Exercices et corrigés

Exercices Électricité

Calcul de la puissance maximale dans un circuit

Calcul de la Puissance Maximale dans un Circuit

Calcul de la Puissance Maximale dans un Circuit

Comprendre le Théorème du Transfert Maximal de Puissance

Le théorème du transfert maximal de puissance est un concept clé en génie électrique qui détermine la condition sous laquelle une charge (comme une résistance, une antenne, un haut-parleur) reçoit la puissance maximale d'une source donnée. Pour une source de tension continue avec une résistance interne (modélisée par son équivalent de Thévenin, composé d'une source de tension idéale \(V_{\text{Th}}\) en série avec une résistance interne \(R_{\text{Th}}\)), le transfert de puissance vers une résistance de charge \(R_L\) est maximal lorsque la résistance de la charge est égale à la résistance de Thévenin de la source (\(R_L = R_{\text{Th}}\)). Ce principe est fondamental pour l'adaptation d'impédance dans de nombreuses applications, comme les systèmes audio ou les transmissions radio, afin d'optimiser le transfert d'énergie.

Données de l'étude

Un générateur de tension continue peut être modélisé par son équivalent de Thévenin. Ce générateur alimente une résistance de charge variable \(R_L\).

Caractéristiques du générateur (équivalent de Thévenin) :

  • Tension de Thévenin : \(V_{\text{Th}} = 20 \, \text{V}\)
  • Résistance de Thévenin : \(R_{\text{Th}} = 5 \, \Omega\)
Schéma : Générateur de Thévenin et Charge \(R_L\)
VTh 20V + − RTh 5Ω A B RL ↓ IL

Générateur de Thévenin alimentant une résistance de charge \(R_L\).

Questions à traiter

  1. Énoncer la condition sur la résistance de charge \(R_L\) pour obtenir un transfert maximal de puissance de la source vers la charge.
  2. Calculer la valeur de \(R_L\) qui satisfait cette condition.
  3. Calculer le courant \(I_L\) circulant à travers la charge \(R_L\) lorsque cette condition est remplie.
  4. Calculer la tension \(V_L\) aux bornes de la charge \(R_L\) dans ces conditions.
  5. Calculer la puissance maximale (\(P_{L,max}\)) transférée à la charge \(R_L\).
  6. Calculer la puissance totale (\(P_{\text{source}}\)) fournie par la source de tension de Thévenin \(V_{\text{Th}}\) lorsque \(R_L\) est réglée pour un transfert maximal de puissance.
  7. Calculer le rendement (\(\eta\)) du transfert de puissance dans ces conditions (défini comme \(\eta = \frac{P_{L,max}}{P_{\text{source}}}\)).

Correction : Calcul de la Puissance Maximale Transférée

Question 1 : Condition pour un transfert maximal de puissance

Principe :

Le théorème du transfert maximal de puissance stipule que, pour une source de tension continue avec une résistance interne (ou une source modélisée par son équivalent de Thévenin), la puissance maximale est transférée à une charge lorsque la résistance de la charge (\(R_L\)) est égale à la résistance interne de la source (ou résistance de Thévenin, \(R_{\text{Th}}\)).

Réponse :

Pour un transfert maximal de puissance, la résistance de charge \(R_L\) doit être égale à la résistance de Thévenin de la source : \(R_L = R_{\text{Th}}\).

Question 2 : Valeur de \(R_L\) pour un transfert maximal de puissance

Principe :

On applique directement la condition énoncée à la question précédente.

Formule(s) utilisée(s) :
\[R_L = R_{\text{Th}}\]
Données spécifiques :
  • \(R_{\text{Th}} = 5 \, \Omega\)
Calcul :
\[R_L = 5 \, \Omega\]
Résultat Question 2 : La valeur de \(R_L\) pour un transfert maximal de puissance est de \(5 \, \Omega\).

Question 3 : Courant \(I_L\) dans la charge pour puissance maximale

Principe :

Lorsque \(R_L = R_{\text{Th}}\), le circuit total est composé de \(V_{\text{Th}}\) alimentant deux résistances en série : \(R_{\text{Th}}\) et \(R_L\). Le courant \(I_L\) est alors donné par la loi d'Ohm : \(I_L = \frac{V_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}} + R_L}\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[I_L = \frac{V_{\text{Th}}}{R_{\text{Th}} + R_L}\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{Th}} = 20 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{Th}} = 5 \, \Omega\)
  • \(R_L = 5 \, \Omega\) (condition de puissance maximale)
Calcul :
\[ \begin{aligned} I_L &= \frac{20 \, \text{V}}{5 \, \Omega + 5 \, \Omega} \\ &= \frac{20 \, \text{V}}{10 \, \Omega} \\ &= 2 \, \text{A} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le courant dans la charge pour un transfert maximal de puissance est \(I_L = 2 \, \text{A}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si \(R_L\) était deux fois \(R_{Th}\), le courant \(I_L\) serait :

