Analyse Dynamique d’un Circuit R-C
Comprendre l’Analyse Dynamique d’un Circuit R-C
Dans un circuit électronique simple, un dipôle composé d’une résistance \(R\) et d’un condensateur \(C\) est connecté en série avec une source de tension alternative \(V(t)\). La source de tension délivre une tension sinusoïdale définie par l’équation \(V(t) = V_0 \sin(\omega t)\), où \(V_0\) est l’amplitude de la tension, \(\omega\) est la fréquence angulaire et \(t\) est le temps en secondes.
Données:
- Amplitude de la tension, \(V_0\): 10 V
- Fréquence angulaire, \(\omega\): \(100\pi\) rad/s
- Résistance, \(R\): 50 ohms
- Capacité du condensateur, \(C\): 100 microfarads (\(100 \times 10^{-6}\) farads)
Question:
Calculer l’intensité \(I(t)\) du courant qui traverse le dipôle à différents instants, ainsi que sa valeur moyenne sur une période. Nous chercherons également à comprendre l’impact de la phase sur l’intensité en comparaison avec la tension.
Correction : Analyse Dynamique d’un Circuit R-C
1. Calcul de l’impédance totale du circuit
Dans un circuit série comportant une résistance R et un condensateur C, l’impédance totale Z est la somme vectorielle de la résistance et de la réactance capacitive. La réactance capacitive, notée XC, est donnée par \[ X_C = \frac{1}{\omega C} \] La formule de l’impédance est donc \[ Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2} \]
Formule
\[ Z = \sqrt{R^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2} \]
Données
Calcul
Calcul de la réactance capacitive :
\[ X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 100 \times 10^{-6}} \]
Calculons le dénominateur :
\[ \omega C = 100\pi \times 100 \times 10^{-6} = 100\pi \times 10^{-4} \] \[ \omega C = 0.01\pi \approx 0.031416 \]
Ainsi,
\[ X_C \approx \frac{1}{0.031416} \approx 31.83\ \Omega \]
Ensuite, l'impédance totale :
\[ Z = \sqrt{50^2 + (31.83)^2} \] \[ Z = \sqrt{2500 + 1013.6} \] \[ Z = \sqrt{3513.6} \] \[ Z \approx 59.27\ \Omega \]
2. Calcul de l’amplitude du courant
Le courant dans un circuit R-C est obtenu en appliquant la loi d’Ohm en régime sinusoïdal. L’amplitude du courant, notée I0, est égale à l’amplitude de la tension divisée par l’impédance du circuit.
Formule
\[ I_0 = \frac{V_0}{Z} \]
Données
Calcul
\[ I_0 = \frac{10}{59.27} \approx 0.1686\ \text{A} \]
3. Calcul du déphasage entre tension et courant
En raison de la présence du condensateur, le courant et la tension ne sont pas en phase. Dans un circuit RC, le courant avance la tension d’un angle ϕ donné par \[ \phi = \arctan\left(\frac{X_C}{R}\right) \] Ce déphasage est une conséquence de la réactance capacitive qui décale la phase.
Formule
\[ \phi = \arctan\left(\frac{1}{\omega C \times R}\right) \] (Remarquons que \( X_C = \frac{1}{\omega C} \), donc \( \phi = \arctan\left(\frac{X_C}{R}\right) \).)
Données
Calcul
\[ \phi = \arctan\left(\frac{31.83}{50}\right) \] \[ \phi \approx \arctan(0.6366) \] \[ \phi \approx 0.569\ \text{rad} \]
Pour information, ceci correspond à environ \(32.6^\circ\).
4. Expression temporelle du courant \(I(t)\)
La tension appliquée est donnée par \[ V(t) = V_0 \sin(\omega t) \] En régime sinusoïdal, le courant dans le circuit est déphasé par \( \phi \) par rapport à la tension. Ainsi, le courant s’exprime sous la forme \[ I(t) = I_0 \sin\left(\omega t + \phi\right) \] Le signe positif devant \( \phi \) indique que le courant avance la tension.
Formule
\[ I(t) = I_0 \sin\left(\omega t + \phi\right) \]
Données
Calcul
En substituant les valeurs : \[ I(t) \approx 0.1686\ \sin\left(100\pi\,t + 0.569\right)\ \text{A} \]
5. Calcul de la valeur moyenne du courant sur une période
La valeur moyenne d’une fonction sinusoïdale pure sur une période complète est nulle. En effet, \[ \langle \sin(\theta) \rangle_{T} = 0 \] car les contributions positives et négatives s’annulent.
Données
Nous utilisons la fonction sinus sur une période complète.
Conclusion
La valeur moyenne du courant est donc : \[ \langle I(t) \rangle = 0\ \text{A} \]
6. Impact du déphasage sur l’intensité en comparaison avec la tension
a. Analyse de la phase
Le maximum du courant est atteint avant le maximum de la tension, avec un décalage en temps donné par \[ \Delta t = \frac{\phi}{\omega} \approx \frac{0.569}{100\pi} \approx 0.00181\ \text{s} \] - Cela est typique dans un circuit RC, où le condensateur tend à "faire devancer" le courant par rapport à la tension.
b. Interprétation
Analyse Dynamique d’un Circuit R-C
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