Application de la Méthode des Tensions de Nœud

La méthode des tensions de nœud est une technique puissante pour analyser les circuits électriques. Elle est basée sur l'application de la loi des nœuds de Kirchhoff (KCL), qui stipule que la somme algébrique des courants entrant dans un nœud (ou sortant d'un nœud) est nulle.

Étapes générales de la méthode des tensions de nœud :

Choisir un nœud de référence (généralement la masse, potentiel 0 V).
Identifier tous les autres nœuds essentiels du circuit et leur assigner des tensions inconnues (par exemple, \(V_A, V_B, \dots\)). Un nœud essentiel est un point où trois branches ou plus se rencontrent.
Pour chaque nœud essentiel non-référence, appliquer la KCL. Exprimer les courants dans chaque branche en fonction des tensions de nœud et des résistances (en utilisant la loi d'Ohm, \(I = (V_{noeud1} - V_{noeud2})/R\)).
Résoudre le système d'équations linéaires obtenu pour trouver les tensions de nœud inconnues.
Une fois les tensions de nœud connues, calculer les courants souhaités ou d'autres grandeurs du circuit.

Données du Problème

Considérons le circuit en courant continu suivant :

Source de tension : \(V_S = 12 \text{ V}\)
Source de courant : \(I_S = 2 \text{ A}\) (dirigée vers le nœud A, comme indiqué sur le schéma)
Résistance 1 : \(R_1 = 2 \, \Omega\)
Résistance 2 : \(R_2 = 4 \, \Omega\)
Résistance 3 : \(R_3 = 6 \, \Omega\)

Questions

Identifier le(s) nœud(s) essentiel(s) (autre que la référence) et assigner une tension de nœud \(V_A\).
Définir le sens des courants dans chaque branche connectée au nœud A (\(I_{R1}\), \(I_{R2}\), \(I_{R3}\)).
Écrire l'équation de la loi des nœuds de Kirchhoff (KCL) au nœud A en exprimant chaque courant en fonction de \(V_A\), \(V_S\), \(I_S\) et des résistances.
Résoudre l'équation pour trouver la tension de nœud \(V_A\).
Calculer le courant \(I_{R1}\) traversant la résistance \(R_1\). Indiquer son sens.
Calculer le courant \(I_{R2}\) traversant la résistance \(R_2\). Indiquer son sens.
Calculer le courant \(I_{R3}\) traversant la résistance \(R_3\). Indiquer son sens.
Vérifier la loi des nœuds au nœud A avec les courants calculés.
Calculer la puissance dissipée par la résistance \(R_2\).

Correction : Application de la Méthode des Tensions de Nœud

1. Identification des Nœuds Essentiels

Un nœud essentiel est un point où trois branches ou plus se connectent. Le nœud de référence (masse) est choisi comme potentiel 0V.

Dans ce circuit, il y a un seul nœud essentiel autre que la référence. Nous l'appelons nœud A, et sa tension par rapport à la masse est \(V_A\).

Le nœud essentiel est A, de tension \(V_A\).

2. Définition du Sens des Courants

On choisit arbitrairement un sens pour les courants dans les branches des résistances. Si le calcul donne une valeur négative, cela signifie que le courant circule en sens inverse.

Convention adoptée (les courants sont considérés sortant du nœud A pour \(I_{R1}\), \(I_{R2}\), \(I_{R3}\) lors de l'écriture de KCL, sauf pour \(I_S\) qui est entrant) :

\(I_{R1}\) : courant traversant \(R_1\), allant de \(V_S\) vers \(V_A\). (Attention, pour KCL au nœud A, on exprimera le courant sortant de A vers \(V_S\) via \(R_1\), ou entrant de \(V_S\) vers A). Pour KCL, il est plus simple de définir les courants sortant du nœud A :
- Courant dans \(R_1\) sortant de A : \(I_{R1, sortant} = \frac{V_A - V_S}{R_1}\)
- Courant dans \(R_2\) sortant de A : \(I_{R2, sortant} = \frac{V_A - 0}{R_2} = \frac{V_A}{R_2}\)
- Courant dans \(R_3\) sortant de A : \(I_{R3, sortant} = \frac{V_A - 0}{R_3} = \frac{V_A}{R_3}\)
\(I_S\) : courant de la source de courant, entrant dans le nœud A.

Sens des courants pour KCL au nœud A : \(I_S\) entrant ; \(I_{R1, sortant}\), \(I_{R2, sortant}\), \(I_{R3, sortant}\) sortants.