Question 4 : Tension \(V_L\) aux bornes de la charge

Principe :

La tension aux bornes de la charge \(R_L\) est donnée par la loi d'Ohm : \(V_L = R_L I_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[V_L = R_L I_L\]
Données spécifiques :
  • \(R_L = 5 \, \Omega\)
  • \(I_L = 2 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} V_L &= 5 \, \Omega \times 2 \, \text{A} \\ &= 10 \, \text{V} \end{aligned} \]

Note : Dans le cas du transfert maximal de puissance (\(R_L = R_{\text{Th}}\)), la tension aux bornes de la charge est toujours la moitié de la tension de Thévenin : \(V_L = V_{\text{Th}}/2\). Ici, \(20 \, \text{V} / 2 = 10 \, \text{V}\).

Résultat Question 4 : La tension aux bornes de la charge est \(V_L = 10 \, \text{V}\).

Question 5 : Puissance maximale (\(P_{L,max}\)) transférée

Principe :

La puissance dissipée par la charge \(R_L\) est donnée par \(P_L = V_L I_L\), ou \(P_L = I_L^2 R_L\), ou \(P_L = V_L^2 / R_L\). Lorsque \(R_L = R_{\text{Th}}\), cette puissance est maximale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{L,max} = I_L^2 R_L \quad \text{ou} \quad P_{L,max} = \frac{V_{\text{Th}}^2}{4R_{\text{Th}}}\]
Données spécifiques :
  • \(I_L = 2 \, \text{A}\)
  • \(R_L = 5 \, \Omega\)
  • \(V_{\text{Th}} = 20 \, \text{V}\)
  • \(R_{\text{Th}} = 5 \, \Omega\)
Calcul (Méthode 1) :
\[ \begin{aligned} P_{L,max} &= (2 \, \text{A})^2 \times 5 \, \Omega \\ &= 4 \, \text{A}^2 \times 5 \, \Omega \\ &= 20 \, \text{W} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 - Vérification) :
\[ \begin{aligned} P_{L,max} &= \frac{(20 \, \text{V})^2}{4 \times 5 \, \Omega} \\ &= \frac{400 \, \text{V}^2}{20 \, \Omega} \\ &= 20 \, \text{W} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La puissance maximale transférée à la charge est \(P_{L,max} = 20 \, \text{W}\).

Question 6 : Puissance totale (\(P_{\text{source}}\)) fournie par la source de Thévenin

Principe :

La source de tension de Thévenin \(V_{\text{Th}}\) fournit un courant \(I_L\) au circuit total (composé de \(R_{\text{Th}}\) et \(R_L\) en série). La puissance totale fournie par cette source idéale est \(P_{\text{source}} = V_{\text{Th}} I_L\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[P_{\text{source}} = V_{\text{Th}} I_L\]
Données spécifiques :
  • \(V_{\text{Th}} = 20 \, \text{V}\)
  • \(I_L = 2 \, \text{A}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{source}} &= 20 \, \text{V} \times 2 \, \text{A} \\ &= 40 \, \text{W} \end{aligned} \]

Alternativement, la puissance totale est dissipée par \(R_{Th}\) et \(R_L\): \(P_{RTh} = I_L^2 R_{Th} = (2A)^2 \times 5\Omega = 20W\). Donc \(P_{source} = P_{RTh} + P_{L,max} = 20W + 20W = 40W\).

Résultat Question 6 : La puissance totale fournie par la source de Thévenin est \(P_{\text{source}} = 40 \, \text{W}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Dans le cas du transfert maximal de puissance, la puissance dissipée dans la résistance interne \(R_{Th}\) est :

Question 7 : Rendement (\(\eta\)) du transfert de puissance

Principe :

Le rendement \(\eta\) est le rapport entre la puissance utile (celle transférée à la charge, \(P_{L,max}\)) et la puissance totale fournie par la source (\(P_{\text{source}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\eta = \frac{P_{L,max}}{P_{\text{source}}} \times 100\%\]
Données spécifiques :
  • \(P_{L,max} = 20 \, \text{W}\)
  • \(P_{\text{source}} = 40 \, \text{W}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{20 \, \text{W}}{40 \, \text{W}} \times 100\% \\ &= 0.5 \times 100\% \\ &= 50\% \end{aligned} \]

Il est important de noter que lors d'un transfert maximal de puissance, le rendement est toujours de 50%. Cela signifie que la moitié de la puissance fournie par la source est dissipée dans sa propre résistance interne.

