Calcul de la puissance maximale dans un circuit

Contexte : Les Circuits Électriques DCCircuits fonctionnant en courant continu (Direct Current), où le courant circule dans un seul sens..

En ingénierie électrique, un problème fondamental est de déterminer comment transférer la plus grande quantité d'énergie possible d'une source (comme une batterie, un panneau solaire ou un amplificateur) à une charge (comme un moteur, une ampoule ou une antenne). Ce problème est au cœur du transfert de puissanceProcessus de livraison de l'énergie d'une source à une charge. L'efficacité de ce transfert est cruciale..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le théorème de transfert de puissance maximal. Vous utiliserez le modèle équivalent de Thévenin pour simplifier un circuit complexe et déterminer la valeur exacte de la résistance de charge qui permet de dissiper le maximum de puissance.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer le concept d'équivalence de Thévenin.
Déterminer la condition de transfert de puissance maximal.
Calculer la puissance maximale dissipée par une résistance de charge.
Calculer le rendement (efficacité) d'un circuit à puissance maximale.

Données de l'étude

On considère un générateur de tension non idéal. Ce type de source peut être modélisé par un "générateur de Thévenin", qui consiste en une source de tension idéale \(V_{\text{Th}}\) en série avec une résistance interne \(R_{\text{Th}}\).

Ce générateur est connecté à une résistance de chargeComposant (récepteur) qui consomme de l'énergie électrique dans le circuit. Sa valeur est notée \(R_{\text{L}}\). variable, notée \(R_{\text{L}}\). L'objectif est de trouver la valeur de \(R_{\text{L}}\) pour laquelle la puissance qu'elle dissipe est maximale.

Informations Générales

Caractéristique	Valeur
Type de Circuit	DC - Résistif Linéaire
Objectif	Maximisation de la puissance de la charge
Théorèmes Clés	Thévenin / Transfert de Puissance Maximal

Schéma du Circuit Équivalent de Thévenin

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Tension de Thévenin	\(V_{\text{Th}}\)	12	V
Résistance de Thévenin	\(R_{\text{Th}}\)	50	Ω (Ohms)
Résistance de Charge	\(R_{\text{L}}\)	Variable	Ω (Ohms)

Questions à traiter

En appliquant la loi d'Ohm, calculer le courant \(I\) qui traverse le circuit en fonction de \(V_{\text{Th}}\), \(R_{\text{Th}}\) et \(R_{\text{L}}\).
Exprimer la puissance \(P_{\text{L}}\) dissipée par la charge \(R_{\text{L}}\) en fonction de \(V_{\text{Th}}\), \(R_{\text{Th}}\) et \(R_{\text{L}}\).
En utilisant le calcul différentiel (dérivée), trouver la valeur de \(R_{\text{L}}\) (exprimée par rapport à \(R_{\text{Th}}\)) qui maximise cette puissance \(P_{\text{L}}\).
Calculer la valeur numérique de cette puissance maximale \(P_{\text{max}}\) pour ce circuit.
Calculer le rendement (efficacité) \(\eta\) du circuit lorsque le transfert de puissance est maximal (c'est-à-dire, lorsque \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\)).

Les bases sur les Circuits Électriques

Pour résoudre cet exercice, quelques lois fondamentales de l'électricité sont nécessaires.

1. Loi d'Ohm
La tension \(V\) aux bornes d'une résistance \(R\) est proportionnelle au courant \(I\) qui la traverse. \[ V = R \cdot I \]

2. Loi de Puissance (Effet Joule)
La puissance \(P\) dissipée (généralement en chaleur) par une résistance \(R\) traversée par un courant \(I\) est donnée par : \[ P = V \cdot I = I^2 \cdot R = \frac{V^2}{R} \]

3. Circuit en Série
Dans un circuit série, le courant est le même dans tous les composants. La résistance totale (ou équivalente) est la somme des résistances individuelles. \[ R_{\text{totale}} = R_1 + R_2 + \dots \]

Correction : Calcul de la Puissance Maximale dans un Circuit

Question 1 : Calculer le courant \(I\)

Principe

Le circuit est une simple boucle série. La résistance totale vue par la source de tension est la somme de la résistance interne \(R_{\text{Th}}\) et de la résistance de charge \(R_{\text{L}}\). La loi d'Ohm (\(V = R \cdot I\)) peut alors être appliquée à l'ensemble du circuit.