3. Équation KCL au Nœud A

La somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant de ce nœud (ou la somme algébrique des courants est nulle).

Somme des courants sortants = Somme des courants entrants.

Courants sortants de A : \(\frac{V_A - V_S}{R_1} + \frac{V_A}{R_2} + \frac{V_A}{R_3}\). (Note: le courant dans la branche de \(R_1\) est \( (V_A - V_S)/R_1 \) si on le considère sortant de A. Si on le considère entrant depuis \(V_S\), c'est \( (V_S - V_A)/R_1 \)).

Pour simplifier, utilisons la convention : \(\sum I_{sortant} = 0\) (où un courant entrant est un courant sortant négatif).

Courant sortant par \(R_1\): \( \frac{V_A - V_S}{R_1} \)

Courant sortant par \(R_2\): \( \frac{V_A}{R_2} \)

Courant sortant par \(R_3\): \( \frac{V_A}{R_3} \)

Courant de la source \(I_S\) est entrant, donc \(-I_S\) si on somme les courants sortants.

Données :

\(V_S = 12 \text{ V}\)
\(I_S = 2 \text{ A}\)
\(R_1 = 2 \, \Omega\)
\(R_2 = 4 \, \Omega\)
\(R_3 = 6 \, \Omega\)

\frac{V_A - V_S}{R_1} + \frac{V_A}{R_2} + \frac{V_A}{R_3} - I_S = 0

Réorganisation de l'équation :

V_A \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right) = \frac{V_S}{R_1} + I_S

L'équation KCL au nœud A est : \(V_A \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right) = \frac{V_S}{R_1} + I_S\).

Quiz Intermédiaire : Équation KCL

4. Résolution pour la Tension de Nœud \(V_A\)

On substitue les valeurs numériques dans l'équation KCL réorganisée.

Données :

\(V_S = 12 \text{ V}\)
\(I_S = 2 \text{ A}\)
\(R_1 = 2 \, \Omega\)
\(R_2 = 4 \, \Omega\)
\(R_3 = 6 \, \Omega\)

\begin{aligned} V_A \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right) &= \frac{12}{2} + 2 \\ V_A \left( \frac{6+3+2}{12} \right) &= 6 + 2 \\ V_A \left( \frac{11}{12} \right) &= 8 \\ V_A &= 8 \times \frac{12}{11} \\ V_A &= \frac{96}{11} \text{ V} \\ V_A &\approx 8.727 \text{ V} \end{aligned}

La tension de nœud est \(V_A \approx 8.73 \text{ V}\).

Quiz Intermédiaire : Utilisation de \(V_A\)

5. Calcul du Courant \(I_{R1}\)

Le courant \(I_{R1}\) est le courant qui traverse \(R_1\). On le définit comme allant de \(V_S\) vers \(V_A\). \(I_{R1} = \frac{V_S - V_A}{R_1}\).

Données :

\(V_S = 12 \text{ V}\)
\(V_A \approx 8.727 \text{ V}\)
\(R_1 = 2 \, \Omega\)

\begin{aligned} I_{R1} &= \frac{12 - 8.727}{2} \\ &= \frac{3.273}{2} \\ &\approx 1.6365 \text{ A} \end{aligned}

Puisque \(I_{R1}\) est positif, le courant circule bien de \(V_S\) vers \(V_A\).

Le courant \(I_{R1} \approx 1.637 \text{ A}\) (de la source \(V_S\) vers le nœud A).

6. Calcul du Courant \(I_{R2}\)

Le courant \(I_{R2}\) traverse \(R_2\) du nœud A vers la masse. \(I_{R2} = \frac{V_A - 0}{R_2} = \frac{V_A}{R_2}\).

Données :

\(V_A \approx 8.727 \text{ V}\)
\(R_2 = 4 \, \Omega\)

\begin{aligned} I_{R2} &= \frac{8.727}{4} \\ &\approx 2.18175 \text{ A} \end{aligned}

Puisque \(I_{R2}\) est positif, le courant circule bien de A vers la masse.

Le courant \(I_{R2} \approx 2.182 \text{ A}\) (du nœud A vers la masse).

7. Calcul du Courant \(I_{R3}\)

Le courant \(I_{R3}\) traverse \(R_3\) du nœud A vers la masse. \(I_{R3} = \frac{V_A - 0}{R_3} = \frac{V_A}{R_3}\).

