Étude d'un Redresseur Mono-alternance

Contexte : Le redressementProcessus de conversion d'une tension alternative (AC) en une tension continue (DC). C'est une étape essentielle dans la plupart des alimentations électroniques. est une fonction clé en électronique de puissance.

Cet exercice porte sur le montage le plus simple permettant de réaliser cette conversion : le redresseur mono-alternance. Nous analyserons le comportement d'un circuit composé d'une source de tension alternative, d'une diode et d'une charge résistive. L'objectif est de comprendre comment la diode ne laisse passer que les alternances positives du signal d'entrée, et de calculer les grandeurs électriques fondamentales (tensions, courants) qui caractérisent ce circuit.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à analyser un circuit à diode en régime sinusoïdal. Vous appliquerez le modèle de la diode idéale et calculerez des valeurs moyennes et efficaces, compétences indispensables pour l'étude de systèmes électroniques plus complexes.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le principe du redressement mono-alternance.
Analyser le fonctionnement d'une diode dans un circuit AC.
Calculer la valeur moyenne et la valeur efficace d'un signal redressé.
Déterminer le courant et la puissance dans la charge.

Données de l'étude

On considère le circuit redresseur mono-alternance ci-dessous, alimenté par une source de tension sinusoïdale \(v_{\text{e}}(t)\). La diode D est supposée idéale et la charge est une simple résistance R.

Schéma du circuit redresseur

Paramètre	Symbole	Valeur
Tension d'entrée	\(v_{\text{e}}(t) = V_{\text{emax}} \sin(\omega t)\)	\(V_{\text{emax}} = 24\sqrt{2} \text{ V}\)
Fréquence	\(f\)	50 Hz
Résistance de charge	\(R\)	100 \(\Omega\)

Questions à traiter

Dessiner l'allure de la tension de sortie \(v_{\text{s}}(t)\) en fonction du temps.
Calculer la valeur maximale de la tension de sortie \(V_{\text{smax}}\).
Calculer la valeur moyenne de la tension de sortie \(\langle v_{\text{s}}(t) \rangle\).
Calculer la valeur efficace de la tension de sortie \(V_{\text{s,eff}}\).
Déterminer la valeur du courant moyen \(\langle i_{\text{s}}(t) \rangle\) et de la puissance moyenne \(P_{\text{moy}}\) dissipée dans la résistance R.

Les bases sur le Redressement

Le redressement est un processus fondamental en électronique qui consiste à convertir un signal alternatif (AC), qui change de polarité périodiquement, en un signal continu (DC), qui a une polarité constante.

1. La Diode Idéale
Pour simplifier l'analyse, on modélise souvent la diode comme un interrupteur parfait.

État passant : Si la tension à ses bornes est positive (\(v_{\text{D}} > 0\)), la diode se comporte comme un interrupteur fermé (un fil). Le courant peut la traverser.
État bloqué : Si la tension à ses bornes est négative (\(v_{\text{D}} < 0\)), la diode se comporte comme un interrupteur ouvert. Aucun courant ne peut la traverser.

2. Valeurs Caractéristiques d'un Signal

Valeur moyenne : C'est la composante continue du signal. Pour un signal périodique \(s(t)\) de période T, elle est donnée par : \[ \langle s(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} s(t) \,dt \]
Valeur efficace (RMS) : Elle représente l'amplitude d'un signal continu qui dissiperait la même puissance dans une résistance. \[ S_{\text{eff}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} s(t)^2 \,dt} \]

Correction : Étude d’un Redresseur Mono-alternance

Question 1 : Allure de la tension de sortie \(v_{\text{s}}(t)\)

Principe (le concept physique)

La diode agit comme une porte à sens unique pour le courant. Elle ne s'ouvre (devient passante) que lorsque la tension de la source est positive, permettant ainsi au courant de circuler vers la charge. Lorsque la tension de la source devient négative, la porte se ferme (la diode se bloque), empêchant le courant de passer.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le fonctionnement du redresseur mono-alternance repose sur la caractéristique unidirectionnelle de la diode. On analyse le circuit sur deux intervalles distincts correspondant à chaque alternance de la tension d'entrée sinusoïdale de période T.

