Calcul de la Densité Surfacique de Courant
Contexte : Le concept de nappe de courantIdéalisation d'un courant électrique circulant dans une surface infiniment mince. C'est un modèle clé pour analyser les champs magnétiques à l'interface entre deux milieux..
En électromagnétisme, une nappe de courant est un modèle où le courant électrique est confiné à une surface. Ce modèle est crucial pour comprendre comment les champs magnétiques se comportent à la frontière entre différents matériaux. Une discontinuité du champ magnétique tangentiel à une interface implique nécessairement la présence d'un courant surfacique. Cet exercice a pour but d'appliquer les conditions aux limites pour calculer cette densité de courant.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à utiliser la loi d'Ampère sous sa forme intégrale pour dériver et appliquer les conditions de passage du champ magnétique, une compétence fondamentale pour l'étude des guides d'ondes, des antennes et des transformateurs.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la notion de densité de courant surfacique.
- Appliquer la condition de passage pour le champ magnétique \(\vec{H}\).
- Maîtriser le calcul d'un produit vectoriel dans un système de coordonnées cartésiennes.
Données de l'étude
Configuration de la nappe de courant
| Paramètre | Symbole | Valeur / Expression | Unité |
|---|---|---|---|
| Champ Magnétique (Région 1, z>0) | \(\vec{H}_1\) | \(4 \vec{u}_x\) | A/m |
| Champ Magnétique (Région 2, z<0) | \(\vec{H}_2\) | \(-2 \vec{u}_x\) | A/m |
Questions à traiter
- Déterminer le vecteur densité de courant surfacique \(\vec{J}_s\) (ou \(\vec{K}\)) sur la nappe conductrice en \(z=0\).
- Calculer le vecteur champ d'induction magnétique \(\vec{B}\) dans les deux régions (\(z > 0\) et \(z < 0\)), en supposant que l'espace est vide (perméabilité \(\mu = \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\) H/m).
- Déterminer la force par unité de surface, \(\vec{f}_s\), qui s'exerce sur la nappe de courant. On utilisera pour cela le champ d'induction magnétique moyen à l'interface, \(\vec{B}_{\text{moy}} = \frac{\vec{B}_1 + \vec{B}_2}{2}\).
- Supposons maintenant que le champ magnétique dans la Région 1 est nul (\(\vec{H}_1 = \vec{0}\)). Quel devrait être le champ \(\vec{H}_2\) dans la Région 2 pour générer la même densité de courant surfacique \(\vec{J}_s = 6 \vec{u}_y\) A/m ?
- Si la nappe de courant était située dans le plan \(x=0\) (séparant les régions \(x>0\) et \(x<0\)) et que les champs étaient \(\vec{H}_1 = 3 \vec{u}_y\) pour \(x>0\) et \(\vec{H}_2 = -3 \vec{u}_y\) pour \(x<0\), quel serait le nouveau vecteur \(\vec{J}_s\) ?
Les bases sur les Conditions aux Limites
Les équations de Maxwell impliquent des relations, appelées conditions de passage ou conditions aux limites, entre les champs électromagnétiques de part et d'autre d'une surface séparant deux milieux différents. Pour le champ magnétique \(\vec{H}\), la condition est issue de la forme intégrale de la loi d'Ampère.
1. Loi d'Ampère et Contour
En appliquant la loi d'Ampère \(\oint \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_{\text{enlacée}}\) à un contour rectangulaire infinitésimal traversant l'interface, on montre que la composante tangentielle de \(\vec{H}\) peut être discontinue.
2. Formule de la Densité de Courant Surfacique
Cette discontinuité est directement liée à la présence d'une densité de courant surfacique \(\vec{J}_s\) sur l'interface. La relation est donnée par :
\[ \vec{n}_{12} \times (\vec{H}_2 - \vec{H}_1) = \vec{J}_s \]
où \(\vec{n}_{12}\) est le vecteur normal pointant du milieu 1 vers le milieu 2. On utilise souvent la forme équivalente \(\vec{J}_s = \vec{n} \times (\vec{H}_1 - \vec{H}_2)\), où \(\vec{n}\) est le vecteur normal pointant du milieu 2 vers le milieu 1.
Correction : Calcul de la Densité Surfacique de Courant
Question 1 : Déterminer le vecteur densité de courant surfacique \(\vec{J}_s\)
Principe
Le principe fondamental est que l'existence d'une nappe de courant à l'interface entre deux milieux crée une discontinuité dans la composante tangentielle du champ magnétique \(\vec{H}\). Notre objectif est de quantifier cette nappe de courant en calculant la différence des champs de part et d'autre.
