Amplitude du Courant dans un Circuit RLC Série

Un circuit RLC série est constitué d'une résistance \(R\), d'une bobine d'inductance \(L\) et d'un condensateur de capacité \(C\), montés en série avec un générateur de tension alternative sinusoïdale. Ce générateur délivre une tension \(u(t) = U_{max} \cos(\omega t)\), où \(U_{max}\) est l'amplitude de la tension et \(\omega\) est la pulsation.

L'intensité du courant \(i(t)\) dans le circuit est également sinusoïdale, de même pulsation \(\omega\), mais déphasée par rapport à la tension : \(i(t) = I_{max} \cos(\omega t - \phi)\). L'amplitude de l'intensité \(I_{max}\) est donnée par :

I_{max} = \frac{U_{max}}{Z}

Où \(Z\) est l'impédance du circuit RLC série, calculée par :

Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

Avec :

\(R\) : Résistance en Ohms (\(\Omega\)).
\(X_L = L\omega\) : Réactance inductive en Ohms (\(\Omega\)).
\(X_C = \frac{1}{C\omega}\) : Réactance capacitive en Ohms (\(\Omega\)).

Le déphasage \(\phi\) du courant par rapport à la tension est donné par :

\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R}

Données du Problème

On considère un circuit RLC série alimenté par une tension sinusoïdale de valeur efficace \(U_{eff} = 10 \text{ V}\) et de fréquence \(f = 50 \text{ Hz}\).

Les composants du circuit ont les valeurs suivantes :

Résistance : \(R = 10 \text{ } \Omega\)
Inductance : \(L = 50 \text{ mH} = 0.05 \text{ H}\)
Capacité : \(C = 100 \text{ } \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \text{ F}\)

On rappelle que \(U_{max} = U_{eff} \times \sqrt{2}\) et que la pulsation \(\omega = 2\pi f\).

Schéma d'un circuit RLC série alimenté par une source de tension alternative.

Questions

Calculer la pulsation (vitesse angulaire) \(\omega\) de la tension d'alimentation.
Calculer la réactance inductive \(X_L\) de la bobine.
Calculer la réactance capacitive \(X_C\) du condensateur.
Calculer l'impédance totale \(Z\) du circuit.
Calculer l'amplitude \(I_{max}\) du courant dans le circuit.
Calculer la valeur efficace \(I_{eff}\) du courant dans le circuit.
Calculer le déphasage \(\phi\) du courant par rapport à la tension. Le circuit est-il globalement inductif, capacitif, ou purement résistif ?
Calculer la fréquence de résonance \(f_0\) de ce circuit.

Correction : Amplitude du Courant dans un Circuit RLC Série

1. Calcul de la Pulsation \(\omega\)

La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).

Données : \(f = 50 \text{ Hz}\).

\begin{aligned} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 50 \text{ Hz} \\ &= 100\pi \text{ rad/s} \\ &\approx 314.16 \text{ rad/s} \end{aligned}

La pulsation est \(\omega = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}\).

2. Calcul de la Réactance Inductive \(X_L\)

La réactance inductive \(X_L\) est donnée par \(X_L = L\omega\).

Données : \(L = 0.05 \text{ H}\), \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\).

\begin{aligned} X_L &= L\omega \\ &= 0.05 \text{ H} \times 100\pi \text{ rad/s} \\ &= 5\pi \text{ } \Omega \\ &\approx 15.71 \text{ } \Omega \end{aligned}

La réactance inductive est \(X_L = 5\pi \text{ } \Omega \approx 15.71 \text{ } \Omega\).

3. Calcul de la Réactance Capacitive \(X_C\)

La réactance capacitive \(X_C\) est donnée par \(X_C = \frac{1}{C\omega}\).

Données : \(C = 100 \times 10^{-6} \text{ F}\), \(\omega = 100\pi \text{ rad/s}\).

