Loi des Mailles dans un Circuit Composé

Détermination des courants dans un circuit à deux mailles par la loi des mailles (Kirchhoff).

Énoncé : Loi des Mailles dans un Circuit Composé

La loi des mailles, ou deuxième loi de Kirchhoff, énonce que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long de n'importe quelle boucle fermée (maille) d'un circuit est nulle. Cette loi découle de la conservation de l'énergie. Elle est particulièrement utile pour déterminer les courants dans les différentes branches d'un circuit comportant plusieurs boucles.

Contexte

L'analyse des circuits électriques par la loi des mailles est une méthode fondamentale en génie électrique. Elle permet de modéliser et de résoudre des réseaux complexes, comme ceux trouvés dans les systèmes de distribution d'énergie, les cartes électroniques ou les circuits intégrés. La maîtrise de cette loi est indispensable pour comprendre la répartition des courants et des tensions dans ces systèmes.

Circuit électrique à deux mailles avec deux sources et trois résistances.

Données du Problème

Source de tension \(V_1 = 10 \, \text{V}\)
Source de tension \(V_2 = 5 \, \text{V}\)
Résistance \(R_1 = 2 \, \Omega\)
Résistance \(R_2 = 5 \, \Omega\)
Résistance \(R_3 = 1 \, \Omega\)
Les sens des courants \(I_1\), \(I_2\), \(I_3\) sont indiqués sur le schéma.

Questions

Appliquer la loi des nœuds au nœud supérieur (jonction de R1, R2, R3) pour exprimer \(I_2\) en fonction de \(I_1\) et \(I_3\).
Choisir un sens de parcours pour la Maille 1 (gauche) et appliquer la loi des mailles. Écrire l'équation reliant \(V_1\), les tensions aux bornes de \(R_1\) (exprimée avec \(I_1\)) et de \(R_2\) (exprimée avec \(I_2\)).
Choisir un sens de parcours pour la Maille 2 (droite) et appliquer la loi des mailles. Écrire l'équation reliant \(V_2\), les tensions aux bornes de \(R_3\) (exprimée avec \(I_3\)) et de \(R_2\) (exprimée avec \(I_2\)). Attention au sens de parcours et au sens du courant \(I_2\) dans cette maille.
En utilisant l'équation de la loi des nœuds (question 1) pour remplacer \(I_2\) dans les équations des mailles (questions 2 et 3), obtenir un système de deux équations à deux inconnues (\(I_1\) et \(I_3\)).
Résoudre ce système d'équations pour trouver les valeurs numériques des courants \(I_1\) et \(I_3\).
Calculer la valeur numérique du courant \(I_2\).

Correction : Loi des Mailles dans un Circuit Composé

1. Loi des Nœuds

Au nœud supérieur (appelons-le N), le courant \(I_1\) entre, tandis que les courants \(I_2\) et \(I_3\) sortent. La somme des courants entrant égale la somme des courants sortant.

Équation

I_1 = I_2 + I_3 \] On peut donc exprimer \(I_2\) : \[ I_2 = I_1 - I_3

Résultat

L'équation de la loi des nœuds est \(I_1 = I_2 + I_3\), ou \(I_2 = I_1 - I_3\).

2. Loi des Mailles - Maille 1 (Gauche)

On parcourt la maille 1 dans le sens horaire (par exemple). La somme algébrique des tensions est nulle. On compte positivement les tensions des générateurs rencontrés de - vers +, et négativement les tensions aux bornes des résistances si parcourues dans le sens du courant. Tension aux bornes de R1 : \(U_{R1} = R_1 I_1\). Tension aux bornes de R2 : \(U_{R2} = R_2 I_2\).

Équation (Sens Horaire)

+V_1 - U_{R1} - U_{R2} = 0 \] \[ V_1 - R_1 I_1 - R_2 I_2 = 0

Résultat

L'équation pour la Maille 1 est : \(V_1 - R_1 I_1 - R_2 I_2 = 0\).

3. Loi des Mailles - Maille 2 (Droite)

On parcourt la maille 2 dans le sens horaire (par exemple). Attention au sens du courant \(I_2\) par rapport au sens de parcours. Tension aux bornes de R2 : \(U_{R2} = R_2 I_2\). Tension aux bornes de R3 : \(U_{R3} = R_3 I_3\).

Équation (Sens Horaire)

En partant du coin inférieur droit et en montant : On rencontre V2 de - vers + : \(+V_2\). On parcourt R3 dans le sens opposé à \(I_3\) : \(+U_{R3} = +R_3 I_3\). On parcourt R2 dans le sens opposé à \(I_2\) : \(+U_{R2} = +R_2 I_2\). La somme est nulle.