Mini-Cours
La relation de passage pour le champ magnétique \(\vec{H}\) à la traversée d'une surface S portant une densité de courant surfacique \(\vec{J}_s\) est un résultat direct du théorème d'Ampère. Elle relie la discontinuité du champ tangentiel au courant qui la génère. Cette relation est vectorielle et fait intervenir le vecteur normal à la surface.
Remarque Pédagogique
La clé pour ne pas se tromper est de bien identifier les trois vecteurs impliqués : le champ \(\vec{H}\) dans la région 1, le champ \(\vec{H}\) dans la région 2, et le vecteur normal \(\vec{n}\) à l'interface. Le choix du sens de \(\vec{n}\) (de 2 vers 1 ou de 1 vers 2) est crucial car il détermine l'ordre de la soustraction dans la formule.
Normes
Bien qu'il n'y ait pas de "norme" réglementaire pour ce calcul fondamental, la formulation utilisée est une convention universellement acceptée dans la communauté scientifique et de l'ingénierie, dérivée des équations de Maxwell, qui sont le fondement de l'électromagnétisme classique.
Formule(s)
Condition de passage pour le champ H
Hypothèses
Nous travaillons avec un modèle idéalisé. Les hypothèses simplificatrices sont les suivantes :
- La nappe conductrice est infiniment mince et s'étend à l'infini dans le plan (xy).
- Les champs magnétiques sont uniformes dans leurs régions respectives.
- Nous sommes en régime stationnaire (les champs ne varient pas dans le temps).
Donnée(s)
Nous rassemblons les données vectorielles fournies par l'énoncé.
| Paramètre | Symbole | Valeur / Expression | Unité |
|---|---|---|---|
| Champ Magnétique (Région 1) | \(\vec{H}_1\) | \(4 \vec{u}_x\) | A/m |
| Champ Magnétique (Région 2) | \(\vec{H}_2\) | \(-2 \vec{u}_x\) | A/m |
| Vecteur normal (de 2 vers 1) | \(\vec{n}\) | \(\vec{u}_z\) | - |
Astuces
Pour le produit vectoriel avec les vecteurs de base cartésiens, utilisez la règle de la main droite ou le cercle trigonométrique : \(\vec{u}_x \times \vec{u}_y = \vec{u}_z\), \(\vec{u}_y \times \vec{u}_z = \vec{u}_x\), et \(\vec{u}_z \times \vec{u}_x = \vec{u}_y\). Inverser l'ordre des vecteurs change le signe du résultat.
Schéma (Avant les calculs)
Configuration initiale des champs
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la différence des champs magnétiques
On soustrait le vecteur champ de la région 2 de celui de la région 1. La première ligne substitue les expressions vectorielles, la deuxième simplifie les signes et la troisième additionne les composantes pour obtenir le résultat final.
Étape 2 : Calcul du produit vectoriel
On effectue le produit vectoriel du vecteur normal \(\vec{n}=\vec{u}_z\) par la différence des champs calculée précédemment. On sort la constante 6 du produit, puis on applique la règle du produit vectoriel \(\vec{u}_z \times \vec{u}_x = \vec{u}_y\).
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Courant Surfacique Résultant
Réflexions
Le résultat \(\vec{J}_s = 6 \vec{u}_y \text{ A/m}\) signifie qu'un courant de 6 Ampères traverse chaque mètre de largeur le long de l'axe des x. Ce courant, circulant selon l'axe y, est responsable de la "cassure" du champ magnétique, qui passe d'une valeur de -2 A/m à +4 A/m en traversant la nappe. Cela illustre parfaitement comment les courants sont les sources du champ magnétique.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de se tromper dans le produit vectoriel ou dans l'ordre de la soustraction. Si l'on avait calculé \(\vec{H}_2 - \vec{H}_1\), le courant aurait été dans la direction opposée. Toujours bien définir son vecteur normal \(\vec{n}\) et appliquer la formule correspondante de manière cohérente.
Points à retenir
Pour maîtriser cette question, retenez les trois points suivants :
- La discontinuité d'un champ tangentiel H implique un courant surfacique.
- La formule à mémoriser est \(\vec{J}_s = \vec{n} \times (\vec{H}_1 - \vec{H}_2)\).