Résultat Question 7 : Le rendement du transfert de puissance est \(\eta = 50\%\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Le théorème du transfert maximal de puissance s'applique lorsque :

2. Lors du transfert maximal de puissance, quel est le rendement du circuit ?

3. Si la résistance de charge \(R_L\) est beaucoup plus grande que \(R_{Th}\), la majeure partie de la tension de Thévenin se retrouve :

Glossaire

Théorème du Transfert Maximal de Puissance
Un théorème qui énonce qu'une charge reçoit une puissance maximale d'une source lorsque sa résistance (ou impédance) est égale à la résistance interne (ou impédance de Thévenin) de la source.
Équivalent de Thévenin
Modèle simplifié d'un circuit linéaire complexe, vu de deux bornes, consistant en une source de tension idéale (\(V_{\text{Th}}\)) en série avec une résistance équivalente (\(R_{\text{Th}}\)).
Résistance de Charge (\(R_L\))
Composant ou circuit connecté aux bornes d'une source pour recevoir de l'énergie.
Puissance Active (P)
Puissance réellement consommée par un composant et transformée en une autre forme d'énergie (généralement chaleur dans une résistance). Unité : Watt (W).
Rendement (\(\eta\))
Rapport de la puissance utile (transférée à la charge) à la puissance totale fournie par la source, souvent exprimé en pourcentage.
Calcul de la Puissance Maximale dans un Circuit

D’autres exercices de circuits électriques:

Analyse d’un Circuit en Courant Continu
Analyse d’un Circuit en Courant Continu

Analyse d’un Circuit en Courant Continu Analyse d’un Circuit en Courant Continu Comprendre l'Analyse d'un Circuit en Courant Continu L'analyse des circuits en courant continu (DC) est la base de l'électronique. Elle consiste à déterminer comment la tension se répartit...

Analyse d’un Circuit Électrique Simple
Analyse d’un Circuit Électrique Simple

Analyse d’un Circuit Électrique Simple Analyse d’un Circuit Électrique Simple Comprendre l'Analyse de Circuits Simples L'analyse d'un circuit électrique, même simple, consiste à déterminer les grandeurs électriques fondamentales telles que le courant, la tension et la...

Application de la Loi d’Ohm
Application de la Loi d’Ohm

Application de la Loi d’Ohm Application de la Loi d’Ohm Comprendre l'Application de la Loi d’Ohm La loi d'Ohm est l'une des lois les plus fondamentales en électricité. Elle décrit la relation entre la tension (\(V\)), le courant (\(I\)) et la résistance (\(R\)) dans...

Courant dans les Circuits en Dérivation
Courant dans les Circuits en Dérivation

Courant dans les Circuits en Dérivation Courant dans les Circuits en Dérivation Comprendre le Courant dans les Circuits en Dérivation Les circuits en dérivation, également appelés circuits parallèles, sont des configurations où plusieurs chemins sont offerts au...

Analyse de Circuits LED Multiconfiguration
Analyse de Circuits LED Multiconfiguration

Analyse de Circuits LED Multiconfiguration Analyse de Circuits LED Multiconfiguration Comprendre les Circuits à LED Multiconfiguration Les diodes électroluminescentes (LEDs) sont des composants semi-conducteurs qui émettent de la lumière lorsqu'un courant électrique...

Calcul de l’intensité du courant
Calcul de l’intensité du courant

Calcul de l’Intensité du Courant Calcul de l’Intensité du Courant Comprendre le Calcul de l'Intensité du Courant L'intensité du courant électrique, mesurée en Ampères (A), représente le débit de charges électriques à travers un point d'un circuit. Dans un circuit...

Puissance en régime sinusoïdal permanent
Puissance en régime sinusoïdal permanent

Puissance en Régime Sinusoïdal Permanent Puissance en Régime Sinusoïdal Permanent Comprendre la Puissance en Régime Sinusoïdal Permanent En régime sinusoïdal permanent (courant alternatif), la notion de puissance est plus complexe qu'en courant continu. En effet, les...

Courant à travers Résistances et Ampoule
Courant à travers Résistances et Ampoule

Courant à travers Résistances et Ampoule Courant à travers Résistances et Ampoule Comprendre le Courant à travers Résistances et Ampoule L'analyse des circuits électriques est essentielle pour comprendre comment l'énergie est distribuée et consommée. Une ampoule à...

Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC
Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC

Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Parallèle Calcul de l’Admittance d’un Circuit RLC Parallèle Comprendre l'Admittance d’un Circuit RLC Parallèle L'admittance (\(Y\)) est une mesure de la facilité avec laquelle un circuit ou un composant laisse passer un courant...

0 commentaires
Soumettre un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *