)), la nouvelle constante de temps de décharge \(\tau_d\) sera \(R_d C\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\tau_d = R_d \cdot C\]
Données spécifiques :
  • Résistance de décharge (\(R_d\)) : \(5 \, \text{kΩ} = 5 \times 10^3 \, \text{Ω}\)
  • Capacité (\(C\)) : \(100 \, \mu\text{F} = 10^{-4} \, \text{F}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \tau_d &= (5 \times 10^3 \, \text{Ω}) \cdot (10^{-4} \, \text{F}) \\ &= 5 \times 10^{3-4} \, \text{s} \\ &= 5 \times 10^{-1} \, \text{s} \\ &= 0.5 \, \text{s} \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : La nouvelle constante de temps de décharge serait \(\tau_d = 0.5 \, \text{s}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La constante de temps \(\tau\) d'un circuit RC série représente :

2. Pendant la charge d'un condensateur dans un circuit RC série, le courant dans le circuit :

3. L'énergie stockée dans un condensateur est proportionnelle :

Glossaire

Circuit RC
Circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C).
Condensateur
Composant passif à deux bornes capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique entre ses armatures.
Capacité (\(C\))
Mesure de l'aptitude d'un condensateur à stocker une charge électrique pour une différence de potentiel donnée. Unité : Farad (F).
Constante de Temps (\(\tau\))
Dans un circuit RC, \(\tau = RC\). Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge du condensateur. Après une constante de temps, le condensateur atteint environ 63.2% de sa charge/décharge finale.
Régime Transitoire
Phase pendant laquelle les courants et les tensions dans un circuit évoluent d'un état initial vers un état final (régime permanent) après une perturbation (ex: fermeture d'un interrupteur).
Régime Permanent (ou Établi)
État d'un circuit où les courants et les tensions ont atteint des valeurs stables (ou périodiques stables) après la fin du régime transitoire.
Charge d'un Condensateur
Processus par lequel un condensateur accumule de la charge électrique sur ses armatures, créant une différence de potentiel entre elles.
Décharge d'un Condensateur
Processus par lequel un condensateur perd sa charge accumulée, généralement à travers une résistance.
Énergie Électrostatique (\(W_e\))
Énergie stockée dans le champ électrique d'un condensateur. \(W_e = \frac{1}{2} C V^2\). Unité : Joule (J).
Analyse Dynamique d’un Circuit R-C

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