- Le calcul est un produit vectoriel, sa direction est donnée par la règle de la main droite.
Le saviez-vous ?
Le concept de nappe de courant, bien qu'étant une idéalisation, est très utilisé en pratique pour modéliser les enroulements plats des transformateurs planaires ou les pistes conductrices des circuits imprimés à haute fréquence (lignes micro-ruban).
FAQ
Voici quelques questions fréquentes pour clarifier les doutes.
Résultat Final
A vous de jouer
Maintenant, à vous ! Que vaudrait \(\vec{J}_s\) (en A/m, selon \(\vec{u}_y\)) si le champ dans la région 1 était \(\vec{H}_1 = 1 \vec{u}_x\) et dans la région 2 \(\vec{H}_2 = -4 \vec{u}_x\) ?
Question 2 : Calculer le champ d'induction magnétique \(\vec{B}\)
Principe
Le champ d'induction magnétique \(\vec{B}\) et le champ magnétique \(\vec{H}\) sont deux facettes de la même réalité physique. Ils sont liés par une relation de proportionnalité simple qui dépend du milieu dans lequel on se trouve, caractérisé par sa perméabilité magnétique \(\mu\).
Mini-Cours
En électromagnétisme, on distingue le champ d'excitation magnétique \(\vec{H}\), qui est directement lié aux courants "libres" (ceux que l'on contrôle dans les circuits), et le champ d'induction magnétique \(\vec{B}\), qui est le champ "total" incluant la réponse des matériaux (l'aimantation). Dans le vide, cette distinction est moins cruciale car il n'y a pas de matière à aimanter, mais les deux vecteurs restent distincts par leurs unités et leur définition.
Remarque Pédagogique
Pensez à \(\vec{H}\) comme la "cause" (les courants) et à \(\vec{B}\) comme l'"effet" (le champ de force qui agira sur d'autres charges). La relation \(\vec{B} = \mu \vec{H}\) est l'équivalent magnétique de la loi d'Ohm \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\) : elle décrit comment le milieu "répond" à une excitation.
Normes
Le Système International d'unités (SI) est la norme pour ces calculs. Il est impératif d'utiliser les unités SI : le Tesla (T) pour \(\vec{B}\), l'Ampère par mètre (A/m) pour \(\vec{H}\), et le Henry par mètre (H/m) pour \(\mu\).
Formule(s)
Relation constitutive du vide
Perméabilité du vide
Hypothèses
L'énoncé précise que l'on se place dans le vide, qui est un milieu parfaitement linéaire, homogène et isotrope (LIH). La relation \(\vec{B} = \mu_0 \vec{H}\) est donc applicable sans restriction.
Donnée(s)
On reprend les champs \(\vec{H}\) de l'énoncé et la valeur de \(\mu_0\).
| Paramètre | Symbole | Valeur / Expression | Unité |
|---|---|---|---|
| Champ \(\vec{H}_1\) | \(\vec{H}_1\) | \(4 \vec{u}_x\) | A/m |
| Champ \(\vec{H}_2\) | \(\vec{H}_2\) | \(-2 \vec{u}_x\) | A/m |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | H/m |
Astuces
Le calcul est une simple multiplication. Pour l'ordre de grandeur, retenez que \(4\pi \approx 12.57\). Un champ \(\vec{H}\) de quelques A/m dans le vide produit un champ \(\vec{B}\) de l'ordre du microtesla (\(\mu\)T), ce qui est typique.
Schéma (Avant les calculs)
Configuration initiale des champs H
Calcul(s)
Calcul de \(\vec{B}_1\) (pour z > 0)
On applique la relation \(\vec{B} = \mu_0 \vec{H}\) pour la Région 1. On multiplie la constante scalaire \(\mu_0\) par le vecteur \(\vec{H}_1\), ce qui revient à multiplier la norme du champ.
Calcul de \(\vec{B}_2\) (pour z < 0)
On procède de la même manière pour la Région 2. On applique la relation \(\vec{B} = \mu_0 \vec{H}\) en faisant attention au signe négatif de la composante du champ \(\vec{H}_2\).
Schéma (Après les calculs)
Champs d'induction B résultants
Réflexions
Tout comme \(\vec{H}\), le champ d'induction \(\vec{B}\) est discontinu à la traversée de la nappe de courant. Sa composante tangentielle "saute" d'une valeur à une autre, car elle est directement proportionnelle à celle de \(\vec{H}\). L'unité du champ \(\vec{B}\) est le Tesla (T).
