Analyse du Multivibrateur Astable

Contexte : Le Multivibrateur AstableUn circuit électronique qui génère un signal de sortie oscillant (typiquement carré) sans avoir besoin d'un signal d'entrée pour le déclencher. Il n'a aucun état stable..

Le multivibrateur astable est l'un des circuits les plus fondamentaux en électronique pour la génération de signaux périodiques. Il est au cœur de nombreuses applications telles que les horloges pour les systèmes numériques, les générateurs de sons, les clignotants et bien d'autres. La version la plus célèbre et la plus polyvalente est construite autour du circuit intégré NE555. Cet exercice se concentre sur l'analyse de ce montage classique pour déterminer les caractéristiques clés de son signal de sortie : sa fréquence et son rapport cycliqueLe pourcentage de temps pendant lequel le signal est à l'état haut par rapport à la période totale du signal. Un rapport de 50% correspond à un signal carré parfait..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est essentiel pour comprendre comment la charge et la décharge d'un condensateur à travers des résistances peuvent être utilisées pour créer une base de temps précise, un concept fondamental dans la conception de tout système temporisé.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre le fonctionnement interne d'un timer 555 en mode astable.
Calculer la durée de l'état haut (\(T_{haut}\)) du signal de sortie.
Calculer la durée de l'état bas (\(T_{bas}\)) du signal de sortie.
Déterminer la période totale, la fréquence et le rapport cyclique de l'oscillateur.

Données de l'étude

On étudie un multivibrateur astable classique construit autour d'un timer NE555. Le circuit est alimenté par une tension \(V_{CC}\) de 9V. Les composants externes qui définissent la temporisation sont listés ci-dessous.

Schéma du Multivibrateur Astable à NE555

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance 1	R1	1	kilo-ohm (kΩ)
Résistance 2	R2	47	kilo-ohm (kΩ)
Condensateur	C1	100	nanofarad (nF)

Questions à traiter

Calculer la durée pendant laquelle la sortie est à l'état haut (\(T_{haut}\)).
Calculer la durée pendant laquelle la sortie est à l'état bas (\(T_{bas}\)).
En déduire la période totale (T) et la fréquence (f) du signal de sortie.
Calculer le rapport cyclique (\(\delta\)) du signal de sortie en pourcentage.

Les bases du Multivibrateur Astable à NE555

Le fonctionnement du 555 en mode astable repose sur la charge et la décharge répétitives d'un condensateur (C1) à travers un réseau de résistances (R1 et R2). Le circuit interne du 555 compare la tension aux bornes du condensateur à deux seuils fixes : \(1/3 V_{CC}\) (seuil bas) et \(2/3 V_{CC}\) (seuil haut).

1. Phase de Charge (Sortie à l'état HAUT)
Lorsque la tension du condensateur est inférieure à \(1/3 V_{CC}\), la sortie du 555 passe à l'état haut. Le condensateur C1 se charge alors à travers les résistances R1 et R2 en série. Cette phase dure jusqu'à ce que la tension du condensateur atteigne le seuil de \(2/3 V_{CC}\). \[ T_{haut} = \ln(2) \cdot (R_1 + R_2) \cdot C_1 \approx 0.693 \cdot (R_1 + R_2) \cdot C_1 \]

2. Phase de Décharge (Sortie à l'état BAS)
Quand la tension du condensateur atteint \(2/3 V_{CC}\), la sortie bascule à l'état bas. Le transistor de décharge interne au 555 (broche 7) devient passant, et le condensateur C1 se décharge uniquement à travers la résistance R2. Cette phase dure jusqu'à ce que la tension du condensateur retombe au seuil de \(1/3 V_{CC}\), et le cycle recommence. \[ T_{bas} = \ln(2) \cdot R_2 \cdot C_1 \approx 0.693 \cdot R_2 \cdot C_1 \]

3. Période, Fréquence et Rapport Cyclique
La période totale est la somme des temps haut et bas. La fréquence est son inverse. Le rapport cyclique est le ratio du temps haut sur la période totale. \[ T = T_{haut} + T_{bas} \quad ; \quad f = \frac{1}{T} \quad ; \quad \delta (\%) = \frac{T_{haut}}{T} \times 100 \]

Correction : Analyse du Multivibrateur Astable

Question 1 : Calculer la durée pendant laquelle la sortie est à l'état haut (\(T_{haut}\)).

Principe

L'état haut correspond à la phase de charge du condensateur C1. Cette charge se fait à travers les deux résistances R1 et R2 mises en série. La durée de cette phase est déterminée par la constante de temps \(\tau_{charge} = (R_1+R_2)C_1\) et les seuils de tension internes du 555 (\(1/3 V_{CC}\) et \(2/3 V_{CC}\)).

