Calcul de la Charge d'un Condensateur
Contexte : Le circuit RCUn circuit électrique composé d'une résistance (R) et d'un condensateur (C). Il est fondamental pour créer des filtres, des oscillateurs ou des circuits de temporisation..
Cet exercice porte sur l'un des concepts fondamentaux de l'électronique : la charge d'un condensateurUn composant électronique qui stocke de l'énergie sous forme de champ électrique. Sa capacité à stocker cette énergie est mesurée en Farads (F). à travers une résistanceUn composant qui s'oppose au passage du courant électrique. Sa valeur est mesurée en Ohms (Ω).. Comprendre ce phénomène, appelé régime transitoireL'état temporaire d'un circuit après un changement brusque (comme la fermeture d'un interrupteur), avant qu'il n'atteigne un état stable., est essentiel pour analyser le comportement de nombreux circuits électroniques, des simples temporisateurs aux filtres complexes. Nous allons décomposer le processus de calcul pour déterminer l'évolution de la tension aux bornes du condensateur au fil du temps.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la constante de temps, à formuler l'équation de charge et à prédire la tension dans un circuit RC à n'importe quel instant.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et calculer la constante de tempsNotée τ (tau), elle caractérise la rapidité de charge ou de décharge d'un condensateur dans un circuit RC. τ = R × C. d'un circuit RC.
- Établir et utiliser l'équation mathématique décrivant la tension de charge du condensateur.
- Analyser l'impact de la résistance et de la capacité sur la vitesse de charge.
Données de l'étude
Schéma du Circuit
Circuit RC Série
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension de la source | \(E\) | 12 | V (Volts) |
| Résistance | \(R\) | 100 | kΩ (kilo-ohms) |
| Capacité | \(C\) | 47 | µF (microfarads) |
Questions à traiter
- Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
- Quelle est la tension maximale \(V_{\text{C,max}}\) aux bornes du condensateur une fois qu'il est complètement chargé ?
- Donner l'expression littérale puis numérique de la tension \(V_{\text{C}}(t)\) aux bornes du condensateur en fonction du temps.
- Calculer la tension aux bornes du condensateur à l'instant \(t = \tau\).
- Au bout de combien de temps peut-on considérer que le condensateur est chargé à 99% de sa tension maximale ?
Les bases sur les Circuits RC
Pour résoudre cet exercice, il est crucial de maîtriser deux concepts clés liés au circuit RC en régime transitoire.
1. La Constante de Temps \(\tau\)
La constante de temps, notée \(\tau\) (tau), est une mesure de la rapidité de charge (ou de décharge) du condensateur. Elle représente le temps nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur atteigne environ 63.2% de sa valeur finale. Une constante de temps faible signifie une charge rapide, et inversement. Elle se calcule simplement par le produit de la résistance et de la capacité.
Avec \(\tau\) en secondes (s), R en Ohms (Ω) et C en Farads (F).
2. L'Équation de Charge du Condensateur
L'évolution de la tension \(V_{\text{C}}\) aux bornes du condensateur au cours du temps \(t\) n'est pas linéaire mais suit une loi exponentielle. En partant d'un condensateur déchargé, la tension à un instant \(t\) est donnée par la formule suivante :
Où \(E\) est la tension de la source, \(e\) est la base du logarithme népérien (environ 2.718), \(t\) est le temps écoulé et \(\tau\) est la constante de temps.
Correction : Calcul de la Charge d'un Condensateur
Question 1 : Calculer la constante de temps \(\tau\) du circuit.
Principe (le concept physique)
La constante de temps, notée \(\tau\) (tau), représente la "personnalité" temporelle d'un circuit RC. C'est une mesure de son inertie ou de sa rapidité à réagir à un changement. Physiquement, elle est le résultat de l'interaction entre l'élément qui dissipe l'énergie (la résistance) et celui qui la stocke (le condensateur).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Dans un circuit RC, \(\tau\) est le temps nécessaire pour que la tension aux bornes du condensateur atteigne environ 63,2% de sa valeur finale lors de la charge (ou descende à 36,8% de sa valeur initiale lors de la décharge). Ce chiffre de 63,2% n'est pas arbitraire, il correspond à la valeur de \(1 - e^{-1}\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
La première chose à faire face à un circuit du premier ordre (comme le circuit RC) est de calculer sa constante de temps. C'est la clé qui vous donnera l'échelle de tous les phénomènes transitoires du circuit. Sans elle, vous ne pouvez pas savoir si le circuit réagit en microsecondes ou en minutes !