\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{C\omega} \\ &= \frac{1}{(100 \times 10^{-6} \text{ F}) \times 100\pi \text{ rad/s}} \\ &= \frac{1}{0.01\pi \text{ F} \cdot \text{rad/s}} \\ &= \frac{100}{\pi} \text{ } \Omega \\ &\approx 31.83 \text{ } \Omega \end{aligned}

La réactance capacitive est \(X_C = \frac{100}{\pi} \text{ } \Omega \approx 31.83 \text{ } \Omega\).

Quiz Intermédiaire

4. Calcul de l'Impédance Totale \(Z\)

L'impédance \(Z\) est donnée par \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\).

Données : \(R = 10 \text{ } \Omega\), \(X_L \approx 15.708 \text{ } \Omega\), \(X_C \approx 31.831 \text{ } \Omega\).

\begin{aligned} Z &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ &= \sqrt{(10 \text{ } \Omega)^2 + (15.708 \text{ } \Omega - 31.831 \text{ } \Omega)^2} \\ &= \sqrt{100 \text{ } \Omega^2 + (-16.123 \text{ } \Omega)^2} \\ &= \sqrt{100 \text{ } \Omega^2 + 259.95 \text{ } \Omega^2} \\ &= \sqrt{359.95 \text{ } \Omega^2} \\ &\approx 18.97 \text{ } \Omega \end{aligned}

L'impédance totale du circuit est \(Z \approx 18.97 \text{ } \Omega\).

Quiz Intermédiaire

5. Calcul de l'Amplitude du Courant \(I_{max}\)

L'amplitude du courant \(I_{max}\) est donnée par \(I_{max} = \frac{U_{max}}{Z}\). Il faut d'abord calculer \(U_{max}\) à partir de \(U_{eff}\).

Données : \(U_{eff} = 10 \text{ V}\), \(Z \approx 18.97 \text{ } \Omega\).

\begin{aligned} U_{max} &= U_{eff} \times \sqrt{2} \\ &= 10 \text{ V} \times \sqrt{2} \\ &\approx 14.142 \text{ V} \end{aligned}

\begin{aligned} I_{max} &= \frac{U_{max}}{Z} \\ &= \frac{14.142 \text{ V}}{18.97 \text{ } \Omega} \\ &\approx 0.745 \text{ A} \end{aligned}

L'amplitude du courant est \(I_{max} \approx 0.745 \text{ A}\).

6. Calcul de la Valeur Efficace du Courant \(I_{eff}\)

La valeur efficace du courant \(I_{eff}\) peut être calculée par \(I_{eff} = \frac{U_{eff}}{Z}\) ou \(I_{eff} = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}}\).

Données : \(U_{eff} = 10 \text{ V}\), \(Z \approx 18.97 \text{ } \Omega\), \(I_{max} \approx 0.745 \text{ A}\).

\begin{aligned} I_{eff} &= \frac{U_{eff}}{Z} \\ &= \frac{10 \text{ V}}{18.97 \text{ } \Omega} \\ &\approx 0.527 \text{ A} \end{aligned}

Vérification :

\begin{aligned} I_{eff} &= \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{0.745 \text{ A}}{\sqrt{2}} \\ &\approx \frac{0.745 \text{ A}}{1.4142} \\ &\approx 0.527 \text{ A} \end{aligned}

La valeur efficace du courant est \(I_{eff} \approx 0.527 \text{ A}\).

7. Calcul du Déphasage \(\phi\)

Le déphasage \(\phi\) est donné par \(\tan(\phi) = \frac{X_L - X_C}{R}\).

Données : \(R = 10 \text{ } \Omega\), \(X_L \approx 15.708 \text{ } \Omega\), \(X_C \approx 31.831 \text{ } \Omega\).

\begin{aligned} \tan(\phi) &= \frac{X_L - X_C}{R} \\ &= \frac{15.708 \text{ } \Omega - 31.831 \text{ } \Omega}{10 \text{ } \Omega} \\ &= \frac{-16.123 \text{ } \Omega}{10 \text{ } \Omega} \\ &= -1.6123 \end{aligned}

\begin{aligned} \phi &= \arctan(-1.6123) \\ &\approx -58.18^\circ \\ &\approx -1.015 \text{ radians} \end{aligned}

Puisque \(X_C > X_L\) (\(31.831 \text{ } \Omega > 15.708 \text{ } \Omega\)), la réactance capacitive domine la réactance inductive. Le circuit est donc globalement capacitif.