Mini-Cours

L'équation de charge d'un condensateur dans un circuit RC est \(V_C(t) = V_{final} + (V_{initial} - V_{final})e^{-t/\tau}\). Ici, \(V_{initial} = 1/3 V_{CC}\), \(V_{final} = V_{CC}\), et on cherche le temps \(t = T_{haut}\) pour que \(V_C(t) = 2/3 V_{CC}\). La résolution de cette équation mène à \(T_{haut} = \tau \ln(2)\), où \(\tau = (R_1+R_2)C_1\).

Remarque Pédagogique

Retenez simplement que pour l'état haut, le courant de charge doit traverser les deux résistances. C'est pourquoi la somme \((R_1 + R_2)\) apparaît dans la formule. C'est la partie la plus longue du cycle.

Normes

Les formules de charge des condensateurs sont des lois fondamentales de l'électrocinétique. Les caractéristiques du NE555 (seuils à 1/3 et 2/3 Vcc) sont définies par les fiches techniques (datasheets) des fabricants (ex: Texas Instruments, STMicroelectronics), qui constituent la référence normative pour ce composant.

Formule(s)

Formule du temps de charge (état haut)

T_{haut} = \ln(2) \cdot (R_1 + R_2) \cdot C_1

Hypothèses

Nous supposons que le circuit intégré 555 est idéal : les comparateurs internes basculent instantanément, le courant d'entrée des broches de seuil est nul, et la tension de sortie est soit \(V_{CC}\) (état haut), soit 0V (état bas).

Donnée(s)

Nous convertissons les valeurs de l'énoncé en unités du Système International (Ohm et Farad).

Résistance R1 = 1 kΩ = \(1 \times 10^3\) Ω
Résistance R2 = 47 kΩ = \(47 \times 10^3\) Ω
Capacité C1 = 100 nF = \(100 \times 10^{-9}\) F

Astuces

La constante \(\ln(2)\) vaut approximativement 0.693. Mémoriser cette valeur permet des calculs mentaux rapides pour estimer les durées.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma ci-dessous isole le chemin du courant pendant la phase de charge. Le condensateur C1 se remplit à travers R1 et R2.

Chemin de Charge du Condensateur

Calcul(s)

Calcul de la résistance totale de charge

R_1 + R_2 = 1 \times 10^3 + 47 \times 10^3 = 48 \times 10^3 \, \Omega

Calcul du temps haut \(T_{haut}\)

\begin{aligned} T_{haut} &= \ln(2) \cdot (48 \times 10^3) \cdot (100 \times 10^{-9}) \\ &\approx 0.693 \cdot (4800 \times 10^{-6}) \\ &\approx 0.003326 \text{ s} \\ &\approx 3.33 \text{ ms} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une durée. On peut la visualiser sur un chronogramme comme la largeur de l'impulsion positive du signal de sortie.

Visualisation de \(T_{haut}\)

Réflexions

La durée de l'état haut est de 3.33 millisecondes. C'est la première composante de notre signal carré. Sa valeur dépend de la somme des deux résistances, ce qui est une caractéristique importante de ce montage.

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est d'oublier d'inclure R1 dans le calcul du temps de charge. Le condensateur se charge bien à travers R1 ET R2. Assurez-vous également que toutes les unités sont converties en unités de base (kΩ en Ω, nF en F) avant de multiplier.

Points à retenir

Le temps haut \(T_{haut}\) est déterminé par la constante de temps \((R_1+R_2)C_1\). Pour augmenter la durée de l'état haut, il faut augmenter la valeur de R1, de R2 ou de C1.

Le saviez-vous ?

Le circuit intégré 555 a été conçu en 1971 par l'ingénieur suisse Hans R. Camenzind pour la société Signetics. C'est l'un des circuits intégrés les plus populaires jamais fabriqués, avec des milliards d'unités produites. Sa polyvalence et sa robustesse en font un favori des amateurs et des professionnels depuis plus de 50 ans.

FAQ

Question fréquente sur ce calcul :

Résultat Final

La durée pendant laquelle la sortie est à l'état haut, \(T_{haut}\), est d'environ 3.33 ms.

A vous de jouer

Recalculez \(T_{haut}\) si R1 est portée à 10 kΩ.

Question 2 : Calculer la durée pendant laquelle la sortie est à l'état bas (\(T_{bas}\)).