Normes (la référence réglementaire)
Il n'y a pas de norme d'ingénierie (type Eurocode ou autre) qui régit ce calcul fondamental. Il repose sur les lois universelles de l'électricité établies par des physiciens comme Ohm et Kirchhoff, qui sont le fondement de toute l'électronique.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la constante de temps
Hypothèses (le cadre du calcul)
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes, typiques des exercices d'électronique fondamentale :
- Les composants sont idéaux : la résistance est purement résistive et le condensateur est purement capacitif, sans fuites ni inductances parasites.
- Les fils de connexion ont une résistance nulle.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous extrayons les valeurs de l'énoncé pour les préparer au calcul.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Résistance | \(R\) | 100 | kΩ |
| Capacité | \(C\) | 47 | µF |
Astuces(Pour aller plus vite)
Pour éviter les erreurs de conversion avec les puissances de 10, retenez cette astuce : si R est en kilo-ohms (kΩ) et C en microfarads (µF), le résultat de leur produit sera directement en millisecondes (ms). De même, MΩ × µF = s.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Conversion de la résistance en Ohms
Conversion de la capacité en Farads
Calcul de la constante de temps \(\tau\)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Une constante de temps de 4.7 secondes indique un circuit relativement "lent". Il faudra attendre plusieurs dizaines de secondes pour qu'il atteigne son état stable. Ce genre de valeur est typique des circuits de temporisation ou de filtrage basse fréquence.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
L'erreur la plus commune, et de loin, est l'oubli de la conversion des unités. Calculer \(100 \times 47 = 4700\) sans gérer les puissances de 10 (\(10^3\) pour "kilo" et \(10^{-6}\) pour "micro") est une erreur fatale qui mène à un résultat absurde (4700 s, soit plus d'une heure !).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- La formule de la constante de temps est \(\tau = R \times C\).
- Les unités doivent être homogènes : Ohms (Ω) et Farads (F) pour un résultat en secondes (s).
- \(\tau\) caractérise la rapidité de réaction du circuit.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le concept de "constante de temps" n'est pas exclusif à l'électronique. On le retrouve dans de nombreux domaines de la physique pour décrire des systèmes du premier ordre : en thermique (refroidissement d'un objet), en mécanique des fluides (vidange d'un réservoir), ou même en biologie (absorption d'un médicament par l'organisme).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Calculez la nouvelle constante de temps si la résistance est de 22 kΩ et le condensateur de 100 µF.
Question 2 : Quelle est la tension maximale \(V_{\text{C,max}}\) aux bornes du condensateur ?
Principe (le concept physique)
Une fois le régime transitoire terminé, le circuit atteint un état stable appelé régime permanent (ou continu). Dans cet état, le condensateur est complètement chargé et se comporte comme une barrière infranchissable pour le courant continu.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Un condensateur chargé bloque le courant continu. Pourquoi ? Parce que le courant est un déplacement de charges. Une fois que les armatures du condensateur ont accumulé le maximum de charges qu'elles peuvent contenir pour une tension donnée, plus aucune charge ne peut s'y ajouter, et le flux (le courant) s'arrête. Le circuit se comporte alors comme s'il était coupé à l'endroit du condensateur.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour analyser un circuit en régime continu, une astuce visuelle simple consiste à redessiner le schéma en remplaçant tous les condensateurs par des interrupteurs ouverts et toutes les bobines (inductances) par des fils (interrupteurs fermés). L'analyse devient alors beaucoup plus simple.
Normes (la référence réglementaire)
Ce raisonnement découle directement de l'application de la loi des mailles de Kirchhoff, une des lois fondamentales de l'analyse des circuits électriques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi des mailles
Loi d'Ohm
Hypothèses (le cadre du calcul)
On se place à un temps "suffisamment long", c'est-à-dire \(t \to \infty\), pour que le régime permanent soit atteint.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
La seule donnée nécessaire ici est la tension de la source.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension de la source | \(E\) | 12 | V |
Astuces(Pour aller plus vite)
Inutile de faire des calculs complexes. La tension finale aux bornes du condensateur dans un simple circuit de charge est toujours égale à la tension de la source qui l'alimente. La résistance et la capacité n'influencent que la vitesse pour y arriver, pas la destination finale.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Courant en régime permanent
Tension aux bornes de la résistance
Application de la loi des mailles
Résolution pour \(V_{\text{C}}(\infty)\)
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La tension maximale de 12 V est la "cible" que le condensateur essaie d'atteindre. La résistance R agit comme un goulot d'étranglement qui ralentit le processus, mais ne change pas la destination.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas penser que la résistance "consomme" une partie de la tension finale. En régime permanent, comme il n'y a plus de courant, la résistance n'a plus aucun effet sur les tensions du circuit.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- En régime continu, un condensateur est équivalent à un circuit ouvert (I=0).
- La tension finale à ses bornes est égale à la tension de la source DC qui l'alimente.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette propriété de blocage du courant continu est massivement utilisée dans les circuits électroniques. C'est ce qui permet de réaliser des "liaisons capacitives" ou "filtres passe-haut" qui laissent passer les signaux alternatifs (musique, data...) tout en bloquant les composantes continues parasites.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Quelle serait la tension maximale si la source de tension était de 5 V et la résistance de 1 MΩ ?
Question 3 : Donner l'expression de la tension \(V_{\text{C}}(t)\).
Principe (le concept physique)
La tension aux bornes du condensateur ne passe pas instantanément de 0 à E. Elle suit une courbe de croissance exponentielle qui décrit son remplissage progressif, rapide au début et de plus en plus lent à mesure qu'elle approche de la valeur finale.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Cette équation est la solution de l'équation différentielle du premier ordre qui régit le circuit : \(E = R \cdot C \frac{dV_{\text{C}}}{dt} + V_{\text{C}}(t)\). La résolution de cette équation avec la condition initiale \(V_{\text{C}}(0)=0\) donne la formule de la charge. Le terme \(e^{-t/\tau}\) représente la partie transitoire qui tend vers 0 avec le temps.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Pour les applications courantes, il n'est pas toujours nécessaire de savoir résoudre l'équation différentielle. Cependant, il est indispensable de connaître par cœur la forme de la solution pour la charge (\(E(1-e^{-t/\tau})\)) et pour la décharge (\(V_0 e^{-t/\tau}\)), car elles sont omniprésentes en électronique.
Normes (la référence réglementaire)
Ce résultat est une application directe du calcul différentiel aux lois fondamentales de l'électricité (Kirchhoff, Ohm).
Formule(s) (l'outil mathématique)
Expression littérale de la charge
Hypothèses (le cadre du calcul)
L'hypothèse cruciale ici est que le condensateur est complètement déchargé à l'instant initial, soit \(V_{\text{C}}(t=0) = 0 \text{ V}\).
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Pour établir l'équation de la tension, nous avons besoin des paramètres suivants :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension source | \(E\) | 12 | V |
| Constante de temps | \(\tau\) | 4.7 | s |
Astuces(Pour aller plus vite)
Vérifiez toujours votre équation aux deux instants clés :
- Pour \(t=0\), \(e^0=1\), donc \(V_{\text{C}}(0) = 12(1-1) = 0 \text{ V}\). C'est cohérent avec l'hypothèse de départ.
- Pour \(t \to \infty\), \(e^{-\infty}=0\), donc \(V_{\text{C}}(\infty) = 12(1-0) = 12 \text{ V}\). C'est cohérent avec la tension maximale calculée.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Expression numérique de la charge
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Cette équation est un outil prédictif puissant. Elle nous permet de connaître la tension exacte à n'importe quel instant, sans avoir à construire et mesurer le circuit physiquement.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas oublier le signe "-" dans l'exponentielle. Une erreur de signe changerait la charge en un phénomène divergent et physiquement impossible. Veillez aussi à ce que \(t\) et \(\tau\) soient dans la même unité de temps dans le rapport \(t/\tau\).
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- L'équation de charge est \(V_{\text{C}}(t) = E \cdot (1 - e^{-t/\tau})\).
- Elle n'est valable que si le condensateur est initialement déchargé.