Pour \(0 < t < T/2\) (Alternance positive) : La tension \(v_{\text{e}}(t)\) est positive. La diode est polarisée en direct et se comporte comme un court-circuit (modèle idéal). Le circuit est fermé, et la tension de sortie \(v_{\text{s}}(t)\) aux bornes de la résistance est égale à la tension d'entrée \(v_{\text{e}}(t)\).
Pour \(T/2 < t < T\) (Alternance négative) : La tension \(v_{\text{e}}(t)\) est négative. La diode est polarisée en inverse et se comporte comme un circuit ouvert. Aucun courant ne circule, donc par la loi d'Ohm (\(v_{\text{s}} = R \cdot i_{\text{s}}\)), la tension de sortie est nulle.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour analyser n'importe quel circuit à diode en régime variable, prenez toujours le réflexe de décomposer le problème en deux cas distincts : le cas où la diode est supposée passante, et celui où elle est supposée bloquée. Vérifiez ensuite la cohérence de vos hypothèses pour chaque cas.

Normes (la référence réglementaire)

Les symboles graphiques utilisés pour la source de tension AC, la diode et la résistance sont conformes à la norme internationale IEC 60617. Le respect de ces standards est essentiel pour que les schémas électroniques soient universellement compréhensibles.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Expression de la tension de sortie

v_{\text{s}}(t) = \begin{cases} V_{\text{emax}} \sin(\omega t) & \text{pour } 0 \le t \le T/2 \\ 0 & \text{pour } T/2 < t < T \end{cases}

Hypothèses (le cadre du calcul)

La diode est considérée comme idéale : sa tension de seuil est nulle (\(V_{\text{seuil}}=0 \text{ V}\)) et sa résistance interne est nulle en direct et infinie en inverse.
La source de tension est parfaite (pas de résistance interne).
Les fils de connexion ont une résistance nulle.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Caractéristique	Description
Signal d'entrée	Sinusoïdal, Périodique

Astuces (Pour aller plus vite)

Visualisez la diode comme un clapet anti-retour. Elle laisse passer le flux (le courant) dans un sens mais le bloque dans l'autre. Le résultat est que seule la "poussée" positive de la source atteint la charge.

Schéma (Avant les calculs)

Schéma du circuit à analyser

Calcul(s) (l'application numérique)

Cette question est qualitative. Il n'y a pas de calcul numérique à effectuer, seulement une déduction logique de la forme d'onde.

Schéma (Après les calculs)

Formes d'ondes d'entrée et de sortie

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le signal de sortie n'est plus alternatif : sa polarité est toujours positive ou nulle. Cependant, ce n'est pas encore une tension continue parfaite, car sa valeur fluctue. On parle de tension continue "pulsée" ou "ondulée". On a perdu toute l'information et l'énergie contenues dans l'alternance négative.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de mal interpréter le sens de la diode. Si la diode était inversée, ce seraient les alternances négatives qui passeraient, et les positives qui seraient bloquées. Le schéma est la clé !

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Un redresseur mono-alternance avec une diode idéale supprime purement et simplement l'une des deux alternances du signal d'entrée. La fréquence du signal de sortie est identique à celle du signal d'entrée.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les tout premiers récepteurs radio, les "postes à galène", utilisaient un cristal de galène (un minéral) comme détecteur. Ce cristal agissait comme une diode primitive, effectuant un redressement mono-alternance du signal radio capté par l'antenne pour en extraire l'information audio.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La tension de sortie \(v_{\text{s}}(t)\) est une sinusoïde redressée mono-alternance, qui ne conserve que les alternances positives de la tension d'entrée.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si la diode était retournée dans le circuit, quelle serait la valeur de \(v_{\text{s}}(t)\) lorsque \(v_{\text{e}}(t) = -10 \text{ V}\) ?