Mini-Cours

Pour un circuit série, la tension totale du générateur (\(V_{\text{Th}}\)) se divise entre toutes les résistances. Le courant, lui, est unique et est déterminé par la tension totale divisée par la résistance totale.

Remarque Pédagogique

Pensez au circuit comme à un tuyau d'eau. \(V_{\text{Th}}\) est la pression de la pompe, et \(R_{\text{Th}}\) et \(R_{\text{L}}\) sont deux étranglements successifs. Le débit (courant \(I\)) dépend de la pression totale et des deux étranglements combinés.

Théorème(s)

Nous utilisons la Loi de Kirchhoff pour les tensions (implicitement, en disant que la tension de la source est égale à la somme des chutes de tension) et la Loi d'Ohm généralisée à un circuit.

Formule(s)

Résistance équivalente (Série)

R_{\text{totale}} = R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}

Loi d'Ohm

I = \frac{V_{\text{totale}}}{R_{\text{totale}}}

Hypothèses

Nous supposons que les composants (résistances, source) sont idéaux et linéaires (leur valeur ne change pas avec la température ou le courant) et que les fils de connexion ont une résistance nulle.

Donnée(s)

Nous travaillons avec les variables symboliques \(V_{\text{Th}}\), \(R_{\text{Th}}\) et \(R_{\text{L}}\) comme demandé par la question.

Paramètre	Symbole	Type
Tension de Thévenin	\(V_{\text{Th}}\)	Constante
Résistance de Thévenin	\(R_{\text{Th}}\)	Constante
Résistance de Charge	\(R_{\text{L}}\)	Variable

Astuces

Ne vous trompez pas : la tension aux bornes de la charge \(R_{\text{L}}\) n'est *pas* \(V_{\text{Th}}\) (sauf si \(R_{\text{Th}}\) est nulle). Il y a une chute de tension dans la résistance interne.

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma de l'énoncé est notre référence. On identifie la boucle unique contenant \(V_{\text{Th}}\), \(R_{\text{Th}}\) et \(R_{\text{L}}\).

Analyse de la Boucle de Courant

Calcul(s)

Étape 1 : Déterminer la résistance totale

Dans un circuit en série, les résistances s'additionnent. Ici, le courant traverse \(R_{\text{Th}}\) puis \(R_{\text{L}}\).

R_{\text{totale}} = R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}

Cette somme représente l'opposition totale au passage du courant.

Étape 2 : Appliquer la loi d'Ohm pour le courant total

La loi d'Ohm stipule que \(I = U / R\). Ici, la tension totale est \(V_{\text{Th}}\) et la résistance totale est \(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}\).

I = \frac{V_{\text{Th}}}{R_{\text{totale}}} \] \[ I = \frac{V_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}}

Ce courant est le même en tout point de la boucle.

Schéma (Après les calculs)

Voici la représentation du courant \(I\) circulant dans la boucle série formée par le générateur de Thévenin et la charge.

Formule du Courant

Réflexions

On observe que le courant \(I\) n'est pas constant : il dépend de la valeur de \(R_{\text{L}}\). Si \(R_{\text{L}}\) augmente (tendant vers l'infini, un circuit ouvert), le courant tend vers zéro. Si \(R_{\text{L}}\) diminue (tendant vers zéro, un court-circuit), le courant tend vers sa valeur maximale \(I_{\text{cc}} = V_{\text{Th}} / R_{\text{Th}}\).

Points de vigilance

Ne pas oublier \(R_{\text{Th}}\) dans le dénominateur. C'est l'erreur la plus fréquente. Le courant n'est pas \(V_{\text{Th}} / R_{\text{L}}\).

Points à retenir

La résistance interne \(R_{\text{Th}}\) et la charge \(R_{\text{L}}\) sont en série.
Le courant total est \(I = V_{\text{Th}} / (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\).

Le saviez-vous ?

Le "courant de court-circuit" (Icc), obtenu en posant \(R_{\text{L}}=0\), est une caractéristique clé d'un générateur. Pour notre modèle, \(I_{\text{cc}} = V_{\text{Th}} / R_{\text{Th}}\). C'est le courant maximum que la source peut débiter.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le courant dans le circuit est donné par : \(I = \frac{V_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}}\)

A vous de jouer

Avec les valeurs de l'énoncé (\(V_{\text{Th}}=12\)V, \(R_{\text{Th}}=50\,\Omega\)), quel est le courant \(I\) si la charge \(R_{\text{L}}\) vaut \(100\,\Omega\) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Loi d'Ohm sur circuit série.
Formule Essentielle : \(I = V / R_{\text{totale}}\).
Application : \(I = V_{\text{Th}} / (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\).

Question 2 : Exprimer la puissance \(P_{\text{L}}\)

Principe

La puissance dissipée par la résistance de charge \(R_{\text{L}}\) peut être calculée en utilisant la loi de puissance (effet Joule). Nous connaissons le courant \(I\) qui la traverse (calculé à la Q1) et sa résistance \(R_{\text{L}}\). La formule \(P = I^2 R\) est la plus directe.

Mini-Cours

La puissance (\(P\)) est l'énergie dissipée par unité de temps (en Watts). Pour une résistance, cette énergie est convertie en chaleur. Seule la résistance de charge \(R_{\text{L}}\) nous intéresse ici, pas la puissance perdue dans la résistance interne \(R_{\text{Th}}\).

Remarque Pédagogique

Attention à bien faire la distinction entre la puissance *fournie* par la source (\(P_{\text{source}} = V_{\text{Th}} \cdot I\)), la puissance *perdue* dans la source (\(P_{\text{Th}} = I^2 R_{\text{Th}}\)) et la puissance *utile* dissipée par la charge (\(P_{\text{L}} = I^2 R_{\text{L}}\)). On cherche à maximiser \(P_{\text{L}}\).

Théorème(s)

Nous utilisons la Loi de Joule pour la puissance.

Formule(s)

Loi de Puissance (Joule)

P_{\text{L}} = I^2 \cdot R_{\text{L}}

Courant (de Q1)

I = \frac{V_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}}

Hypothèses

Mêmes hypothèses que la Q1. Le circuit est stable et en régime permanent (courant continu).

Donnée(s)

On utilise le résultat de la Q1 et les variables symboliques.

Paramètre	Symbole	Expression
Courant	\(I\)	\(V_{\text{Th}} / (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\)
Résistance de Charge	\(R_{\text{L}}\)	Variable

Astuces

Il est plus simple de garder \(I\) sous forme de fraction et de la mettre au carré, plutôt que d'essayer d'utiliser d'autres formes de la loi de puissance (comme \(P=V^2/R\)) qui nécessiteraient de calculer d'abord la tension \(V_{\text{L}}\) aux bornes de la charge.

Schéma (Avant les calculs)

Nous nous concentrons sur la charge \(R_{\text{L}}\). C'est le composant où la conversion d'énergie utile a lieu.

Focalisation sur la Charge

Calcul(s)

Étape 1 : Formule de la puissance

La puissance dissipée par une résistance \(R\) parcourue par un courant \(I\) est \(P = R \cdot I^2\). Pour la charge \(R_{\text{L}}\) :

P_{\text{L}} = R_{\text{L}} \cdot I^2

C'est la puissance utile que nous cherchons à maximiser.

Étape 2 : Substitution du courant I

On remplace \(I\) par l'expression trouvée à la Question 1 : \(\frac{V_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}}\).

P_{\text{L}} = R_{\text{L}} \cdot \left( \frac{V_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}} \right)^2

Le terme au carré s'applique à tout le rapport.

Étape 3 : Développement du carré

On applique le carré au numérateur et au dénominateur de la fraction : \(\left(\frac{A}{B}\right)^2 = \frac{A^2}{B^2}\).

P_{\text{L}} = R_{\text{L}} \cdot \frac{V_{\text{Th}}^2}{(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2}

On regroupe les termes pour obtenir une seule fraction.

Étape 4 : Expression finale

P_{\text{L}} = \frac{R_{\text{L}} \cdot V_{\text{Th}}^2}{(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2}

On obtient ainsi une fonction qui ne dépend plus que de la variable \(R_{\text{L}}\).

Schéma (Après les calculs)

La relation trouvée correspond à une courbe en cloche asymétrique caractéristique, partant de 0, montant à un pic, puis redescendant vers 0.

