Calcul de la Densité Surfacique de Courant
Comprendre la Densité Surfacique de Courant
En électromagnétisme, lorsque le courant électrique est confiné à une surface (par exemple, à la surface d'un bon conducteur en haute fréquence en raison de l'effet de peau, ou sur une nappe conductrice mince), il est plus pertinent de décrire ce courant en termes de densité surfacique de courant, notée \(\vec{K}\) (ou parfois \(\vec{J}_s\)). Ce vecteur représente le courant par unité de longueur perpendiculaire à la direction du flux de courant sur la surface. Son unité SI est l'Ampère par mètre (A/m). La densité surfacique de courant est une notion clé pour comprendre les conditions aux limites des champs magnétiques à l'interface de conducteurs et pour analyser des dispositifs comme les guides d'ondes plans ou les antennes patch.
Données de l'étude
- Courant total (\(I\)) : \(50 \, \text{A}\)
- Largeur de la section de la nappe (\(w\)) : \(20 \, \text{cm}\)
Schéma : Densité Surfacique de Courant sur une Nappe
Une nappe conductrice de largeur \(w\) parcourue par un courant total \(I\), résultant en une densité surfacique de courant \(\vec{K}\).
Questions à traiter
- Définir la densité surfacique de courant \(\vec{K}\) et donner son unité SI.
- Calculer la magnitude de la densité surfacique de courant (\(K\)) pour la nappe conductrice donnée.
- Si cette nappe a une épaisseur très faible mais non nulle \(t = 0.1 \, \text{mm}\), et que le courant \(I\) est uniformément réparti dans cette épaisseur, quelle serait la magnitude de la densité de courant volumique (\(J\)) à l'intérieur de la nappe ?
- On considère maintenant un long cylindre conducteur creux de rayon \(a\) et d'épaisseur de paroi négligeable. Un courant total \(I_{cyl}\) circule axialement et uniformément sur sa surface. Donner l'expression de la magnitude de la densité surfacique de courant \(K_{cyl}\) sur la surface du cylindre.
- Application numérique pour la question 4 : si \(a = 2 \, \text{cm}\) et \(I_{cyl} = 100 \, \text{A}\), calculer \(K_{cyl}\).
Correction : Calcul de la Densité Surfacique de Courant
Question 1 : Définition et unité de \(\vec{K}\)
Principe :
La densité surfacique de courant \(\vec{K}\) est un vecteur défini en chaque point d'une surface parcourue par un courant. Sa direction est celle du flux de charge à ce point, et sa magnitude représente le courant par unité de longueur mesurée perpendiculairement à la direction du courant, sur la surface.
Définition :
Si \(dI\) est le courant traversant un élément de longueur \(dl_\perp\) pris perpendiculairement à la direction du courant sur la surface, alors la magnitude de \(\vec{K}\) est \(K = \frac{dI}{dl_\perp}\).
L'unité SI de la densité surfacique de courant est l'Ampère par mètre (A/m).
Question 2 : Magnitude de \(K\) pour la nappe
Principe :
Si un courant total \(I\) est uniformément réparti sur une nappe de largeur \(w\) (mesurée perpendiculairement à la direction du courant), la magnitude de la densité surfacique de courant \(K\) est le courant total divisé par cette largeur.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques (converties en unités SI) :
- Courant total (\(I\)) : \(50 \, \text{A}\)
- Largeur de la nappe (\(w\)) : \(20 \, \text{cm} = 0.20 \, \text{m}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : Si la largeur \(w\) d'une nappe conductrice transportant un courant total \(I\) constant est doublée, la densité surfacique de courant \(K\) :
Question 3 : Densité de courant volumique (\(J\)) dans la nappe d'épaisseur \(t\)
Principe :
Si le courant \(I\) est uniformément réparti non seulement sur la largeur \(w\) mais aussi à travers une épaisseur \(t\) (très petite), la densité de courant volumique \(J\) peut être reliée à la densité surfacique \(K\). La section transversale à travers laquelle le courant passe est \(S = w \cdot t\). La densité volumique est \(J = I/S\). On a aussi \(K = I/w\), donc \(I = K \cdot w\). Ainsi, \(J = (K \cdot w) / (w \cdot t) = K/t\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques (converties en unités SI) :
- Densité surfacique de courant (\(K\)) : \(250 \, \text{A/m}\)
- Épaisseur de la nappe (\(t\)) : \(0.1 \, \text{mm} = 0.1 \times 10^{-3} \, \text{m} = 10^{-4} \, \text{m}\)
Calcul :
Question 4 : Expression de \(K_{cyl}\) pour un cylindre creux
Principe :
Pour un cylindre creux de rayon \(a\) parcouru par un courant total \(I_{cyl}\) uniformément réparti sur sa surface, la densité surfacique de courant \(K_{cyl}\) est le courant total divisé par la circonférence du cylindre, car la "largeur" perpendiculaire au flux de courant (axial) est la circonférence \(2\pi a\).
Formule(s) utilisée(s) :
Quiz Intermédiaire 2 : Si un courant \(I\) se répartit uniformément sur la surface d'une sphère de rayon \(R\), quelle serait la dimension pertinente pour calculer une densité surfacique de courant (en supposant un flux directionnel) ?
Question 5 : Application numérique pour \(K_{cyl}\)
Principe :
On applique la formule trouvée à la question 4 avec les valeurs numériques données.
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques (converties en unités SI) :
- Courant total sur le cylindre (\(I_{cyl}\)) : \(100 \, \text{A}\)
- Rayon du cylindre (\(a\)) : \(2 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m}\)
- \(\pi \approx 3.14159\)
Calcul :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La densité surfacique de courant \(\vec{K}\) est définie comme :
2. L'unité SI de la densité surfacique de courant est :
3. Si un courant \(I\) circule uniformément sur une nappe de largeur \(w\) et d'épaisseur \(t\), la relation entre la densité surfacique \(K\) et la densité volumique \(J\) est :
Glossaire
- Courant Électrique (\(I\))
- Flux de charges électriques à travers une surface. Unité SI : Ampère (A).
- Densité Surfacique de Courant (\(\vec{K}\) ou \(\vec{J}_s\))
- Vecteur décrivant le courant électrique qui s'écoule sur une surface. Sa magnitude est le courant par unité de longueur perpendiculaire à la direction du courant. Unité SI : Ampère par mètre (A/m).
- Densité de Courant Volumique (\(\vec{J}\))
- Vecteur dont la magnitude est le courant électrique par unité de surface de section transversale, et dont la direction est celle du mouvement des charges positives. Unité SI : Ampère par mètre carré (\(\text{A/m}^2\)).
- Nappe de Courant
- Distribution de courant s'écoulant sur une surface, souvent idéalisée comme ayant une épaisseur négligeable.
- Effet de Peau (Skin Effect)
- Tendance des courants alternatifs à haute fréquence à se concentrer près de la surface d'un conducteur, ce qui peut être modélisé par une densité surfacique de courant.
- Théorème d'Ampère
- Loi fondamentale de la magnétostatique qui relie la circulation du champ d'excitation magnétique \(\vec{H}\) le long d'un contour fermé au courant total enlacé par ce contour.
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