Question 2 : Valeur maximale de la tension de sortie \(V_{\text{smax}}\)

Principe (le concept physique)

Puisque la diode idéale se comporte comme un simple fil lorsque la tension d'entrée est positive, elle ne modifie en rien l'amplitude du signal. Le "sommet" de la vague de tension en sortie sera donc exactement à la même hauteur que le sommet de la vague en entrée.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour un signal sinusoïdal de la forme \(v(t) = V_{\text{max}} \sin(\omega t)\), la valeur \(V_{\text{max}}\) est appelée l'amplitude ou la valeur de crête. C'est la valeur maximale instantanée que la tension atteint au cours d'un cycle. Dans notre circuit, comme \(v_{\text{s}}(t) = v_{\text{e}}(t)\) pendant l'alternance positive, les deux signaux partagent la même amplitude.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Ne confondez jamais la valeur maximale (ou de crête) \(V_{\text{max}}\) avec la valeur efficace \(V_{\text{eff}}\). Pour une tension secteur de 230 V, par exemple, 230 V est la valeur efficace. La valeur maximale est en réalité \(230 \times \sqrt{2} \approx 325 \text{ V}\) ! C'est cette valeur maximale qui est pertinente ici.

Normes (la référence réglementaire)

La notation pour une valeur maximale (crête) est souvent \(\hat{V}\) (avec un accent circonflexe) ou \(V_{\text{max}}\) ou encore \(V_{\text{peak}}\). Dans notre énoncé, la valeur efficace de la source est de 24 V, ce qui est une notation standard pour les tensions alternatives.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Relation Efficace-Maximal

V_{\text{max}} = V_{\text{eff}} \times \sqrt{2}

Tension de sortie maximale

V_{\text{smax}} = V_{\text{emax}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse la plus importante ici est que la diode est idéale. Une diode réelle aurait une tension de seuil d'environ 0.7 V, ce qui réduirait légèrement la tension de sortie maximale (\(V_{\text{smax}} = V_{\text{emax}} - 0.7 \text{ V}\)).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur
Tension d'entrée efficace	\(V_{\text{e,eff}}\)	24 V

Astuces (Pour aller plus vite)

Dans un exercice, si on vous donne une tension AC sans préciser (ex: "une source de 24 V"), il s'agit presque toujours de la valeur efficace. Pensez à immédiatement la convertir en valeur maximale en multipliant par \(\sqrt{2}\) (\(\approx 1.414\)) si vous avez besoin des pics de tension.

Schéma (Avant les calculs)

Représentation de \(V_{\text{emax}}\) et \(V_{\text{smax}}\)

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la tension d'entrée maximale

\begin{aligned} V_{\text{emax}} &= V_{\text{e,eff}} \times \sqrt{2} \\ &= 24 \times \sqrt{2} \\ &\approx 33.94 \text{ V} \end{aligned}

Déduction de la tension de sortie maximale

\begin{aligned} V_{\text{smax}} &= V_{\text{emax}} \\ &\approx 33.94 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Identification du pic de tension sur la courbe de sortie

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Cette valeur de 33.94 V est la tension la plus élevée que la charge R devra supporter. C'est une information cruciale pour choisir des composants (comme des condensateurs dans des circuits plus évolués) qui ne seront pas endommagés par une surtension.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention à ne pas utiliser la valeur efficace (24 V) directement. Le calcul donnerait un résultat faux. La valeur maximale est une valeur instantanée, pas une moyenne quadratique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Dans un redresseur mono-alternance idéal, la tension de sortie maximale est égale à la tension d'entrée maximale. Pour une entrée sinusoïdale, \(V_{\text{smax}} = V_{\text{e,eff}} \times \sqrt{2}\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La tension que doit pouvoir supporter la diode quand elle est bloquée (Tension Inverse de Crête ou PIV) est égale à \(V_{\text{emax}}\). Si on utilise une diode avec un PIV inférieur à 34 V dans ce circuit, elle risque d'être détruite pendant l'alternance négative.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La valeur maximale de la tension de sortie est \(V_{\text{smax}} \approx 33.94\) V.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quelle serait la valeur de \(V_{\text{smax}}\) si la tension d'entrée efficace était de 12 V ?

