Loi des Mailles dans un Circuit Composé
Contexte : L'analyse de circuits électriques complexes est une compétence fondamentale en électronique.
Lorsqu'un circuit contient plusieurs sources de tension ou plusieurs boucles, les lois de base comme la loi d'Ohm ne suffisent plus. C'est là qu'interviennent les lois de Kirchhoff. Cet exercice se concentre sur la Loi des MaillesAussi connue comme la deuxième loi de Kirchhoff ou loi des tensions, elle stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle., un outil puissant pour déterminer la circulation des courants dans des réseaux complexes. Nous allons l'appliquer à un circuit à deux mailles pour trouver tous les courants inconnus.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à décomposer un problème complexe en un système d'équations simples et à le résoudre méthodiquement. La maîtrise de cette technique est essentielle pour toute analyse de circuits plus avancée.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi des mailles pour établir les équations de tension d'un circuit.
- Utiliser la loi des nœuds pour relier les courants des différentes branches.
- Résoudre un système d'équations linéaires pour trouver les courants inconnus.
- Calculer la chute de tension aux bornes d'un composant spécifique.
Données de l'étude
Schéma du circuit à deux mailles
| Composant | Description | Valeur |
|---|---|---|
| V₁ | Générateur de tension 1 | 12 V |
| V₂ | Générateur de tension 2 | 9 V |
| R₁ | Résistance 1 | 2 Ω |
| R₂ | Résistance 2 | 3 Ω |
| R₃ | Résistance 3 (branche commune) | 6 Ω |
Questions à traiter
- Établir l'équation de la maille 1 (boucle de gauche) en utilisant la loi des mailles.
- Établir l'équation de la maille 2 (boucle de droite) en utilisant la loi des mailles.
- Au nœud A, exprimer le courant I₃ en fonction de I₁ et I₂ en utilisant la loi des nœuds.
- Résoudre le système d'équations pour déterminer les valeurs numériques des courants I₁ et I₂.
- Calculer la tension V_R₃ aux bornes de la résistance R₃.
Les bases de l'analyse de circuits
Pour résoudre cet exercice, deux lois fondamentales de l'électricité, formulées par Gustav Kirchhoff, sont nécessaires. Elles permettent d'analyser n'importe quel circuit électrique, aussi complexe soit-il.
1. Loi des Mailles (Loi des Tensions de Kirchhoff - LKT)
Cette loi est une application du principe de conservation de l'énergie. Elle stipule que la somme algébrique des tensions électriques dans une boucle fermée (une "maille") est toujours égale à zéro. En d'autres termes, si vous parcourez un circuit et revenez à votre point de départ, le potentiel électrique doit être le même.
\[ \sum_{k=1}^{n} V_k = 0 \]
2. Loi des Nœuds (Loi des Courants de Kirchhoff - LKC)
Basée sur le principe de conservation de la charge électrique, cette loi énonce que la somme des courants qui entrent dans un nœud (un point de jonction) est égale à la somme des courants qui en sortent.
\[ \sum I_{\text{entrant}} = \sum I_{\text{sortant}} \]
Correction : Loi des Mailles dans un Circuit Composé
Question 1 : Établir l'équation de la maille 1
Principe
Le concept physique est la conservation de l'énergie dans un circuit fermé. En parcourant la boucle 1, l'énergie fournie par le générateur V₁ est entièrement dissipée par les résistances R₁ et R₃. La somme des gains et des pertes de potentiel électrique doit donc être nulle.
Mini-Cours
La loi des mailles (ou loi des tensions de Kirchhoff) est fondamentale. Elle s'applique à n'importe quelle boucle fermée d'un réseau électrique. On définit un sens de parcours arbitraire (généralement horaire). Les tensions des sources sont comptées positivement si on les traverse de la borne - à la borne +, et négativement dans le cas contraire. Les tensions aux bornes des résistances (chutes de tension) sont comptées négativement si on les parcourt dans le même sens que le courant qui les traverse.
Remarque Pédagogique
La clé du succès est la rigueur. Choisissez un sens pour parcourir la maille et un sens pour chaque courant, et ne changez plus. Une erreur de signe est l'erreur la plus commune. Prenez l'habitude de bien flécher votre schéma avant tout calcul.
Normes
En électronique, on utilise la convention récepteur pour les composants passifs comme les résistances. Cela signifie que le courant est fléché entrant par la borne de potentiel le plus élevé (+) et sortant par la borne de potentiel le plus bas (-). La tension aux bornes de la résistance est alors orientée en sens inverse du courant, ce qui justifie le signe "-" dans la loi d'Ohm (V = -RI) lorsqu'on parcourt la maille dans le sens du courant.