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre les unités et les symboles. \(\vec{B}\) est en Tesla (T), \(\vec{H}\) est en Ampères par mètre (A/m). Si le milieu n'était pas le vide mais un matériau magnétique avec une perméabilité relative \(\mu_r\), il faudrait utiliser \(\mu = \mu_r \mu_0\).
Points à retenir
La relation fondamentale à retenir est \(\vec{B} = \mu \vec{H}\). Elle est simple mais centrale car elle fait le pont entre les sources (courants, via \(\vec{H}\)) et les effets (forces, via \(\vec{B}\)).
Le saviez-vous ?
Le Tesla est une unité très grande. Le champ magnétique terrestre est d'environ 50 microteslas (50 x 10⁻⁶ T), tandis qu'un appareil d'IRM médical peut générer un champ de 1.5 à 3 Teslas, soit des dizaines de milliers de fois plus !
FAQ
Des questions pour aller plus loin.
Résultat Final
\(\vec{B}_1 = 16\pi \times 10^{-7} \vec{u}_x \text{ T}\) pour \(z>0\)
\(\vec{B}_2 = -8\pi \times 10^{-7} \vec{u}_x \text{ T}\) pour \(z<0\)
A vous de jouer
Si un champ \(\vec{H} = 10 \vec{u}_y \text{ A/m}\) existe dans le vide, quelle est la valeur approximative de la norme de \(\vec{B}\) en microteslas (\(\mu\)T) ? (\(4\pi \approx 12.57\))
Question 3 : Calculer la force par unité de surface \(\vec{f}_s\)
Principe
Une nappe de courant plongée dans un champ magnétique subit une force de Laplace. Cette force est le résultat de l'interaction entre les charges en mouvement dans le conducteur et le champ magnétique ambiant. Pour une distribution surfacique, on parle de force par unité de surface, qui est une pression.
Mini-Cours
La force de Laplace sur un élément de courant \(I d\vec{l}\) est \(d\vec{F} = I d\vec{l} \times \vec{B}\). Pour un courant surfacique, on remplace \(I d\vec{l}\) par \(\vec{J}_s dS\), ce qui donne une force élémentaire \(d\vec{F} = (\vec{J}_s dS) \times \vec{B}\). La force par unité de surface, \(\vec{f}_s = d\vec{F}/dS\), est donc \(\vec{J}_s \times \vec{B}\). La question est : quel \(\vec{B}\) utiliser, celui d'en haut ou d'en bas ? La théorie montre qu'il faut utiliser le champ moyen, car le courant ne peut pas "sentir" le champ qu'il crée lui-même.
Remarque Pédagogique
Le point le plus subtil ici est l'utilisation du champ moyen \(\vec{B}_{\text{moy}}\). C'est une étape cruciale. Si on utilisait \(\vec{B}_1\) ou \(\vec{B}_2\), le résultat serait incorrect. Pensez-y comme si la nappe de courant était "à cheval" sur les deux régions et subissait donc la moyenne des deux influences.
Normes
Le calcul de la force de Laplace est un principe fondamental. Il est à la base des normes de conception de tous les moteurs électriques, actionneurs, et électro-aimants (par exemple, les normes IEC 60034 pour les machines tournantes).
Formule(s)
Force de Laplace surfacique
Champ magnétique moyen
Hypothèses
On suppose que la force est uniformément répartie sur la surface de la nappe, ce qui est cohérent avec l'hypothèse de champs et de courant uniformes.
Donnée(s)
Nous utilisons les résultats calculés dans les questions précédentes.
| Paramètre | Symbole | Valeur / Expression | Unité |
|---|---|---|---|
| Densité de courant | \(\vec{J}_s\) | \(6 \vec{u}_y\) | A/m |
| Champ d'induction (Région 1) | \(\vec{B}_1\) | \(16\pi \times 10^{-7} \vec{u}_x\) | T |
| Champ d'induction (Région 2) | \(\vec{B}_2\) | \(-8\pi \times 10^{-7} \vec{u}_x\) | T |
Astuces
Vérifiez la direction de la force avec la règle de la main droite : si votre index pointe dans la direction de \(\vec{J}_s\) (\(\vec{u}_y\)) et votre majeur dans la direction de \(\vec{B}_{\text{moy}}\) (\(\vec{u}_x\)), votre pouce doit pointer dans la direction de la force, soit \(-\vec{u}_z\).