Allure de la courbe de Puissance

Réflexions

Cette fonction est intéressante. Si \(R_{\text{L}} = 0\), alors \(P_{\text{L}} = 0\). Si \(R_{\text{L}} \rightarrow \infty\), le dénominateur croît en \(R_{\text{L}}^2\) tandis que le numérateur croît en \(R_{\text{L}}\), donc \(P_{\text{L}} \rightarrow 0\). Puisque la puissance est nulle aux deux extrêmes (0 et l'infini) et qu'elle est positive entre les deux, il doit exister un maximum quelque part.

Points de vigilance

N'oubliez pas de mettre au carré *tous* les termes de la fraction pour \(I\) : \(V_{\text{Th}}\) et le dénominateur \((R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\).

Points à retenir

La puissance dans la charge est \(P_{\text{L}} = I^2 \cdot R_{\text{L}}\).
L'expression finale est \(P_{\text{L}} = \frac{V_{\text{Th}}^2 \cdot R_{\text{L}}}{(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2}\).

Le saviez-vous ?

Le fait que la puissance soit nulle pour \(R_{\text{L}}=0\) (court-circuit) et \(R_{\text{L}}=\infty\) (circuit ouvert) est un concept clé. En court-circuit, le courant est max mais la tension aux bornes de \(R_{\text{L}}\) est nulle (\(P=V \cdot I = 0 \cdot I = 0\)). En circuit ouvert, la tension est max (égale à \(V_{\text{Th}}\)) mais le courant est nul (\(P=V \cdot I = V \cdot 0 = 0\)).

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La puissance dissipée par la charge est : \(P_{\text{L}} = \frac{V_{\text{Th}}^2 \cdot R_{\text{L}}}{(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2}\)

A vous de jouer

En utilisant le courant \(I=0.08\) A de la question précédente (pour \(R_{\text{L}}=100\,\Omega\)), calculez la puissance \(P_{\text{L}}\) dissipée.

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Loi de Joule.
Formule Essentielle : \(P_{\text{L}} = I^2 R_{\text{L}}\).
Application : Substitution de \(I\) pour obtenir la fonction \(P_{\text{L}}(R_{\text{L}})\).

Question 3 : Condition de puissance maximale

Principe

Nous avons une fonction \(P_{\text{L}}(R_{\text{L}})\) et nous voulons trouver la valeur de \(R_{\text{L}}\) qui la maximise. En mathématiques, on trouve un extremum (maximum ou minimum) d'une fonction en calculant sa dérivée et en trouvant la valeur de la variable qui annule cette dérivée.

Mini-Cours

Pour trouver le maximum de \(f(x)\), on résout l'équation \(\frac{df}{dx} = 0\). Ici, notre fonction est \(P_{\text{L}}\) et notre variable est \(R_{\text{L}}\). Nous devons donc calculer \(\frac{d P_{\text{L}}}{d R_{\text{L}}}\) et trouver le \(R_{\text{L}}\) qui rend cette expression égale à zéro.

Remarque Pédagogique

Le calcul de la dérivée est un peu complexe (il faut utiliser la règle de dérivation d'un quotient), mais le résultat est incroyablement simple et élégant. C'est un des plus beaux théorèmes de l'électronique.

Théorème(s)

Théorème de transfert de puissance maximal (que nous sommes en train de démontrer). Outil mathématique : Calcul différentiel (dérivée d'un quotient).

Formule(s)

Condition d'extremum

\frac{d P_{\text{L}}}{d R_{\text{L}}} = 0

Règle du quotient : \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)

Hypothèses

Les résistances \(R_{\text{Th}}\) et \(R_{\text{L}}\) sont considérées comme des variables continues et positives pour permettre la dérivation.

Donnée(s)

Nous partons de la fonction \(P_{\text{L}} = \frac{V_{\text{Th}}^2 \cdot R_{\text{L}}}{(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2}\). Pour simplifier, on peut sortir la constante \(K = V_{\text{Th}}^2\) et dériver \(f(R_{\text{L}}) = \frac{R_{\text{L}}}{(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2}\).

Fonction à dériver	Variable	Constantes
\(P_{\text{L}}(R_{\text{L}})\)	\(R_{\text{L}}\)	\(V_{\text{Th}}, R_{\text{Th}}\)

Astuces

Posons \(u = R_{\text{L}}\) (le numérateur, sans la constante) et \(v = (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2\) (le dénominateur). L'application de la règle du quotient devient plus claire.

Schéma (Avant les calculs)

Nous cherchons graphiquement le sommet de la courbe, là où la pente (la dérivée) est nulle.