Données :

\(V_A \approx 8.727 \text{ V}\)
\(R_3 = 6 \, \Omega\)

\begin{aligned} I_{R3} &= \frac{8.727}{6} \\ &\approx 1.4545 \text{ A} \end{aligned}

Puisque \(I_{R3}\) est positif, le courant circule bien de A vers la masse.

Le courant \(I_{R3} \approx 1.455 \text{ A}\) (du nœud A vers la masse).

Quiz Intermédiaire : Sens du Courant

8. Vérification de la Loi des Nœuds au Nœud A

Somme des courants entrants = Somme des courants sortants.
Courants entrants à A : \(I_{R1}\) (si \(V_S > V_A\)) et \(I_S\).
Courants sortants de A : \(I_{R2}\) et \(I_{R3}\). (Et \(I_{R1}\) si \(V_A > V_S\)). Utilisons notre définition initiale pour KCL : \(\frac{V_A - V_S}{R_1} + \frac{V_A}{R_2} + \frac{V_A}{R_3} - I_S = 0\). Le courant \(\frac{V_S - V_A}{R_1}\) est entrant. Les courants \(\frac{V_A}{R_2}\) et \(\frac{V_A}{R_3}\) sont sortants. \(I_S\) est entrant. Donc, \(I_S + \frac{V_S - V_A}{R_1} = \frac{V_A}{R_2} + \frac{V_A}{R_3}\).

Avec nos valeurs calculées :

Courant entrant \(I_{R1} \approx 1.6365 \text{ A}\) (de \(V_S\) vers A)
Courant entrant \(I_S = 2 \text{ A}\)
Courant sortant \(I_{R2} \approx 2.18175 \text{ A}\) (de A vers GND)
Courant sortant \(I_{R3} \approx 1.4545 \text{ A}\) (de A vers GND)

Somme des courants entrants :

I_{entrant} = I_S + I_{R1} \approx 2 \text{ A} + 1.6365 \text{ A} = 3.6365 \text{ A}

Somme des courants sortants :

I_{sortant} = I_{R2} + I_{R3} \approx 2.18175 \text{ A} + 1.4545 \text{ A} \approx 3.63625 \text{ A}

Les valeurs sont très proches (la différence est due aux arrondis).

La loi des nœuds est vérifiée au nœud A (\(I_{entrant} \approx I_{sortant}\)).

9. Puissance Dissipée par \(R_2\)

La puissance dissipée par \(R_2\) est \(P_{R2} = R_2 I_{R2}^2\).

Données :

\(R_2 = 4 \, \Omega\)
\(I_{R2} \approx 2.18175 \text{ A}\)

\begin{aligned} P_{R2} &= (4 \, \Omega) \times (2.18175 \text{ A})^2 \\ &\approx 4 \times 4.7600 \\ &\approx 19.04 \text{ W} \end{aligned}

La puissance dissipée par \(R_2\) est \(P_{R2} \approx 19.04 \text{ W}\).

Glossaire des Termes Clés

Méthode des Tensions de Nœud :

Technique d'analyse de circuit qui utilise les tensions aux nœuds essentiels comme variables inconnues pour résoudre le circuit.

Loi des Nœuds de Kirchhoff (KCL) :

La somme algébrique des courants électriques en un nœud (point de connexion) dans un circuit électrique est nulle. Autrement dit, la somme des courants entrants est égale à la somme des courants sortants.

Nœud Essentiel :

Un point dans un circuit où trois branches ou plus se rencontrent.

Nœud de Référence (Masse) :

Un nœud choisi dans un circuit auquel on attribue un potentiel de zéro volt. Toutes les autres tensions de nœud sont mesurées par rapport à ce nœud.

Tension de Nœud :

La tension d'un nœud essentiel par rapport au nœud de référence.

Questions d'Ouverture ou de Réflexion

1. Dans quels cas la méthode des tensions de nœud est-elle généralement plus simple à appliquer que la méthode des courants de maille ?

2. Comment la méthode des tensions de nœud est-elle modifiée si une source de tension idéale est connectée entre deux nœuds essentiels non-référence (concept de "supernœud") ?

3. Si le circuit contenait des sources de courant dépendantes, comment cela affecterait-il la formulation des équations de KCL ?

4. Le choix du nœud de référence a-t-il un impact sur les courants réels calculés dans les branches du circuit ? Expliquez.

5. Comment peut-on utiliser la méthode des tensions de nœud pour analyser des circuits en régime sinusoïdal permanent (courant alternatif) ? Quelles grandeurs deviennent des nombres complexes ?

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