Formule(s)
Loi des mailles
Loi d'Ohm
Hypothèses
Pour cette analyse, nous posons les hypothèses d'un circuit idéal :
- Les fils de connexion ont une résistance nulle.
- Les générateurs de tension sont parfaits (leur tension ne varie pas avec le courant débité).
Donnée(s)
Les données pertinentes pour la maille 1 sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension du générateur 1 | V₁ | 12 V |
| Résistance 1 | R₁ | 2 Ω |
| Résistance 3 | R₃ | 6 Ω |
Astuces
Pour éviter les erreurs de signe, commencez toujours le parcours de la maille juste après le pôle négatif d'un générateur. De cette façon, la première tension que vous écrivez est un gain (+V), ce qui est plus intuitif.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la Maille 1
Calcul(s)
Application de la loi des mailles
Remplacement par les valeurs numériques
Schéma (Après les calculs)
Focus sur la Maille 1
Réflexions
Cette équation représente une contrainte : une relation qui doit obligatoirement être vraie entre les courants I₁ et I₃ pour que la loi de conservation de l'énergie soit respectée dans cette partie du circuit. Elle ne suffit pas, à elle seule, pour trouver les courants, car nous avons deux inconnues.
Points de vigilance
Attention aux signes ! C'est l'erreur la plus fréquente. Si vous aviez parcouru la maille dans le sens anti-horaire, l'équation serait devenue \( -V_1 + R_3 I_3 + R_1 I_1 = 0 \), ce qui est mathématiquement identique. La cohérence est la clé.
Points à retenir
Pour une maille : Somme des tensions des générateurs = Somme des chutes de tension dans les résistances. C'est une autre façon de voir l'équation : \( V_1 = R_1 I_1 + R_3 I_3 \). L'énergie fournie est égale à l'énergie consommée.
Le saviez-vous ?
Gustav Kirchhoff a formulé ses lois en 1845, alors qu'il n'était qu'un étudiant de 21 ans. Ces lois, bien que simples, sont si fondamentales qu'elles restent la pierre angulaire de toute l'ingénierie électrique moderne, de la conception de puces informatiques aux réseaux de distribution d'électricité.
FAQ
Aucun problème ! Si vous aviez supposé que I₁ allait dans l'autre sens, votre équation de maille aurait été \( V_1 + R_1 I_1' - R_3 I_3 = 0 \). À la fin de la résolution, vous auriez trouvé une valeur négative pour I₁', indiquant simplement que le courant circule en réalité dans le sens opposé à celui que vous aviez choisi. Le résultat final reste le même !Et si j'avais choisi un sens différent pour le courant I₁ ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si la tension V₁ était de 20V et R₁ de 4Ω, quelle serait la nouvelle équation de la maille 1 ?
Question 2 : Établir l'équation de la maille 2
Principe
Le principe est identique à la question 1 : la conservation de l'énergie s'applique aussi à la deuxième boucle. L'énergie fournie par le générateur V₂ est dissipée par les résistances R₂ et R₃.
Mini-Cours
La méthode est la même, mais il faut être attentif au fait que la résistance R₃ est commune aux deux mailles. Le courant I₃ qui la traverse est la somme (ou la différence) des courants des deux mailles. C'est ce qui couple les deux équations et rend le problème intéressant.
Remarque Pédagogique
Appliquez la même méthode rigoureuse que pour la première maille. Ne vous laissez pas perturber par la présence de la première boucle. Traitez la maille 2 comme si elle était seule, en respectant les sens de courant déjà définis.
Normes
La convention récepteur s'applique de la même manière. La chute de tension aux bornes de R₂ est -R₂I₂ et celle aux bornes de R₃ est -R₃I₃, car nous parcourons ces deux résistances dans le sens des courants I₂ et I₃ respectivement.
Formule(s)
Loi des mailles et Loi d'Ohm
Hypothèses
Les hypothèses du circuit idéal (fils parfaits, sources parfaites) sont toujours valables pour l'ensemble du circuit.
Donnée(s)
Les données pertinentes pour la maille 2 sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Tension du générateur 2 | V₂ | 9 V |
| Résistance 2 | R₂ | 3 Ω |
| Résistance 3 | R₃ | 6 Ω |
Astuces
Dans certains cas, on peut définir des "courants de maille" fictifs qui tournent en boucle. Cela simplifie parfois la pose des équations. Ici, nous restons avec les courants de branche réels (I₁, I₂, I₃) qui sont plus intuitifs.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la Maille 2
Calcul(s)
Application de la loi des mailles
Remplacement par les valeurs numériques
Schéma (Après les calculs)
Focus sur la Maille 2
Réflexions
Cette deuxième équation représente la contrainte énergétique pour la partie droite du circuit. Nous voyons que les deux équations sont "liées" par l'inconnue I₃. C'est cette variable commune qui nous permettra de résoudre le système.