Schéma (Avant les calculs)
Vecteurs Courant et Champ Moyen
Calcul(s)
Calcul du champ moyen \(\vec{B}_{\text{moy}}\)
On calcule le champ magnétique moyen en additionnant vectoriellement \(\vec{B}_1\) et \(\vec{B}_2\) et en divisant le vecteur résultant par deux.
Calcul de la force surfacique \(\vec{f}_s\)
On calcule la force surfacique en effectuant le produit vectoriel entre la densité de courant \(\vec{J}_s\) et le champ moyen \(\vec{B}_{\text{moy}}\). On utilise la règle du produit vectoriel \(\vec{u}_y \times \vec{u}_x = -\vec{u}_z\).
Schéma (Après les calculs)
Visualisation de la Force de Laplace
Réflexions
Le résultat est une force dirigée selon les z négatifs. Cela signifie que la nappe de courant est "poussée" vers la Région 2. La force par unité de surface a l'unité d'une pression (N/m² ou Pascal). Physiquement, cette force tend à compresser le champ magnétique dans la région où il est le plus faible.
Points de vigilance
Deux erreurs classiques : utiliser \(\vec{H}\) au lieu de \(\vec{B}\) pour calculer la force, ou oublier d'utiliser le champ *moyen*. La force de Laplace s'exerce bien due au champ \(\vec{B}\), pas \(\vec{H}\).
Points à retenir
La formule de la pression magnétique \(\vec{f}_s = \vec{J}_s \times \vec{B}_{\text{moy}}\) est essentielle. Elle montre qu'un conducteur surfacique ne subit une force que s'il est traversé par un champ magnétique extérieur.
Le saviez-vous ?
Ce principe de pression magnétique est utilisé dans les "railguns" (canons électromagnétiques), où une force de Laplace extrêmement intense est générée pour accélérer un projectile à des vitesses hypersoniques. Il est aussi étudié pour le confinement du plasma dans les projets de fusion nucléaire (tokamaks).
FAQ
Clarifions le point le plus délicat.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(\vec{J}_s = 10 \vec{u}_x \text{ A/m}\) et que \(\vec{B}_{\text{moy}} = 2 \vec{u}_y \text{ T}\), quelle est la direction et la norme de la force surfacique \(\vec{f}_s\) ?
Question 4 : Trouver \(\vec{H}_2\) pour un \(\vec{H}_1\) nul
Principe
Cette question est un problème inverse. Connaissant le courant surfacique désiré et le champ d'un côté, on cherche le champ de l'autre côté qui permet de satisfaire la condition de passage. Il s'agit simplement d'isoler l'inconnue, \(\vec{H}_2\), dans l'équation de base.
Mini-Cours
Les équations de l'électromagnétisme sont linéaires. Cela signifie que l'on peut utiliser le principe de superposition. Le champ total est la somme des champs créés par différentes sources. Ici, la discontinuité \(\vec{H}_1 - \vec{H}_2\) est la "source" de \(\vec{J}_s\). Si on fixe \(\vec{J}_s\) et \(\vec{H}_1\), alors \(\vec{H}_2\) est entièrement contraint.
Remarque Pédagogique
Ce type de problème est très courant en ingénierie : "Je veux obtenir tel effet (\(\vec{J}_s\)), et je contrôle telle condition (\(\vec{H}_1=\vec{0}\)). Quelle doit être l'autre condition (\(\vec{H}_2\)) ?". C'est un raisonnement de conception ou de synthèse, par opposition à un raisonnement d'analyse.
Normes
Aucune norme spécifique, il s'agit d'une application directe des lois fondamentales.
Formule(s)
Équation de passage
Hypothèses
Les hypothèses de géométrie (nappe plane infinie, etc.) sont conservées.
Donnée(s)
Les données pour ce problème inverse sont :
| Paramètre | Symbole | Valeur / Expression | Unité |
|---|---|---|---|
| Densité de courant voulue | \(\vec{J}_s\) | \(6 \vec{u}_y\) | A/m |
| Champ imposé (Région 1) | \(\vec{H}_1\) | \(\vec{0}\) | A/m |
| Vecteur normal | \(\vec{n}\) | \(\vec{u}_z\) | - |
Astuces
Pour inverser un produit vectoriel de la forme \(\vec{A} = \vec{B} \times \vec{C}\) où \(\vec{C}\) est l'inconnu, il est souvent plus simple et moins risqué de poser \(\vec{C}\) avec des composantes inconnues et de résoudre le système d'équations qui en résulte, comme fait ci-dessous.