Un déphasage \(\phi < 0\) signifie que le courant \(i(t)\) est en avance sur la tension \(u(t)\).

Le déphasage est \(\phi \approx -58.18^\circ\). Le circuit est globalement capacitif, et le courant est en avance sur la tension.

Quiz Intermédiaire

8. Calcul de la Fréquence de Résonance \(f_0\)

La résonance dans un circuit RLC série se produit lorsque la réactance inductive \(X_L\) est égale à la réactance capacitive \(X_C\). L'impédance est alors minimale (\(Z=R\)). La pulsation de résonance \(\omega_0\) est donnée par \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\), et la fréquence de résonance \(f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}\).

Données : \(L = 0.05 \text{ H}\), \(C = 100 \times 10^{-6} \text{ F}\).

\begin{aligned} \omega_0 &= \frac{1}{\sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{0.05 \text{ H} \times 100 \times 10^{-6} \text{ F}}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{5 \times 10^{-6} \text{ H} \cdot \text{F}}} \\ &= \frac{1}{0.0022360679... \text{ s}} \\ &\approx 447.21 \text{ rad/s} \end{aligned}

\begin{aligned} f_0 &= \frac{\omega_0}{2\pi} \\ &= \frac{447.2136 \text{ rad/s}}{2\pi} \\ &\approx 71.18 \text{ Hz} \end{aligned}

La fréquence de résonance du circuit est \(f_0 \approx 71.18 \text{ Hz}\).

Glossaire des Termes Clés

Circuit RLC Série :

Circuit électrique comprenant une résistance (R), une bobine (inductance L) et un condensateur (capacité C) connectés en série.

Impédance (\(Z\)) :

Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. Elle généralise la notion de résistance aux circuits contenant des inductances et des capacités. Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Réactance Inductive (\(X_L\)) :

Opposition d'une bobine au passage d'un courant alternatif, due à son inductance. \(X_L = L\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Réactance Capacitive (\(X_C\)) :

Opposition d'un condensateur au passage d'un courant alternatif, due à sa capacité. \(X_C = \frac{1}{C\omega}\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).

Pulsation (\(\omega\)) :

Vitesse angulaire du signal sinusoïdal, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).

Déphasage (\(\phi\)) :

Différence de phase entre deux signaux sinusoïdaux de même fréquence (ici, entre la tension et le courant). Unité : degré (°) ou radian (rad).

Résonance (en série) :

Phénomène qui se produit dans un circuit RLC lorsque la réactance inductive est égale à la réactance capacitive (\(X_L = X_C\)). À la résonance, l'impédance est minimale (\(Z=R\)) et le courant est maximal.

Fréquence de Résonance (\(f_0\)) :

Fréquence à laquelle le phénomène de résonance se produit.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Comment le facteur de qualité \(Q\) d'un circuit RLC série influence-t-il la forme de la courbe de résonance (courant en fonction de la fréquence) ?

2. Tracez qualitativement l'allure des réactances \(X_L\), \(X_C\) et de l'impédance \(Z\) en fonction de la fréquence \(f\). Indiquez la position de la fréquence de résonance \(f_0\).

3. Que se passe-t-il si la résistance \(R\) dans le circuit RLC série est très faible ? Quel impact cela a-t-il sur le courant à la résonance ?

4. Les circuits RLC sont utilisés dans de nombreuses applications (filtres, oscillateurs, etc.). Donnez un exemple d'application où la propriété de résonance est exploitée.

5. Comment le diagramme de Fresnel peut-il être utilisé pour visualiser les tensions et l'impédance dans un circuit RLC série ?

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