Points de vigilance
L'erreur classique ici serait d'oublier la chute de tension dans R₃ ou de mal considérer son signe. Le courant I₃ a été défini comme allant de haut en bas. En parcourant la maille 2 dans le sens horaire, on descend également le long de R₃, d'où le signe négatif.
Points à retenir
Chaque maille indépendante dans un circuit fournit une équation indépendante. Pour résoudre un circuit, il faut autant d'équations que d'inconnues.
Le saviez-vous ?
La méthode des mailles est particulièrement efficace et peut être systématisée sous forme de matrices. Pour des circuits très complexes avec des dizaines de mailles, les ingénieurs utilisent des logiciels (comme SPICE) qui résolvent ces grands systèmes d'équations matricielles en une fraction de seconde.
FAQ
Parce que R₃ appartient physiquement aux deux mailles. Elle est dans la "branche commune". L'énergie qu'elle dissipe provient des deux sources de tension, et la tension à ses bornes influence l'équilibre énergétique des deux boucles.Pourquoi R₃ apparaît dans les deux équations ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si la résistance R₂ valait 5Ω, quelle serait la nouvelle équation de la maille 2 ?
Question 3 : Loi des nœuds au point A
Principe
Le concept physique est la conservation de la charge électrique. Les charges électriques (les électrons) ne peuvent ni être créées ni disparaître en un point du circuit. Par conséquent, la quantité de courant qui arrive en un point de jonction (un nœud) doit être égale à la quantité de courant qui en repart.
Mini-Cours
La loi des nœuds (ou loi des courants de Kirchhoff) s'applique à n'importe quel nœud d'un circuit. Un nœud est un point où au moins trois conducteurs se rencontrent. La loi s'écrit simplement : la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants. C'est la relation qui manquait pour résoudre notre système.
Remarque Pédagogique
Identifiez clairement les nœuds principaux de votre circuit. Pour chaque nœud, identifiez les flèches de courant qui "pointent vers" le nœud (entrants) et celles qui "pointent en s'éloignant" du nœud (sortants).
Normes
Il n'y a pas de "norme" réglementaire ici, mais une convention d'écriture universelle : on place les courants entrants d'un côté de l'égalité et les courants sortants de l'autre. Ou, de manière équivalente, on peut dire que la somme algébrique de tous les courants à un nœud est nulle (en comptant les entrants comme + et les sortants comme -).
Formule(s)
Loi des nœuds
Hypothèses
Cette loi ne nécessite aucune hypothèse particulière, elle est fondamentale et toujours vraie, même pour des composants non-idéaux.
Donnée(s)
Astuces
Dans un circuit à N nœuds, seulement N-1 équations de nœuds sont indépendantes. Appliquer la loi au dernier nœud (ici, le nœud B) redonnera la même information. Au nœud B, I₃ arrive et I₁ et I₂ repartent, donc I₃ = I₁ + I₂, ce qui est la même équation qu'au nœud A.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur le Nœud A
Calcul(s)
Application de la loi des nœuds
Schéma (Après les calculs)
Focus sur le Nœud A
Réflexions
Cette simple équation est le lien qui nous manquait. Elle nous permet de réduire le nombre d'inconnues de trois (I₁, I₂, I₃) à deux (I₁, I₂), car I₃ peut maintenant être exprimé en fonction des deux autres. Le problème devient résoluble.
Points de vigilance
Assurez-vous de bien identifier tous les courants connectés à un nœud. Omettre une branche est une erreur facile à commettre dans des circuits plus complexes.
Points à retenir
Loi des Nœuds : ce qui entre = ce qui sort. C'est l'un des principes les plus simples et les plus puissants de l'électronique.
Le saviez-vous ?
La loi des nœuds est analogue au principe de conservation de la masse dans un réseau de plomberie : le débit d'eau arrivant à un carrefour de tuyaux doit être égal au débit total qui en repart. Il n'y a ni "fuite" ni "création" d'eau au point de jonction.
FAQ
Oui, absolument. Au nœud B, le courant I₃ arrive, et les courants I₁ et I₂ repartent (en suivant leur boucle respective). L'équation serait \( I_3 = I_1 + I_2 \), ce qui est exactement la même relation. Les deux nœuds fournissent la même information.Est-ce que j'aurais pu utiliser le nœud B à la place ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si I₁ = 2A et que I₃ = 0.5A, que vaudrait I₂ ? (Attention au signe !)