- La connaissance de E et \(\tau\) suffit à la définir complètement.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette même fonction exponentielle est utilisée dans les jeux vidéo pour créer des mouvements fluides. Au lieu d'arrêter un personnage net, on peut lui donner une vitesse qui décroît exponentiellement, donnant une impression de "ralentissement" naturel et doux, un effet appelé "easing".
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Écrivez l'équation de charge pour un circuit avec \(E = 9 \text{ V}\) et \(\tau = 100 \text{ ms}\).
Question 4 : Calculer la tension aux bornes du condensateur à \(t = \tau\).
Principe (le concept physique)
On calcule la valeur de la tension à un instant "symbolique", celui de la constante de temps. C'est un point de repère fondamental sur la courbe de charge qui permet de valider la définition même de \(\tau\).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Quel que soit le circuit RC, la tension à ses bornes après une durée égale à une constante de temps sera toujours à environ 63,2% du chemin total à parcourir. Ici, le chemin total est de 12V (de 0V à 12V). La tension à \(t=\tau\) sera donc \(0.632 \times 12 \text{V}\). C'est une propriété universelle des systèmes du premier ordre.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
C'est une question de vérification classique. Si votre calcul ne donne pas environ 63% de la tension finale, c'est que vous avez probablement fait une erreur en manipulant l'équation de charge ou en utilisant votre calculatrice.
Normes (la référence réglementaire)
Pas de norme applicable. C'est une application directe de l'équation de charge.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Équation de la tension
Hypothèses (le cadre du calcul)
Aucune nouvelle hypothèse. On utilise le cadre défini précédemment.
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Nous utilisons les paramètres du circuit et l'instant de calcul spécifié.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension source | \(E\) | 12 | V |
| Constante de temps | \(\tau\) | 4.7 | s |
| Instant de calcul | \(t\) | 4.7 | s |
Astuces(Pour aller plus vite)
Pas besoin de calculatrice compliquée ! Le rapport \(t/\tau\) devient \(1\). Il suffit donc de calculer \(E \times (1 - e^{-1})\). Le nombre \(e^{-1} \approx 0.368\) est bon à connaître, ce qui donne \(1-0.368=0.632\). Il ne reste qu'à multiplier par E.
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Substitution de \(t\) par \(\tau\)
Simplification de l'exposant
Calcul de la valeur numérique
Résultat final
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat, 7.58 V, est bien égal à 63.2% de 12 V (\(0.632 \times 12 \approx 7.58\)). Cela confirme à la fois notre calcul de \(\tau\) et notre application de la formule de charge. Le condensateur se charge rapidement au début.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "radian" pour les fonctions exponentielles, bien que cela n'ait pas d'impact ici. L'erreur principale reste une faute de frappe en recopiant la formule.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- À l'instant \(t=\tau\), la tension atteint toujours environ 63.2% de la tension finale.
- C'est un point de contrôle essentiel pour vérifier la cohérence de vos calculs.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Le temps de montée (rise time) d'un signal, une caractéristique cruciale en électronique numérique, est souvent défini comme le temps pour passer de 10% à 90% de la valeur finale. Pour un circuit RC, ce temps est directement proportionnel à la constante de temps \(\tau\) (il vaut environ \(2.2\tau\)).
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Pour le même circuit, quelle serait la tension à \(t=2\tau \text{ (soit } 9.4 \text{ s)}\) ?
Question 5 : Temps de charge à 99%.
Principe (le concept physique)
Puisque la tension tend vers E de manière asymptotique, elle n'atteint théoriquement jamais 100%. On définit donc un seuil pratique (ici 99%) pour considérer que la charge est terminée. Pour trouver le temps correspondant, il faut inverser la fonction exponentielle en utilisant sa fonction réciproque : le logarithme.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Pour isoler \(t\) dans l'équation \(V_{\text{C}} = E(1-e^{-t/\tau})\), on procède par étapes :
1. Diviser par E : \(V_{\text{C}}/E = 1-e^{-t/\tau}\)
2. Isoler l'exponentielle : \(e^{-t/\tau} = 1 - V_{\text{C}}/E\)
3. Appliquer le logarithme népérien (ln) des deux côtés : \(\ln(e^{-t/\tau}) = \ln(1 - V_{\text{C}}/E)\)
4. Simplifier : \(-t/\tau = \ln(1 - V_{\text{C}}/E)\)
5. Isoler t : \(t = -\tau \ln(1 - V_{\text{C}}/E)\).
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Cette démarche de "résolution en t" est très importante. Elle permet de répondre à la question "Combien de temps dois-je attendre pour que... ?". C'est la base de la conception de tous les circuits de temporisation.