Principe

L'état bas correspond à la phase de décharge du condensateur C1. Lorsque la sortie du 555 est basse, un transistor interne (connecté à la broche 7, "Discharge") court-circuite le point entre R1 et R2 à la masse. Le condensateur C1 se vide alors uniquement à travers la résistance R2.

Mini-Cours

L'équation de décharge d'un condensateur est similaire à celle de la charge. Ici, \(V_{initial} = 2/3 V_{CC}\), \(V_{final} = 0V\), et on cherche le temps \(t = T_{bas}\) pour que \(V_C(t) = 1/3 V_{CC}\). La résolution de cette équation mène à \(T_{bas} = \tau \ln(2)\), où la constante de temps est cette fois \(\tau_{decharge} = R_2 C_1\).

Remarque Pédagogique

Pour l'état bas, le chemin de décharge passe par la broche 7 et ne traverse que R2. C'est pourquoi seule R2 apparaît dans la formule. Comme R1 n'intervient pas, le temps bas est toujours plus court que le temps haut dans ce montage standard.

Normes

Comme pour la question 1, ce calcul est basé sur les lois fondamentales de l'électricité et les spécifications du fabricant du NE555.

Formule(s)

Formule du temps de décharge (état bas)

T_{bas} = \ln(2) \cdot R_2 \cdot C_1

Hypothèses

Nous supposons que le transistor de décharge interne est parfait, c'est-à-dire que sa résistance à l'état passant est nulle (un court-circuit parfait vers la masse).

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs pertinentes de l'énoncé en unités SI.

Résistance R2 = 47 kΩ = \(47 \times 10^3\) Ω
Capacité C1 = 100 nF = \(100 \times 10^{-9}\) F

Astuces

Le calcul est très similaire à celui de \(T_{haut}\), mais en utilisant uniquement R2. Si vous avez déjà calculé le produit \(\ln(2) \cdot C_1\), vous pouvez le réutiliser pour accélérer le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma isole le chemin du courant pendant la phase de décharge. Le condensateur C1 se vide à travers R2 vers la broche 7 du 555 (connectée en interne à la masse).

Chemin de Décharge du Condensateur

Calcul(s)

Calcul du temps bas \(T_{bas}\)

\begin{aligned} T_{bas} &= \ln(2) \cdot R_2 \cdot C_1 \\ &\approx 0.693 \cdot (47 \times 10^3) \cdot (100 \times 10^{-9}) \\ &\approx 0.693 \cdot (4700 \times 10^{-6}) \\ &\approx 0.003257 \text{ s} \\ &\approx 3.26 \text{ ms} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce résultat correspond à la durée de la partie basse du signal de sortie sur un chronogramme.

Visualisation de \(T_{bas}\)

Réflexions

La durée de l'état bas est de 3.26 ms. On remarque qu'elle est très proche, mais légèrement inférieure, à la durée de l'état haut (3.33 ms). Cette différence est due au fait que R1 n'intervient que dans la charge.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'inclure R1 dans ce calcul. Rappelez-vous bien que la décharge se fait "en contournant" R1 grâce au transistor interne du 555. La formule ne doit contenir que R2.

Points à retenir

Le temps bas \(T_{bas}\) est déterminé par la constante de temps \(R_2 C_1\). Il est indépendant de R1. C'est cette asymétrie entre la charge et la décharge qui fait que le rapport cyclique d'un 555 astable standard ne peut jamais être égal ou inférieur à 50%.

Le saviez-vous ?

Pour obtenir un rapport cyclique de 50% avec un 555, il faut modifier le circuit. Une astuce courante consiste à placer une diode en parallèle de R2. Ainsi, lors de la charge, le courant traverse R1 et la diode (en court-circuitant R2), et lors de la décharge, il traverse R2. Si R1 = R2, le rapport cyclique devient très proche de 50%.

FAQ

Question fréquente sur ce calcul :

Résultat Final

La durée pendant laquelle la sortie est à l'état bas, \(T_{bas}\), est d'environ 3.26 ms.

A vous de jouer

Recalculez \(T_{bas}\) si R2 est remplacée par une résistance de 22 kΩ.

Question 3 : En déduire la période totale (T) et la fréquence (f) du signal de sortie.

Principe

La période totale du signal est simplement la durée complète d'un cycle, c'est-à-dire la somme du temps passé à l'état haut et du temps passé à l'état bas. La fréquence, qui représente le nombre de cycles par seconde, est l'inverse mathématique de la période.

Mini-Cours

Ces relations sont fondamentales pour tous les signaux périodiques. La période (T) se mesure en secondes (s) et la fréquence (f) en Hertz (Hz). Un Hertz correspond à un cycle par seconde. La relation \(f = 1/T\) est universelle.