Question 3 : Valeur moyenne de la tension de sortie \(\langle v_{\text{s}}(t) \rangle\)

Principe (le concept physique)

La valeur moyenne représente la "hauteur" continue équivalente de notre signal pulsé. Si on imaginait notre signal comme une colline, la valeur moyenne serait le niveau d'eau si on aplatissait cette colline pour remplir uniformément la vallée sur toute la période. C'est la composante purement continue (DC) du signal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La valeur moyenne d'une fonction périodique \(f(t)\) sur une période \(T\) est définie par l'aire sous la courbe de la fonction, divisée par la longueur de la période. Mathématiquement, cela se traduit par l'intégrale : \(\langle f(t) \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \,dt\). Pour notre signal \(v_{\text{s}}(t)\), la fonction est non-nulle seulement de \(0\) à \(T/2\), ce qui simplifie le calcul de l'aire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

L'erreur la plus fréquente est d'oublier par quoi diviser. On intègre sur l'intervalle où le signal existe (de \(0\) à \(T/2\)), mais on doit toujours diviser par la période totale du signal (\(T\)) pour trouver la moyenne sur un cycle complet.

Normes (la référence réglementaire)

La notation \(\langle v_{\text{s}}(t) \rangle\) avec des chevrons est courante en physique pour désigner une moyenne temporelle. En électronique, on utilise aussi souvent la notation \(V_{\text{DC}}\) ou \(V_{\text{moy}}\).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule générale de la moyenne

\begin{aligned} \langle v_{\text{s}}(t) \rangle &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{\text{s}}(t) \,dt \\ &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T/2} V_{\text{smax}} \sin(\omega t) \,dt \end{aligned}

Résultat pour un redressement mono-alternance

\langle v_{\text{s}}(t) \rangle = \frac{V_{\text{smax}}}{\pi}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le signal est parfaitement sinusoïdal.
La période est constante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur
Tension de sortie maximale	\(V_{\text{smax}}\)	\(24\sqrt{2}\) V

Astuces (Pour aller plus vite)

Retenez que \(\pi \approx 3.14\). La valeur moyenne d'un signal redressé mono-alternance est donc environ un tiers de sa valeur maximale. C'est un bon moyen de vérifier rapidement l'ordre de grandeur de votre résultat. Ici, \(33.94 / \pi \approx 33.94 / 3.14 \approx 10.8\).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de la valeur moyenne

Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule

\begin{aligned} \langle v_{\text{s}}(t) \rangle &= \frac{V_{\text{smax}}}{\pi} \\ &= \frac{24\sqrt{2}}{\pi} \\ &\approx 10.80 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Valeur moyenne calculée sur le signal

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Bien que la tension atteigne un pic de presque 34 V, sa composante continue équivalente n'est que de 10.8 V. C'est cette tension moyenne qui serait "vue" par un appareil fonctionnant en courant continu, comme un moteur ou une LED. On constate que le redressement mono-alternance est assez inefficace pour produire une tension continue élevée.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas confondre la valeur moyenne \(\frac{V_{\text{smax}}}{\pi}\) avec la valeur efficace \(\frac{V_{\text{smax}}}{2}\). Ce sont deux grandeurs différentes avec des significations physiques distinctes.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La valeur moyenne d'une tension sinusoïdale redressée simple alternance est sa valeur de crête divisée par Pi. C'est la composante DC du signal.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Pour améliorer la valeur moyenne et se rapprocher d'une tension continue, les ingénieurs utilisent un redresseur double alternance (avec un pont de 4 diodes) qui redresse également l'alternance négative. La valeur moyenne devient alors \(\frac{2V_{\text{smax}}}{\pi}\), soit le double de celle que nous avons calculée !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La valeur moyenne de la tension de sortie est \(\langle v_{\text{s}}(t) \rangle \approx 10.8\) V.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Calculez la tension moyenne si la tension d'entrée efficace est de 50 V.

