Calcul de la réactance inductive
Calculer la réactance inductive d'une bobine et analyser son influence sur un circuit en courant alternatif.
Une bobine (ou inductance) est un composant électronique passif qui stocke de l'énergie sous forme de champ magnétique lorsqu'un courant électrique la traverse. En courant alternatif (CA), une bobine s'oppose aux variations du courant. Cette opposition est appelée réactance inductive, notée \(X_L\).
La réactance inductive dépend de l'inductance \(L\) de la bobine (exprimée en Henrys, H) et de la pulsation \(\omega\) (ou de la fréquence \(f\)) du courant alternatif :
L'unité de la réactance inductive est l'Ohm (\(\Omega\)), comme la résistance. Contrairement à une résistance pure qui dissipe l'énergie sous forme de chaleur, une inductance idéale ne dissipe pas de puissance active ; elle emmagasine et restitue de l'énergie au circuit (puissance réactive).
Dans un circuit contenant uniquement une inductance idéale alimentée par une source de tension alternative \(u(t)\), le courant \(i(t)\) est en retard de phase de \(90^\circ\) (ou \(\pi/2\) radians) par rapport à la tension. La relation entre les valeurs efficaces de la tension aux bornes de l'inductance (\(U_L\)) et du courant (\(I\)) est donnée par la loi d'Ohm appliquée à la réactance :
Données du Problème
On considère une bobine d'inductance \(L\) parcourue par un courant alternatif sinusoïdal.
- Inductance de la bobine (\(L\)) : \(50 \text{ mH}\)
- Fréquence du courant (\(f\)) : \(100 \text{ Hz}\)
- Valeur efficace du courant traversant la bobine (\(I_{eff}\)) : \(2.5 \text{ A}\)
On considérera la bobine comme idéale (résistance interne négligeable) pour certaines questions.
Questions
- Calculer la pulsation \(\omega\) du courant.
- Calculer la réactance inductive \(X_L\) de la bobine.
- En considérant la bobine comme idéale, calculer la valeur efficace de la tension \(U_L\) à ses bornes.
- Si la fréquence du courant était doublée (passant à \(200 \text{ Hz}\)), quelle serait la nouvelle valeur de la réactance inductive \(X'_L\) ?
- Si l'inductance de la bobine était réduite de moitié (passant à \(25 \text{ mH}\)) tout en conservant la fréquence initiale de \(100 \text{ Hz}\), quelle serait la nouvelle réactance inductive \(X''_L\) ?
- Si cette bobine (L = 50 mH) est maintenant considérée comme réelle avec une résistance interne \(R_b = 5 \text{ Ω}\), calculer l'impédance \(Z_b\) de cette bobine réelle à \(100 \text{ Hz}\).
Correction : Calcul de la réactance inductive
1. Calcul de la Pulsation (\(\omega\))
La pulsation \(\omega\) est liée à la fréquence \(f\) par la relation \(\omega = 2\pi f\).
Données :
\(f = 100 \text{ Hz}\)
La pulsation du courant est \(\omega = 200\pi \text{ rad/s} \approx 628.32 \text{ rad/s}\).
2. Calcul de la Réactance Inductive (\(X_L\))
La réactance inductive \(X_L = L\omega\). Il faut convertir l'inductance en Henrys (H) : \(L = 50 \text{ mH} = 50 \times 10^{-3} \text{ H} = 0.050 \text{ H}\).
Données :
\(L = 0.050 \text{ H}\)
\(\omega = 200\pi \text{ rad/s}\)
La réactance inductive de la bobine est \(X_L \approx 31.42 \text{ Ω}\).
3. Calcul de la Tension Efficace (\(U_L\)) aux Bornes de la Bobine Idéale
Pour une bobine idéale, la loi d'Ohm s'applique avec la réactance inductive : \(U_L = X_L \times I_{eff}\).
Données :
\(X_L \approx 31.416 \text{ Ω}\)
\(I_{eff} = 2.5 \text{ A}\)
La tension efficace aux bornes de la bobine idéale est \(U_L \approx 78.54 \text{ V}\).