+U_{R2} + U_{R3} + V_2 = 0 \quad \text{(Attention : erreur de signe sur V2 si on monte)} \] Correction en partant du coin supérieur droit et en descendant (sens horaire) : On parcourt R3 dans le sens de \(I_3\) : \(-U_{R3} = -R_3 I_3\). On rencontre V2 de + vers - : \(-V_2\). On parcourt R2 dans le sens de \(I_2\) : \(-U_{R2} = -R_2 I_2\). (Attention, le courant I2 descend, mais on parcourt la branche R2 en montant dans cette maille horaire). Correction : Si on parcourt la maille 2 dans le sens horaire, on monte dans la branche R2. Le courant \(I_2\) descend. La tension aux bornes de R2, \(U_{R2}\), est positive vers le haut. Donc, en montant, on rencontre \(+U_{R2}\). \[ +U_{R2} - R_3 I_3 - V_2 = 0 \] \[ R_2 I_2 - R_3 I_3 - V_2 = 0

Résultat

L'équation pour la Maille 2 est : \(R_2 I_2 - R_3 I_3 - V_2 = 0\).

4. Système d'Équations à Deux Inconnues

On remplace \(I_2\) par \(I_1 - I_3\) dans les deux équations de maille. Maille 1 : \(V_1 - R_1 I_1 - R_2 (I_1 - I_3) = 0\) Maille 2 : \(R_2 (I_1 - I_3) - R_3 I_3 - V_2 = 0\)

Développement et Réorganisation

Équation 1 :

\begin{aligned} V_1 - R_1 I_1 - R_2 I_1 + R_2 I_3 &= 0 \\ V_1 &= (R_1 + R_2) I_1 - R_2 I_3 \end{aligned}

Équation 2 :

\begin{aligned} R_2 I_1 - R_2 I_3 - R_3 I_3 - V_2 &= 0 \\ R_2 I_1 - (R_2 + R_3) I_3 &= V_2 \end{aligned}

Résultat

Le système d'équations à résoudre est :

(Eq1) \( (R_1 + R_2) I_1 - R_2 I_3 = V_1 \)
(Eq2) \( R_2 I_1 - (R_2 + R_3) I_3 = V_2 \)

5. Résolution du Système et Calcul de \(I_1\) et \(I_3\)

On remplace par les valeurs numériques et on résout le système. \(R_1=2\Omega, R_2=5\Omega, R_3=1\Omega, V_1=10V, V_2=5V\)

Système Numérique

(Eq1) \( (2 + 5) I_1 - 5 I_3 = 10 \Rightarrow 7 I_1 - 5 I_3 = 10 \)
(Eq2) \( 5 I_1 - (5 + 1) I_3 = 5 \Rightarrow 5 I_1 - 6 I_3 = 5 \)

Calcul (Méthode par substitution ou combinaison)

Méthode par combinaison : Multiplier Eq1 par 6 et Eq2 par 5 pour éliminer \(I_3\).

\begin{aligned} 6 \times (7 I_1 - 5 I_3 = 10) &\Rightarrow 42 I_1 - 30 I_3 = 60 \\ 5 \times (5 I_1 - 6 I_3 = 5) &\Rightarrow 25 I_1 - 30 I_3 = 25 \\ \text{Soustrayons la 2ème de la 1ère :} \\ (42 I_1 - 30 I_3) - (25 I_1 - 30 I_3) &= 60 - 25 \\ 42 I_1 - 25 I_1 &= 35 \\ 17 I_1 &= 35 \\ I_1 &= \frac{35}{17} \, \text{A} \approx 2,0588 \, \text{A} \end{aligned}

Injecter \(I_1\) dans Eq2 pour trouver \(I_3\).

\begin{aligned} 5 I_1 - 6 I_3 &= 5 \\ 5 \times \left(\frac{35}{17}\right) - 6 I_3 &= 5 \\ \frac{175}{17} - 6 I_3 &= \frac{85}{17} \\ 6 I_3 &= \frac{175}{17} - \frac{85}{17} = \frac{90}{17} \\ I_3 &= \frac{90}{17 \times 6} = \frac{15}{17} \, \text{A} \approx 0,8824 \, \text{A} \end{aligned}

Résultat

Les courants sont :

\(I_1 = \frac{35}{17} \, \text{A} \approx 2,06 \, \text{A}\)
\(I_3 = \frac{15}{17} \, \text{A} \approx 0,88 \, \text{A}\)

6. Calcul de \(I_2\)

On utilise la loi des nœuds établie à la question 1 : \(I_2 = I_1 - I_3\).

Données pour cette étape

\(I_1 = \frac{35}{17} \, \text{A}\)
\(I_3 = \frac{15}{17} \, \text{A}\)

Calcul

\begin{aligned} I_2 &= I_1 - I_3 \\ &= \frac{35}{17} \, \text{A} - \frac{15}{17} \, \text{A} \\ &= \frac{20}{17} \, \text{A} \\ &\approx 1,1765 \, \text{A} \end{aligned}

Résultat

Le courant dans la branche centrale est \(I_2 = \frac{20}{17} \, \text{A} \approx 1,18 \, \text{A}\).

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