Question 4 : Valeur efficace de la tension de sortie \(V_{\text{s,eff}}\)

Principe (le concept physique)

La valeur efficace (ou RMS, pour Root Mean Square) représente la valeur d'une tension continue qui produirait le même échauffement (la même puissance) dans une résistance. C'est une mesure de l'énergie "effective" transportée par le signal, indépendamment de sa forme.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le nom "Root Mean Square" décrit parfaitement le calcul :

Square (Carré) : On élève le signal au carré (\(v_{\text{s}}(t)^2\)). Cela rend toutes les parties du signal positives.
Mean (Moyenne) : On calcule la valeur moyenne de ce signal au carré : \(\langle v_{\text{s}}(t)^2 \rangle\).
Root (Racine) : On prend la racine carrée du résultat pour revenir à une unité de tension.

\[ \begin{aligned} V_{\text{s,eff}} &= \sqrt{\langle v_{\text{s}}(t)^2 \rangle} \\ &= \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{\text{s}}(t)^2 \,dt} \end{aligned} \]

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour les calculs de puissance, c'est TOUJOURS la valeur efficace qu'il faut utiliser, jamais la valeur moyenne (sauf en DC pur). C'est une règle d'or en électricité. L'énergie est liée au carré de la tension, d'où l'importance de cette grandeur.

Normes (la référence réglementaire)

La notation \(V_{\text{eff}}\) est courante en français, mais la notation internationale \(V_{\text{RMS}}\) est de plus en plus utilisée. Les deux sont équivalentes.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule générale de la valeur efficace

V_{\text{s,eff}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T/2} (V_{\text{smax}} \sin(\omega t))^2 \,dt}

Résultat pour un redressement mono-alternance

V_{\text{s,eff}} = \frac{V_{\text{smax}}}{2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul de la valeur moyenne : signal périodique et stable.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur
Tension de sortie maximale	\(V_{\text{smax}}\)	\(24\sqrt{2}\) V

Astuces (Pour aller plus vite)

C'est très simple à retenir : pour une sinusoïde complète, on divise le pic par \(\sqrt{2}\). Pour une sinusoïde redressée simple alternance, on divise le pic par 2.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation du signal au carré (\(v_s^2(t)\))

Calcul(s) (l'application numérique)

Application de la formule

\begin{aligned} V_{\text{s,eff}} &= \frac{V_{\text{smax}}}{2} \\ &= \frac{24\sqrt{2}}{2} \\ &= 12\sqrt{2} \\ &\approx 16.97 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des valeurs Vmax, Veff et Vmoy

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur efficace (16.97 V) est supérieure à la valeur moyenne (10.8 V). C'est toujours le cas pour un signal qui n'est pas parfaitement continu. Le rapport \(V_{\text{eff}} / \langle V \rangle\) est appelé le "facteur de forme" et donne une idée de l'ondulation du signal. Ici, il vaut environ 1.57, ce qui est élevé.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur serait de penser que, puisqu'on a coupé la moitié du signal, la valeur efficace est simplement la moitié de la valeur efficace d'entrée. La valeur efficace d'entrée est de 24 V. La moitié serait 12 V. Or, notre résultat est 16.97 V. C'est parce que la relation n'est pas linéaire (à cause du carré dans la définition).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La valeur efficace d'une tension sinusoïdale redressée simple alternance est sa valeur de crête divisée par 2. C'est cette valeur qui sert au calcul de la puissance.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Les premiers multimètres "AC" bas de gamme ne mesuraient pas la vraie valeur efficace. Ils mesuraient la valeur moyenne du signal redressé (comme notre \(\langle v_{\text{s}} \rangle\)) et la multipliaient par un facteur de 1.11 (le facteur de forme d'une sinusoïde pure) pour afficher un résultat. Cela ne donnait la bonne valeur que pour un signal parfaitement sinusoïdal ! Les appareils modernes, dits "True RMS", effectuent le vrai calcul mathématique et sont précis quelle que soit la forme du signal.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La valeur efficace de la tension de sortie est \(V_{\text{s,eff}} \approx 16.97\) V.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quelle est la tension efficace en sortie si la tension d'entrée efficace est de 100 V ?