Remarque Pédagogique

Pensez à la période comme à la "durée d'un battement de cœur" du circuit, et à la fréquence comme au "rythme cardiaque" (le nombre de battements par seconde). Les deux décrivent la même chose mais sous un angle différent.

Normes

Le Hertz (Hz) est l'unité de fréquence du Système International d'unités (SI), nommée en l'honneur du physicien Heinrich Hertz pour ses contributions fondamentales dans le domaine des ondes électromagnétiques.

Formule(s)

Formule de la Période Totale

T = T_{haut} + T_{bas}

Formule de la Fréquence

f = \frac{1}{T}

Hypothèses

Nous continuons avec les mêmes hypothèses que précédemment, en considérant que les temps de transition entre les états haut et bas sont négligeables.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des deux questions précédentes.

Temps haut, \(T_{haut} \approx 3.33\) ms
Temps bas, \(T_{bas} \approx 3.26\) ms

Astuces

Pour une meilleure précision, il est préférable de sommer les valeurs non arrondies avant de faire le calcul final. La formule complète de la période est \(T = \ln(2) \cdot (R_1 + 2R_2) \cdot C_1\).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma montre comment la période T est la somme des durées des états haut et bas sur le chronogramme du signal de sortie.

Composition de la Période T

Calcul(s)

Calcul de la Période T

\begin{aligned} T &= T_{haut} + T_{bas} \\ &= 3.326 \times 10^{-3} + 3.257 \times 10^{-3} \\ &= 6.583 \times 10^{-3} \text{ s} \\ &\approx 6.58 \text{ ms} \end{aligned}

Calcul de la Fréquence f

\begin{aligned} f &= \frac{1}{T} \\ &= \frac{1}{6.583 \times 10^{-3}} \\ &\approx 151.9 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat final est un signal carré avec une fréquence et une période bien définies.

Signal de Sortie Final

Réflexions

Le circuit génère un signal carré d'environ 152 Hz. Cette fréquence est directement contrôlable en changeant les valeurs de R1, R2 ou C1, ce qui illustre la grande flexibilité du 555 comme oscillateur.

Points de vigilance

Assurez-vous de bien utiliser la période en secondes (s) pour le calcul de la fréquence en Hertz (Hz). Utiliser des millisecondes (ms) directement dans la formule \(f=1/T\) donnerait un résultat en kilohertz (kHz), ce qui peut être une source d'erreur.

Points à retenir

La période totale est la somme des temps haut et bas. La fréquence est toujours l'inverse de la période. Ces deux grandeurs sont les caractéristiques les plus importantes d'un signal oscillant.

Le saviez-vous ?

Les premiers signaux d'horloge dans les ordinateurs étaient générés par des circuits astables similaires, mais beaucoup plus complexes, utilisant des tubes à vide. L'invention de circuits intégrés comme le 555 a permis de miniaturiser et de fiabiliser considérablement ces fonctions essentielles.

FAQ

Question fréquente sur ce calcul :

Résultat Final

La période T est d'environ 6.58 ms et la fréquence f est d'environ 152 Hz.

A vous de jouer

Si un autre circuit a un \(T_{haut}\) de 1 ms et un \(T_{bas}\) de 1 ms, quelle est sa fréquence ?

Question 4 : Calculer le rapport cyclique (\(\delta\)) du signal de sortie en pourcentage.

Principe

Le rapport cyclique, ou "duty cycle", est une mesure qui indique la proportion du temps pendant lequel le signal est à l'état haut par rapport à la période totale. C'est un paramètre crucial pour de nombreuses applications, comme la commande de moteurs (PWM) ou la transmission de données.

Mini-Cours

Un rapport cyclique de 50% signifie que le signal passe autant de temps à l'état haut qu'à l'état bas (c'est un signal carré parfait). Un rapport de 25% signifie que le signal est haut pendant un quart de la période. Pour le montage 555 astable standard, le temps haut est toujours plus long que le temps bas, donc le rapport cyclique est toujours supérieur à 50%.

Remarque Pédagogique

Le rapport cyclique est une information sur la "forme" du signal, tandis que la fréquence est une information sur sa "vitesse". Deux signaux peuvent avoir la même fréquence mais des rapports cycliques très différents, ce qui aura des effets très différents dans un circuit.

Normes

Le rapport cyclique est une définition standard en électronique et en traitement du signal, généralement exprimé en pourcentage (%).