Schéma (Avant les calculs)
Configuration du problème inverse
Calcul(s)
Mise en équation
On part de l'équation de passage et on y remplace les valeurs connues : \(\vec{J}_s\), \(\vec{n}\) et \(\vec{H}_1 = \vec{0}\).
Décomposition du vecteur inconnu
On exprime le vecteur inconnu \(\vec{H}_2\) en fonction de ses composantes cartésiennes \(H_{2x}\), \(H_{2y}\) et \(H_{2z}\).
Calcul du produit vectoriel
On développe le produit vectoriel \(-\vec{u}_z \times \vec{H}_2\) en utilisant la décomposition de \(\vec{H}_2\) et les règles du produit vectoriel sur les vecteurs de base. Le produit \(\vec{u}_z \times \vec{u}_z\) est nul.
Par identification des composantes avec l'équation \(6\vec{u}_y = H_{2y}\vec{u}_x - H_{2x}\vec{u}_y\), on obtient le système :
Composante en \(\vec{u}_x\): \(H_{2y} = 0\)
Composante en \(\vec{u}_y\): \(-H_{2x} = 6 \Rightarrow H_{2x} = -6\)
Résultat pour le champ H2
En rassemblant les composantes, on obtient le vecteur final pour \(\vec{H}_2\).
Schéma (Après les calculs)
Solution du problème inverse
Réflexions
Pour maintenir un saut de champ de 6 A/m (\(\vec{H}_1 - \vec{H}_2 = 6\vec{u}_x\)) qui génère le courant, si \(\vec{H}_1\) devient 0, alors \(\vec{H}_2\) doit "compenser" et valoir -6 A/m. La discontinuité totale reste la même : \(0 - (-6) = 6\).
Points de vigilance
Faites très attention aux signes lors de la résolution de l'équation vectorielle. L'inversion du produit vectoriel (\(-\vec{u}_z \times \vec{H}_2\)) est une source d'erreur fréquente.
Points à retenir
L'équation de passage \(\vec{J}_s = \vec{n} \times (\vec{H}_1 - \vec{H}_2)\) est une relation de cause à effet qui peut être "lue" dans les deux sens : la discontinuité de champ crée le courant, ou le courant crée la discontinuité de champ.
Le saviez-vous ?
Le blindage magnétique fonctionne sur ce principe. Une boîte en matériau à haute perméabilité (mu-métal) guide les lignes de champ magnétique le long de ses parois, créant des courants surfaciques qui génèrent un champ opposé à l'intérieur, annulant ainsi le champ externe.
FAQ
Posons une question sur les composantes.
Résultat Final
A vous de jouer
Si \(\vec{J}_s = 10 \vec{u}_y \text{ A/m}\) et \(\vec{H}_1 = 2 \vec{u}_x \text{ A/m}\), que vaut la composante \(H_{2x}\) ?
Question 5 : Changer la géométrie du problème
Principe
Le principe physique reste identique, mais la géométrie change. L'interface est maintenant le plan \(x=0\), et le vecteur normal est donc dirigé selon l'axe x. Il faut appliquer la même formule avec ces nouveaux vecteurs.
Mini-Cours
La physique est indépendante du système de coordonnées choisi pour la décrire. Cependant, l'expression mathématique des vecteurs et des opérateurs (comme le produit vectoriel) dépend entièrement de ce système. Cette question teste la capacité à transposer un problème physique dans un nouveau repère mathématique.
Remarque Pédagogique
Avant tout calcul, la première étape doit toujours être de redéfinir clairement les vecteurs clés dans la nouvelle géométrie : où est l'interface ? Quel est son vecteur normal \(\vec{n}\) ? Comment s'expriment les champs ? Se tromper sur cette mise en place initiale rend tout le reste du calcul erroné.
Normes
Le choix d'un repère cartésien direct (où \(\vec{u}_x \times \vec{u}_y = \vec{u}_z\)) est la norme universelle pour éviter toute ambiguïté dans les calculs vectoriels.
Formule(s)
Équation de passage
Hypothèses
Les hypothèses de nappe infinie et de champs uniformes sont maintenues, mais appliquées à la nouvelle géométrie.