Question 5 : Courant moyen et puissance moyenne

Principe (le concept physique)

La loi d'Ohm (\(V=IR\)) et la loi de Joule (\(P=VI\)) sont les piliers de l'électricité. Elles nous disent que le courant dans une résistance est simplement la tension à ses bornes divisée par sa valeur, et que la puissance qu'elle dissipe (en chaleur) dépend des valeurs efficaces de la tension et du courant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Pour un circuit linéaire comme une résistance, la relation entre tension et courant est directe. La forme d'onde du courant \(i_{\text{s}}(t)\) sera donc identique à celle de la tension \(v_{\text{s}}(t)\), simplement mise à l'échelle par un facteur \(1/R\). On peut donc appliquer les mêmes formules pour les valeurs moyennes et efficaces du courant :

\(\langle i_{\text{s}} \rangle = \frac{\langle v_{\text{s}} \rangle}{R} = \frac{V_{\text{smax}}}{\pi R}\)
\(I_{\text{s,eff}} = \frac{V_{\text{s,eff}}}{R} = \frac{V_{\text{smax}}}{2R}\)

La puissance moyenne, qui est la moyenne de la puissance instantanée \(p(t)=v_{\text{s}}(t) \cdot i_{\text{s}}(t)\), se calcule plus simplement avec les valeurs efficaces : \(P_{\text{moy}} = V_{\text{s,eff}} \cdot I_{\text{s,eff}}\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faites bien la distinction entre les grandeurs que vous manipulez. Pour trouver le courant moyen (une grandeur DC), utilisez la tension moyenne. Pour trouver la puissance moyenne (une grandeur énergétique), utilisez les tensions et courants efficaces.

Normes (la référence réglementaire)

Les unités du Système International sont impératives : le courant en Ampères (A), la tension en Volts (V), la résistance en Ohms (\(\Omega\)) et la puissance en Watts (W).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du courant moyen

\langle i_{\text{s}}(t) \rangle = \frac{\langle v_{\text{s}}(t) \rangle}{R}

Formules de la puissance moyenne

P_{\text{moy}} = \frac{V_{\text{s,eff}}^2}{R} = R \cdot I_{\text{s,eff}}^2

Hypothèses (le cadre du calcul)

La résistance R est purement résistive (pas d'effets inductifs ou capacitifs) et sa valeur est constante.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Paramètre	Symbole	Valeur
Tension moyenne	\(\langle v_{\text{s}} \rangle\)	10.8 V
Tension efficace	\(V_{\text{s,eff}}\)	16.97 V
Résistance	\(R\)	100 \(\Omega\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Une fois que vous avez calculé les tensions moyenne et efficace, le reste n'est qu'une simple application de la loi d'Ohm et des formules de puissance. La partie difficile est déjà faite.