Quiz Intermédiaire : Réactance et Courant
4. Nouvelle Réactance Inductive (\(X'_L\)) si \(f' = 200 \text{ Hz}\)
La réactance inductive est proportionnelle à la fréquence (\(X_L = 2\pi f L\)). Si la fréquence double, la réactance inductive double également.
Nouvelle fréquence \(f' = 2f = 2 \times 100 \text{ Hz} = 200 \text{ Hz}\).
Nouvelle pulsation \(\omega' = 2\pi f' = 2\pi \times 200 = 400\pi \text{ rad/s}\).
Alternativement : \(X'_L = 2 \times X_L \approx 2 \times 31.416 \text{ Ω} \approx 62.832 \text{ Ω}\).
La nouvelle réactance inductive est \(X'_L \approx 62.83 \text{ Ω}\).
5. Nouvelle Réactance Inductive (\(X''_L\)) si \(L'' = 25 \text{ mH}\)
La réactance inductive est proportionnelle à l'inductance (\(X_L = L \times 2\pi f\)). Si l'inductance est divisée par deux, la réactance inductive est également divisée par deux (fréquence constante).
Nouvelle inductance \(L'' = 25 \text{ mH} = 0.025 \text{ H}\). Fréquence \(f = 100 \text{ Hz}\) (\(\omega = 200\pi \text{ rad/s}\)).
Alternativement : \(X''_L = X_L / 2 \approx 31.416 \text{ Ω} / 2 \approx 15.708 \text{ Ω}\).
La nouvelle réactance inductive est \(X''_L \approx 15.71 \text{ Ω}\).
6. Impédance (\(Z_b\)) de la Bobine Réelle
Pour une bobine réelle avec résistance interne \(R_b\), l'impédance \(Z_b = \sqrt{R_b^2 + X_L^2}\). On utilise la réactance \(X_L\) calculée à \(100 \text{ Hz}\).
Données :
\(R_b = 5 \text{ Ω}\)
\(X_L \approx 31.416 \text{ Ω}\) (calculée à la question 2 pour \(f=100 \text{ Hz}\) et \(L=50 \text{ mH}\))
L'impédance de la bobine réelle est \(Z_b \approx 31.81 \text{ Ω}\).
Quiz Intermédiaire : Bobine Réelle
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Glossaire des Termes Clés
Inductance (L) :
Propriété d'un composant électrique (bobine) à s'opposer aux variations du courant électrique qui le traverse, due à la création d'un champ magnétique. Unité : Henry (H).
Réactance Inductive (\(X_L\)) :
Opposition offerte par une inductance au passage d'un courant alternatif sinusoïdal. \(X_L = L\omega\). Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Pulsation (\(\omega\)) :
Vitesse angulaire du signal alternatif, liée à la fréquence \(f\) par \(\omega = 2\pi f\). Unité : radian par seconde (rad/s).
Fréquence (\(f\)) :
Nombre de cycles d'une onde ou d'un signal périodique par unité de temps. Unité : Hertz (Hz).
Impédance (\(Z\)) :
Opposition totale (résistive et réactive) d'un circuit au passage d'un courant alternatif. Unité : Ohm (\(\Omega\)).
Bobine Idéale :
Modèle théorique d'une bobine possédant uniquement une inductance et aucune résistance interne.
Bobine Réelle :
Modèle plus réaliste d'une bobine, incluant son inductance et sa résistance interne (due à la résistance du fil conducteur).
Questions d'Ouverture ou de Réflexion
1. Comment la réactance inductive influence-t-elle le comportement d'un circuit en courant continu (fréquence nulle) ?
2. Expliquez pourquoi le courant est en retard sur la tension dans un circuit purement inductif.
3. Quelles sont les applications courantes des bobines (inductances) dans les circuits électroniques et électriques (par exemple, filtres, transformateurs, ballasts) ?
4. Comment l'énergie est-elle stockée dans une bobine parcourue par un courant ? Quelle est la formule de cette énergie ?
5. Si une bobine et un condensateur sont placés en série dans un circuit AC, comment leurs réactances respectives interagissent-elles pour déterminer le comportement global du circuit (par exemple, à la résonance) ?
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