Question 4 : Résolution du système et calcul de I₁ et I₂
Principe
Le concept ici est purement mathématique. Nous avons un système de deux équations linéaires à deux inconnues. Le but est de manipuler ces équations pour isoler chaque inconnue l'une après l'autre.
Mini-Cours
Un système de deux équations à deux inconnues de la forme \( \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \) peut être résolu par plusieurs méthodes. Les plus courantes sont la substitution (isoler une variable dans une équation et la remplacer dans l'autre) et la combinaison linéaire (ou addition/soustraction), où l'on multiplie les équations par des coefficients bien choisis pour éliminer une variable en les additionnant.
Remarque Pédagogique
La méthode par combinaison (soustraction dans notre cas) est souvent plus rapide et moins sujette aux erreurs de calcul que la substitution, surtout lorsque les coefficients sont simples. Cherchez toujours à multiplier une ou deux équations pour que les coefficients d'une variable deviennent opposés ou égaux.
Normes
Il n'y a pas de norme, mais une bonne pratique : toujours vérifier sa solution en réinjectant les valeurs trouvées (I₁ et I₂) dans les équations de départ pour s'assurer qu'elles sont bien vérifiées.
Formule(s)
Il s'agit des règles de l'algèbre de base pour la manipulation d'équations.
Hypothèses
Nous faisons l'hypothèse que le système a une solution unique, ce qui est physiquement le cas pour ce type de circuit résistif simple.
Donnée(s)
| Description | Équation |
|---|---|
| Équation 1 (simplifiée) | \( 4I_1 + 3I_2 = 6 \) |
| Équation 2 (simplifiée) | \( 2I_1 + 3I_2 = 3 \) |
Astuces
Avant de vous lancer dans les calculs, regardez bien les coefficients. Ici, on voit immédiatement que le coefficient de I₂ est identique (3) dans les deux équations. C'est une invitation claire à soustraire les deux équations pour éliminer I₂ directement.
Schéma (Avant les calculs)
Circuit Complet avant Résolution
Calcul(s)
Étape 1 : Substitution et simplification de la maille 1
Étape 2 : Substitution et simplification de la maille 2
Étape 3 : Résolution de I₁ par soustraction
Étape 4 : Résolution de I₂
Schéma (Après les calculs)
Circuit avec Courants I₁ et I₂ Calculés
Réflexions
Le résultat I₂ = 0 A est un cas particulier intéressant. Il n'est pas dû au hasard mais à un choix précis des valeurs des composants dans l'énoncé. Il signifie que le potentiel au nœud A, imposé par la branche de gauche, est exactement de 9V. Comme V₂ vaut aussi 9V, il n'y a aucune différence de potentiel aux bornes de la branche de droite (contenant R₂ et V₂), donc aucun courant ne peut y circuler.
Points de vigilance
Lors de la résolution de systèmes, les erreurs de calcul sont fréquentes. Double-vérifiez chaque étape, en particulier les multiplications et les soustractions de nombres négatifs. Une petite erreur ici faussera tous les résultats suivants.
Points à retenir
La méthode est toujours la même : 1. Établir les équations des mailles. 2. Établir les équations des nœuds. 3. Substituer pour réduire le nombre d'inconnues. 4. Résoudre le système.
Le saviez-vous ?
La méthode de résolution de systèmes d'équations linéaires par combinaisons est parfois appelée "méthode de Gauss" ou "pivot de Gauss", du nom du mathématicien Carl Friedrich Gauss. C'est la base de nombreux algorithmes de calcul numérique utilisés en science et en ingénierie.
FAQ
Si le déterminant d'un système d'équations est nul, cela signifie soit qu'il n'y a pas de solution (équations contradictoires), soit qu'il y en a une infinité (équations redondantes). En analyse de circuits résistifs avec des sources indépendantes, cela n'arrive généralement pas, car les circuits ont un état de fonctionnement physique unique.Et si le déterminant du système était nul ?
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant le système d'équations, que vaudrait I₁ si V₁=6V et V₂=3V ? (Les résistances sont inchangées)
Question 5 : Calcul de la tension V_R₃
Principe
Le concept physique est la loi d'Ohm, qui relie la tension, le courant et la résistance pour un composant donné. Pour trouver la tension aux bornes de R₃, il suffit de connaître le courant qui la traverse (I₃) et sa résistance.