Schéma (Avant les calculs)

Circuit pour l'application des lois

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul du courant moyen

\begin{aligned} \langle i_{\text{s}}(t) \rangle &= \frac{\langle v_{\text{s}}(t) \rangle}{R} \\ &= \frac{10.8 \text{ V}}{100 \text{ } \Omega} \\ &= 0.108 \text{ A} \\ &= 108 \text{ mA} \end{aligned}

Calcul de la puissance moyenne

\begin{aligned} P_{\text{moy}} &= \frac{V_{\text{s,eff}}^2}{R} \\ &= \frac{(16.97 \text{ V})^2}{100 \text{ } \Omega} \\ &\approx 2.88 \text{ W} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Illustration de la dissipation de puissance

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le circuit délivre une puissance moyenne de 2.88 W à la charge. Si la source avait été connectée directement à la charge (sans la diode), la puissance aurait été : \[ \begin{aligned} P_{\text{AC}} &= \frac{V_{\text{e,eff}}^2}{R} \\ &= \frac{(24 \text{ V})^2}{100 \text{ } \Omega} \\ &= \frac{576}{100} \\ &= 5.76 \text{ W} \end{aligned} \] On constate bien que la puissance a été divisée par deux, ce qui est logique puisque nous avons supprimé la moitié du signal.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur fatale est de calculer la puissance avec les valeurs moyennes : \(P \neq \langle v_{\text{s}} \rangle \cdot \langle i_{\text{s}} \rangle\). Ce calcul donnerait \(10.8 \times 0.108 \approx 1.17\) W, ce qui est complètement faux ! Cette formule n'est valable qu'en courant continu pur.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le courant moyen se déduit de la tension moyenne par la loi d'Ohm.
La puissance moyenne se déduit des valeurs efficaces.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le "facteur de puissance" d'un tel circuit est le rapport entre la puissance active (celle que nous avons calculée) et la puissance apparente (produit des valeurs efficaces en entrée, \(V_{\text{e,eff}} \cdot I_{\text{e,eff}}\)). À cause de la forme non-sinusoïdale du courant, ce facteur est assez mauvais (environ 0.7), ce qui signifie que le circuit "tire" plus de courant du réseau que ce dont il a réellement besoin pour sa puissance utile.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le courant moyen est \(\langle i_{\text{s}}(t) \rangle = 108\) mA et la puissance moyenne est \(P_{\text{moy}} \approx 2.88\) W.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si la résistance est de 20 \(\Omega\), quelle est la nouvelle puissance moyenne dissipée ?

Outil Interactif : Simulateur de Redresseur

Utilisez les curseurs pour faire varier la tension d'entrée maximale et la résistance de charge. Observez en temps réel l'impact sur les valeurs moyennes, efficaces et la puissance dissipée.

Paramètres d'Entrée

Tension d'entrée max (\(V_{\text{emax}}\)) 34 V

Résistance de charge (R) 100 Ω

Résultats Clés

Tension moyenne (\(\langle v_s \rangle\)) -

Tension efficace (\(V_{\text{s,eff}}\)) -

Puissance moyenne (\(P_{\text{moy}}\)) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Que se passe-t-il pendant l'alternance négative de la tension d'entrée ?

La diode conduit et \(v_{\text{s}}(t) = v_{\text{e}}(t)\).
La diode est bloquée et \(v_{\text{s}}(t) = 0\).
La diode explose.

2. Si \(V_{\text{smax}} = 50\) V, quelle est la valeur moyenne de la tension de sortie ?

\(50 / \pi \approx 15.9\) V
\(50 / 2 = 25\) V
\(50 / \sqrt{2} \approx 35.4\) V

3. Si on double la résistance de charge R, que devient la puissance moyenne \(P_{\text{moy}}\) ?

Elle est doublée.
Elle est quadruplée.
Elle est divisée par deux.

Diode: Composant électronique semi-conducteur qui ne laisse passer le courant électrique que dans un seul sens (de l'anode vers la cathode).
Valeur Moyenne: Composante continue d'un signal périodique. C'est la valeur qu'indiquerait un voltmètre DC.
Valeur Efficace (RMS): Racine carrée de la moyenne du carré du signal. Elle est liée à la puissance dissipée par le signal dans une résistance. C'est la valeur qu'indiquerait un voltmètre AC RMS.