Recherche de la pente nulle

Calcul(s)

Étape 1 : Dérivée de \(P_{\text{L}}\) par rapport à \(R_{\text{L}}\)

On applique la règle \((u/v)'\) où \(u\) est le numérateur et \(v\) le dénominateur. On cherche \(R_{\text{L}}\) tel que \(\frac{dP_{\text{L}}}{dR_{\text{L}}} = 0\). Avec :

\(u = R_{\text{L}} \cdot V_{\text{Th}}^2\) (donc \(u' = V_{\text{Th}}^2\))
\(v = (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2\) (donc \(v' = 2(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\))

\frac{dP_{\text{L}}}{dR_{\text{L}}} = \frac{V_{\text{Th}}^2(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2 - (R_{\text{L}} V_{\text{Th}}^2) \cdot 2(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})}{(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^4}

Le dénominateur au carré devient une puissance 4.

Étape 2 : Simplification et annulation du numérateur

Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul (et le dénominateur non nul). On peut factoriser par \(V_{\text{Th}}^2(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\) :

V_{\text{Th}}^2(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}) \cdot [ (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}) - 2R_{\text{L}} ] = 0

Puisque \(V_{\text{Th}} \neq 0\) et \(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}} \neq 0\), on doit avoir :

(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}}) - 2R_{\text{L}} = 0

R_{\text{Th}} - R_{\text{L}} = 0

Étape 3 : Conclusion

R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}

C'est la condition d'adaptation d'impédance.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est l'équilibre parfait entre la résistance interne et la charge.

Condition d'Adaptation

Réflexions

Ce résultat est fondamental. Il signifie que pour obtenir le maximum de puissance d'une source, il faut "adapter" la charge à la source. La résistance de la charge doit être égale à la résistance interne de la source.

Points de vigilance

Ce théorème maximise la *puissance* dans la charge, mais pas l'*efficacité* (ou rendement). Lorsque \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\), autant de puissance est brûlée dans la résistance interne que dans la charge. Le rendement \(\eta = P_{\text{L}} / P_{\text{source}}\) n'est que de 50% ! C'est un compromis.

Points à retenir

La puissance maximale est transférée lorsque la résistance de charge est égale à la résistance de Thévenin.
Condition : \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\).

Le saviez-vous ?

Ce principe "d'adaptation d'impédance" (la version plus générale pour les circuits AC) est vital en radio. L'antenne (charge) doit avoir la même impédance que l'émetteur (source) pour transférer le maximum de signal radio, sinon l'onde est réfléchie et revient vers l'émetteur, pouvant l'endommager.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La puissance est maximale lorsque : \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\).
Avec les données de l'exercice, cela signifie \(R_{\text{L}} = 50 \, \Omega\).

A vous de jouer

Si un générateur a une résistance interne \(R_{\text{Th}}\) de 300 \(\Omega\), quelle valeur de résistance de charge \(R_{\text{L}}\) devez-vous brancher pour extraire le maximum de puissance ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Maximisation de fonction par dérivation.
Formule : \(\frac{d P_{\text{L}}}{d R_{\text{L}}} = 0\).
Résultat : \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\).

Question 4 : Calculer la puissance maximale \(P_{\text{max}}\)

Principe

Maintenant que nous connaissons la *condition* pour la puissance maximale (c'est-à-dire \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\)), il nous suffit de remplacer \(R_{\text{L}}\) par \(R_{\text{Th}}\) dans notre équation de puissance (trouvée à la Q2) pour trouver la *valeur* de cette puissance maximale.

Mini-Cours

C'est une simple substitution algébrique. Nous allons obtenir une nouvelle formule très simple pour \(P_{\text{max}}\) qui ne dépend que de la source (\(V_{\text{Th}}\) et \(R_{\text{Th}}\)), ce qui est logique car c'est la puissance maximale que cette source *peut* délivrer.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape finale du calcul, où l'on combine la condition trouvée en Q3 avec la formule de puissance de Q2 pour obtenir la valeur numérique.

Théorème(s)

Application des résultats des questions 2 et 3.

Formule(s)

Fonction Puissance (de Q2)

P_{\text{L}} = \frac{V_{\text{Th}}^2 \cdot R_{\text{L}}}{(R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})^2}

Condition de Max (de Q3)

R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}

Hypothèses

Les hypothèses du circuit initial restent valides.

Donnée(s)

Nous utilisons les données numériques de l'énoncé pour l'application finale.