Mini-Cours
La tension aux bornes d'une résistance, souvent appelée "chute de tension", représente l'énergie "perdue" (convertie en chaleur) par chaque unité de charge qui la traverse. Elle est directement proportionnelle au courant qui la traverse et à sa résistance. C'est la relation la plus fondamentale de l'électricité : \( V = R \cdot I \).
Remarque Pédagogique
C'est la dernière étape, la conclusion du calcul. C'est souvent ce résultat final (une tension ou une puissance) qui intéresse l'ingénieur. Assurez-vous d'utiliser les bonnes valeurs, calculées aux étapes précédentes, pour ne pas propager d'erreur.
Normes
La polarité de la tension est importante. Comme le courant I₃ circule de haut (nœud A) en bas (nœud B), le potentiel du nœud A est plus élevé que celui du nœud B. La tension V_R₃ sera donc positive si on la mesure de A par rapport à B.
Formule(s)
Loi des nœuds
Loi d'Ohm
Hypothèses
Aucune nouvelle hypothèse n'est nécessaire.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Courant 1 | I₁ | 1.5 A |
| Courant 2 | I₂ | 0 A |
| Résistance 3 | R₃ | 6 Ω |
Astuces
Une fois V_R₃ calculée, vous pouvez l'utiliser pour vérifier vos équations de maille. Pour la maille 1 : \( 12 - 2(1.5) - 9 = 12 - 3 - 9 = 0 \). C'est correct ! Pour la maille 2 : \( 9 - 3(0) - 9 = 0 \). C'est correct aussi ! C'est un excellent moyen de valider l'ensemble de votre travail.
Schéma (Avant les calculs)
Focus sur la Branche Centrale
Calcul(s)
Calcul du courant I₃
Calcul de la tension V_R₃
Schéma (Après les calculs)
Circuit Résolu avec Tensions et Courants
Réflexions
Le fait que V_R₃ soit exactement égale à V₂ (9V) est la confirmation finale de notre analyse. La tension au nœud A (par rapport au nœud B, notre référence de 0V) est de 9V. Le générateur V₂ tente lui aussi d'imposer 9V au nœud A. Les deux étant en accord, aucune force ne pousse le courant à circuler dans la branche 2.
Points de vigilance
Ne calculez pas la tension V_R₃ en utilisant I₁ ou I₂ seuls. C'est bien le courant total qui traverse la branche, I₃, qui doit être utilisé.
Points à retenir
La tension aux bornes d'un composant est le produit de sa résistance et du courant qui le traverse réellement.
Le saviez-vous ?
Le concept de "tension" est analogue à la pression dans un système hydraulique, et le "courant" est analogue au débit. La loi d'Ohm est comme dire que le débit dans un tuyau est proportionnel à la différence de pression à ses extrémités et inversement proportionnel à sa "résistance" (étroitesse, rugosité).
FAQ
Oui, si l'on considère le nœud B (et tout le fil du bas) comme notre référence de potentiel, notre "masse" (0V). Dans ce cas, la tension aux bornes de R₃ est bien la même que la tension du nœud A par rapport à cette masse.Cette tension V_R₃ est-elle la tension au nœud A ?
Résultat Final
A vous de jouer
Si I₃ valait 2A, quelle serait la tension V_R₃ ?
Outil Interactif : Simulateur de Circuit
Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les tensions des générateurs V₁ et V₂ et observez en temps réel comment les courants I₁, I₂ et I₃ varient. Le graphique montre l'évolution du courant I₃ en fonction de V₁.
Paramètres d'Entrée
Courants Calculés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que stipule la loi des mailles de Kirchhoff ?
2. Dans l'exercice initial, pourquoi le courant I₂ était-il nul ?
3. La loi des nœuds de Kirchhoff est une conséquence directe de la conservation de :
4. Si on inverse la polarité du générateur V₁, que se passera-t-il ?
5. Quelle est l'unité de la résistance électrique ?
- Loi des Mailles (LKT)
- La somme algébrique des tensions dans n'importe quelle boucle fermée d'un circuit est égale à zéro. C'est une expression de la conservation de l'énergie.
- Loi des Nœuds (LKC)
- La somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants en sortant. C'est une expression de la conservation de la charge.
- Tension (V)
- La différence de potentiel électrique entre deux points, mesurée en Volts (V). C'est la "force" qui pousse les charges électriques.
- Courant (I)
- Le débit de charge électrique, mesuré en Ampères (A). C'est la quantité de charges passant par un point par unité de temps.
- Résistance (R)
- L'opposition au passage du courant électrique, mesurée en Ohms (Ω). Elle dissipe l'énergie électrique sous forme de chaleur.
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