Donnée(s)
On liste les nouvelles données géométriques et physiques.
| Paramètre | Symbole | Valeur / Expression | Unité |
|---|---|---|---|
| Champ \(\vec{H}_1\) (pour \(x>0\)) | \(\vec{H}_1\) | \(3 \vec{u}_y\) | A/m |
| Champ \(\vec{H}_2\) (pour \(x<0\)) | \(\vec{H}_2\) | \(-3 \vec{u}_y\) | A/m |
| Vecteur normal (de 2 vers 1) | \(\vec{n}\) | \(\vec{u}_x\) | - |
Astuces
Utilisez mentalement le cercle des produits vectoriels : x -> y -> z -> x. Dans notre calcul, on a \(\vec{u}_x \times \vec{u}_y\), ce qui donne directement \(\vec{u}_z\) en suivant le sens du cercle.
Schéma (Avant les calculs)
Nouvelle géométrie du problème
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la différence des champs
On calcule la différence vectorielle \(\vec{H}_1 - \vec{H}_2\) en utilisant les nouvelles valeurs pour les champs dans la nouvelle géométrie.
Étape 2 : Calcul du produit vectoriel
On applique la formule de passage en effectuant le produit vectoriel du nouveau vecteur normal \(\vec{n} = \vec{u}_x\) par la différence de champ. On utilise la règle du produit cyclique \(\vec{u}_x \times \vec{u}_y = \vec{u}_z\).
Schéma (Après les calculs)
Courant résultant dans la nouvelle géométrie
Réflexions
Dans cette nouvelle configuration, un champ magnétique orienté selon \(\vec{u}_y\) et discontinu à travers une surface normale à \(\vec{u}_x\) engendre un courant surfacique orienté selon \(\vec{u}_z\). Cela respecte bien la règle de la main droite et montre la nature tridimensionnelle de ces relations.
Points de vigilance
L'erreur la plus évidente serait d'utiliser le mauvais vecteur normal, par exemple en gardant \(\vec{n} = \vec{u}_z\) par habitude de la question précédente, ce qui donnerait un résultat complètement faux. Toujours analyser la géométrie en premier.
Points à retenir
La physique est invariante, seule sa description mathématique change avec le système de coordonnées. La maîtrise du produit vectoriel dans un repère cartésien est une compétence essentielle pour résoudre ce genre de problème.
Le saviez-vous ?
Cette configuration (champs tangentiels au plan \(x=0\)) est typique de l'analyse des guides d'ondes à plaques parallèles, où une onde électromagnétique (mode TE) se propage le long de l'axe z, guidée entre deux plaques conductrices.
FAQ
Une question sur les composantes des champs.
Résultat Final
A vous de jouer
Dans la même géométrie (nappe en \(x=0\)), si \(\vec{H}_1 = 5\vec{u}_z \text{ A/m}\) et \(\vec{H}_2 = 1\vec{u}_z \text{ A/m}\), quel est le vecteur \(\vec{J}_s\) ? (Attention aux directions !)
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle est l'unité de la densité de courant surfacique ?
2. La relation de passage pour \(\vec{H}\) est une conséquence directe de :
3. Si le champ magnétique \(\vec{H}\) est continu à travers une interface, que peut-on dire de la densité de courant surfacique \(\vec{J}_s\) ?
4. Pour \(\vec{H}_1=5\vec{u}_y\) et \(\vec{H}_2=2\vec{u}_y\) à l'interface \(z=0\) (avec \(\vec{n}=\vec{u}_z\)), que vaut \(\vec{J}_s\) ?
5. Une nappe de courant \(\vec{J}_s = J_0 \vec{u}_x\) en \(z=0\) crée un champ magnétique \(\vec{H}\) qui est :
- Densité de Courant Surfacique (\(\vec{J}_s\) ou \(\vec{K}\))
- Vecteur représentant le courant électrique par unité de longueur circulant sur une surface. Son unité est l'Ampère par mètre (A/m).
- Champ Magnétique (\(\vec{H}\))
- Champ vectoriel qui décrit l'influence magnétique des courants électriques et des matériaux magnétiques. Son unité est l'Ampère par mètre (A/m).
- Conditions de Passage
- Ensemble d'équations qui décrivent comment les champs électromagnétiques (\(\vec{E}\), \(\vec{D}\), \(\vec{B}\), \(\vec{H}\)) se comportent à l'interface entre deux milieux différents.
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