Paramètre	Symbole	Valeur
Tension de Thévenin	\(V_{\text{Th}}\)	12 V
Résistance de Thévenin	\(R_{\text{Th}}\)	50 Ω
Condition Optimale	\(R_{\text{L}}\)	\(R_{\text{Th}} = 50 \, \Omega\)

Astuces

Faites d'abord la simplification algébrique (symbolique) avant de remplacer par les chiffres. C'est plus propre et vous obtiendrez une formule réutilisable.

Schéma (Avant les calculs)

Voici à quoi ressemble le circuit lorsqu'il est parfaitement adapté pour le transfert de puissance maximale.

Circuit Adapté (R_L = R_Th)

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution symbolique

P_{\text{max}} = P_{\text{L}}(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}) = \frac{V_{\text{Th}}^2 \cdot (R_{\text{Th}})}{(R_{\text{Th}} + (R_{\text{Th}}))^2}

Étape 2 : Simplification algébrique

Au dénominateur, \(R_{\text{Th}} + R_{\text{Th}}\) devient \(2R_{\text{Th}}\). En le mettant au carré, on obtient \(4R_{\text{Th}}^2\).

P_{\text{max}} = \frac{V_{\text{Th}}^2 \cdot R_{\text{Th}}}{(2 R_{\text{Th}})^2} = \frac{V_{\text{Th}}^2 \cdot R_{\text{Th}}}{4 R_{\text{Th}}^2}

Étape 3 : Formule finale pour \(P_{\text{max}}\)

On annule un \(R_{\text{Th}}\) au numérateur avec un des \(R_{\text{Th}}\) du carré au dénominateur.

P_{\text{max}} = \frac{V_{\text{Th}}^2}{4 R_{\text{Th}}}

Étape 4 : Application Numérique

Avec \(V_{\text{Th}} = 12 \text{ V}\) et \(R_{\text{Th}} = 50 \, \Omega\) :

P_{\text{max}} = \frac{(12 \text{ V})^2}{4 \cdot (50 \, \text{Ω})} \] \[ P_{\text{max}} = \frac{144}{200} \] \[ P_{\text{max}} = 0.72 \text{ W}

Le résultat s'exprime en Watts.

Schéma (Après les calculs)

Illustration de la puissance maximale dissipée dans la charge.

Puissance Maximale Atteinte

Réflexions

La puissance maximale que cette source peut délivrer à n'importe quelle charge est de 0.72 Watts. On ne pourra jamais extraire plus de puissance de cette source, quelle que soit la résistance que l'on branche dessus. C'est une caractéristique intrinsèque de la source.

Points de vigilance

Attention au carré dans \((2 R_{\text{Th}})^2\) qui donne \(4 R_{\text{Th}}^2\). Ne pas l'oublier est crucial. La formule finale est \(\frac{V_{\text{Th}}^2}{4 R_{\text{Th}}}\) et non \(\frac{V_{\text{Th}}^2}{2 R_{\text{Th}}}\).

Points à retenir

La formule de la puissance maximale transférable est \(P_{\text{max}} = \frac{V_{\text{Th}}^2}{4 R_{\text{Th}}}\).

Le saviez-vous ?

Lorsque \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\), le courant est \(I = V_{\text{Th}} / (R_{\text{Th}} + R_{\text{Th}}) = V_{\text{Th}} / (2 R_{\text{Th}})\). La tension aux bornes de la charge est \(V_{\text{L}} = I \cdot R_{\text{L}} = (V_{\text{Th}} / (2 R_{\text{Th}})) \cdot R_{\text{Th}} = V_{\text{Th}} / 2\). Au transfert de puissance maximal, la charge reçoit exactement la moitié de la tension de Thévenin !

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

La puissance maximale transférable est \(P_{\text{max}} = \frac{V_{\text{Th}}^2}{4 R_{\text{Th}}} = 0.72 \text{ W}\).

A vous de jouer

Si une batterie a \(V_{\text{Th}}=9\)V et \(R_{\text{Th}}=1.5\,\Omega\), quelle est la puissance *maximale* qu'elle peut délivrer ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Substitution de la condition de max.
Formule : \(P_{\text{L}}(R_{\text{L}}=R_{\text{Th}})\).
Résultat : \(P_{\text{max}} = V_{\text{Th}}^2 / (4 R_{\text{Th}})\).