Normes (la référence réglementaire)
Cette résolution s'appuie uniquement sur les règles de l'algèbre et les propriétés de la fonction logarithme népérien.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de résolution du temps
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le circuit est toujours celui de l'énoncé et que le seuil de 99% est un critère acceptable pour considérer la charge comme "complète".
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
Les données nécessaires pour trouver le temps de charge sont les suivantes :
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Tension source | \(E\) | 12 | V |
| Constante de temps | \(\tau\) | 4.7 | s |
| Pourcentage de charge cible | \(\%\) | 99 | % |
| Tension cible | \(V_{\text{C,cible}}\) | 11.88 | V |
Astuces(Pour aller plus vite)
Les ingénieurs utilisent des règles empiriques pour estimer rapidement la fin du régime transitoire :
- À \(3\tau\), on atteint 95% de la charge.
- À \(4\tau\), on atteint 98% de la charge.
- À \(5\tau\), on atteint 99.3% de la charge.
Pour la plupart des applications, on considère que le régime permanent est atteint après \(t=5\tau\).
Schéma (Avant les calculs)
Calcul(s) (l'application numérique)
Application de la formule
Simplification du logarithme
Calcul de la valeur numérique
Résultat final
Schéma (Après les calculs)
Réflexions (l'interprétation du résultat)
Le résultat (21.64 s) est proche de \(4.6 \times \tau\). On voit qu'il faut presque 5 fois la constante de temps pour se rapprocher de la charge complète. Cela confirme la validité de la règle empirique des \(5\tau \text{ (}5 \times 4.7 = 23.5 \text{ s)}\), qui donne une bonne approximation rapide.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Le logarithme d'un nombre entre 0 et 1 est toujours négatif. Le signe "-" devant la formule est donc essentiel pour obtenir un temps \(t\) positif et physiquement correct.
Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)
- Pour trouver un temps, il faut inverser l'équation de charge en utilisant le logarithme népérien.
- La charge complète est conventionnellement estimée à \(5\tau\).
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
Cette lenteur en fin de charge est la raison pour laquelle les derniers pourcents de la batterie de votre téléphone semblent parfois prendre plus de temps à charger. Les algorithmes de charge de batterie sont complexes, mais ils sont fondamentalement limités par ces lois exponentielles.
FAQ (pour lever les doutes)
Résultat Final (la conclusion chiffrée)
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)
Combien de temps faut-il pour atteindre 50% de la charge (ce temps est aussi appelé période ou demi-vie) ?
Outil Interactif : Simulateur de Charge RC
Utilisez les curseurs ci-dessous pour modifier les valeurs de la résistance et de la capacité. Observez en temps réel comment ces changements affectent la constante de temps et la courbe de charge du condensateur.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Qu'est-ce que la constante de temps \(\tau\) représente physiquement ?
2. Si on double la valeur de la résistance R dans un circuit RC, comment la constante de temps est-elle affectée ?
3. Après un temps très long (\(t \to \infty\)), le condensateur se comporte comme...
4. Dans un circuit RC avec \(E=10 \text{ V}, R=1 \text{ k}\Omega \text{ et } C=1000 \text{ µF}\), quelle est la tension \(V_{\text{C}}\) à \(t=\tau\) ?
5. Pour charger un condensateur plus rapidement, que doit-on faire ?
- Condensateur
- Un composant électronique passif qui emmagasine de l'énergie électrique dans un champ électrique. Il est constitué de deux armatures conductrices séparées par un isolant (diélectrique).
- Résistance
- Un composant qui s'oppose au passage du courant électrique. Il est utilisé pour contrôler l'intensité du courant dans un circuit.
- Constante de temps (τ)
- Dans un circuit RC, la constante de temps (τ = R × C) est une mesure de la rapidité de la réponse du circuit. Elle correspond au temps nécessaire pour que la tension du condensateur atteigne environ 63.2% de sa valeur finale lors de la charge.
- Régime transitoire
- La période durant laquelle les courants et tensions dans un circuit évoluent d'un état stable à un autre après une modification (par exemple, la fermeture d'un interrupteur).
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