Formule(s)

Formule du Rapport Cyclique

\delta = \frac{T_{haut}}{T} = \frac{T_{haut}}{T_{haut} + T_{bas}}

Formule en fonction des résistances

\delta = \frac{R_1 + R_2}{R_1 + 2R_2}

Hypothèses

Les hypothèses d'idéalité du composant 555 restent valides.

Donnée(s)

Nous utilisons les résultats des questions précédentes ou les valeurs des résistances.

Temps haut, \(T_{haut} \approx 3.33\) ms
Période, \(T \approx 6.58\) ms
Ou : R1 = 1 kΩ, R2 = 47 kΩ

Astuces

Utiliser la formule avec les résistances est souvent plus précis car elle ne dépend pas des arrondis des calculs de temps intermédiaires. C'est aussi un bon moyen de vérifier vos calculs précédents.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre visuellement ce que représente le rapport cyclique : le ratio de la durée de l'impulsion positive sur la durée totale du cycle.

Définition Visuelle du Rapport Cyclique

Calcul(s)

Calcul du rapport cyclique \(\delta\)

\begin{aligned} \delta &= \frac{T_{haut}}{T} \\ &= \frac{3.326 \times 10^{-3}}{6.583 \times 10^{-3}} \\ &\approx 0.5052 \\ &\approx 50.52 \% \end{aligned}

Vérification avec les résistances

\begin{aligned} \delta &= \frac{R_1 + R_2}{R_1 + 2R_2} \\ &= \frac{1000 + 47000}{1000 + 2 \cdot 47000} \\ &= \frac{48000}{95000} \\ &\approx 0.5052 \approx 50.52 \% \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat indique que notre signal est presque un carré parfait, avec un état haut qui dure un peu plus de la moitié de la période.

Rapport Cyclique de 50.5%

Réflexions

Un rapport cyclique de 50.5% est très proche d'un signal carré parfait (50%). Cela est dû au fait que la résistance R1 (1 kΩ) est très petite par rapport à R2 (47 kΩ). Par conséquent, le temps de charge \((R_1+R_2)C_1\) est très similaire au temps de décharge \(R_2 C_1\). Pour s'approcher d'un rapport de 50%, il faut toujours choisir R1 beaucoup plus petite que R2.

Points de vigilance

N'oubliez pas de multiplier le ratio par 100 si le résultat est demandé en pourcentage. Assurez-vous également d'utiliser les mêmes unités (kΩ ou Ω) pour R1 et R2 dans la formule simplifiée, car c'est un ratio.

Points à retenir

Le rapport cyclique d'un 555 astable est contrôlé par le ratio entre R1 et R2. Il est toujours supérieur à 50%. Pour s'approcher de 50%, il faut que R1 soit la plus petite possible par rapport à R2.

Le saviez-vous ?

La technique de modulation de largeur d'impulsion (PWM, Pulse Width Modulation) utilise un signal à fréquence fixe mais dont on fait varier le rapport cyclique. C'est la méthode la plus courante pour contrôler la vitesse des moteurs à courant continu ou l'intensité des lumières LED de manière efficace, en simulant une tension analogique moyenne.

FAQ

Question fréquente sur ce calcul :

Résultat Final

Le rapport cyclique \(\delta\) du signal est d'environ 50.52 %.

A vous de jouer

Quel serait le rapport cyclique si R1 = 10 kΩ et R2 = 10 kΩ ?

Outil Interactif : Simulateur de Multivibrateur

Utilisez les curseurs pour modifier les valeurs de R1, R2 et C1. Observez comment la fréquence et le rapport cyclique du signal de sortie sont affectés. Le graphique montre la tension aux bornes du condensateur (en orange) et la tension de sortie (en vert).

Paramètres d'Entrée

Résistance R1 (kΩ) 1 kΩ

Résistance R2 (kΩ) 47 kΩ

Capacité C1 (nF) 100 nF

Résultats Clés

Fréquence (f) -

Période (T) -

Rapport Cyclique (\(\delta\)) -

Multivibrateur Astable: Circuit oscillant qui n'a pas d'état stable et qui bascule continuellement entre deux états (haut et bas), générant ainsi un signal périodique.
Rapport Cyclique (Duty Cycle): Pourcentage de la période totale d'un signal pendant lequel celui-ci est à l'état haut. Un rapport de 50% caractérise un signal carré parfait.
NE555: Circuit intégré extrêmement polyvalent utilisé comme temporisateur, oscillateur ou bascule. Son fonctionnement en mode astable est l'une de ses applications les plus courantes.
Seuil de basculement: Niveau de tension de référence utilisé par un comparateur pour changer l'état de sa sortie. Le 555 utilise deux seuils : 1/3 Vcc et 2/3 Vcc.