Question 5 : Calculer le rendement (\(\eta\)) à puissance maximale

Principe

Le rendement (ou efficacité) \(\eta\) d'un système est le rapport entre la puissance "utile" (celle qui sert, ici \(P_{\text{L}}\)) et la puissance "totale" (celle fournie par la source, \(P_{\text{source}}\)). Nous allons calculer ce rapport dans le cas spécifique où la puissance transférée est maximale, c'est-à-dire quand \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\).

Mini-Cours

La puissance totale \(P_{\text{source}}\) est la puissance fournie par la source de tension idéale \(V_{\text{Th}}\) à l'ensemble du circuit (y compris la résistance interne). Elle vaut \(P_{\text{source}} = V_{\text{Th}} \cdot I\). La puissance utile est celle dissipée uniquement par la charge : \(P_{\text{L}} = I^2 R_{\text{L}}\). Le rendement est donc \(\eta = P_{\text{L}} / P_{\text{source}}\).

Remarque Pédagogique

C'est ici que l'on va comprendre le "compromis" mentionné à la question 3. Maximiser la puissance transférée à la charge ne signifie pas du tout maximiser l'efficacité du circuit. On va découvrir pourquoi.

Théorème(s)

Définition du rendement électrique. Nous utilisons les résultats des questions 1, 2 et 3.

Formule(s)

Formule du Rendement

\eta = \frac{P_{\text{utile}}}{P_{\text{totale}}} = \frac{P_{\text{L}}}{P_{\text{source}}}

Formules de Puissance

P_{\text{L}} = I^2 R_{\text{L}} \quad \text{et} \quad P_{\text{source}} = V_{\text{Th}} \cdot I

Hypothèses

Nous nous plaçons dans le cas spécifique du transfert de puissance maximal, donc nous utilisons la condition \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\).

Donnée(s)

Nous n'avons pas besoin des valeurs numériques (12V, 50\(\Omega\)) pour ce calcul symbolique, seulement de la condition \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\).

Paramètre	Symbole	Expression
Puissance Utile	\(P_{\text{L}}\)	\(I^2 R_{\text{L}}\)
Puissance Totale	\(P_{\text{source}}\)	\(I^2 (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\)
Condition	\(R_{\text{L}}\)	\(R_{\text{Th}}\)

Astuces

Il est plus simple d'exprimer \(\eta\) en fonction des résistances. On peut aussi voir la puissance source comme la puissance totale dissipée : \(P_{\text{source}} = P_{\text{dissipée\_totale}} = P_{\text{L}} + P_{\text{Th}} = I^2 R_{\text{L}} + I^2 R_{\text{Th}}\). L'expression \(\eta = \frac{P_{\text{L}}}{P_{\text{L}} + P_{\text{Th}}}\) est souvent plus intuitive.

Schéma (Avant les calculs)

Nous utilisons le même schéma de circuit, mais nous identifions maintenant trois puissances : \(P_{\text{source}}\) (générée par \(V_{\text{Th}}\)), \(P_{\text{Th}}\) (perdue dans \(R_{\text{Th}}\)), et \(P_{\text{L}}\) (utile dans \(R_{\text{L}}\)).

Flux de Puissance dans le Circuit

Calcul(s)

Étape 1 : Définition du rendement

Le rendement \(\eta\) est le rapport entre la puissance utile (\(P_{\text{L}}\)) et la puissance totale fournie (\(P_{\text{totale}}\)).

\eta = \frac{P_{\text{L}}}{P_{\text{totale}}} \] \[ \eta = \frac{P_{\text{L}}}{P_{\text{L}} + P_{\text{Th}}}

Étape 2 : Substitution des expressions de puissance

On sait que \(P = R \cdot I^2\). Comme le courant \(I\) est le même partout (circuit série) :

\eta = \frac{R_{\text{L}} \cdot I^2}{(R_{\text{L}} + R_{\text{Th}}) \cdot I^2}

Le terme \(I^2\) se simplifie car il est présent en haut et en bas :

\eta = \frac{R_{\text{L}}}{R_{\text{L}} + R_{\text{Th}}}

Étape 3 : Calcul à la puissance maximale

On utilise la condition d'optimalité trouvée précédemment. À la puissance maximale, on a \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\). On remplace :

\eta = \frac{R_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}} + R_{\text{Th}}} \] \[ \eta = \frac{R_{\text{Th}}}{2 R_{\text{Th}}}

On simplifie par \(R_{\text{Th}}\) :

\eta = \frac{1}{2} \] \[ \eta = 0.5 \] \[ \eta = 50\%

Ce rendement de 50% est une constante physique pour ce type de circuit à puissance maximale.

Schéma (Après les calculs)

Ce diagramme de flux (type Sankey) illustre le résultat. À puissance maximale, la puissance totale fournie par la source se divise en deux parts égales.

Distribution de Puissance à P_max

Réflexions

Le résultat est fixe : 50%. Cela signifie que pour obtenir le maximum de puissance *brute* d'une source, on doit accepter de gaspiller la moitié de l'énergie en chaleur dans la source elle-même. C'est un compromis fondamental en ingénierie.

Points de vigilance

Ne pas confondre "puissance maximale" (un pic sur la courbe \(P_{\text{L}}\)) et "rendement maximal". Le rendement \(\eta = R_{\text{L}} / (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\) tend vers 100% quand \(R_{\text{L}} \rightarrow \infty\), mais à ce moment, la puissance \(P_{\text{L}}\) tend vers 0. On a 100% d'efficacité... pour 0 Watt de puissance. Ce n'est pas utile !

Points à retenir

Le rendement à puissance maximale est *toujours* de 50%.
La formule générale du rendement est \(\eta = R_{\text{L}} / (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\).

Le saviez-vous ?

Les panneaux solaires ont aussi une "résistance interne" (ou plutôt un "point de puissance maximale", MPP). Les onduleurs modernes utilisent un algorithme "MPPT" (Maximum Power Point Tracking) qui ajuste constamment la "charge" vue par le panneau pour rester à ce point de puissance maximale, même si l'ensoleillement (équivalent de \(V_{\text{Th}}\)) change.

FAQ

Voici quelques questions fréquentes sur cette étape.

Résultat Final

Le rendement du circuit, lorsque la puissance transférée à la charge est maximale, est \(\eta = 50\%\).

A vous de jouer

En utilisant la formule générale du rendement \(\eta = R_{\text{L}} / (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\), quel est le rendement si \(R_{\text{Th}}=50\,\Omega\) et \(R_{\text{L}}=450\,\Omega\) ? (Cas typique de la distribution d'énergie).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept : Rendement \(\eta = P_{\text{L}} / P_{\text{source}}\).
Formule : \(\eta = R_{\text{L}} / (R_{\text{Th}} + R_{\text{L}})\).
Résultat : À \(P_{\text{max}}\) (où \(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\)), \(\eta = 50\%\).

Outil Interactif : Simulateur de Transfert de Puissance

Utilisez les curseurs pour modifier la tension et la résistance de la source. Le graphique montre la puissance \(P_{\text{L}}\) dissipée par la charge \(R_{\text{L}}\) (axe Y) en fonction de la valeur de cette charge \(R_{\text{L}}\) (axe X).

Paramètres d'Entrée (Source)

Tension Thévenin (\(V_{\text{Th}}\)) (V) 12 V

Résistance Thévenin (\(R_{\text{Th}}\)) (Ω) 50 Ω

Résultats Clés (Calculés)

Charge Optimale (\(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\)) -

Puissance Max (\(P_{\text{max}}\)) -

Glossaire

Théorème de Thévenin: Théorème qui stipule que n'importe quel circuit électrique linéaire peut être simplifié en une unique source de tension idéale (\(V_{\text{Th}}\)) en série avec une unique résistance (\(R_{\text{Th}}\)).
Résistance de charge (\(R_{\text{L}}\)): Le composant ou la partie du circuit qui consomme la puissance "utile". C'est l'élément sur lequel on se concentre.
Transfert de puissance maximal: Le théorème (démontré dans cet exercice) qui énonce que la puissance transférée à la charge est maximale lorsque la résistance de la charge est égale à la résistance de Thévenin de la source (\(R_{\text{L}} = R_{\text{Th}}\)).
Loi de Joule (\(P=I^2 R\)): Loi physique qui quantifie la puissance (énergie par seconde) dissipée sous forme de chaleur dans un conducteur ohmique.
Rendement (\(\eta\)): Le rapport entre la puissance utile (reçue par la charge) et la puissance totale (fournie par la source). \(\eta = P_{\text{L}} / P_{\text{source}}\).